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Integer Points on A^4+B^4+3721*C^4=D^4

[2026.04.12]A^4+B^4+3721*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように117個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(61,1,200);
**u= -200/31 ; tau(u)= -31/100 ; -175366*x^2 - 41922*y^2 - 76156*x*z + 12400*z^2
; C5a (-77/4122 : -7085/12366 : 1)  C5b (23725/31597 : 6089/94791 : 1)
**u= -200/111 ; tau(u)= -111/100 ; -371526*x^2 - 64642*y^2 - 30716*x*z + 44400*z^2
; C5a (-311947/1059446 : 607207/1059446 : 1)  C5b (-26491/233082 : 4400/116541 : 1)
**u= -196/9 ; tau(u)= -9/98 ; -129846*x^2 - 38578*y^2 - 76508*x*z + 3528*z^2
; C5a (-100314/481513 : -288318/481513 : 1)  C5b (480353/525798 : 47420/262899 : 1)
**u= -196/13 ; tau(u)= -13/98 ; -136646*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z + 5096*z^2
; C5a (431/9670 : 5573/29010 : 1)  C5b (33813/1918 : -12820/2877 : 1)
**u= -192/107 ; tau(u)= -107/96 ; -343638*x^2 - 59762*y^2 - 27932*x*z + 41088*z^2
; C5a (-23590/64327 : 18824/64327 : 1)  C5b (-7691/92531 : 435/92531 : 1)
**u= -180/23 ; tau(u)= -23/90 ; -133494*x^2 - 33458*y^2 - 62684*x*z + 8280*z^2
; C5a (-35791/595398 : 116687/198466 : 1)  C5b (-33039/36473 : 8135/36473 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (-145875/483074 : 18152/241537 : 1)
**u= -180/73 ; tau(u)= -73/90 ; -234294*x^2 - 43058*y^2 - 43484*x*z + 26280*z^2
; C5a (186985/1269398 : -743995/1269398 : 1)  C5b (-325245/1338007 : -78103/1338007 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (-20821197/107107390 : 5988916/53553695 : 1)
**u= -180/197 ; tau(u)= -197/90 ; -613734*x^2 - 110018*y^2 + 90436*x*z + 70920*z^2
; C5a (71542/1375737 : 34182/41689 : 1)  C5b (-72465/116213 : -17477/116213 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (-44645/103819 : 2757/103819 : 1)
**u= -168/25 ; tau(u)= -25/84 ; -122022*x^2 - 29474*y^2 - 53948*x*z + 8400*z^2
; C5a (-179/1814 : 1183/1814 : 1)  C5b (2565/2491 : 427/2491 : 1)
**u= -164/105 ; tau(u)= -105/82 ; -284598*x^2 - 48946*y^2 - 9692*x*z + 34440*z^2
; C5a (-498/818981 : -687042/818981 : 1)  C5b (-56063/553050 : -15448/276525 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-53291/90747 : 13915/90747 : 1)
**u= -160/103 ; tau(u)= -103/80 ; -272294*x^2 - 46818*y^2 - 8764*x*z + 32960*z^2
; C5a (186/659 : 43700/100827 : 1)  C5b (-523/13290 : -17368/1016685 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (-63077/29569 : 945/29569 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (-2175/151 : 247/151 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (-107077/207839 : 18015/207839 : 1)
**u= -148/17 ; tau(u)= -17/74 ; -87574*x^2 - 22482*y^2 - 42652*x*z + 5032*z^2
; C5a (2296/27889 : 16990/83667 : 1)  C5b (3299/1839 : 2195/5517 : 1)
**u= -148/105 ; tau(u)= -105/74 ; -256182*x^2 - 43954*y^2 + 292*x*z + 31080*z^2
; C5a (-5026/82001 : 67858/82001 : 1)  C5b (-9847/180570 : 4588/90285 : 1)
**u= -144/85 ; tau(u)= -85/72 ; -203478*x^2 - 35186*y^2 - 12572*x*z + 24480*z^2
; C5a (784665/10023686 : 7970715/10023686 : 1)  C5b (-199845/2671658 : -31312/1335829 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (-319/630 : -932/31185 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-325/84183 : -5593/84183 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (-72917/76721 : 8895/76721 : 1)
**u= -136/15 ; tau(u)= -15/68 ; -73158*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z + 4080*z^2
; C5a (82253/1089894 : 909/4082 : 1)  C5b (-487/494 : -60/247 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (263053/3182010 : -107012/1591005 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (-9531/21035 : -1877/21035 : 1)
**u= -124/185 ; tau(u)= -185/62 ; -434998*x^2 - 83826*y^2 + 106148*x*z + 45880*z^2
; C5a (-9572/56673 : -73210/170019 : 1)  C5b (214639/985738 : -36100/1478607 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (-6429/21823 : 545/21823 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-1071/2273 : 305/2273 : 1)
**u= -120/107 ; tau(u)= -107/60 ; -214614*x^2 - 37298*y^2 + 16996*x*z + 25680*z^2
; C5a (-4/1597 : 1324/1597 : 1)  C5b (-425317/4172605 : -377427/4172605 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (11807/9883 : 555/9883 : 1)
**u= -112/73 ; tau(u)= -73/56 ; -135014*x^2 - 23202*y^2 - 3772*x*z + 16352*z^2
; C5a (142/5709 : -1300/1557 : 1)  C5b (-2353/29207 : 4315/87621 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (-5495/25334 : -924/12667 : 1)
**u= -104/135 ; tau(u)= -135/52 ; -254118*x^2 - 47266*y^2 + 51268*x*z + 28080*z^2
; C5a (42677/410978 : -331021/410978 : 1)  C5b (37543/6780709 : 631515/6780709 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (-19597/518315 : 7299/74045 : 1)
**u= -96/95 ; tau(u)= -95/48 ; -154758*x^2 - 27266*y^2 + 17668*x*z + 18240*z^2
; C5a (5029/80382 : 22213/26794 : 1)  C5b (-147585/219394 : -2488/15671 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (-29187025/110389422 : -7073608/55194711 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (-9701/30775 : 1833/30775 : 1)
**u= -72/59 ; tau(u)= -59/36 ; -70422*x^2 - 12146*y^2 + 3556*x*z + 8496*z^2
; C5a (-1403/5006 : -2015/5006 : 1)  C5b (-2847/1757447 : -87415/1757447 : 1)
**u= -68/53 ; tau(u)= -53/34 ; -59558*x^2 - 10242*y^2 + 1988*x*z + 7208*z^2
; C5a (-374/22139 : 55522/66417 : 1)  C5b (-489/16859 : 2735/50577 : 1)
**u= -64/33 ; tau(u)= -33/32 ; -35718*x^2 - 6274*y^2 - 3836*x*z + 4224*z^2
; C5a (-2638/10559 : -7244/10559 : 1)  C5b (-66263/174638 : 10560/87319 : 1)
**u= -64/117 ; tau(u)= -117/32 ; -154326*x^2 - 31474*y^2 + 46564*x*z + 14976*z^2
; C5a (2493/5294 : -1545/5294 : 1)  C5b (78871/640461 : 55645/640461 : 1)
**u= -64/155 ; tau(u)= -155/32 ; -235798*x^2 - 52146*y^2 + 87908*x*z + 19840*z^2
; C5a (9007/3981482 : -7404215/11944446 : 1)  C5b (75963/236470 : 3544/354705 : 1)
**u= -60 ; tau(u)= -1/30 ; -11286*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z + 120*z^2
; C5a (-5358/24877 : 14034/24877 : 1)  C5b (-153205/302878 : 5844/151439 : 1)
**u= -60/17 ; tau(u)= -17/30 ; -20694*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z + 2040*z^2
; C5a (-1743/3814 : 1293/3814 : 1)  C5b (-97549/181330 : 12528/90665 : 1)
**u= -60/61 ; tau(u)= -61/30 ; -62406*x^2 - 11042*y^2 + 7684*x*z + 7320*z^2
; C5a (171898/17664917 : -14450290/17664917 : 1)  C5b (4121/35387 : -645/35387 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (2841/947978 : -54080/473989 : 1)
**u= -56/45 ; tau(u)= -45/28 ; -41718*x^2 - 7186*y^2 + 1828*x*z + 5040*z^2
; C5a (-1271/4606 : 2003/4606 : 1)  C5b (43/3146 : 60/1573 : 1)
**u= -52/31 ; tau(u)= -31/26 ; -26774*x^2 - 4626*y^2 - 1564*x*z + 3224*z^2
; C5a (227/786 : 805/2358 : 1)  C5b (-11681/26314 : -5540/39471 : 1)
**u= -52/165 ; tau(u)= -165/26 ; -240102*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z + 17160*z^2
; C5a (-2/349 : -7702/14309 : 1)  C5b (539/1833 : -4705/75153 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-200249/24233381 : -2994075/24233381 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (-3125/79266 : 3424/39633 : 1)
**u= -40/57 ; tau(u)= -57/20 ; -42534*x^2 - 8098*y^2 + 9796*x*z + 4560*z^2
; C5a (-23/2338 : -1735/2338 : 1)  C5b (-8215/43053 : 5363/43053 : 1)
**u= -40/87 ; tau(u)= -87/20 ; -78054*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z + 6960*z^2
; C5a (-4139/108802 : 64141/108802 : 1)  C5b (12649/262658 : 14280/131329 : 1)
**u= -40/109 ; tau(u)= -109/20 ; -110966*x^2 - 25362*y^2 + 44324*x*z + 8720*z^2
; C5a (2843/12486 : -26879/37458 : 1)  C5b (56319/219842 : 3260/47109 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (160653/912470 : 142048/1368705 : 1)
**u= -40/177 ; tau(u)= -177/20 ; -249414*x^2 - 64258*y^2 + 122116*x*z + 14160*z^2
; C5a (92/30927 : 93112/195871 : 1)  C5b (-4355/21893 : 52593/415967 : 1)
**u= -36/83 ; tau(u)= -83/18 ; -69126*x^2 - 15074*y^2 + 24964*x*z + 5976*z^2
; C5a (-343/8986 : -5135/8986 : 1)  C5b (17001/654121 : -74185/654121 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (-4863/265285 : 33221/265285 : 1)
**u= -36/181 ; tau(u)= -181/18 ; -252582*x^2 - 66818*y^2 + 128452*x*z + 13032*z^2
; C5a (-4234/99957 : 990/3029 : 1)  C5b (77909/194471 : -4425/194471 : 1)
**u= -32/75 ; tau(u)= -75/16 ; -56022*x^2 - 12274*y^2 + 20452*x*z + 4800*z^2
; C5a (14/29 : -200/551 : 1)  C5b (55/174 : 16/1653 : 1)
**u= -32/197 ; tau(u)= -197/16 ; -286358*x^2 - 78642*y^2 + 153188*x*z + 12608*z^2
; C5a (6147/24554 : -47725/73662 : 1)  C5b (8939/25471 : 5075/76413 : 1)
**u= -24/55 ; tau(u)= -55/12 ; -30438*x^2 - 6626*y^2 + 10948*x*z + 2640*z^2
; C5a (-467/2862 : -77/954 : 1)  C5b (67715/1082474 : 58536/541237 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (-2341/113050 : 6864/56525 : 1)
**u= -24/125 ; tau(u)= -125/12 ; -119478*x^2 - 31826*y^2 + 61348*x*z + 6000*z^2
; C5a (-244/4069 : -992/4069 : 1)  C5b (-53595/835907 : -106829/835907 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (2025/655997 : 82909/655997 : 1)
**u= -20/39 ; tau(u)= -39/10 ; -16566*x^2 - 3442*y^2 + 5284*x*z + 1560*z^2
; C5a (50673/440546 : 331473/440546 : 1)  C5b (6359/23155 : 579/23155 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (13/55 : -197/2805 : 1)
**u= -20/81 ; tau(u)= -81/10 ; -53526*x^2 - 13522*y^2 + 25444*x*z + 3240*z^2
; C5a (33313/65206 : -26707/65206 : 1)  C5b (-6295/54134 : 3468/27067 : 1)
**u= -20/121 ; tau(u)= -121/10 ; -108406*x^2 - 29682*y^2 + 57764*x*z + 4840*z^2
; C5a (-4072/56557 : 10750/169671 : 1)  C5b (297/865 : 179/2595 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (101737/280230 : 10064/140115 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (-11093/60342 : 3880/30171 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (275073/1138171 : 63845/1138171 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (-14915/170669 : 21843/170669 : 1)
**u= -12/155 ; tau(u)= -155/6 ; -159462*x^2 - 48194*y^2 + 95812*x*z + 3720*z^2
; C5a (15566/1897693 : 579566/1897693 : 1)  C5b (-1699/50050 : -3204/25025 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (29/554 : 80/2493 : 1)
**u= -4/195 ; tau(u)= -195/2 ; -234438*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z + 1560*z^2
; C5a (-39/13774 : 1677/13774 : 1)  C5b (-261095/4302669 : 78299/614667 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/195 ; tau(u)= 195/2 ; -221958*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z - 1560*z^2
; C5a (3281/4994 : -83/454 : 1)  C5b (199895/391846 : -108/27989 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (1095/6058 : 388/3029 : 1)
**u= 12/61 ; tau(u)= 61/6 ; -16902*x^2 - 7586*y^2 + 14596*x*z - 1464*z^2
; C5a (4645/23058 : 827/2562 : 1)  C5b (-30099/74594 : 740/37297 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (-337/4782 : 260/2391 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (-67/235 : -577/11985 : 1)
**u= 20/87 ; tau(u)= 87/10 ; -32694*x^2 - 15538*y^2 + 29476*x*z - 3480*z^2
; C5a (4168/29211 : -606/9737 : 1)  C5b (15527/25965 : 1187/25965 : 1)
**u= 20/121 ; tau(u)= 121/10 ; -69686*x^2 - 29682*y^2 + 57764*x*z - 4840*z^2
; C5a (2015/19854 : 6035/59562 : 1)  C5b (-77493/929230 : 168512/1393845 : 1)
**u= 24/55 ; tau(u)= 55/12 ; -9318*x^2 - 6626*y^2 + 10948*x*z - 2640*z^2
; C5a (965/2278 : -505/2278 : 1)  C5b (60031/191650 : -12276/95825 : 1)
**u= 32/179 ; tau(u)= 179/16 ; -149494*x^2 - 65106*y^2 + 126116*x*z - 11456*z^2
; C5a (3112/28991 : 6460/86973 : 1)  C5b (-707901/7864714 : 1411940/11797071 : 1)
**u= 32/197 ; tau(u)= 197/16 ; -185494*x^2 - 78642*y^2 + 153188*x*z - 12608*z^2
; C5a (15752/138951 : 72428/416853 : 1)  C5b (-16429/81831 : 26075/245493 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (-38421/136331 : 11275/136331 : 1)
**u= 40/87 ; tau(u)= 87/20 ; -22374*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z - 6960*z^2
; C5a (28101/69382 : 87/614 : 1)  C5b (-58375/2006146 : -111792/1003073 : 1)
**u= 40/109 ; tau(u)= 109/20 ; -41206*x^2 - 25362*y^2 + 44324*x*z - 8720*z^2
; C5a (1434/5009 : 2296/15027 : 1)  C5b (137/1411 : 535/4233 : 1)
**u= 44/7 ; tau(u)= 7/22 ; -3638*x^2 - 2034*y^2 - 3676*x*z - 616*z^2
; C5a (-65/306 : -1/54 : 1)  C5b (-4203/1793 : 2765/5379 : 1)
**u= 52/131 ; tau(u)= 131/26 ; -56582*x^2 - 37026*y^2 + 63236*x*z - 13624*z^2
; C5a (1120/2847 : 24394/93951 : 1)  C5b (-12763/66743 : 188665/2202519 : 1)
**u= 52/165 ; tau(u)= 165/26 ; -102822*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z - 17160*z^2
; C5a (61/78 : 133/1066 : 1)  C5b (-6055/39233 : -3999/39233 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (511681/33461829 : 4149925/33461829 : 1)
**u= 56/195 ; tau(u)= 195/28 ; -150198*x^2 - 79186*y^2 + 145828*x*z - 21840*z^2
; C5a (4822/25611 : -8812/145129 : 1)  C5b (1565/21847 : 47097/371399 : 1)
**u= 60 ; tau(u)= 1/30 ; -10326*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z - 120*z^2
; C5a (-16/559 : 82/559 : 1)  C5b (7947/14129 : 1055/14129 : 1)
**u= 60/17 ; tau(u)= 17/30 ; -4374*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z - 2040*z^2
; C5a (-1047/1318 : 21/1318 : 1)  C5b (32245/62287 : 8223/62287 : 1)
**u= 60/121 ; tau(u)= 121/30 ; -40566*x^2 - 32882*y^2 + 51364*x*z - 14520*z^2
; C5a (14753/32422 : -3805/32422 : 1)  C5b (607/1510 : -96/755 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (-85055/535066 : 3276/38219 : 1)
**u= 64/117 ; tau(u)= 117/32 ; -34518*x^2 - 31474*y^2 + 46564*x*z - 14976*z^2
; C5a (4905/8074 : -99/734 : 1)  C5b (-583999/2155729 : -23025/2155729 : 1)
**u= 68/125 ; tau(u)= 125/34 ; -39622*x^2 - 35874*y^2 + 53252*x*z - 17000*z^2
; C5a (772/1441 : 26/393 : 1)  C5b (2203/38481 : 13555/115443 : 1)
**u= 76/153 ; tau(u)= 153/38 ; -64758*x^2 - 52594*y^2 + 82084*x*z - 23256*z^2
; C5a (7750/18061 : 514/18061 : 1)  C5b (-8309/781989 : 87355/781989 : 1)
**u= 88/175 ; tau(u)= 175/44 ; -83782*x^2 - 68994*y^2 + 107012*x*z - 30800*z^2
; C5a (6164/9727 : 6448/29181 : 1)  C5b (-70725/265094 : 14248/397641 : 1)
**u= 96/13 ; tau(u)= 13/48 ; -18678*x^2 - 9554*y^2 - 17756*x*z - 2496*z^2
; C5a (-2294/13307 : 428/13307 : 1)  C5b (-639/499 : 125/499 : 1)
**u= 136/15 ; tau(u)= 15/68 ; -40518*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z - 4080*z^2
; C5a (-2399/16318 : -2219/16318 : 1)  C5b (-4225/706 : -516/353 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (-311/90 : -3892/4455 : 1)
**u= 144/25 ; tau(u)= 25/72 ; -37158*x^2 - 21986*y^2 - 38972*x*z - 7200*z^2
; C5a (-3275/7098 : -855/2366 : 1)  C5b (39551/53902 : 4860/26951 : 1)
**u= 148/15 ; tau(u)= 15/74 ; -49302*x^2 - 22354*y^2 - 42908*x*z - 4440*z^2
; C5a (-1759/13734 : -481/4578 : 1)  C5b (-751301/1199330 : -17004/599665 : 1)
**u= 160/41 ; tau(u)= 41/80 ; -34406*x^2 - 28962*y^2 - 44476*x*z - 13120*z^2
; C5a (-3154/4637 : -2848/13911 : 1)  C5b (-14053/8266 : -3560/12399 : 1)
**u= 168/25 ; tau(u)= 25/84 ; -54822*x^2 - 29474*y^2 - 53948*x*z - 8400*z^2
; C5a (-7924/27961 : 8120/27961 : 1)  C5b (95665/68873 : 24519/68873 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (39403/90735 : -2849/90735 : 1)
**u= 180/47 ; tau(u)= 47/90 ; -42774*x^2 - 36818*y^2 - 55964*x*z - 16920*z^2
; C5a (-13023/15754 : 873/15754 : 1)  C5b (-104523/112465 : 5713/112465 : 1)
**u= 184/15 ; tau(u)= 15/92 ; -80838*x^2 - 34306*y^2 - 66812*x*z - 5520*z^2
; C5a (-49210/67691 : 6620/67691 : 1)  C5b (66947/155211 : 3355/155211 : 1)
**u= 196/9 ; tau(u)= 9/98 ; -101622*x^2 - 38578*y^2 - 76508*x*z - 3528*z^2
; C5a (-7246/132053 : -12830/132053 : 1)  C5b (183559/344751 : -815/11121 : 1)
**u= 196/13 ; tau(u)= 13/98 ; -95878*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z - 5096*z^2
; C5a (-4769/9746 : -14255/29238 : 1)  C5b (-34379/57869 : 6745/173607 : 1)
117
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■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.04.13追記]u=-136/15のときの整数解を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.13
H.Nakao

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