Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+25*C^4=D^4

[2026.04.01]A^4+B^4+25*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように269個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(5,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (-282621/281578 : -125504/140789 : 1)
**u= -200/59 ; tau(u)= -59/100 ; -235286*x^2 - 46962*y^2 - 66076*x*z + 23600*z^2
; C5a (-2561/20798 : 48323/62394 : 1)  C5b (1410559/1014782 : -948020/1522173 : 1)
**u= -200/123 ; tau(u)= -123/100 ; -407574*x^2 - 70258*y^2 - 19484*x*z + 49200*z^2
; C5a (64293/2832698 : -2354709/2832698 : 1)  C5b (200739/39178 : -2320/19589 : 1)
**u= -200/167 ; tau(u)= -167/100 ; -554534*x^2 - 95778*y^2 + 31556*x*z + 66800*z^2
; C5a (67/582 : 1417/1746 : 1)  C5b (-16493/119354 : -58708/179031 : 1)
**u= -200/189 ; tau(u)= -189/100 ; -636726*x^2 - 111442*y^2 + 62884*x*z + 75600*z^2
; C5a (-24399/189862 : -135789/189862 : 1)  C5b (-18139/7642 : 1032/3821 : 1)
**u= -196/15 ; tau(u)= -15/98 ; -140118*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z + 5880*z^2
; C5a (-42043/253226 : -155333/253226 : 1)  C5b (151/187 : -87/187 : 1)
**u= -196/45 ; tau(u)= -45/98 ; -197958*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z + 17640*z^2
; C5a (216/1499 : 438/1499 : 1)  C5b (-185501/114583 : 164973/114583 : 1)
**u= -196/51 ; tau(u)= -51/98 ; -210822*x^2 - 43618*y^2 - 66428*x*z + 19992*z^2
; C5a (26465/297266 : -158543/297266 : 1)  C5b (-17581/59506 : 2856/29753 : 1)
**u= -196/59 ; tau(u)= -59/98 ; -228646*x^2 - 45378*y^2 - 62908*x*z + 23128*z^2
; C5a (-6905/57982 : 247/318 : 1)  C5b (-1867/6313 : -3305/18939 : 1)
**u= -196/81 ; tau(u)= -81/98 ; -281622*x^2 - 51538*y^2 - 50588*x*z + 31752*z^2
; C5a (116865/460762 : 57561/460762 : 1)  C5b (-1203/833 : -997/833 : 1)
**u= -196/95 ; tau(u)= -95/98 ; -318358*x^2 - 56466*y^2 - 40732*x*z + 37240*z^2
; C5a (55/194 : -25/582 : 1)  C5b (-5627/5191 : -14263/15573 : 1)
**u= -196/131 ; tau(u)= -131/98 ; -423622*x^2 - 72738*y^2 - 8188*x*z + 51352*z^2
; C5a (-5243/14726 : -11711/132534 : 1)  C5b (-2347/39602 : -26656/178209 : 1)
**u= -192/11 ; tau(u)= -11/96 ; -128214*x^2 - 37106*y^2 - 73244*x*z + 4224*z^2
; C5a (-11128/48553 : 30116/48553 : 1)  C5b (-2567623/5601522 : 283552/2800761 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (-2533/18227 : -927/18227 : 1)
**u= -192/109 ; tau(u)= -109/96 ; -349302*x^2 - 60626*y^2 - 26204*x*z + 41856*z^2
; C5a (-11615/42698 : 26377/42698 : 1)  C5b (36359/9586 : -2832/4793 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (-9611/6229 : -4713/6229 : 1)
**u= -188/43 ; tau(u)= -43/94 ; -181798*x^2 - 39042*y^2 - 63292*x*z + 16168*z^2
; C5a (344/4299 : 19522/38691 : 1)  C5b (3309/4021 : -2399/36189 : 1)
**u= -188/115 ; tau(u)= -115/94 ; -358342*x^2 - 61794*y^2 - 17788*x*z + 43240*z^2
; C5a (-3926/3075979 : -7721210/9227937 : 1)  C5b (-599/287 : -1103/861 : 1)
**u= -188/123 ; tau(u)= -123/94 ; -381798*x^2 - 65602*y^2 - 10172*x*z + 46248*z^2
; C5a (8861/690362 : 578435/690362 : 1)  C5b (-7481/250831 : -9285/250831 : 1)
**u= -188/195 ; tau(u)= -195/94 ; -627462*x^2 - 111394*y^2 + 81412*x*z + 73320*z^2
; C5a (-943/5606 : 3437/5606 : 1)  C5b (123369/1020022 : 36500/510011 : 1)
**u= -184/143 ; tau(u)= -143/92 ; -434758*x^2 - 74754*y^2 + 14084*x*z + 52624*z^2
; C5a (46111/155586 : 232895/466758 : 1)  C5b (-14013/82358 : -41432/123537 : 1)
**u= -184/147 ; tau(u)= -147/92 ; -447606*x^2 - 77074*y^2 + 18724*x*z + 54096*z^2
; C5a (-492420/1755869 : 738708/1755869 : 1)  C5b (-760137/579458 : 223232/289729 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (-399277/749263 : 152955/749263 : 1)
**u= -176/27 ; tau(u)= -27/88 ; -135318*x^2 - 32434*y^2 - 59036*x*z + 9504*z^2
; C5a (1148184/9827197 : 1503480/9827197 : 1)  C5b (35439/41086 : -8152/20543 : 1)
**u= -176/73 ; tau(u)= -73/88 ; -227686*x^2 - 41634*y^2 - 40636*x*z + 25696*z^2
; C5a (-255/1286 : 8933/11574 : 1)  C5b (-19861/6389 : -131249/57501 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (8179/162691 : 11055/162691 : 1)
**u= -176/177 ; tau(u)= -177/88 ; -530118*x^2 - 93634*y^2 + 63364*x*z + 62304*z^2
; C5a (-1682598/15564959 : -11289516/15564959 : 1)  C5b (-84401/55061 : 27399/55061 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (3838417/1877191 : -3124029/1877191 : 1)
**u= -172/33 ; tau(u)= -33/86 ; -140694*x^2 - 31762*y^2 - 54812*x*z + 11352*z^2
; C5a (5469/452962 : 262533/452962 : 1)  C5b (-51687/120493 : -33457/120493 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (-139/589 : -33/589 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (25689/16267 : -1433/16267 : 1)
**u= -172/183 ; tau(u)= -183/86 ; -541494*x^2 - 96562*y^2 + 74788*x*z + 62952*z^2
; C5a (-8119/612218 : 490033/612218 : 1)  C5b (10857/80747 : -3353/80747 : 1)
**u= -168/61 ; tau(u)= -61/84 ; -188982*x^2 - 35666*y^2 - 41564*x*z + 20496*z^2
; C5a (-4292/14033 : 9260/14033 : 1)  C5b (-286547/1364457 : 32557/1364457 : 1)
**u= -168/179 ; tau(u)= -179/84 ; -517494*x^2 - 92306*y^2 + 71716*x*z + 60144*z^2
; C5a (51718/152939 : -79940/152939 : 1)  C5b (-4314739/85172751 : -27375115/85172751 : 1)
**u= -164/45 ; tau(u)= -45/82 ; -151878*x^2 - 30946*y^2 - 45692*x*z + 14760*z^2
; C5a (-139480/536199 : -129990/178733 : 1)  C5b (-28617/28871 : 25997/28871 : 1)
**u= -164/105 ; tau(u)= -105/82 ; -284598*x^2 - 48946*y^2 - 9692*x*z + 34440*z^2
; C5a (-498/818981 : -687042/818981 : 1)  C5b (-35159/26647 : -24723/26647 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-16101/190963 : 63535/190963 : 1)
**u= -160/21 ; tau(u)= -21/80 ; -106326*x^2 - 26482*y^2 - 49436*x*z + 6720*z^2
; C5a (-530611/1430618 : -897779/1430618 : 1)  C5b (219247/332686 : -10308/166343 : 1)
**u= -160/51 ; tau(u)= -51/80 ; -157686*x^2 - 30802*y^2 - 40796*x*z + 16320*z^2
; C5a (-2888/57049 : 68/89 : 1)  C5b (19561/2423 : -13485/2423 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (36459/9083 : -19801/9083 : 1)
**u= -160/67 ; tau(u)= -67/80 ; -189494*x^2 - 34578*y^2 - 33244*x*z + 21440*z^2
; C5a (-22218/307189 : 749204/921567 : 1)  C5b (-25343/56371 : -76493/169113 : 1)
**u= -160/69 ; tau(u)= -69/80 ; -193686*x^2 - 35122*y^2 - 32156*x*z + 22080*z^2
; C5a (19141/82126 : 27937/82126 : 1)  C5b (42576583/26189246 : -3173412/13094623 : 1)
**u= -160/131 ; tau(u)= -131/80 ; -347446*x^2 - 59922*y^2 + 17444*x*z + 41920*z^2
; C5a (371/9802 : -24643/29406 : 1)  C5b (349/6807 : 215/20421 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (-182799/103073 : 44773/103073 : 1)
**u= -160/177 ; tau(u)= -177/80 ; -491334*x^2 - 88258*y^2 + 74116*x*z + 56640*z^2
; C5a (48/9257 : 7440/9257 : 1)  C5b (-141253/1057411 : 404817/1057411 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (-11119/41862 : -7468/20931 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (839/32698 : 1668/16349 : 1)
**u= -156/139 ; tau(u)= -139/78 ; -362406*x^2 - 62978*y^2 + 28612*x*z + 43368*z^2
; C5a (-210/1553 : -1122/1553 : 1)  C5b (16967/213947 : -5241/213947 : 1)
**u= -156/161 ; tau(u)= -161/78 ; -429462*x^2 - 76178*y^2 + 55012*x*z + 50232*z^2
; C5a (426/4073 : -3342/4073 : 1)  C5b (-110801/184581 : -98503/184581 : 1)
**u= -156/185 ; tau(u)= -185/78 ; -509238*x^2 - 92786*y^2 + 88228*x*z + 57720*z^2
; C5a (103610/320521 : -191230/320521 : 1)  C5b (-1798127/1400151 : -457795/1400151 : 1)
**u= -152/9 ; tau(u)= -9/76 ; -80742*x^2 - 23266*y^2 - 45884*x*z + 2736*z^2
; C5a (-1575/268762 : 96543/268762 : 1)  C5b (-19523/2038 : 8712/1019 : 1)
**u= -152/191 ; tau(u)= -191/76 ; -520454*x^2 - 96066*y^2 + 99716*x*z + 58064*z^2
; C5a (-2852/21653 : 119132/194877 : 1)  C5b (-275557/1121098 : -2242388/5044941 : 1)
**u= -148/3 ; tau(u)= -3/74 ; -69318*x^2 - 21922*y^2 - 43772*x*z + 888*z^2
; C5a (-10006/348185 : 107474/348185 : 1)  C5b (7961/4774 : 108/77 : 1)
**u= -148/75 ; tau(u)= -75/74 ; -188262*x^2 - 33154*y^2 - 21308*x*z + 22200*z^2
; C5a (475/14206 : 125185/156266 : 1)  C5b (23333/10174 : 13632/55957 : 1)
**u= -148/87 ; tau(u)= -87/74 ; -214134*x^2 - 37042*y^2 - 13532*x*z + 25752*z^2
; C5a (-38014/394937 : 324910/394937 : 1)  C5b (-63227/19618 : -1044/577 : 1)
**u= -148/105 ; tau(u)= -105/74 ; -256182*x^2 - 43954*y^2 + 292*x*z + 31080*z^2
; C5a (-5026/82001 : 67858/82001 : 1)  C5b (-62781/34807 : 35021/34807 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (2541/96221 : -8225/96221 : 1)
**u= -148/125 ; tau(u)= -125/74 ; -307462*x^2 - 53154*y^2 + 18692*x*z + 37000*z^2
; C5a (40603/135154 : -214429/405462 : 1)  C5b (523/22469 : -10027/67407 : 1)
**u= -144/13 ; tau(u)= -13/72 ; -78198*x^2 - 21074*y^2 - 40796*x*z + 3744*z^2
; C5a (-12175/336622 : -165877/336622 : 1)  C5b (-33931/48441 : -25901/48441 : 1)
**u= -144/113 ; tau(u)= -113/72 ; -268998*x^2 - 46274*y^2 + 9604*x*z + 32544*z^2
; C5a (-1792808/10888089 : -2595712/3629363 : 1)  C5b (11057/671358 : -35944/335679 : 1)
**u= -144/127 ; tau(u)= -127/72 ; -305286*x^2 - 52994*y^2 + 23044*x*z + 36576*z^2
; C5a (-23219/75174 : 117/1474 : 1)  C5b (-233671/1120419 : 435487/1120419 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-12661/28599 : 43015/85797 : 1)
**u= -132/5 ; tau(u)= -5/66 ; -57702*x^2 - 17474*y^2 - 34748*x*z + 1320*z^2
; C5a (-463/27942 : -3055/9314 : 1)  C5b (-1067/519 : 941/519 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (215629/65262 : -82916/32631 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (-44383/4506 : 12760/2253 : 1)
**u= -132/85 ; tau(u)= -85/66 ; -185382*x^2 - 31874*y^2 - 5948*x*z + 22440*z^2
; C5a (6377/44626 : 33353/44626 : 1)  C5b (14021/1713 : 1045/1713 : 1)
**u= -132/127 ; tau(u)= -127/66 ; -283158*x^2 - 49682*y^2 + 29668*x*z + 33528*z^2
; C5a (-4467/86842 : -68877/86842 : 1)  C5b (161/9994 : -1128/4997 : 1)
**u= -128/41 ; tau(u)= -41/64 ; -101222*x^2 - 19746*y^2 - 26044*x*z + 10496*z^2
; C5a (-24938/80301 : 161020/240903 : 1)  C5b (-12013/50218 : -20/4431 : 1)
**u= -128/59 ; tau(u)= -59/64 ; -130454*x^2 - 23346*y^2 - 18844*x*z + 15104*z^2
; C5a (-5802/47329 : 6080/7473 : 1)  C5b (595947/220282 : -310340/330423 : 1)
**u= -128/69 ; tau(u)= -69/64 ; -148374*x^2 - 25906*y^2 - 13724*x*z + 17664*z^2
; C5a (-38030/96463 : 2164/96463 : 1)  C5b (-19/86 : -12/43 : 1)
**u= -124/85 ; tau(u)= -85/62 ; -173798*x^2 - 29826*y^2 - 1852*x*z + 21080*z^2
; C5a (-6314/680059 : 1715254/2040177 : 1)  C5b (-1947/9374 : -4712/14061 : 1)
**u= -124/105 ; tau(u)= -105/62 ; -216438*x^2 - 37426*y^2 + 13348*x*z + 26040*z^2
; C5a (-190172/602347 : 49394/602347 : 1)  C5b (-497891/1072178 : -275124/536089 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (231981/2969374 : 260180/1484687 : 1)
**u= -124/185 ; tau(u)= -185/62 ; -434998*x^2 - 83826*y^2 + 106148*x*z + 45880*z^2
; C5a (-9572/56673 : -73210/170019 : 1)  C5b (-114819/105557 : -19013/316671 : 1)
**u= -120/13 ; tau(u)= -13/60 ; -56694*x^2 - 14738*y^2 - 28124*x*z + 3120*z^2
; C5a (275353/3048798 : -90753/1016266 : 1)  C5b (3563/5689 : -285/5689 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (-3097/9129 : 109/537 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (-14593/4471 : 5379/4471 : 1)
**u= -120/97 ; tau(u)= -97/60 ; -192774*x^2 - 33218*y^2 + 8836*x*z + 23280*z^2
; C5a (-154/591 : 96/197 : 1)  C5b (-1/523 : -87/523 : 1)
**u= -120/101 ; tau(u)= -101/60 ; -201366*x^2 - 34802*y^2 + 12004*x*z + 24240*z^2
; C5a (-3290/332019 : -30700/36891 : 1)  C5b (-719/3682 : -684/1841 : 1)
**u= -120/107 ; tau(u)= -107/60 ; -214614*x^2 - 37298*y^2 + 16996*x*z + 25680*z^2
; C5a (-4/1597 : 1324/1597 : 1)  C5b (-10411/18982 : 5136/9491 : 1)
**u= -120/121 ; tau(u)= -121/60 ; -247206*x^2 - 43682*y^2 + 29764*x*z + 29040*z^2
; C5a (105/362 : -225/362 : 1)  C5b (-10667/23339 : 11769/23339 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (14641/99282 : 1792/49641 : 1)
**u= -120/137 ; tau(u)= -137/60 ; -287334*x^2 - 51938*y^2 + 46276*x*z + 32880*z^2
; C5a (45609/318586 : 256305/318586 : 1)  C5b (-12781/59498 : -12672/29749 : 1)
**u= -120/149 ; tau(u)= -149/60 ; -319446*x^2 - 58802*y^2 + 60004*x*z + 35760*z^2
; C5a (-59626/2815339 : 2151652/2815339 : 1)  C5b (-134749/99303 : 10243/99303 : 1)
**u= -120/191 ; tau(u)= -191/60 ; -445446*x^2 - 87362*y^2 + 117124*x*z + 45840*z^2
; C5a (12/53 : 8340/11077 : 1)  C5b (17/174 : 5392/18183 : 1)
**u= -120/199 ; tau(u)= -199/60 ; -471846*x^2 - 93602*y^2 + 129604*x*z + 47760*z^2
; C5a (10724/35941 : -24760/35941 : 1)  C5b (-54727/57294 : -4348/28647 : 1)
**u= -116/15 ; tau(u)= -15/58 ; -55638*x^2 - 13906*y^2 - 26012*x*z + 3480*z^2
; C5a (-35278/291521 : 188482/291521 : 1)  C5b (1577/1619 : -927/1619 : 1)
**u= -116/45 ; tau(u)= -45/58 ; -94278*x^2 - 17506*y^2 - 18812*x*z + 10440*z^2
; C5a (-704/15043 : -11986/15043 : 1)  C5b (-2059/418 : -744/209 : 1)
**u= -112/171 ; tau(u)= -171/56 ; -366294*x^2 - 71026*y^2 + 91876*x*z + 38304*z^2
; C5a (-6363/54898 : -31059/54898 : 1)  C5b (-236879/233746 : -21924/116873 : 1)
**u= -108/7 ; tau(u)= -7/54 ; -41334*x^2 - 11762*y^2 - 23132*x*z + 1512*z^2
; C5a (45/45538 : 16203/45538 : 1)  C5b (173893/305198 : -1680/152599 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (76841/29103 : -15605/29103 : 1)
**u= -108/65 ; tau(u)= -65/54 ; -116502*x^2 - 20114*y^2 - 6428*x*z + 14040*z^2
; C5a (24444/353807 : 284874/353807 : 1)  C5b (229573/19854 : -32324/9927 : 1)
**u= -108/137 ; tau(u)= -137/54 ; -265974*x^2 - 49202*y^2 + 51748*x*z + 29592*z^2
; C5a (325/8106 : 2153/2702 : 1)  C5b (-217793/654422 : -153024/327211 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (2807/773 : 2409/773 : 1)
**u= -96/113 ; tau(u)= -113/48 ; -191046*x^2 - 34754*y^2 + 32644*x*z + 21696*z^2
; C5a (6576/19133 : 10440/19133 : 1)  C5b (19573/127773 : -11855/127773 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (16193/1467822 : -250100/733911 : 1)
**u= -96/143 ; tau(u)= -143/48 ; -260166*x^2 - 50114*y^2 + 63364*x*z + 27456*z^2
; C5a (-83387/383942 : -64679/383942 : 1)  C5b (-31397/34943 : -11691/34943 : 1)
**u= -92/27 ; tau(u)= -27/46 ; -49638*x^2 - 9922*y^2 - 14012*x*z + 4968*z^2
; C5a (7/286 : -2141/3146 : 1)  C5b (-781/2021 : -6957/22231 : 1)
**u= -92/75 ; tau(u)= -75/46 ; -114342*x^2 - 19714*y^2 + 5572*x*z + 13800*z^2
; C5a (31944/123551 : 76698/123551 : 1)  C5b (-34717/74734 : 19200/37367 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (-7043/6389 : 519/6389 : 1)
**u= -92/157 ; tau(u)= -157/46 ; -288838*x^2 - 57762*y^2 + 81668*x*z + 28888*z^2
; C5a (-2461/142018 : -293365/426054 : 1)  C5b (22753/200682 : 89680/301023 : 1)
**u= -88/189 ; tau(u)= -189/44 ; -370614*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z + 33264*z^2
; C5a (17766/113083 : -84420/113083 : 1)  C5b (-1221/44089 : 308755/749513 : 1)
**u= -84 ; tau(u)= -1/42 ; -21846*x^2 - 7058*y^2 - 14108*x*z + 168*z^2
; C5a (-24/43 : 18/43 : 1)  C5b (121/106 : 48/53 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (-59/187 : 39/187 : 1)
**u= -84/29 ; tau(u)= -29/42 ; -45702*x^2 - 8738*y^2 - 10748*x*z + 4872*z^2
; C5a (17504/123907 : -65498/123907 : 1)  C5b (4477/3138 : -772/1569 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (-109/2997 : -217/2997 : 1)
**u= -84/151 ; tau(u)= -151/42 ; -259446*x^2 - 52658*y^2 + 77092*x*z + 25368*z^2
; C5a (4393/21974 : -16699/21974 : 1)  C5b (-2963/29602 : -6264/14801 : 1)
**u= -80/7 ; tau(u)= -7/40 ; -23974*x^2 - 6498*y^2 - 12604*x*z + 1120*z^2
; C5a (10/147 : 1280/8379 : 1)  C5b (1149/1423 : 36323/81111 : 1)
**u= -80/9 ; tau(u)= -9/40 ; -25446*x^2 - 6562*y^2 - 12476*x*z + 1440*z^2
; C5a (2080/27597 : -2140/9199 : 1)  C5b (4701/2593 : -3659/2593 : 1)
**u= -80/11 ; tau(u)= -11/40 ; -26966*x^2 - 6642*y^2 - 12316*x*z + 1760*z^2
; C5a (434674/4896719 : 11525008/44070471 : 1)  C5b (-7/9 : 53/81 : 1)
**u= -80/29 ; tau(u)= -29/40 ; -42806*x^2 - 8082*y^2 - 9436*x*z + 4640*z^2
; C5a (494/90949 : 205564/272847 : 1)  C5b (139643/68619 : -193403/205857 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (1233019/618602 : 312/4237 : 1)
**u= -80/93 ; tau(u)= -93/40 ; -130614*x^2 - 23698*y^2 + 21796*x*z + 14880*z^2
; C5a (256/637 : 3548/10829 : 1)  C5b (-2129/3487 : -30315/59279 : 1)
**u= -80/141 ; tau(u)= -141/40 ; -228726*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z + 22560*z^2
; C5a (-53223/11052934 : 7670757/11052934 : 1)  C5b (-83561/104882 : -15648/52441 : 1)
**u= -80/173 ; tau(u)= -173/40 ; -309494*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z + 27680*z^2
; C5a (-3958/27407 : -72884/246663 : 1)  C5b (26511/87887 : -33731/790983 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (3663/2347 : -1945/2347 : 1)
**u= -76/35 ; tau(u)= -35/38 ; -45958*x^2 - 8226*y^2 - 6652*x*z + 5320*z^2
; C5a (1367/25146 : 5251/6858 : 1)  C5b (-439/2602 : 488/3903 : 1)
**u= -76/89 ; tau(u)= -89/38 ; -118966*x^2 - 21618*y^2 + 20132*x*z + 13528*z^2
; C5a (-18970/312419 : 694418/937257 : 1)  C5b (-3201/2779 : -499/1191 : 1)
**u= -76/179 ; tau(u)= -179/38 ; -318406*x^2 - 69858*y^2 + 116612*x*z + 27208*z^2
; C5a (-33865/1580026 : 2810687/4740078 : 1)  C5b (-406733/606657 : 500705/1819971 : 1)
**u= -76/181 ; tau(u)= -181/38 ; -323942*x^2 - 71298*y^2 + 119492*x*z + 27512*z^2
; C5a (14407/152386 : -324457/457158 : 1)  C5b (-1220333/10229458 : 6773744/15344187 : 1)
**u= -76/189 ; tau(u)= -189/38 ; -346566*x^2 - 77218*y^2 + 131332*x*z + 28728*z^2
; C5a (-875/277698 : 56049/92566 : 1)  C5b (-56021/354014 : -79188/177007 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-1979/25461 : 935/25461 : 1)
**u= -72/49 ; tau(u)= -49/36 ; -58182*x^2 - 9986*y^2 - 764*x*z + 7056*z^2
; C5a (92169/316922 : -138705/316922 : 1)  C5b (-1523/15593 : -3411/15593 : 1)
**u= -72/131 ; tau(u)= -131/36 ; -193974*x^2 - 39506*y^2 + 58276*x*z + 18864*z^2
; C5a (1721/32266 : 23759/32266 : 1)  C5b (-84679/2758351 : 1098789/2758351 : 1)
**u= -68/27 ; tau(u)= -27/34 ; -32934*x^2 - 6082*y^2 - 6332*x*z + 3672*z^2
; C5a (-612/4447 : 3570/4447 : 1)  C5b (-16287/44543 : -15947/44543 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-1429/22018 : -1692/11009 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (341/2098 : 228/1049 : 1)
**u= -68/165 ; tau(u)= -165/34 ; -266982*x^2 - 59074*y^2 + 99652*x*z + 22440*z^2
; C5a (-22184/162619 : -41662/162619 : 1)  C5b (-82521/107162 : 2720/53581 : 1)
**u= -68/183 ; tau(u)= -183/34 ; -314358*x^2 - 71602*y^2 + 124708*x*z + 24888*z^2
; C5a (-5395/2229218 : -1306229/2229218 : 1)  C5b (24621/1223234 : -250904/611617 : 1)
**u= -64/3 ; tau(u)= -3/32 ; -13878*x^2 - 4114*y^2 - 8156*x*z + 384*z^2
; C5a (-2/9 : -20/33 : 1)  C5b (2631/259 : 25621/2849 : 1)
**u= -56/23 ; tau(u)= -23/28 ; -22886*x^2 - 4194*y^2 - 4156*x*z + 2576*z^2
; C5a (-1285/129994 : 307931/389982 : 1)  C5b (-299839/1135806 : -411172/1703709 : 1)
**u= -56/27 ; tau(u)= -27/28 ; -25878*x^2 - 4594*y^2 - 3356*x*z + 3024*z^2
; C5a (-883/4002 : 985/1334 : 1)  C5b (-9/59 : -7/59 : 1)
**u= -52/85 ; tau(u)= -85/26 ; -86822*x^2 - 17154*y^2 + 23492*x*z + 8840*z^2
; C5a (16/269 : 614/807 : 1)  C5b (839/9837 : -9229/29511 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-3257/3866 : 192/1933 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (30361/90691 : 15345/90691 : 1)
**u= -48/29 ; tau(u)= -29/24 ; -23094*x^2 - 3986*y^2 - 1244*x*z + 2784*z^2
; C5a (6864/27073 : -13452/27073 : 1)  C5b (-13069/13341 : 10639/13341 : 1)
**u= -48/79 ; tau(u)= -79/24 ; -74694*x^2 - 14786*y^2 + 20356*x*z + 7584*z^2
; C5a (-5672/27401 : -2936/27401 : 1)  C5b (-11827/13983 : -4213/13983 : 1)
**u= -48/91 ; tau(u)= -91/24 ; -91542*x^2 - 18866*y^2 + 28516*x*z + 8736*z^2
; C5a (3813/101126 : 72441/101126 : 1)  C5b (-9913/17298 : 3512/8649 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-33547/48663 : 11165/48663 : 1)
**u= -48/121 ; tau(u)= -121/24 ; -141222*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z + 11616*z^2
; C5a (3929/14578 : -10343/14578 : 1)  C5b (-20549/54489 : -571/1329 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (-8019/4162 : 424/2081 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (11/3 : 29/9 : 1)
**u= -40/3 ; tau(u)= -3/20 ; -5814*x^2 - 1618*y^2 - 3164*x*z + 240*z^2
; C5a (-2/2251 : 872/2251 : 1)  C5b (-93/41 : -83/41 : 1)
**u= -40/81 ; tau(u)= -81/20 ; -70086*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z + 6480*z^2
; C5a (1278/4051 : -2748/4051 : 1)  C5b (-152463/223051 : 72169/223051 : 1)
**u= -40/87 ; tau(u)= -87/20 ; -78054*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z + 6960*z^2
; C5a (-4139/108802 : 64141/108802 : 1)  C5b (1043/4621 : 1071/4621 : 1)
**u= -40/91 ; tau(u)= -91/20 ; -83606*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z + 7280*z^2
; C5a (7023/13706 : 7849/41118 : 1)  C5b (8759/28907 : -7301/86721 : 1)
**u= -40/107 ; tau(u)= -107/20 ; -107734*x^2 - 24498*y^2 + 42596*x*z + 8560*z^2
; C5a (-505/3538 : -1145/10614 : 1)  C5b (6079/18898 : 3104/28347 : 1)
**u= -40/109 ; tau(u)= -109/20 ; -110966*x^2 - 25362*y^2 + 44324*x*z + 8720*z^2
; C5a (2843/12486 : -26879/37458 : 1)  C5b (-527/729 : -199/2187 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (-1813/10359 : 13849/31077 : 1)
**u= -40/177 ; tau(u)= -177/20 ; -249414*x^2 - 64258*y^2 + 122116*x*z + 14160*z^2
; C5a (92/30927 : 93112/195871 : 1)  C5b (443/1721 : 10041/32699 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-2431/21994 : -120/1571 : 1)
**u= -36/41 ; tau(u)= -41/18 ; -25782*x^2 - 4658*y^2 + 4132*x*z + 2952*z^2
; C5a (6544/44915 : 36086/44915 : 1)  C5b (11471/72829 : 513/72829 : 1)
**u= -36/55 ; tau(u)= -55/18 ; -37878*x^2 - 7346*y^2 + 9508*x*z + 3960*z^2
; C5a (-4527/25222 : 9459/25222 : 1)  C5b (1003/5086 : -396/2543 : 1)
**u= -36/59 ; tau(u)= -59/18 ; -41766*x^2 - 8258*y^2 + 11332*x*z + 4248*z^2
; C5a (-110/537 : 26/179 : 1)  C5b (-3203/3287 : -429/3287 : 1)
**u= -36/79 ; tau(u)= -79/18 ; -64086*x^2 - 13778*y^2 + 22372*x*z + 5688*z^2
; C5a (14/187 : 1006/1411 : 1)  C5b (127/417 : -1361/34611 : 1)
**u= -36/91 ; tau(u)= -91/18 ; -79782*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z + 6552*z^2
; C5a (133/254 : -49/254 : 1)  C5b (7351/24579 : 3647/24579 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (2419/8973 : 1937/8973 : 1)
**u= -36/115 ; tau(u)= -115/18 ; -116358*x^2 - 27746*y^2 + 50308*x*z + 8280*z^2
; C5a (378/773 : -330/773 : 1)  C5b (19/1617 : -683/1617 : 1)
**u= -36/121 ; tau(u)= -121/18 ; -126582*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z + 8712*z^2
; C5a (133632/600907 : 419454/600907 : 1)  C5b (7651/27169 : 6699/27169 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (230753/692906 : -69684/346453 : 1)
**u= -36/181 ; tau(u)= -181/18 ; -252582*x^2 - 66818*y^2 + 128452*x*z + 13032*z^2
; C5a (-4234/99957 : 990/3029 : 1)  C5b (-9499/66734 : 14880/33367 : 1)
**u= -32/19 ; tau(u)= -19/16 ; -10102*x^2 - 1746*y^2 - 604*x*z + 1216*z^2
; C5a (359/5054 : -12155/15162 : 1)  C5b (-33/238 : -76/357 : 1)
**u= -32/21 ; tau(u)= -21/16 ; -11094*x^2 - 1906*y^2 - 284*x*z + 1344*z^2
; C5a (-2719/30338 : 24865/30338 : 1)  C5b (-3/17 : 5/17 : 1)
**u= -32/69 ; tau(u)= -69/16 ; -49302*x^2 - 10546*y^2 + 16996*x*z + 4416*z^2
; C5a (354/163627 : -106320/163627 : 1)  C5b (209/70046 : -14016/35023 : 1)
**u= -32/129 ; tau(u)= -129/16 ; -135942*x^2 - 34306*y^2 + 64516*x*z + 8256*z^2
; C5a (-4592/45001 : -3896/45001 : 1)  C5b (56272947/371056678 : -69804400/185528339 : 1)
**u= -32/171 ; tau(u)= -171/16 ; -222294*x^2 - 59506*y^2 + 114916*x*z + 10944*z^2
; C5a (152017/9405346 : -4352465/9405346 : 1)  C5b (8523/12583643 : 5528455/12583643 : 1)
**u= -28/33 ; tau(u)= -33/14 ; -16278*x^2 - 2962*y^2 + 2788*x*z + 1848*z^2
; C5a (330/1633 : -1254/1633 : 1)  C5b (703/4262 : 84/2131 : 1)
**u= -28/45 ; tau(u)= -45/14 ; -24582*x^2 - 4834*y^2 + 6532*x*z + 2520*z^2
; C5a (-6388/32631 : 2706/10877 : 1)  C5b (-7393/8551 : -2589/8551 : 1)
**u= -28/135 ; tau(u)= -135/14 ; -141942*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z + 7560*z^2
; C5a (-5296/61331 : 5878/61331 : 1)  C5b (-4419/16862 : -3592/8431 : 1)
**u= -28/187 ; tau(u)= -187/14 ; -254054*x^2 - 70722*y^2 + 138308*x*z + 10472*z^2
; C5a (9803/42006 : -80575/126018 : 1)  C5b (53609/434649 : -536135/1303947 : 1)
**u= -24/67 ; tau(u)= -67/12 ; -41526*x^2 - 9554*y^2 + 16804*x*z + 3216*z^2
; C5a (-50291/357830 : -21359/357830 : 1)  C5b (-5297/20343 : 9059/20343 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (2897/18318 : -3568/9159 : 1)
**u= -16/3 ; tau(u)= -3/8 ; -1206*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z + 96*z^2
; C5a (2/27 : -4/9 : 1)  C5b (-983/2827 : -249/2827 : 1)
**u= -16/153 ; tau(u)= -153/8 ; -160806*x^2 - 47074*y^2 + 93124*x*z + 4896*z^2
; C5a (-7/46910 : -15107/46910 : 1)  C5b (10513343/33158173 : -10051521/33158173 : 1)
**u= -12/7 ; tau(u)= -7/6 ; -1398*x^2 - 242*y^2 - 92*x*z + 168*z^2
; C5a (7/26 : 119/286 : 1)  C5b (-301/561 : -3401/6171 : 1)
**u= -12/23 ; tau(u)= -23/6 ; -5814*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z + 552*z^2
; C5a (-1160/71667 : -5242/7963 : 1)  C5b (-161/234 : 40/117 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (-1141/1362 : 28/681 : 1)
**u= -12/43 ; tau(u)= -43/6 ; -15654*x^2 - 3842*y^2 + 7108*x*z + 1032*z^2
; C5a (2128/12311 : 8410/12311 : 1)  C5b (349/1154 : -132/577 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (8137/19731 : 863/19731 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (-4217/11914 : 96/259 : 1)
**u= -12/143 ; tau(u)= -143/6 ; -136854*x^2 - 41042*y^2 + 81508*x*z + 3432*z^2
; C5a (886280/1428183 : -85066/476061 : 1)  C5b (-7361/33834 : -7088/16917 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (9601/75078 : -15884/37539 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (83383/228634 : -636/2333 : 1)
**u= -12/193 ; tau(u)= -193/6 ; -242454*x^2 - 74642*y^2 + 148708*x*z + 4632*z^2
; C5a (53612/97303 : -40550/97303 : 1)  C5b (93457/407817 : 1379/3609 : 1)
**u= -8/9 ; tau(u)= -9/4 ; -1254*x^2 - 226*y^2 + 196*x*z + 144*z^2
; C5a (-155/598 : 119/598 : 1)  C5b (3/118 : 16/59 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (141/919 : 365/919 : 1)
**u= -4 ; tau(u)= -1/2 ; -86*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z + 8*z^2
; C5a (-1/26 : -55/78 : 1)  C5b (-9/26 : -8/39 : 1)
**u= -4/15 ; tau(u)= -15/2 ; -1878*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z + 120*z^2
; C5a (5/38 : -25/38 : 1)  C5b (-9/17 : 5/17 : 1)
**u= -4/19 ; tau(u)= -19/2 ; -2822*x^2 - 738*y^2 + 1412*x*z + 152*z^2
; C5a (4/17 : 2/3 : 1)  C5b (-1/6 : -4/9 : 1)
**u= -4/35 ; tau(u)= -35/2 ; -8518*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z + 280*z^2
; C5a (-28/673 : -322/2019 : 1)  C5b (312181/1119682 : 558796/1679523 : 1)
**u= -4/99 ; tau(u)= -99/2 ; -62022*x^2 - 19618*y^2 + 39172*x*z + 792*z^2
; C5a (117/206 : -81/206 : 1)  C5b (2229/6706 : -152/479 : 1)
**u= -4/195 ; tau(u)= -195/2 ; -234438*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z + 1560*z^2
; C5a (-39/13774 : 1677/13774 : 1)  C5b (277479/852758 : 141356/426379 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4 ; tau(u)= 1/2 ; -22*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z - 8*z^2
; C5a (-2/3 : -2/9 : 1)  C5b (11/34 : -8/51 : 1)
**u= 4/9 ; tau(u)= 9/2 ; -246*x^2 - 178*y^2 + 292*x*z - 72*z^2
; C5a (4/7 : 2/7 : 1)  C5b (-459/13726 : -2680/6863 : 1)
**u= 4/15 ; tau(u)= 15/2 ; -918*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z - 120*z^2
; C5a (241/778 : 281/778 : 1)  C5b (22847/42214 : -5952/21107 : 1)
**u= 4/35 ; tau(u)= 35/2 ; -6278*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z - 280*z^2
; C5a (82/263 : -398/789 : 1)  C5b (119/223 : -97/669 : 1)
**u= 4/135 ; tau(u)= 135/2 ; -105078*x^2 - 36466*y^2 + 72868*x*z - 1080*z^2
; C5a (9184/420211 : 47318/420211 : 1)  C5b (8823/790849 : 353669/790849 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (7133/45826 : 9816/22913 : 1)
**u= 4/195 ; tau(u)= 195/2 ; -221958*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z - 1560*z^2
; C5a (3281/4994 : -83/454 : 1)  C5b (2677619/7010062 : -1048656/3505031 : 1)
**u= 8/141 ; tau(u)= 141/4 ; -110454*x^2 - 39826*y^2 + 79396*x*z - 2256*z^2
; C5a (3646/65299 : 14008/65299 : 1)  C5b (-1379/57221 : -25449/57221 : 1)
**u= 12/23 ; tau(u)= 23/6 ; -1398*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z - 552*z^2
; C5a (1068/1391 : 210/1391 : 1)  C5b (-127/9082 : -1740/4541 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (1291/1602 : -124/801 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (137/1177 : -525/1177 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (-2479/17638 : 3696/8819 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (76327/259651 : 14151/37093 : 1)
**u= 12/193 ; tau(u)= 193/6 ; -205398*x^2 - 74642*y^2 + 148708*x*z - 4632*z^2
; C5a (1910/36061 : -6818/36061 : 1)  C5b (4453/36142 : 7944/18071 : 1)
**u= 16/3 ; tau(u)= 3/8 ; -438*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z - 96*z^2
; C5a (-70/167 : -52/167 : 1)  C5b (381/874 : 124/437 : 1)
**u= 24/73 ; tau(u)= 73/12 ; -19686*x^2 - 11234*y^2 + 20164*x*z - 3504*z^2
; C5a (3284/5149 : 1784/5149 : 1)  C5b (18767/63197 : -27567/63197 : 1)
**u= 24/97 ; tau(u)= 97/12 ; -39558*x^2 - 19394*y^2 + 36484*x*z - 4656*z^2
; C5a (2777/3646 : -355/3646 : 1)  C5b (18061/519949 : 228945/519949 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (-229067/593878 : 45612/296939 : 1)
**u= 28/135 ; tau(u)= 135/14 ; -81462*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z - 7560*z^2
; C5a (3220/20599 : 4270/20599 : 1)  C5b (11307/19321 : 3005/19321 : 1)
**u= 28/187 ; tau(u)= 187/14 ; -170278*x^2 - 70722*y^2 + 138308*x*z - 10472*z^2
; C5a (36244/80573 : -119510/241719 : 1)  C5b (-765047/2819017 : -2750855/8457051 : 1)
**u= 32/69 ; tau(u)= 69/16 ; -13974*x^2 - 10546*y^2 + 16996*x*z - 4416*z^2
; C5a (7714/17131 : 3352/17131 : 1)  C5b (7983/21598 : -4792/10799 : 1)
**u= 32/181 ; tau(u)= 181/16 ; -153302*x^2 - 66546*y^2 + 128996*x*z - 11584*z^2
; C5a (8470/33541 : 41308/100623 : 1)  C5b (3/7 : -1/3 : 1)
**u= 36/79 ; tau(u)= 79/18 ; -18582*x^2 - 13778*y^2 + 22372*x*z - 5688*z^2
; C5a (99/206 : -4047/17098 : 1)  C5b (11/14 : -12/83 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (56351/77247 : 15109/77247 : 1)
**u= 36/91 ; tau(u)= 91/18 ; -27366*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z - 6552*z^2
; C5a (2765/9166 : -889/9166 : 1)  C5b (-18853/94307 : -27489/94307 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (3217/5334 : 808/2667 : 1)
**u= 36/121 ; tau(u)= 121/18 ; -56886*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z - 8712*z^2
; C5a (115378/146229 : 1682/48743 : 1)  C5b (-1205801/4834134 : -686372/2417067 : 1)
**u= 40/3 ; tau(u)= 3/20 ; -3894*x^2 - 1618*y^2 - 3164*x*z - 240*z^2
; C5a (-226/431 : 200/431 : 1)  C5b (9/17 : -5/17 : 1)
**u= 40/81 ; tau(u)= 81/20 ; -18246*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z - 6480*z^2
; C5a (29237/43098 : 3255/14366 : 1)  C5b (-3489/13043 : 1727/13043 : 1)
**u= 40/87 ; tau(u)= 87/20 ; -22374*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z - 6960*z^2
; C5a (28101/69382 : 87/614 : 1)  C5b (-23537/82046 : 4692/41023 : 1)
**u= 40/91 ; tau(u)= 91/20 ; -25366*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z - 7280*z^2
; C5a (466/1161 : 656/3483 : 1)  C5b (21321/29023 : 18401/87069 : 1)
**u= 40/109 ; tau(u)= 109/20 ; -41206*x^2 - 25362*y^2 + 44324*x*z - 8720*z^2
; C5a (1434/5009 : 2296/15027 : 1)  C5b (26249/44597 : -5875/19113 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (-3937/1423 : 2907/1423 : 1)
**u= 48/91 ; tau(u)= 91/24 ; -21654*x^2 - 18866*y^2 + 28516*x*z - 8736*z^2
; C5a (18789/31066 : -5493/31066 : 1)  C5b (-5831/21159 : -1187/21159 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (47579/682971 : 295655/682971 : 1)
**u= 48/121 ; tau(u)= 121/24 ; -48294*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z - 11616*z^2
; C5a (57/194 : -9/194 : 1)  C5b (166619/317449 : 117501/317449 : 1)
**u= 52/3 ; tau(u)= 3/26 ; -6918*x^2 - 2722*y^2 - 5372*x*z - 312*z^2
; C5a (-112/323 : -166/323 : 1)  C5b (3327/5923 : -1903/5923 : 1)
**u= 52/5 ; tau(u)= 5/26 ; -6182*x^2 - 2754*y^2 - 5308*x*z - 520*z^2
; C5a (-163/1422 : -655/12798 : 1)  C5b (1097/2586 : 1168/11637 : 1)
**u= 52/147 ; tau(u)= 147/26 ; -76614*x^2 - 45922*y^2 + 81028*x*z - 15288*z^2
; C5a (3653/4514 : -221/4514 : 1)  C5b (12629/19874 : -2448/9937 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (787911/13689499 : 6039065/13689499 : 1)
**u= 68/117 ; tau(u)= 117/34 ; -32358*x^2 - 32002*y^2 + 45508*x*z - 15912*z^2
; C5a (1548/2135 : -102/2135 : 1)  C5b (30187/173518 : 38232/86759 : 1)
**u= 68/125 ; tau(u)= 125/34 ; -39622*x^2 - 35874*y^2 + 53252*x*z - 17000*z^2
; C5a (772/1441 : 26/393 : 1)  C5b (15507/31901 : 41981/95703 : 1)
**u= 68/145 ; tau(u)= 145/34 ; -61142*x^2 - 46674*y^2 + 74852*x*z - 19720*z^2
; C5a (1603/1954 : 629/5862 : 1)  C5b (105063/247414 : -161012/371121 : 1)
**u= 72/169 ; tau(u)= 169/36 ; -89574*x^2 - 62306*y^2 + 103876*x*z - 24336*z^2
; C5a (2684/3241 : -208/3241 : 1)  C5b (-1020553/3874302 : -378296/1937151 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (2513/7958 : -720/3979 : 1)
**u= 76/189 ; tau(u)= 189/38 ; -116742*x^2 - 77218*y^2 + 131332*x*z - 28728*z^2
; C5a (2277/5890 : -1437/5890 : 1)  C5b (-1159/17734 : -3408/8867 : 1)
**u= 80/3 ; tau(u)= 3/40 ; -17334*x^2 - 6418*y^2 - 12764*x*z - 480*z^2
; C5a (-2710/8123 : -4360/8123 : 1)  C5b (-1947/3386 : 292/1693 : 1)
**u= 80/7 ; tau(u)= 7/40 ; -15014*x^2 - 6498*y^2 - 12604*x*z - 1120*z^2
; C5a (-87/302 : -7595/17214 : 1)  C5b (-2051/1258 : -45964/35853 : 1)
**u= 80/141 ; tau(u)= 141/40 ; -48246*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z - 22560*z^2
; C5a (6218/7991 : 452/7991 : 1)  C5b (62271/127903 : 56891/127903 : 1)
**u= 80/173 ; tau(u)= 173/40 ; -88054*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z - 27680*z^2
; C5a (6601/16522 : -18089/148698 : 1)  C5b (19/458 : -860/2061 : 1)
**u= 80/187 ; tau(u)= 187/40 ; -109334*x^2 - 76338*y^2 + 127076*x*z - 29920*z^2
; C5a (4511/7522 : -6817/22566 : 1)  C5b (38551/105138 : -69088/157707 : 1)
**u= 80/189 ; tau(u)= 189/40 ; -112566*x^2 - 77842*y^2 + 130084*x*z - 30240*z^2
; C5a (28769/39746 : 10015/39746 : 1)  C5b (-6891/29642 : -3592/14821 : 1)
**u= 84 ; tau(u)= 1/42 ; -20502*x^2 - 7058*y^2 - 14108*x*z - 168*z^2
; C5a (-4/91 : -22/91 : 1)  C5b (6967/3513 : -6067/3513 : 1)
**u= 84/151 ; tau(u)= 151/42 ; -56502*x^2 - 52658*y^2 + 77092*x*z - 25368*z^2
; C5a (3894/5149 : 558/5149 : 1)  C5b (1073/1287 : -317/1287 : 1)
**u= 88/189 ; tau(u)= 189/44 ; -104502*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z - 33264*z^2
; C5a (145/382 : 139/6494 : 1)  C5b (4389/136141 : -56305/136141 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (-1789/2601 : -803/2601 : 1)
**u= 96/13 ; tau(u)= 13/48 ; -18678*x^2 - 9554*y^2 - 17756*x*z - 2496*z^2
; C5a (-2294/13307 : 428/13307 : 1)  C5b (-6037/42 : 2600/21 : 1)
**u= 96/167 ; tau(u)= 167/48 ; -66726*x^2 - 64994*y^2 + 93124*x*z - 32064*z^2
; C5a (51701/83290 : 1819/83290 : 1)  C5b (-59123/240667 : -26073/240667 : 1)
**u= 108/5 ; tau(u)= 5/54 ; -30822*x^2 - 11714*y^2 - 23228*x*z - 1080*z^2
; C5a (-1026/4309 : 2070/4309 : 1)  C5b (1457/1479 : -1187/1479 : 1)
**u= 108/7 ; tau(u)= 7/54 ; -29238*x^2 - 11762*y^2 - 23132*x*z - 1512*z^2
; C5a (-7684/102207 : -2470/34069 : 1)  C5b (-26659/45749 : -4695/45749 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (-59/51 : -125/153 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (1847/2421 : -1577/2421 : 1)
**u= 124/5 ; tau(u)= 5/62 ; -41318*x^2 - 15426*y^2 - 30652*x*z - 1240*z^2
; C5a (-329/5438 : -2827/16314 : 1)  C5b (-20957/35711 : 20687/107133 : 1)
**u= 132/5 ; tau(u)= 5/66 ; -47142*x^2 - 17474*y^2 - 34748*x*z - 1320*z^2
; C5a (-4195/81178 : 11485/81178 : 1)  C5b (1991/4047 : 619/4047 : 1)
**u= 144/13 ; tau(u)= 13/72 ; -48246*x^2 - 21074*y^2 - 40796*x*z - 3744*z^2
; C5a (-4159/21226 : -7159/21226 : 1)  C5b (10321/14206 : 4008/7103 : 1)
**u= 144/23 ; tau(u)= 23/72 ; -38886*x^2 - 21794*y^2 - 39356*x*z - 6624*z^2
; C5a (-839/1574 : -613/1574 : 1)  C5b (23309/61419 : -7703/61419 : 1)
**u= 148/15 ; tau(u)= 15/74 ; -49302*x^2 - 22354*y^2 - 42908*x*z - 4440*z^2
; C5a (-1759/13734 : -481/4578 : 1)  C5b (339/257 : 299/257 : 1)
**u= 152/29 ; tau(u)= 29/76 ; -39094*x^2 - 24786*y^2 - 42844*x*z - 8816*z^2
; C5a (-169/514 : 2849/13878 : 1)  C5b (-2017/1758 : -15212/23733 : 1)
**u= 160/21 ; tau(u)= 21/80 ; -52566*x^2 - 26482*y^2 - 49436*x*z - 6720*z^2
; C5a (-9366/44123 : -10164/44123 : 1)  C5b (7992931/4252538 : 3578736/2126269 : 1)
**u= 160/41 ; tau(u)= 41/80 ; -34406*x^2 - 28962*y^2 - 44476*x*z - 13120*z^2
; C5a (-3154/4637 : -2848/13911 : 1)  C5b (399/877 : -979/2631 : 1)
**u= 172/7 ; tau(u)= 7/86 ; -79414*x^2 - 29682*y^2 - 58972*x*z - 2408*z^2
; C5a (-31548/367561 : -291098/1102683 : 1)  C5b (-11323/20642 : 2156/30963 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (34881/7622 : 15568/3811 : 1)
**u= 176/27 ; tau(u)= 27/88 ; -59286*x^2 - 32434*y^2 - 59036*x*z - 9504*z^2
; C5a (-3823/7382 : 2947/7382 : 1)  C5b (-41361/28729 : 28579/28729 : 1)
**u= 188/3 ; tau(u)= 3/94 ; -101574*x^2 - 35362*y^2 - 70652*x*z - 1128*z^2
; C5a (-71815/3369942 : -108761/1123314 : 1)  C5b (1003/898 : 408/449 : 1)
**u= 196/15 ; tau(u)= 15/98 ; -93078*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z - 5880*z^2
; C5a (-18112/83303 : 33350/83303 : 1)  C5b (-1509/322 : -652/161 : 1)
**u= 196/45 ; tau(u)= 45/98 ; -56838*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z - 17640*z^2
; C5a (-30020/58471 : -14650/58471 : 1)  C5b (-97367/118441 : 5901/118441 : 1)
269
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.01
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]