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Integer Points on A^4+B^4+49*C^4=D^4

[2026.04.01]A^4+B^4+49*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように199個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(7,1,200);
**u= -192/7 ; tau(u)= -7/96 ; -121638*x^2 - 36962*y^2 - 73532*x*z + 2688*z^2
; C5a (-102/2327 : 912/2327 : 1)  C5b (3053/5542 : 240/2771 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (52305/14824 : 8549/7412 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (-14981/15160 : 4311/7580 : 1)
**u= -188/187 ; tau(u)= -187/94 ; -597094*x^2 - 105282*y^2 + 69188*x*z + 70312*z^2
; C5a (-218088/1728301 : -3646478/5184903 : 1)  C5b (-16905/14648 : -10703/21972 : 1)
**u= -184/147 ; tau(u)= -147/92 ; -447606*x^2 - 77074*y^2 + 18724*x*z + 54096*z^2
; C5a (-492420/1755869 : 738708/1755869 : 1)  C5b (-32218889/53718062 : 12963084/26859031 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (-591/154 : -188/77 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (-300377/160744 : -675/1132 : 1)
**u= -176/21 ; tau(u)= -21/88 ; -125142*x^2 - 31858*y^2 - 60188*x*z + 7392*z^2
; C5a (-1803/3634 : -1635/3634 : 1)  C5b (33793/11922 : -11660/5961 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (63727/1254528 : 34835/627264 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (77903/37066 : 26880/18533 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (28525/24624 : 2447/12312 : 1)
**u= -172/169 ; tau(u)= -169/86 ; -492662*x^2 - 86706*y^2 + 55076*x*z + 58136*z^2
; C5a (-15433/299142 : -708115/897426 : 1)  C5b (-3199/1472 : 319/2208 : 1)
**u= -172/183 ; tau(u)= -183/86 ; -541494*x^2 - 96562*y^2 + 74788*x*z + 62952*z^2
; C5a (-8119/612218 : 490033/612218 : 1)  C5b (23653/473656 : -45039/236828 : 1)
**u= -168/17 ; tau(u)= -17/84 ; -109254*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z + 5712*z^2
; C5a (3225/46006 : 9771/46006 : 1)  C5b (4383/1150 : -68/25 : 1)
**u= -168/23 ; tau(u)= -23/84 ; -118758*x^2 - 29282*y^2 - 54332*x*z + 7728*z^2
; C5a (57/502 : -1869/60742 : 1)  C5b (-33/32 : -1483/1936 : 1)
**u= -168/53 ; tau(u)= -53/84 ; -172758*x^2 - 33842*y^2 - 45212*x*z + 17808*z^2
; C5a (-707/49386 : -12145/16462 : 1)  C5b (-45651/187256 : -25/1052 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (114883/34904 : 3135/17452 : 1)
**u= -168/127 ; tau(u)= -127/84 ; -352134*x^2 - 60482*y^2 + 8068*x*z + 42672*z^2
; C5a (1125885/4202366 : 2389671/4202366 : 1)  C5b (-174065/892424 : 131397/446212 : 1)
**u= -168/145 ; tau(u)= -145/84 ; -405702*x^2 - 70274*y^2 + 27652*x*z + 48720*z^2
; C5a (-6095/44462 : -2945/4042 : 1)  C5b (-192537/318728 : -75827/159364 : 1)
**u= -168/151 ; tau(u)= -151/84 ; -424422*x^2 - 73826*y^2 + 34756*x*z + 50736*z^2
; C5a (15313/1415718 : -392465/471906 : 1)  C5b (-107881/230824 : 50013/115412 : 1)
**u= -168/179 ; tau(u)= -179/84 ; -517494*x^2 - 92306*y^2 + 71716*x*z + 60144*z^2
; C5a (51718/152939 : -79940/152939 : 1)  C5b (-3204401/39422984 : -5722875/19711492 : 1)
**u= -168/187 ; tau(u)= -187/84 ; -545814*x^2 - 98162*y^2 + 83428*x*z + 62832*z^2
; C5a (81084/1834601 : -1498080/1834601 : 1)  C5b (-98873/734248 : -119277/367124 : 1)
**u= -164/13 ; tau(u)= -13/82 ; -98758*x^2 - 27234*y^2 - 53116*x*z + 4264*z^2
; C5a (-456550/3165051 : -5716442/9495153 : 1)  C5b (-119147/221568 : -87893/332352 : 1)
**u= -164/153 ; tau(u)= -153/82 ; -421878*x^2 - 73714*y^2 + 39844*x*z + 50184*z^2
; C5a (-1922/67453 : -54830/67453 : 1)  C5b (-2065/21232 : 2907/10616 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (-17891/77744 : -5463/38872 : 1)
**u= -156/53 ; tau(u)= -53/78 ; -156006*x^2 - 29954*y^2 - 37436*x*z + 16536*z^2
; C5a (236/1471 : -686/1471 : 1)  C5b (-34095/76426 : -13376/38213 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (19719/3776 : -851/1888 : 1)
**u= -156/109 ; tau(u)= -109/78 ; -280326*x^2 - 48098*y^2 - 1148*x*z + 34008*z^2
; C5a (-1150/163657 : -137602/163657 : 1)  C5b (-2104361/8639126 : 1346124/4319563 : 1)
**u= -156/137 ; tau(u)= -137/78 ; -356598*x^2 - 61874*y^2 + 26404*x*z + 42744*z^2
; C5a (362/525337 : 436730/525337 : 1)  C5b (-9905/47648 : -7803/23824 : 1)
**u= -156/193 ; tau(u)= -193/78 ; -537366*x^2 - 98834*y^2 + 100324*x*z + 60216*z^2
; C5a (-334/2365 : -1414/2365 : 1)  C5b (-133/6712 : 945/3356 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (72443/1357838 : -161460/678919 : 1)
**u= -152/189 ; tau(u)= -189/76 ; -513462*x^2 - 94546*y^2 + 96676*x*z + 57456*z^2
; C5a (4353526/48431443 : 39218620/48431443 : 1)  C5b (-77303/56606 : -1392/28303 : 1)
**u= -148/51 ; tau(u)= -51/74 ; -141702*x^2 - 27106*y^2 - 33404*x*z + 15096*z^2
; C5a (-1990/63353 : 48682/63353 : 1)  C5b (-10619/11442 : 4088/5721 : 1)
**u= -148/75 ; tau(u)= -75/74 ; -188262*x^2 - 33154*y^2 - 21308*x*z + 22200*z^2
; C5a (475/14206 : 125185/156266 : 1)  C5b (-22547/1032 : 55603/5676 : 1)
**u= -148/93 ; tau(u)= -93/74 ; -227718*x^2 - 39202*y^2 - 9212*x*z + 27528*z^2
; C5a (11157/36290 : -10323/36290 : 1)  C5b (-13993/324566 : 4104/162283 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (-7/122 : 12/61 : 1)
**u= -148/177 ; tau(u)= -177/74 ; -463254*x^2 - 84562*y^2 + 81508*x*z + 52392*z^2
; C5a (-227699/1274218 : 60457/115838 : 1)  C5b (-336637/282384 : 44543/141192 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (225111/216184 : 37021/108092 : 1)
**u= -136/21 ; tau(u)= -21/68 ; -80982*x^2 - 19378*y^2 - 35228*x*z + 5712*z^2
; C5a (-117263/209286 : 79/2114 : 1)  C5b (-419/726 : -136/363 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-747/2384 : -1373/3576 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (-69783/206042 : -32828/103021 : 1)
**u= -132/89 ; tau(u)= -89/66 ; -193782*x^2 - 33266*y^2 - 3164*x*z + 23496*z^2
; C5a (-12075/244498 : 204093/244498 : 1)  C5b (-11865/94454 : 9944/47227 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (119/3494 : -3960/242833 : 1)
**u= -132/107 ; tau(u)= -107/66 ; -233958*x^2 - 40322*y^2 + 10948*x*z + 28248*z^2
; C5a (-10910/49881 : -10026/16627 : 1)  C5b (-1169/111896 : 8589/55948 : 1)
**u= -128/147 ; tau(u)= -147/64 ; -329334*x^2 - 59602*y^2 + 53668*x*z + 37632*z^2
; C5a (-411015/1567594 : 194769/1567594 : 1)  C5b (-332041/1058952 : -206531/529476 : 1)
**u= -124/59 ; tau(u)= -59/62 ; -125542*x^2 - 22338*y^2 - 16828*x*z + 14632*z^2
; C5a (-11121/114526 : 282317/343578 : 1)  C5b (-19117/15880 : 20053/23820 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (2863/22032 : -155/11016 : 1)
**u= -124/185 ; tau(u)= -185/62 ; -434998*x^2 - 83826*y^2 + 106148*x*z + 45880*z^2
; C5a (-9572/56673 : -73210/170019 : 1)  C5b (-39907/42288 : -15971/63432 : 1)
**u= -124/193 ; tau(u)= -193/62 ; -461078*x^2 - 89874*y^2 + 118244*x*z + 47864*z^2
; C5a (-1670729/13057042 : 20735689/39171126 : 1)  C5b (74011/359582 : -66964/539373 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (73937/33928 : -12261/16964 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (841/9266 : -732/4633 : 1)
**u= -116/15 ; tau(u)= -15/58 ; -55638*x^2 - 13906*y^2 - 26012*x*z + 3480*z^2
; C5a (-35278/291521 : 188482/291521 : 1)  C5b (41447/57702 : -5728/28851 : 1)
**u= -116/27 ; tau(u)= -27/58 ; -69798*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z + 6264*z^2
; C5a (41/402 : 61/134 : 1)  C5b (301/174 : -80/87 : 1)
**u= -116/153 ; tau(u)= -153/58 ; -322806*x^2 - 60274*y^2 + 66724*x*z + 35496*z^2
; C5a (3870/379409 : -293802/379409 : 1)  C5b (-187019/743362 : -140904/371681 : 1)
**u= -112 ; tau(u)= -1/56 ; -38534*x^2 - 12546*y^2 - 25084*x*z + 224*z^2
; C5a (-845/4882 : 7637/14646 : 1)  C5b (2113/2910 : 1696/4365 : 1)
**u= -112/17 ; tau(u)= -17/56 ; -54598*x^2 - 13122*y^2 - 23932*x*z + 3808*z^2
; C5a (-47/138 : 7319/11178 : 1)  C5b (-29/16 : -889/648 : 1)
**u= -112/33 ; tau(u)= -33/56 ; -73734*x^2 - 14722*y^2 - 20732*x*z + 7392*z^2
; C5a (11497/57754 : -8815/57754 : 1)  C5b (5129/5282 : -36/2641 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (-46469/104294 : -18420/52147 : 1)
**u= -112/73 ; tau(u)= -73/56 ; -135014*x^2 - 23202*y^2 - 3772*x*z + 16352*z^2
; C5a (142/5709 : -1300/1557 : 1)  C5b (-309/3526 : -20/129 : 1)
**u= -112/75 ; tau(u)= -75/56 ; -138582*x^2 - 23794*y^2 - 2588*x*z + 16800*z^2
; C5a (23837/70658 : -5701/70658 : 1)  C5b (63367/4866 : 220/2433 : 1)
**u= -112/81 ; tau(u)= -81/56 ; -149574*x^2 - 25666*y^2 + 1156*x*z + 18144*z^2
; C5a (-15491/72930 : 16023/24310 : 1)  C5b (-2039/151224 : -7037/75612 : 1)
**u= -112/141 ; tau(u)= -141/56 ; -283254*x^2 - 52306*y^2 + 54436*x*z + 31584*z^2
; C5a (1469/3386 : -643/3386 : 1)  C5b (-659/29104 : -4167/14552 : 1)
**u= -112/143 ; tau(u)= -143/56 ; -288454*x^2 - 53442*y^2 + 56708*x*z + 32032*z^2
; C5a (-1770/440533 : -1019456/1321599 : 1)  C5b (224169/1241102 : -118328/1861653 : 1)
**u= -112/171 ; tau(u)= -171/56 ; -366294*x^2 - 71026*y^2 + 91876*x*z + 38304*z^2
; C5a (-6363/54898 : -31059/54898 : 1)  C5b (-22241/23712 : 2813/11856 : 1)
**u= -112/197 ; tau(u)= -197/56 ; -446998*x^2 - 90162*y^2 + 130148*x*z + 44128*z^2
; C5a (29271/93598 : 189611/280794 : 1)  C5b (-129405/637834 : 361636/956751 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (-15099/55408 : -7465/27704 : 1)
**u= -108/83 ; tau(u)= -83/54 ; -148038*x^2 - 25442*y^2 + 4228*x*z + 17928*z^2
; C5a (-47011/144862 : -28217/144862 : 1)  C5b (-1519/1238 : 408/619 : 1)
**u= -108/97 ; tau(u)= -97/54 ; -175254*x^2 - 30482*y^2 + 14308*x*z + 20952*z^2
; C5a (-19534/167593 : 124802/167593 : 1)  C5b (-227493/398816 : -92233/199408 : 1)
**u= -104/161 ; tau(u)= -161/52 ; -321926*x^2 - 62658*y^2 + 82052*x*z + 33488*z^2
; C5a (52/853 : 116480/150981 : 1)  C5b (-97/226 : 7892/20001 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (721/1142 : -100/1713 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (-440671/408816 : -69067/204408 : 1)
**u= -100/171 ; tau(u)= -171/50 ; -342246*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z + 34200*z^2
; C5a (-2894/66009 : 14390/22003 : 1)  C5b (-420581/579154 : -89268/289577 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (53481/89696 : 4453/44848 : 1)
**u= -96/91 ; tau(u)= -91/48 ; -147222*x^2 - 25778*y^2 + 14692*x*z + 17472*z^2
; C5a (14986/85787 : -66620/85787 : 1)  C5b (16059/224096 : -12335/112048 : 1)
**u= -92/33 ; tau(u)= -33/46 ; -56214*x^2 - 10642*y^2 - 12572*x*z + 6072*z^2
; C5a (345/5146 : -3519/5146 : 1)  C5b (-49261/189630 : 14408/94815 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (-287/3032 : -99/1516 : 1)
**u= -92/75 ; tau(u)= -75/46 ; -114342*x^2 - 19714*y^2 + 5572*x*z + 13800*z^2
; C5a (31944/123551 : 76698/123551 : 1)  C5b (-13831909/7057234 : -2480016/3528617 : 1)
**u= -92/131 ; tau(u)= -131/46 ; -224774*x^2 - 42786*y^2 + 51716*x*z + 24104*z^2
; C5a (11239/35050 : 67393/105150 : 1)  C5b (-289/11802 : 5428/17703 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (-8239/258666 : 40636/129333 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (10723/64678 : -1548/32339 : 1)
**u= -88/189 ; tau(u)= -189/44 ; -370614*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z + 33264*z^2
; C5a (17766/113083 : -84420/113083 : 1)  C5b (-2671/29688 : -91957/252348 : 1)
**u= -80/7 ; tau(u)= -7/40 ; -23974*x^2 - 6498*y^2 - 12604*x*z + 1120*z^2
; C5a (10/147 : 1280/8379 : 1)  C5b (1079/912 : 18755/25992 : 1)
**u= -76/9 ; tau(u)= -9/38 ; -23286*x^2 - 5938*y^2 - 11228*x*z + 1368*z^2
; C5a (-36/571 : 330/571 : 1)  C5b (-175/384 : 37/192 : 1)
**u= -76/33 ; tau(u)= -33/38 ; -43926*x^2 - 7954*y^2 - 7196*x*z + 5016*z^2
; C5a (-195/842 : -621/842 : 1)  C5b (-5117/14712 : 2231/7356 : 1)
**u= -76/89 ; tau(u)= -89/38 ; -118966*x^2 - 21618*y^2 + 20132*x*z + 13528*z^2
; C5a (-18970/312419 : 694418/937257 : 1)  C5b (36617/224240 : -10807/336360 : 1)
**u= -76/145 ; tau(u)= -145/38 ; -231638*x^2 - 47826*y^2 + 72548*x*z + 22040*z^2
; C5a (1198/44559 : 94346/133677 : 1)  C5b (-7/8 : -1/12 : 1)
**u= -72/49 ; tau(u)= -49/36 ; -58182*x^2 - 9986*y^2 - 764*x*z + 7056*z^2
; C5a (92169/316922 : -138705/316922 : 1)  C5b (-100491/47542 : 23116/23771 : 1)
**u= -72/161 ; tau(u)= -161/36 ; -263814*x^2 - 57026*y^2 + 93316*x*z + 23184*z^2
; C5a (25508/94021 : -67144/94021 : 1)  C5b (11379/36730 : 116/18365 : 1)
**u= -68/39 ; tau(u)= -39/34 ; -44214*x^2 - 7666*y^2 - 3164*x*z + 5304*z^2
; C5a (-8878/25493 : -9406/25493 : 1)  C5b (-194410573/772334398 : 107512176/386167199 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-205261/28104 : -31271/14052 : 1)
**u= -68/87 ; tau(u)= -87/34 ; -106614*x^2 - 19762*y^2 + 21028*x*z + 11832*z^2
; C5a (175749/910502 : 707097/910502 : 1)  C5b (-35/78 : -16/39 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (-2719/22014 : 3944/11007 : 1)
**u= -60 ; tau(u)= -1/30 ; -11286*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z + 120*z^2
; C5a (-5358/24877 : 14034/24877 : 1)  C5b (7077/6194 : 2360/3097 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (-1069117/924082 : 55836/462041 : 1)
**u= -56/9 ; tau(u)= -9/28 ; -13926*x^2 - 3298*y^2 - 5948*x*z + 1008*z^2
; C5a (36/593 : 252/593 : 1)  C5b (3874075/2857208 : 1089591/1428604 : 1)
**u= -56/23 ; tau(u)= -23/28 ; -22886*x^2 - 4194*y^2 - 4156*x*z + 2576*z^2
; C5a (-1285/129994 : 307931/389982 : 1)  C5b (687/464 : 121/696 : 1)
**u= -56/27 ; tau(u)= -27/28 ; -25878*x^2 - 4594*y^2 - 3356*x*z + 3024*z^2
; C5a (-883/4002 : 985/1334 : 1)  C5b (-109/790 : -24/395 : 1)
**u= -56/31 ; tau(u)= -31/28 ; -29062*x^2 - 5058*y^2 - 2428*x*z + 3472*z^2
; C5a (-974/5885 : 1252/1605 : 1)  C5b (743/184 : -217/276 : 1)
**u= -56/39 ; tau(u)= -39/28 ; -36006*x^2 - 6178*y^2 - 188*x*z + 4368*z^2
; C5a (205/726 : -117/242 : 1)  C5b (-187/24 : -23/12 : 1)
**u= -56/41 ; tau(u)= -41/28 ; -37862*x^2 - 6498*y^2 + 452*x*z + 4592*z^2
; C5a (17/50 : -679/2850 : 1)  C5b (-155/264 : -3649/7524 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (-44033/494712 : 87445/247356 : 1)
**u= -56/121 ; tau(u)= -121/28 ; -151462*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z + 13552*z^2
; C5a (-1/4530 : 8783/13590 : 1)  C5b (5435/27936 : 9491/41904 : 1)
**u= -52/139 ; tau(u)= -139/26 ; -181862*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z + 14456*z^2
; C5a (4303/8046 : -3523/24138 : 1)  C5b (-807793/4754864 : -2704433/7132296 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-41293/80862 : -11000/40431 : 1)
**u= -48/77 ; tau(u)= -77/24 ; -72054*x^2 - 14162*y^2 + 19108*x*z + 7392*z^2
; C5a (367976/1737229 : -1322440/1737229 : 1)  C5b (-128367/133520 : 10931/66760 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (879/4192 : 493/2096 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (3997/5234 : -936/2617 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (-1127/1408 : 333/704 : 1)
**u= -44/81 ; tau(u)= -81/22 ; -73686*x^2 - 15058*y^2 + 22372*x*z + 7128*z^2
; C5a (-174230/1019829 : 94158/339943 : 1)  C5b (-24493/31650 : 3916/15825 : 1)
**u= -44/123 ; tau(u)= -123/22 ; -139878*x^2 - 32194*y^2 + 56644*x*z + 10824*z^2
; C5a (-7935/57406 : -5739/57406 : 1)  C5b (-569/2310 : -436/1155 : 1)
**u= -44/129 ; tau(u)= -129/22 ; -151062*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z + 11352*z^2
; C5a (27050/114789 : 27154/38263 : 1)  C5b (241885/814384 : -67617/407192 : 1)
**u= -40/91 ; tau(u)= -91/20 ; -83606*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z + 7280*z^2
; C5a (7023/13706 : 7849/41118 : 1)  C5b (1139/4392 : 1075/6588 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-805/2384 : -393/1192 : 1)
**u= -36/47 ; tau(u)= -47/18 ; -30678*x^2 - 5714*y^2 + 6244*x*z + 3384*z^2
; C5a (180/671 : -474/671 : 1)  C5b (2751/20662 : -1712/10331 : 1)
**u= -36/79 ; tau(u)= -79/18 ; -64086*x^2 - 13778*y^2 + 22372*x*z + 5688*z^2
; C5a (14/187 : 1006/1411 : 1)  C5b (-105/362 : -5728/15023 : 1)
**u= -36/121 ; tau(u)= -121/18 ; -126582*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z + 8712*z^2
; C5a (133632/600907 : 419454/600907 : 1)  C5b (3171/11666 : -1276/5833 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (-2583/168806 : 31160/84403 : 1)
**u= -32/21 ; tau(u)= -21/16 ; -11094*x^2 - 1906*y^2 - 284*x*z + 1344*z^2
; C5a (-2719/30338 : 24865/30338 : 1)  C5b (-457/9768 : 445/4884 : 1)
**u= -32/35 ; tau(u)= -35/16 ; -19382*x^2 - 3474*y^2 + 2852*x*z + 2240*z^2
; C5a (-1522/7517 : 11272/22551 : 1)  C5b (71/1038 : 280/1557 : 1)
**u= -24/7 ; tau(u)= -7/12 ; -3366*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z + 336*z^2
; C5a (926/41155 : -28036/41155 : 1)  C5b (-297/734 : 104/367 : 1)
**u= -24/119 ; tau(u)= -119/12 ; -109542*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z + 5712*z^2
; C5a (1144781/3104206 : -1939303/3104206 : 1)  C5b (-1945/4366 : 612/2183 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (6733/16970 : -888/8485 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-1211/1362 : -460/681 : 1)
**u= -20/177 ; tau(u)= -177/10 ; -217494*x^2 - 63058*y^2 + 124516*x*z + 7080*z^2
; C5a (366/1289 : -810/1289 : 1)  C5b (44653/123768 : 13049/61884 : 1)
**u= -16/21 ; tau(u)= -21/8 ; -6102*x^2 - 1138*y^2 + 1252*x*z + 672*z^2
; C5a (4569/24206 : -18861/24206 : 1)  C5b (85/432 : -1/216 : 1)
**u= -16/49 ; tau(u)= -49/8 ; -21446*x^2 - 5058*y^2 + 9092*x*z + 1568*z^2
; C5a (-5/38 : -1/114 : 1)  C5b (-19/32 : -11/48 : 1)
**u= -16/63 ; tau(u)= -63/8 ; -32646*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z + 2016*z^2
; C5a (22565/40466 : -9293/40466 : 1)  C5b (-2663/6504 : -1037/3252 : 1)
**u= -12/11 ; tau(u)= -11/6 ; -2214*x^2 - 386*y^2 + 196*x*z + 264*z^2
; C5a (-11/3662 : 3025/3662 : 1)  C5b (-917/478 : 120/239 : 1)
**u= -12/17 ; tau(u)= -17/6 ; -3798*x^2 - 722*y^2 + 868*x*z + 408*z^2
; C5a (6/19 : 234/361 : 1)  C5b (-7/10 : 36/95 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (-931/1138 : -60/569 : 1)
**u= -12/31 ; tau(u)= -31/6 ; -9174*x^2 - 2066*y^2 + 3556*x*z + 744*z^2
; C5a (685/1902 : -403/634 : 1)  C5b (-9723/34850 : 6568/17425 : 1)
**u= -12/151 ; tau(u)= -151/6 ; -151734*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z + 3624*z^2
; C5a (61/930 : 137/310 : 1)  C5b (-355677/1318544 : -221471/659272 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (-1449/13336 : 2491/6668 : 1)
**u= -12/193 ; tau(u)= -193/6 ; -242454*x^2 - 74642*y^2 + 148708*x*z + 4632*z^2
; C5a (53612/97303 : -40550/97303 : 1)  C5b (-290631579/1143707374 : -193553756/571853687 : 1)
**u= -12/199 ; tau(u)= -199/6 ; -257142*x^2 - 79346*y^2 + 158116*x*z + 4776*z^2
; C5a (312/4787 : 2010/4787 : 1)  C5b (108549/401200 : -60631/200600 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (-17/48 : -85/216 : 1)
**u= -4 ; tau(u)= -1/2 ; -86*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z + 8*z^2
; C5a (-1/26 : -55/78 : 1)  C5b (-7/24 : 1/36 : 1)
**u= -4/15 ; tau(u)= -15/2 ; -1878*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z + 120*z^2
; C5a (5/38 : -25/38 : 1)  C5b (-427/1042 : 168/521 : 1)
**u= -4/99 ; tau(u)= -99/2 ; -62022*x^2 - 19618*y^2 + 39172*x*z + 792*z^2
; C5a (117/206 : -81/206 : 1)  C5b (18949/61920 : 8873/30960 : 1)
**u= -4/141 ; tau(u)= -141/2 ; -123846*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z + 1128*z^2
; C5a (1673/111674 : 26801/111674 : 1)  C5b (-161581/570384 : 5345/16776 : 1)
**u= -4/153 ; tau(u)= -153/2 ; -145398*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z + 1224*z^2
; C5a (310/1081 : -634/1081 : 1)  C5b (2583245/14745568 : -2581713/7372784 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4 ; tau(u)= 1/2 ; -22*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z - 8*z^2
; C5a (-2/3 : -2/9 : 1)  C5b (7/16 : -7/24 : 1)
**u= 4/15 ; tau(u)= 15/2 ; -918*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z - 120*z^2
; C5a (241/778 : 281/778 : 1)  C5b (-469/1936 : 249/968 : 1)
**u= 4/141 ; tau(u)= 141/2 ; -114822*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z - 1128*z^2
; C5a (3209/30878 : 11885/30878 : 1)  C5b (40033/78762 : -2320/39381 : 1)
**u= 4/153 ; tau(u)= 153/2 ; -135606*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z - 1224*z^2
; C5a (5162/8889 : -1178/2963 : 1)  C5b (-177037/770386 : 127272/385193 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (3283/4184 : 345/2092 : 1)
**u= 12/31 ; tau(u)= 31/6 ; -3222*x^2 - 2066*y^2 + 3556*x*z - 744*z^2
; C5a (250/837 : -34/279 : 1)  C5b (-441/33848 : 5867/16924 : 1)
**u= 12/151 ; tau(u)= 151/6 ; -122742*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z - 3624*z^2
; C5a (44225/620566 : -137069/620566 : 1)  C5b (518357/2182862 : 379164/1091431 : 1)
**u= 12/179 ; tau(u)= 179/6 ; -175494*x^2 - 64226*y^2 + 127876*x*z - 4296*z^2
; C5a (5773/14270 : 7703/14270 : 1)  C5b (-19075/108002 : -18528/54001 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (375053/1043554 : -149460/521777 : 1)
**u= 12/193 ; tau(u)= 193/6 ; -205398*x^2 - 74642*y^2 + 148708*x*z - 4632*z^2
; C5a (1910/36061 : -6818/36061 : 1)  C5b (16337/37450 : -4164/18725 : 1)
**u= 12/199 ; tau(u)= 199/6 ; -218934*x^2 - 79346*y^2 + 158116*x*z - 4776*z^2
; C5a (11418/197893 : -42258/197893 : 1)  C5b (-437409/1293872 : -165749/646936 : 1)
**u= 16/49 ; tau(u)= 49/8 ; -8902*x^2 - 5058*y^2 + 9092*x*z - 1568*z^2
; C5a (251/334 : -217/1002 : 1)  C5b (831/4946 : 2812/7419 : 1)
**u= 16/63 ; tau(u)= 63/8 ; -16518*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z - 2016*z^2
; C5a (7909/11338 : 3227/11338 : 1)  C5b (-913/4024 : 549/2012 : 1)
**u= 20/51 ; tau(u)= 51/10 ; -8646*x^2 - 5602*y^2 + 9604*x*z - 2040*z^2
; C5a (1942/2697 : 238/899 : 1)  C5b (8699/11592 : -305/5796 : 1)
**u= 24/7 ; tau(u)= 7/12 ; -678*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z - 336*z^2
; C5a (-379/562 : 13/562 : 1)  C5b (18043/41824 : 6513/20912 : 1)
**u= 24/119 ; tau(u)= 119/12 ; -63846*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z - 5712*z^2
; C5a (1070/4507 : -1648/4507 : 1)  C5b (-7013/18520 : 1161/9260 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (105045/227368 : 29447/113684 : 1)
**u= 32/91 ; tau(u)= 91/16 ; -29462*x^2 - 17586*y^2 + 31076*x*z - 5824*z^2
; C5a (15152/29359 : -32312/88077 : 1)  C5b (-291/1478 : -584/2217 : 1)
**u= 36/79 ; tau(u)= 79/18 ; -18582*x^2 - 13778*y^2 + 22372*x*z - 5688*z^2
; C5a (99/206 : -4047/17098 : 1)  C5b (1701/4232 : 64733/175628 : 1)
**u= 36/121 ; tau(u)= 121/18 ; -56886*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z - 8712*z^2
; C5a (115378/146229 : 1682/48743 : 1)  C5b (-2461/7966 : 696/3983 : 1)
**u= 40/91 ; tau(u)= 91/20 ; -25366*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z - 7280*z^2
; C5a (466/1161 : 656/3483 : 1)  C5b (11519/16304 : -5161/24456 : 1)
**u= 44/81 ; tau(u)= 81/22 ; -16662*x^2 - 15058*y^2 + 22372*x*z - 7128*z^2
; C5a (15958/21157 : 2818/21157 : 1)  C5b (6517/26370 : -5056/13185 : 1)
**u= 44/101 ; tau(u)= 101/22 ; -31462*x^2 - 22338*y^2 + 36932*x*z - 8888*z^2
; C5a (87/134 : -115/402 : 1)  C5b (35049/50266 : 16340/75399 : 1)
**u= 44/123 ; tau(u)= 123/22 ; -53286*x^2 - 32194*y^2 + 56644*x*z - 10824*z^2
; C5a (1074/1325 : -66/1325 : 1)  C5b (-145733/572256 : -60119/286128 : 1)
**u= 44/129 ; tau(u)= 129/22 ; -60246*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z - 11352*z^2
; C5a (28360/42727 : -13882/42727 : 1)  C5b (-5845/20478 : -1864/10239 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (-10911/33646 : -580/16823 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (120475/498848 : 149829/391952 : 1)
**u= 52/139 ; tau(u)= 139/26 ; -66214*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z - 14456*z^2
; C5a (522/1759 : 838/5277 : 1)  C5b (917/2584 : 83/228 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-3031/54216 : 9445/27108 : 1)
**u= 56/9 ; tau(u)= 9/28 ; -5862*x^2 - 3298*y^2 - 5948*x*z - 1008*z^2
; C5a (-63/286 : 21/286 : 1)  C5b (4535/744 : -1667/372 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (67/288 : -55/144 : 1)
**u= 56/121 ; tau(u)= 121/28 ; -43046*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z - 13552*z^2
; C5a (348675/726742 : 488569/2180226 : 1)  C5b (18911/24690 : -6176/37035 : 1)
**u= 56/131 ; tau(u)= 131/28 ; -53686*x^2 - 37458*y^2 + 62372*x*z - 14672*z^2
; C5a (559/1598 : -35/282 : 1)  C5b (-386623/28818610 : 14713288/43227915 : 1)
**u= 56/141 ; tau(u)= 141/28 ; -65526*x^2 - 42898*y^2 + 73252*x*z - 15792*z^2
; C5a (41345/118838 : -24083/118838 : 1)  C5b (537217/708306 : 10408/354153 : 1)
**u= 56/153 ; tau(u)= 153/28 ; -81318*x^2 - 49954*y^2 + 87364*x*z - 17136*z^2
; C5a (14309/39038 : 10993/39038 : 1)  C5b (326321/1218872 : 229317/609436 : 1)
**u= 60 ; tau(u)= 1/30 ; -10326*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z - 120*z^2
; C5a (-16/559 : 82/559 : 1)  C5b (-19537/15416 : 6675/7708 : 1)
**u= 64/119 ; tau(u)= 119/32 ; -36326*x^2 - 32418*y^2 + 48452*x*z - 15232*z^2
; C5a (2968/3739 : -1148/11217 : 1)  C5b (222883/2066168 : -1120675/3099252 : 1)
**u= 72/161 ; tau(u)= 161/36 ; -78342*x^2 - 57026*y^2 + 93316*x*z - 23184*z^2
; C5a (22081/28518 : -1825/9506 : 1)  C5b (-11379/36730 : 116/18365 : 1)
**u= 76/9 ; tau(u)= 9/38 ; -12342*x^2 - 5938*y^2 - 11228*x*z - 1368*z^2
; C5a (-17683/26142 : 2723/8714 : 1)  C5b (-679/712 : 171/356 : 1)
**u= 76/145 ; tau(u)= 145/38 ; -55318*x^2 - 47826*y^2 + 72548*x*z - 22040*z^2
; C5a (25131/30278 : 3377/90834 : 1)  C5b (7/8 : 1/12 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (109621/703752 : 132001/351876 : 1)
**u= 80/7 ; tau(u)= 7/40 ; -15014*x^2 - 6498*y^2 - 12604*x*z - 1120*z^2
; C5a (-87/302 : -7595/17214 : 1)  C5b (697/722 : 14152/20577 : 1)
**u= 80/189 ; tau(u)= 189/40 ; -112566*x^2 - 77842*y^2 + 130084*x*z - 30240*z^2
; C5a (28769/39746 : 10015/39746 : 1)  C5b (95707/166032 : 24721/83016 : 1)
**u= 88/189 ; tau(u)= 189/44 ; -104502*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z - 33264*z^2
; C5a (145/382 : 139/6494 : 1)  C5b (3433/6462 : -18440/54927 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (-20907/27926 : 4672/13963 : 1)
**u= 100/171 ; tau(u)= 171/50 ; -68646*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z - 34200*z^2
; C5a (52600/76611 : 370/25537 : 1)  C5b (-42791/390864 : 49843/195432 : 1)
**u= 112/17 ; tau(u)= 17/56 ; -24134*x^2 - 13122*y^2 - 23932*x*z - 3808*z^2
; C5a (-75/166 : -5351/13446 : 1)  C5b (409/1070 : 4168/43335 : 1)
**u= 112/197 ; tau(u)= 197/56 ; -93974*x^2 - 90162*y^2 + 130148*x*z - 44128*z^2
; C5a (3211/4158 : -761/12474 : 1)  C5b (291/778 : 452/1167 : 1)
**u= 116/27 ; tau(u)= 27/58 ; -19686*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z - 6264*z^2
; C5a (-14544/36931 : -3486/36931 : 1)  C5b (-2261/2526 : -248/1263 : 1)
**u= 136/21 ; tau(u)= 21/68 ; -35286*x^2 - 19378*y^2 - 35228*x*z - 5712*z^2
; C5a (-61675/291518 : 26623/291518 : 1)  C5b (-45053/33210 : 12836/16605 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (326259/961472 : -73735/480736 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (97615/224566 : -24156/112283 : 1)
**u= 168/17 ; tau(u)= 17/84 ; -63558*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z - 5712*z^2
; C5a (-2212/5269 : -224/479 : 1)  C5b (519481/1156240 : -90507/578120 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (-8513/7658 : -2532/3829 : 1)
**u= 176/21 ; tau(u)= 21/88 ; -66006*x^2 - 31858*y^2 - 60188*x*z - 7392*z^2
; C5a (-99695/563458 : 108943/563458 : 1)  C5b (14503/14418 : 5320/7209 : 1)
**u= 188/9 ; tau(u)= 9/94 ; -92982*x^2 - 35506*y^2 - 70364*x*z - 3384*z^2
; C5a (-1120/15863 : 2818/15863 : 1)  C5b (30443/52190 : -7512/26095 : 1)
**u= 192/7 ; tau(u)= 7/96 ; -100134*x^2 - 36962*y^2 - 73532*x*z - 2688*z^2
; C5a (-17944/128029 : 50060/128029 : 1)  C5b (1689/1054 : -20/17 : 1)
199
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.01
H.Nakao

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