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Integer Points on A^4+B^4+4225*C^4=D^4

[2026.04.14]A^4+B^4+4225*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように65個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(65,1,200);
**u= -196/171 ; tau(u)= -171/98 ; -558822*x^2 - 96898*y^2 + 40132*x*z + 67032*z^2
; C5a (797/5258 : 377/478 : 1)  C5b (-283641/972886 : -58604/486443 : 1)
**u= -192/95 ; tau(u)= -95/96 ; -310662*x^2 - 54914*y^2 - 37628*x*z + 36480*z^2
; C5a (-152715/572866 : 382125/572866 : 1)  C5b (544762/264151 : 2529/264151 : 1)
**u= -184/19 ; tau(u)= -19/92 ; -131702*x^2 - 34578*y^2 - 66268*x*z + 6992*z^2
; C5a (-492/5215 : -9244/15645 : 1)  C5b (56436/32639 : 36643/97917 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (-181658/90121 : -12585/90121 : 1)
**u= -176/21 ; tau(u)= -21/88 ; -125142*x^2 - 31858*y^2 - 60188*x*z + 7392*z^2
; C5a (-1803/3634 : -1635/3634 : 1)  C5b (21306/32159 : 1255/32159 : 1)
**u= -160/177 ; tau(u)= -177/80 ; -491334*x^2 - 88258*y^2 + 74116*x*z + 56640*z^2
; C5a (48/9257 : 7440/9257 : 1)  C5b (-151611/160678 : -1652/11477 : 1)
**u= -156/49 ; tau(u)= -49/78 ; -148566*x^2 - 29138*y^2 - 39068*x*z + 15288*z^2
; C5a (-2908/9303 : 2070/3101 : 1)  C5b (-6431/20454 : -640/10227 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (254057/15674 : 10212/7837 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (-169036/47053 : -11355/47053 : 1)
**u= -152/65 ; tau(u)= -65/76 ; -173702*x^2 - 31554*y^2 - 29308*x*z + 19760*z^2
; C5a (9219/1071586 : 2526869/3214758 : 1)  C5b (536672/318941 : 90409/956823 : 1)
**u= -148/75 ; tau(u)= -75/74 ; -188262*x^2 - 33154*y^2 - 21308*x*z + 22200*z^2
; C5a (475/14206 : 125185/156266 : 1)  C5b (346786/134713 : 209709/1481843 : 1)
**u= -136/39 ; tau(u)= -39/68 ; -107046*x^2 - 21538*y^2 - 30908*x*z + 10608*z^2
; C5a (4039/22858 : 72775/251438 : 1)  C5b (-14481/12014 : -19784/66077 : 1)
**u= -136/169 ; tau(u)= -169/68 ; -410726*x^2 - 75618*y^2 + 77252*x*z + 45968*z^2
; C5a (4827738/10951201 : -1702420/32853603 : 1)  C5b (-193539/798106 : 147020/1197159 : 1)
**u= -136/195 ; tau(u)= -195/68 ; -495798*x^2 - 94546*y^2 + 115108*x*z + 53040*z^2
; C5a (153260/625593 : 153880/208531 : 1)  C5b (256/1867 : -117/1867 : 1)
**u= -128/45 ; tau(u)= -45/64 ; -107382*x^2 - 20434*y^2 - 24668*x*z + 11520*z^2
; C5a (-3599/8038 : 1811/8038 : 1)  C5b (-434277/70054 : 44764/35027 : 1)
**u= -124/57 ; tau(u)= -57/62 ; -122166*x^2 - 21874*y^2 - 17756*x*z + 14136*z^2
; C5a (3778/14877 : -1402/4959 : 1)  C5b (-10899/60946 : 1244/30473 : 1)
**u= -124/105 ; tau(u)= -105/62 ; -216438*x^2 - 37426*y^2 + 13348*x*z + 26040*z^2
; C5a (-190172/602347 : 49394/602347 : 1)  C5b (-25629232/43942091 : -6805107/43942091 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (-493/8018 : -360/4009 : 1)
**u= -108/83 ; tau(u)= -83/54 ; -148038*x^2 - 25442*y^2 + 4228*x*z + 17928*z^2
; C5a (-47011/144862 : -28217/144862 : 1)  C5b (-9508/20763 : -2941/20763 : 1)
**u= -96/65 ; tau(u)= -65/48 ; -102918*x^2 - 17666*y^2 - 1532*x*z + 12480*z^2
; C5a (-3856/21211 : -169808/233321 : 1)  C5b (-2936/10703 : 12603/117733 : 1)
**u= -96/91 ; tau(u)= -91/48 ; -147222*x^2 - 25778*y^2 + 14692*x*z + 17472*z^2
; C5a (14986/85787 : -66620/85787 : 1)  C5b (296633/9336962 : 257460/4668481 : 1)
**u= -88/189 ; tau(u)= -189/44 ; -370614*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z + 33264*z^2
; C5a (17766/113083 : -84420/113083 : 1)  C5b (-3684/12881 : -1615/12881 : 1)
**u= -84/13 ; tau(u)= -13/42 ; -30918*x^2 - 7394*y^2 - 13436*x*z + 2184*z^2
; C5a (-50/1349 : 806/1349 : 1)  C5b (-42784/70839 : -9343/70839 : 1)
**u= -80/173 ; tau(u)= -173/40 ; -309494*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z + 27680*z^2
; C5a (-3958/27407 : -72884/246663 : 1)  C5b (-131166/201083 : -162437/1809747 : 1)
**u= -76/35 ; tau(u)= -35/38 ; -45958*x^2 - 8226*y^2 - 6652*x*z + 5320*z^2
; C5a (1367/25146 : 5251/6858 : 1)  C5b (-894/2687 : 797/8061 : 1)
**u= -68/9 ; tau(u)= -9/34 ; -19254*x^2 - 4786*y^2 - 8924*x*z + 1224*z^2
; C5a (353/3206 : 131/3206 : 1)  C5b (-74121/172954 : 4688/86477 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-2178/4711 : -95/673 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (-74/827 : 233/2481 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (8068/38919 : -1393/38919 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-10116/89093 : -10723/89093 : 1)
**u= -52/123 ; tau(u)= -123/26 ; -150054*x^2 - 32962*y^2 + 55108*x*z + 12792*z^2
; C5a (-1292/177751 : 108950/177751 : 1)  C5b (6502569/36132314 : 1500304/18066157 : 1)
**u= -52/165 ; tau(u)= -165/26 ; -240102*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z + 17160*z^2
; C5a (-2/349 : -7702/14309 : 1)  C5b (1812/5021 : -11/5021 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-143151/1522394 : 94060/761197 : 1)
**u= -48/25 ; tau(u)= -25/24 ; -20262*x^2 - 3554*y^2 - 2108*x*z + 2400*z^2
; C5a (1869/8426 : 393/766 : 1)  C5b (56858/17289 : 241/1017 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (-248/2421 : -299/2421 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-563/4302 : -80/2151 : 1)
**u= -32/129 ; tau(u)= -129/16 ; -135942*x^2 - 34306*y^2 + 64516*x*z + 8256*z^2
; C5a (-4592/45001 : -3896/45001 : 1)  C5b (-957802/10847977 : 1342815/10847977 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (84808/312619 : -27723/312619 : 1)
**u= -28/39 ; tau(u)= -39/14 ; -20214*x^2 - 3826*y^2 + 4516*x*z + 2184*z^2
; C5a (-15722/118753 : 67382/118753 : 1)  C5b (-19068/16777 : -767/16777 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (8633/32866 : 1056/16433 : 1)
**u= -20/57 ; tau(u)= -57/10 ; -29814*x^2 - 6898*y^2 + 12196*x*z + 2280*z^2
; C5a (21901/79386 : -18511/26462 : 1)  C5b (8912/26759 : 753/26759 : 1)
**u= -20/177 ; tau(u)= -177/10 ; -217494*x^2 - 63058*y^2 + 124516*x*z + 7080*z^2
; C5a (366/1289 : -810/1289 : 1)  C5b (-1421409/2677942 : -55844/1338971 : 1)
**u= -16/33 ; tau(u)= -33/8 ; -11526*x^2 - 2434*y^2 + 3844*x*z + 1056*z^2
; C5a (673/9762 : 2347/3254 : 1)  C5b (6999/47474 : -2008/23737 : 1)
**u= -12/91 ; tau(u)= -91/6 ; -58854*x^2 - 16706*y^2 + 32836*x*z + 2184*z^2
; C5a (4657/15530 : -9863/15530 : 1)  C5b (-1237/3618 : -188/1809 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/135 ; tau(u)= 135/2 ; -105078*x^2 - 36466*y^2 + 72868*x*z - 1080*z^2
; C5a (9184/420211 : 47318/420211 : 1)  C5b (660917/1283234 : 144/641617 : 1)
**u= 8/117 ; tau(u)= 117/4 ; -74838*x^2 - 27442*y^2 + 54628*x*z - 1872*z^2
; C5a (558/15095 : 612/15095 : 1)  C5b (329839/2769566 : 169284/1384783 : 1)
**u= 32/57 ; tau(u)= 57/16 ; -7974*x^2 - 7522*y^2 + 10948*x*z - 3648*z^2
; C5a (26765/44946 : -381/4994 : 1)  C5b (513/658 : -4/47 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (1699/7422 : -464/3711 : 1)
**u= 48/143 ; tau(u)= 143/24 ; -74694*x^2 - 43202*y^2 + 77188*x*z - 13728*z^2
; C5a (19205/79026 : -3153/26342 : 1)  C5b (-62483/246522 : -8936/123261 : 1)
**u= 48/161 ; tau(u)= 161/24 ; -100614*x^2 - 54146*y^2 + 99076*x*z - 15456*z^2
; C5a (62413/79590 : 2181/26530 : 1)  C5b (24953/67218 : -224/1977 : 1)
**u= 52/5 ; tau(u)= 5/26 ; -6182*x^2 - 2754*y^2 - 5308*x*z - 520*z^2
; C5a (-163/1422 : -655/12798 : 1)  C5b (911/1978 : -496/8901 : 1)
**u= 52/165 ; tau(u)= 165/26 ; -102822*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z - 17160*z^2
; C5a (61/78 : 133/1066 : 1)  C5b (-5961/27002 : -46756/553541 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-282943/1270538 : 55500/635269 : 1)
**u= 56/195 ; tau(u)= 195/28 ; -150198*x^2 - 79186*y^2 + 145828*x*z - 21840*z^2
; C5a (4822/25611 : -8812/145129 : 1)  C5b (-21/2662 : -2680/22627 : 1)
**u= 68/163 ; tau(u)= 163/34 ; -84614*x^2 - 57762*y^2 + 97028*x*z - 22168*z^2
; C5a (151/278 : -259/834 : 1)  C5b (-36347/114338 : 2368/171507 : 1)
**u= 80/173 ; tau(u)= 173/40 ; -88054*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z - 27680*z^2
; C5a (6601/16522 : -18089/148698 : 1)  C5b (-1704/10247 : -7585/92223 : 1)
**u= 84/13 ; tau(u)= 13/42 ; -13446*x^2 - 7394*y^2 - 13436*x*z - 2184*z^2
; C5a (-1039/4950 : -127/1650 : 1)  C5b (-5194/3901 : -963/3901 : 1)
**u= 88/189 ; tau(u)= 189/44 ; -104502*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z - 33264*z^2
; C5a (145/382 : 139/6494 : 1)  C5b (36654/568261 : 66845/568261 : 1)
**u= 104/27 ; tau(u)= 27/52 ; -14358*x^2 - 12274*y^2 - 18716*x*z - 5616*z^2
; C5a (-77/94 : -145/1786 : 1)  C5b (-1843/58 : -3756/551 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (31243/73698 : 2900/110547 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (-12008/15991 : -951/15991 : 1)
**u= 140/39 ; tau(u)= 39/70 ; -24246*x^2 - 22642*y^2 - 33116*x*z - 10920*z^2
; C5a (-20516/28303 : -3494/28303 : 1)  C5b (-131411/117298 : -6420/58649 : 1)
**u= 176/21 ; tau(u)= 21/88 ; -66006*x^2 - 31858*y^2 - 60188*x*z - 7392*z^2
; C5a (-99695/563458 : 108943/563458 : 1)  C5b (-48579/6806 : 140/83 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (-965294/46127 : -236079/46127 : 1)
65
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.14
H.Nakao

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