Integer Points on A^4+B^4+1849*C^4=D^4

[2026.04.07]A^4+B^4+1849*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように224個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(43,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (-261427/425972 : 35913/212986 : 1)
**u= -200/111 ; tau(u)= -111/100 ; -371526*x^2 - 64642*y^2 - 30716*x*z + 44400*z^2
; C5a (-311947/1059446 : 607207/1059446 : 1)  C5b (-14639/166036 : 1389/83018 : 1)
**u= -196/45 ; tau(u)= -45/98 ; -197958*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z + 17640*z^2
; C5a (216/1499 : 438/1499 : 1)  C5b (-13817/44694 : -400/22347 : 1)
**u= -196/111 ; tau(u)= -111/98 ; -363222*x^2 - 63058*y^2 - 27548*x*z + 43512*z^2
; C5a (53762/772133 : 613682/772133 : 1)  C5b (-4993/51852 : -931/25926 : 1)
**u= -196/131 ; tau(u)= -131/98 ; -423622*x^2 - 72738*y^2 - 8188*x*z + 51352*z^2
; C5a (-5243/14726 : -11711/132534 : 1)  C5b (-18029/812018 : -45016/3654081 : 1)
**u= -192/11 ; tau(u)= -11/96 ; -128214*x^2 - 37106*y^2 - 73244*x*z + 4224*z^2
; C5a (-11128/48553 : 30116/48553 : 1)  C5b (5673/5330 : -704/2665 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (-5902583/55094420 : -2848491/27547210 : 1)
**u= -192/181 ; tau(u)= -181/96 ; -585174*x^2 - 102386*y^2 + 57316*x*z + 69504*z^2
; C5a (10337/47002 : 34073/47002 : 1)  C5b (-130963/203510 : 19404/101755 : 1)
**u= -192/197 ; tau(u)= -197/96 ; -646038*x^2 - 114482*y^2 + 81508*x*z + 75648*z^2
; C5a (666985/6210594 : 1697261/2070198 : 1)  C5b (-515213/1615532 : 126471/807766 : 1)
**u= -188/43 ; tau(u)= -43/94 ; -181798*x^2 - 39042*y^2 - 63292*x*z + 16168*z^2
; C5a (344/4299 : 19522/38691 : 1)  C5b (-1303/1350 : 1808/6075 : 1)
**u= -184/143 ; tau(u)= -143/92 ; -434758*x^2 - 74754*y^2 + 14084*x*z + 52624*z^2
; C5a (46111/155586 : 232895/466758 : 1)  C5b (155731/5574678 : 157456/8362017 : 1)
**u= -180/43 ; tau(u)= -43/90 ; -170214*x^2 - 36098*y^2 - 57404*x*z + 15480*z^2
; C5a (-28195/71134 : -40135/71134 : 1)  C5b (-27531/22468 : 4225/11234 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (-274213/171884 : -39135/85942 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (-25747/277484 : -14295/138742 : 1)
**u= -180/161 ; tau(u)= -161/90 ; -484566*x^2 - 84242*y^2 + 38884*x*z + 57960*z^2
; C5a (5310/17681 : 9810/17681 : 1)  C5b (890867/16383604 : 349815/8191802 : 1)
**u= -176/69 ; tau(u)= -69/88 ; -218646*x^2 - 40498*y^2 - 42908*x*z + 24288*z^2
; C5a (-421003/5942306 : -4782349/5942306 : 1)  C5b (-3901/20508 : 89/10254 : 1)
**u= -176/71 ; tau(u)= -71/88 ; -223142*x^2 - 41058*y^2 - 41788*x*z + 24992*z^2
; C5a (215/1058 : 1337/3174 : 1)  C5b (-93967/87282 : -42220/130923 : 1)
**u= -176/107 ; tau(u)= -107/88 ; -312278*x^2 - 53874*y^2 - 16156*x*z + 37664*z^2
; C5a (-61013/607514 : 1492667/1822542 : 1)  C5b (-252221/4670950 : -56624/7006425 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (-218149/4963226 : 215340/2481613 : 1)
**u= -168/17 ; tau(u)= -17/84 ; -109254*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z + 5712*z^2
; C5a (3225/46006 : 9771/46006 : 1)  C5b (-262673/318820 : 36867/159410 : 1)
**u= -168/19 ; tau(u)= -19/84 ; -112374*x^2 - 28946*y^2 - 55004*x*z + 6384*z^2
; C5a (-36851/277686 : 58859/92562 : 1)  C5b (-20851/30188 : -2793/15094 : 1)
**u= -168/151 ; tau(u)= -151/84 ; -424422*x^2 - 73826*y^2 + 34756*x*z + 50736*z^2
; C5a (15313/1415718 : -392465/471906 : 1)  C5b (-66241/298642 : -20352/149321 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (-246623/800532 : 39277/400266 : 1)
**u= -160/121 ; tau(u)= -121/80 ; -319526*x^2 - 54882*y^2 + 7364*x*z + 38720*z^2
; C5a (-1817866/7303013 : -12225412/21909039 : 1)  C5b (-26209/483852 : -51815/725778 : 1)
**u= -160/149 ; tau(u)= -149/80 ; -400726*x^2 - 70002*y^2 + 37604*x*z + 47680*z^2
; C5a (-2818/86277 : 209872/258831 : 1)  C5b (-38629/270134 : -49288/405201 : 1)
**u= -156/55 ; tau(u)= -55/78 ; -159798*x^2 - 30386*y^2 - 36572*x*z + 17160*z^2
; C5a (23437/1058018 : -774229/1058018 : 1)  C5b (15441/10966 : 832/5483 : 1)
**u= -156/101 ; tau(u)= -101/78 ; -260262*x^2 - 44738*y^2 - 7868*x*z + 31512*z^2
; C5a (1453/83246 : 69625/83246 : 1)  C5b (-142281/4332916 : -3325/309494 : 1)
**u= -156/193 ; tau(u)= -193/78 ; -537366*x^2 - 98834*y^2 + 100324*x*z + 60216*z^2
; C5a (-334/2365 : -1414/2365 : 1)  C5b (114453/2485900 : -118529/1242950 : 1)
**u= -152/9 ; tau(u)= -9/76 ; -80742*x^2 - 23266*y^2 - 45884*x*z + 2736*z^2
; C5a (-1575/268762 : 96543/268762 : 1)  C5b (-69523/92300 : -8919/46150 : 1)
**u= -152/87 ; tau(u)= -87/76 ; -220518*x^2 - 38242*y^2 - 15932*x*z + 26448*z^2
; C5a (-2042/13915 : -11032/13915 : 1)  C5b (-727/5956 : 171/2978 : 1)
**u= -152/147 ; tau(u)= -147/76 ; -377718*x^2 - 66322*y^2 + 40228*x*z + 44688*z^2
; C5a (508/4873 : -364/443 : 1)  C5b (47065/438844 : -549/219422 : 1)
**u= -152/191 ; tau(u)= -191/76 ; -520454*x^2 - 96066*y^2 + 99716*x*z + 58064*z^2
; C5a (-2852/21653 : 119132/194877 : 1)  C5b (17049/323452 : -137869/1455534 : 1)
**u= -148/33 ; tau(u)= -33/74 ; -111318*x^2 - 24082*y^2 - 39452*x*z + 9768*z^2
; C5a (17144/3619943 : 2283010/3619943 : 1)  C5b (-130993/174198 : -19940/87099 : 1)
**u= -148/87 ; tau(u)= -87/74 ; -214134*x^2 - 37042*y^2 - 13532*x*z + 25752*z^2
; C5a (-38014/394937 : 324910/394937 : 1)  C5b (-1111/4948 : 261/2474 : 1)
**u= -148/129 ; tau(u)= -129/74 ; -318294*x^2 - 55186*y^2 + 22756*x*z + 38184*z^2
; C5a (1102/3105 : -346/1035 : 1)  C5b (-299843/11354916 : -457063/5677458 : 1)
**u= -144/19 ; tau(u)= -19/72 ; -86262*x^2 - 21458*y^2 - 40028*x*z + 5472*z^2
; C5a (3274/30695 : 3116/30695 : 1)  C5b (85991/20350 : 12156/10175 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (-40181/48556 : 6207/24278 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (343/676 : 145/33462 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (-253/2318 : -2524/142557 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-52841/65286 : -6664/32643 : 1)
**u= -140/159 ; tau(u)= -159/70 ; -388566*x^2 - 70162*y^2 + 61924*x*z + 44520*z^2
; C5a (-8678008/37592243 : 13846250/37592243 : 1)  C5b (1499/137794 : 6756/68897 : 1)
**u= -140/171 ; tau(u)= -171/70 ; -425766*x^2 - 78082*y^2 + 77764*x*z + 47880*z^2
; C5a (14560/35587 : 11690/35587 : 1)  C5b (-57419/555756 : -36209/277878 : 1)
**u= -136/69 ; tau(u)= -69/68 ; -159126*x^2 - 28018*y^2 - 17948*x*z + 18768*z^2
; C5a (-28731/379738 : 314475/379738 : 1)  C5b (-1357/4308 : 265/2154 : 1)
**u= -136/189 ; tau(u)= -189/68 ; -475446*x^2 - 89938*y^2 + 105892*x*z + 51408*z^2
; C5a (-330111/7954706 : -5700975/7954706 : 1)  C5b (-17935/43572 : -3533/21786 : 1)
**u= -132/185 ; tau(u)= -185/66 ; -452982*x^2 - 85874*y^2 + 102052*x*z + 48840*z^2
; C5a (180694/16039049 : 12230330/16039049 : 1)  C5b (318449/12014486 : 668328/6007243 : 1)
**u= -128/117 ; tau(u)= -117/64 ; -251094*x^2 - 43762*y^2 + 21988*x*z + 29952*z^2
; C5a (-943/13658 : -10775/13658 : 1)  C5b (-1001257/15046636 : -751413/7523318 : 1)
**u= -124/15 ; tau(u)= -15/62 ; -62358*x^2 - 15826*y^2 - 29852*x*z + 3720*z^2
; C5a (-503/8466 : -1629/2822 : 1)  C5b (-24923/63772 : 111/31886 : 1)
**u= -124/63 ; tau(u)= -63/62 ; -132438*x^2 - 23314*y^2 - 14876*x*z + 15624*z^2
; C5a (-71915/387282 : 99391/129094 : 1)  C5b (-13301/7220 : -1647/3610 : 1)
**u= -124/165 ; tau(u)= -165/62 ; -373158*x^2 - 69826*y^2 + 78148*x*z + 40920*z^2
; C5a (13521/101494 : -81213/101494 : 1)  C5b (-928781/22205796 : -1368983/11102898 : 1)
**u= -120/107 ; tau(u)= -107/60 ; -214614*x^2 - 37298*y^2 + 16996*x*z + 25680*z^2
; C5a (-4/1597 : 1324/1597 : 1)  C5b (-78519/48284 : 5579/24142 : 1)
**u= -116/43 ; tau(u)= -43/58 ; -91366*x^2 - 17154*y^2 - 19516*x*z + 9976*z^2
; C5a (4542/41939 : 79162/125817 : 1)  C5b (-9835/45604 : 2051/68406 : 1)
**u= -112/27 ; tau(u)= -27/56 ; -66198*x^2 - 14002*y^2 - 22172*x*z + 6048*z^2
; C5a (530/3083 : 436/3083 : 1)  C5b (-22127/68914 : 1572/34457 : 1)
**u= -112/33 ; tau(u)= -33/56 ; -73734*x^2 - 14722*y^2 - 20732*x*z + 7392*z^2
; C5a (11497/57754 : -8815/57754 : 1)  C5b (-3749/6570 : 8/45 : 1)
**u= -112/143 ; tau(u)= -143/56 ; -288454*x^2 - 53442*y^2 + 56708*x*z + 32032*z^2
; C5a (-1770/440533 : -1019456/1321599 : 1)  C5b (8365/99398 : 12736/149097 : 1)
**u= -108/23 ; tau(u)= -23/54 ; -58038*x^2 - 12722*y^2 - 21212*x*z + 4968*z^2
; C5a (953/8350 : 3133/8350 : 1)  C5b (-1949/1252 : -297/626 : 1)
**u= -108/127 ; tau(u)= -127/54 ; -241494*x^2 - 43922*y^2 + 41188*x*z + 27432*z^2
; C5a (22760/652903 : -526618/652903 : 1)  C5b (57241/439450 : 11196/219725 : 1)
**u= -108/149 ; tau(u)= -149/54 ; -296934*x^2 - 56066*y^2 + 65476*x*z + 32184*z^2
; C5a (1241/5178 : 21755/29342 : 1)  C5b (67/7282 : -7080/61897 : 1)
**u= -104 ; tau(u)= -1/52 ; -33286*x^2 - 10818*y^2 - 21628*x*z + 208*z^2
; C5a (-161/402 : 689/1206 : 1)  C5b (-631/1038 : -172/1557 : 1)
**u= -104/21 ; tau(u)= -21/52 ; -52566*x^2 - 11698*y^2 - 19868*x*z + 4368*z^2
; C5a (438/4711 : -1980/4711 : 1)  C5b (-255509/753942 : 12476/376971 : 1)
**u= -104/73 ; tau(u)= -73/52 ; -125158*x^2 - 21474*y^2 - 316*x*z + 15184*z^2
; C5a (10/257 : 644/771 : 1)  C5b (-2645/392282 : -9712/588423 : 1)
**u= -104/89 ; tau(u)= -89/52 ; -154022*x^2 - 26658*y^2 + 10052*x*z + 18512*z^2
; C5a (12866/43629 : 72068/130887 : 1)  C5b (38963/962996 : 60293/1444494 : 1)
**u= -104/107 ; tau(u)= -107/52 ; -190166*x^2 - 33714*y^2 + 24164*x*z + 22256*z^2
; C5a (6879/28750 : 61517/86250 : 1)  C5b (-200959/8147220 : 1211561/12220830 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (-44543/5764908 : 358205/2882454 : 1)
**u= -104/171 ; tau(u)= -171/52 ; -350166*x^2 - 69298*y^2 + 95332*x*z + 35568*z^2
; C5a (23669/49218 : -1295/16406 : 1)  C5b (-413/317990 : 20148/158995 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (-24297/58372 : -3409/87558 : 1)
**u= -100/97 ; tau(u)= -97/50 ; -164054*x^2 - 28818*y^2 + 17636*x*z + 19400*z^2
; C5a (151/1662 : 4117/4986 : 1)  C5b (-378049/9739706 : -1424252/14609559 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (7579/44636 : 591/22318 : 1)
**u= -100/171 ; tau(u)= -171/50 ; -342246*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z + 34200*z^2
; C5a (-2894/66009 : 14390/22003 : 1)  C5b (458929/2057658 : -54700/1028829 : 1)
**u= -96/31 ; tau(u)= -31/48 ; -57222*x^2 - 11138*y^2 - 14588*x*z + 5952*z^2
; C5a (-1238/6983 : 5432/6983 : 1)  C5b (4193377/3035006 : -273072/1517503 : 1)
**u= -96/59 ; tau(u)= -59/48 ; -93846*x^2 - 16178*y^2 - 4508*x*z + 11328*z^2
; C5a (6773/36982 : -24935/36982 : 1)  C5b (-15497/218308 : -4155/109154 : 1)
**u= -96/65 ; tau(u)= -65/48 ; -102918*x^2 - 17666*y^2 - 1532*x*z + 12480*z^2
; C5a (-3856/21211 : -169808/233321 : 1)  C5b (-5073/3628 : -6271/19954 : 1)
**u= -96/77 ; tau(u)= -77/48 ; -122358*x^2 - 21074*y^2 + 5284*x*z + 14784*z^2
; C5a (-98103/929366 : -726075/929366 : 1)  C5b (-32289/60220 : 5597/30110 : 1)
**u= -96/95 ; tau(u)= -95/48 ; -154758*x^2 - 27266*y^2 + 17668*x*z + 18240*z^2
; C5a (5029/80382 : 22213/26794 : 1)  C5b (1367771/27982244 : 930273/13991122 : 1)
**u= -96/113 ; tau(u)= -113/48 ; -191046*x^2 - 34754*y^2 + 32644*x*z + 21696*z^2
; C5a (6576/19133 : 10440/19133 : 1)  C5b (98033/2580988 : 120045/1290494 : 1)
**u= -96/151 ; tau(u)= -151/48 ; -280422*x^2 - 54818*y^2 + 72772*x*z + 28992*z^2
; C5a (623954/3411351 : 881212/1137117 : 1)  C5b (-277/2918 : -204/1459 : 1)
**u= -92/21 ; tau(u)= -21/46 ; -43494*x^2 - 9346*y^2 - 15164*x*z + 3864*z^2
; C5a (497/8174 : 4459/8174 : 1)  C5b (21941/4900 : 2817/2450 : 1)
**u= -92/189 ; tau(u)= -189/46 ; -378822*x^2 - 79906*y^2 + 125956*x*z + 34776*z^2
; C5a (-6638/95529 : 17522/31843 : 1)  C5b (137045/1589388 : 95009/794694 : 1)
**u= -88/13 ; tau(u)= -13/44 ; -33398*x^2 - 8082*y^2 - 14812*x*z + 2288*z^2
; C5a (-1681/117246 : 195373/351738 : 1)  C5b (447/530 : 104/795 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (-4381/4876 : -537/2438 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (37591/241314 : 3992/120657 : 1)
**u= -88/141 ; tau(u)= -141/44 ; -241782*x^2 - 47506*y^2 + 64036*x*z + 24816*z^2
; C5a (105/5674 : -4191/5674 : 1)  C5b (-210876047/6350861820 : -416675171/3175430910 : 1)
**u= -88/159 ; tau(u)= -159/44 ; -286854*x^2 - 58306*y^2 + 85636*x*z + 27984*z^2
; C5a (3046/7735 : -4204/7735 : 1)  C5b (-67795/415468 : -31191/207734 : 1)
**u= -88/183 ; tau(u)= -183/44 ; -352998*x^2 - 74722*y^2 + 118468*x*z + 32208*z^2
; C5a (3884/8417 : -3332/8417 : 1)  C5b (755/3276 : 17/234 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (-28141/73618 : -3900/36809 : 1)
**u= -84/121 ; tau(u)= -121/42 ; -190326*x^2 - 36338*y^2 + 44452*x*z + 20328*z^2
; C5a (70606/1146377 : 898930/1146377 : 1)  C5b (25185/203036 : 8429/101518 : 1)
**u= -84/179 ; tau(u)= -179/42 ; -333702*x^2 - 71138*y^2 + 114052*x*z + 30072*z^2
; C5a (954201/2245310 : -1137981/2245310 : 1)  C5b (-69801/92198 : 3472/46099 : 1)
**u= -84/197 ; tau(u)= -197/42 ; -386406*x^2 - 84674*y^2 + 141124*x*z + 33096*z^2
; C5a (-1265680/9698983 : 2999746/9698983 : 1)  C5b (207615/754934 : 22388/377467 : 1)
**u= -80/29 ; tau(u)= -29/40 ; -42806*x^2 - 8082*y^2 - 9436*x*z + 4640*z^2
; C5a (494/90949 : 205564/272847 : 1)  C5b (12661/10612 : -5/2274 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (-61499/466838 : 4680/233419 : 1)
**u= -80/93 ; tau(u)= -93/40 ; -130614*x^2 - 23698*y^2 + 21796*x*z + 14880*z^2
; C5a (256/637 : 3548/10829 : 1)  C5b (-5173/3412 : 879/29002 : 1)
**u= -76/89 ; tau(u)= -89/38 ; -118966*x^2 - 21618*y^2 + 20132*x*z + 13528*z^2
; C5a (-18970/312419 : 694418/937257 : 1)  C5b (-181/132 : 19/198 : 1)
**u= -76/99 ; tau(u)= -99/38 ; -136326*x^2 - 25378*y^2 + 27652*x*z + 15048*z^2
; C5a (13841/50514 : -11765/16838 : 1)  C5b (-367393/287418 : -2764/143709 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-5863/21572 : -1275/10786 : 1)
**u= -72/55 ; tau(u)= -55/36 ; -65382*x^2 - 11234*y^2 + 1732*x*z + 7920*z^2
; C5a (54541/507314 : -24139/29842 : 1)  C5b (-11659/4436 : -783/2218 : 1)
**u= -72/95 ; tau(u)= -95/36 ; -124422*x^2 - 23234*y^2 + 25732*x*z + 13680*z^2
; C5a (35437/744378 : -196847/248126 : 1)  C5b (20367/325204 : -15635/162602 : 1)
**u= -68/53 ; tau(u)= -53/34 ; -59558*x^2 - 10242*y^2 + 1988*x*z + 7208*z^2
; C5a (-374/22139 : 55522/66417 : 1)  C5b (21/884 : -35/1326 : 1)
**u= -68/161 ; tau(u)= -161/34 ; -256982*x^2 - 56466*y^2 + 94436*x*z + 21896*z^2
; C5a (-85/8826 : 16133/26478 : 1)  C5b (-14881/555062 : 118796/832593 : 1)
**u= -68/183 ; tau(u)= -183/34 ; -314358*x^2 - 71602*y^2 + 124708*x*z + 24888*z^2
; C5a (-5395/2229218 : -1306229/2229218 : 1)  C5b (-2155685/6101534 : 447996/3050767 : 1)
**u= -64/51 ; tau(u)= -51/32 ; -54006*x^2 - 9298*y^2 + 2212*x*z + 6528*z^2
; C5a (-454291/4116662 : -3202273/4116662 : 1)  C5b (-113/2990 : 108/1495 : 1)
**u= -64/57 ; tau(u)= -57/32 ; -60966*x^2 - 10594*y^2 + 4804*x*z + 7296*z^2
; C5a (3218/8303 : -28/8303 : 1)  C5b (1117/27450 : -704/13725 : 1)
**u= -64/61 ; tau(u)= -61/32 ; -65846*x^2 - 11538*y^2 + 6692*x*z + 7808*z^2
; C5a (-229/778 : 251/2334 : 1)  C5b (-6731/48460 : -8893/72690 : 1)
**u= -64/147 ; tau(u)= -147/32 ; -217206*x^2 - 47314*y^2 + 78244*x*z + 18816*z^2
; C5a (-587/5038 : -173/458 : 1)  C5b (-326045/2475452 : 186759/1237726 : 1)
**u= -60/19 ; tau(u)= -19/30 ; -22086*x^2 - 4322*y^2 - 5756*x*z + 2280*z^2
; C5a (-127/33226 : 24247/33226 : 1)  C5b (-9559/25604 : 1371/12802 : 1)
**u= -60/61 ; tau(u)= -61/30 ; -62406*x^2 - 11042*y^2 + 7684*x*z + 7320*z^2
; C5a (171898/17664917 : -14450290/17664917 : 1)  C5b (73571/623012 : -5895/311506 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (304599/2722828 : -126005/1361414 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (-14193/81748 : 6227/40874 : 1)
**u= -60/191 ; tau(u)= -191/30 ; -321366*x^2 - 76562*y^2 + 138724*x*z + 22920*z^2
; C5a (-33472/522691 : -213038/522691 : 1)  C5b (-798747/1193732 : 26497/596866 : 1)
**u= -56/23 ; tau(u)= -23/28 ; -22886*x^2 - 4194*y^2 - 4156*x*z + 2576*z^2
; C5a (-1285/129994 : 307931/389982 : 1)  C5b (-10185/52708 : -2783/79062 : 1)
**u= -56/121 ; tau(u)= -121/28 ; -151462*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z + 13552*z^2
; C5a (-1/4530 : 8783/13590 : 1)  C5b (-58261/389204 : -88339/583806 : 1)
**u= -52/27 ; tau(u)= -27/26 ; -23718*x^2 - 4162*y^2 - 2492*x*z + 2808*z^2
; C5a (1780/6343 : 1526/6343 : 1)  C5b (-22373/211122 : -124/105561 : 1)
**u= -52/81 ; tau(u)= -81/26 ; -81174*x^2 - 15826*y^2 + 20836*x*z + 8424*z^2
; C5a (-9611/230322 : 52545/76774 : 1)  C5b (-19051/20994 : 1040/10497 : 1)
**u= -52/139 ; tau(u)= -139/26 ; -181862*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z + 14456*z^2
; C5a (4303/8046 : -3523/24138 : 1)  C5b (-3783/16246 : -3728/24369 : 1)
**u= -48/35 ; tau(u)= -35/24 ; -27702*x^2 - 4754*y^2 + 292*x*z + 3360*z^2
; C5a (-64/553 : -436/553 : 1)  C5b (-767/13202 : -444/6601 : 1)
**u= -48/37 ; tau(u)= -37/24 ; -29334*x^2 - 5042*y^2 + 868*x*z + 3552*z^2
; C5a (4393/116306 : -97495/116306 : 1)  C5b (-7951/17858 : 1536/8929 : 1)
**u= -48/121 ; tau(u)= -121/24 ; -141222*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z + 11616*z^2
; C5a (3929/14578 : -10343/14578 : 1)  C5b (-80649/118222 : -4664/59111 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (714993/2094542 : -45604/1047271 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (2155/3324 : 143/1662 : 1)
**u= -44/83 ; tau(u)= -83/22 ; -76358*x^2 - 15714*y^2 + 23684*x*z + 7304*z^2
; C5a (-615/3254 : 2339/29286 : 1)  C5b (235/31596 : 18647/142182 : 1)
**u= -44/111 ; tau(u)= -111/22 ; -118806*x^2 - 26578*y^2 + 45412*x*z + 9768*z^2
; C5a (26765/76898 : 49877/76898 : 1)  C5b (-11989/55044 : 4223/27522 : 1)
**u= -44/129 ; tau(u)= -129/22 ; -151062*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z + 11352*z^2
; C5a (27050/114789 : 27154/38263 : 1)  C5b (208535/638778 : -2084/45627 : 1)
**u= -40/91 ; tau(u)= -91/20 ; -83606*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z + 7280*z^2
; C5a (7023/13706 : 7849/41118 : 1)  C5b (3851/67174 : -13048/100761 : 1)
**u= -40/111 ; tau(u)= -111/20 ; -114246*x^2 - 26242*y^2 + 46084*x*z + 8880*z^2
; C5a (-579/25502 : 13881/25502 : 1)  C5b (95333/1218492 : 80497/609246 : 1)
**u= -40/177 ; tau(u)= -177/20 ; -249414*x^2 - 64258*y^2 + 122116*x*z + 14160*z^2
; C5a (92/30927 : 93112/195871 : 1)  C5b (-32617/188702 : -271872/1792669 : 1)
**u= -36/59 ; tau(u)= -59/18 ; -41766*x^2 - 8258*y^2 + 11332*x*z + 4248*z^2
; C5a (-110/537 : 26/179 : 1)  C5b (30575/122314 : -156/61157 : 1)
**u= -36/83 ; tau(u)= -83/18 ; -69126*x^2 - 15074*y^2 + 24964*x*z + 5976*z^2
; C5a (-343/8986 : -5135/8986 : 1)  C5b (-11491/15044 : 375/7522 : 1)
**u= -36/107 ; tau(u)= -107/18 ; -103398*x^2 - 24194*y^2 + 43204*x*z + 7704*z^2
; C5a (-1060/11019 : -1202/3673 : 1)  C5b (63370661/529417052 : -33513279/264708526 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (109811/618692 : 38055/309346 : 1)
**u= -36/157 ; tau(u)= -157/18 ; -196998*x^2 - 50594*y^2 + 96004*x*z + 11304*z^2
; C5a (-14823/152306 : -6585/152306 : 1)  C5b (8319961/254877788 : -18595557/127438894 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (-31967/297588 : 22669/148794 : 1)
**u= -28/135 ; tau(u)= -135/14 ; -141942*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z + 7560*z^2
; C5a (-5296/61331 : 5878/61331 : 1)  C5b (-270413/10279564 : -774585/5139782 : 1)
**u= -24/101 ; tau(u)= -101/12 ; -82326*x^2 - 20978*y^2 + 39652*x*z + 4848*z^2
; C5a (496589/4536958 : 2836855/4536958 : 1)  C5b (1858597/48986740 : 3552513/24493370 : 1)
**u= -24/125 ; tau(u)= -125/12 ; -119478*x^2 - 31826*y^2 + 61348*x*z + 6000*z^2
; C5a (-244/4069 : -992/4069 : 1)  C5b (150381/2352212 : -170135/1176106 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (205/1574 : 108/787 : 1)
**u= -24/145 ; tau(u)= -145/12 ; -155718*x^2 - 42626*y^2 + 82948*x*z + 6960*z^2
; C5a (134/13927 : -5936/13927 : 1)  C5b (-2869/40294 : -3072/20147 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (19/78 : 160/1989 : 1)
**u= -20/121 ; tau(u)= -121/10 ; -108406*x^2 - 29682*y^2 + 57764*x*z + 4840*z^2
; C5a (-4072/56557 : 10750/169671 : 1)  C5b (35691/232354 : -46972/348531 : 1)
**u= -20/123 ; tau(u)= -123/10 ; -111654*x^2 - 30658*y^2 + 59716*x*z + 4920*z^2
; C5a (-6587/552826 : 204437/552826 : 1)  C5b (21523/1353486 : 101260/676743 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (-618353/1302662 : -54168/651331 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (39823/495806 : -32760/247903 : 1)
**u= -16/63 ; tau(u)= -63/8 ; -32646*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z + 2016*z^2
; C5a (22565/40466 : -9293/40466 : 1)  C5b (-79351/160052 : 8661/80026 : 1)
**u= -16/103 ; tau(u)= -103/8 ; -77606*x^2 - 21474*y^2 + 41924*x*z + 3296*z^2
; C5a (-4537/66286 : 10763/198858 : 1)  C5b (-57597/114422 : 14236/171633 : 1)
**u= -16/131 ; tau(u)= -131/8 ; -120502*x^2 - 34578*y^2 + 68132*x*z + 4192*z^2
; C5a (-805/73502 : 69463/220506 : 1)  C5b (21769/56370 : -5912/84555 : 1)
**u= -12 ; tau(u)= -1/6 ; -534*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z + 24*z^2
; C5a (-3716/7535 : -3646/7535 : 1)  C5b (689/236 : -99/118 : 1)
**u= -12/7 ; tau(u)= -7/6 ; -1398*x^2 - 242*y^2 - 92*x*z + 168*z^2
; C5a (7/26 : 119/286 : 1)  C5b (-33/452 : -49/2486 : 1)
**u= -12/43 ; tau(u)= -43/6 ; -15654*x^2 - 3842*y^2 + 7108*x*z + 1032*z^2
; C5a (2128/12311 : 8410/12311 : 1)  C5b (-13437/111326 : 8492/55663 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (9179/27764 : 1167/13882 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (-27107/2587108 : -195849/1293554 : 1)
**u= -12/151 ; tau(u)= -151/6 ; -151734*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z + 3624*z^2
; C5a (61/930 : 137/310 : 1)  C5b (133663/815020 : -56781/407510 : 1)
**u= -12/163 ; tau(u)= -163/6 ; -175494*x^2 - 53282*y^2 + 105988*x*z + 3912*z^2
; C5a (16345/8031602 : 2235257/8031602 : 1)  C5b (55123/121996 : -2073/60998 : 1)
**u= -8/9 ; tau(u)= -9/4 ; -1254*x^2 - 226*y^2 + 196*x*z + 144*z^2
; C5a (-155/598 : 119/598 : 1)  C5b (103/702 : -8/351 : 1)
**u= -8/99 ; tau(u)= -99/4 ; -65334*x^2 - 19666*y^2 + 39076*x*z + 1584*z^2
; C5a (-2/149395 : 42392/149395 : 1)  C5b (-58001/114814 : -3300/57407 : 1)
**u= -4/3 ; tau(u)= -3/2 ; -198*x^2 - 34*y^2 + 4*x*z + 24*z^2
; C5a (-4/47 : 38/47 : 1)  C5b (-5/12 : 1/6 : 1)
**u= -4/89 ; tau(u)= -89/2 ; -50422*x^2 - 15858*y^2 + 31652*x*z + 712*z^2
; C5a (1056/1765 : 1682/5295 : 1)  C5b (6315/119348 : 26989/179022 : 1)
**u= -4/117 ; tau(u)= -117/2 ; -85926*x^2 - 27394*y^2 + 54724*x*z + 936*z^2
; C5a (2542/251257 : -58418/251257 : 1)  C5b (-3319/14998 : 1044/7499 : 1)
**u= -4/143 ; tau(u)= -143/2 ; -127318*x^2 - 40914*y^2 + 81764*x*z + 1144*z^2
; C5a (39/98 : -169/294 : 1)  C5b (22983/319580 : -72017/479370 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/55 ; tau(u)= 55/2 ; -16438*x^2 - 6066*y^2 + 12068*x*z - 440*z^2
; C5a (28640/423173 : -283010/1269519 : 1)  C5b (-5581/12636 : 869/18954 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (61291/697172 : -52545/348586 : 1)
**u= 8/99 ; tau(u)= 99/4 ; -52662*x^2 - 19666*y^2 + 39076*x*z - 1584*z^2
; C5a (1372/15277 : -4220/15277 : 1)  C5b (-117367/49291812 : -3744725/24645906 : 1)
**u= 12 ; tau(u)= 1/6 ; -342*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z - 24*z^2
; C5a (-19/106 : 35/106 : 1)  C5b (207/236 : 29/118 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (2867/5314 : 168/2657 : 1)
**u= 12/151 ; tau(u)= 151/6 ; -122742*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z - 3624*z^2
; C5a (44225/620566 : -137069/620566 : 1)  C5b (-2513/26314 : 1932/13157 : 1)
**u= 16/63 ; tau(u)= 63/8 ; -16518*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z - 2016*z^2
; C5a (7909/11338 : 3227/11338 : 1)  C5b (31405/316836 : 24137/158418 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (-19/78 : 160/1989 : 1)
**u= 20/59 ; tau(u)= 59/10 ; -12646*x^2 - 7362*y^2 + 13124*x*z - 2360*z^2
; C5a (9008/12177 : 8810/36531 : 1)  C5b (37801/860604 : 190943/1290906 : 1)
**u= 20/121 ; tau(u)= 121/10 ; -69686*x^2 - 29682*y^2 + 57764*x*z - 4840*z^2
; C5a (2015/19854 : 6035/59562 : 1)  C5b (-8841/34186 : -5768/51279 : 1)
**u= 24/73 ; tau(u)= 73/12 ; -19686*x^2 - 11234*y^2 + 20164*x*z - 3504*z^2
; C5a (3284/5149 : 1784/5149 : 1)  C5b (-22093/62684 : 519/31342 : 1)
**u= 24/101 ; tau(u)= 101/12 ; -43542*x^2 - 20978*y^2 + 39652*x*z - 4848*z^2
; C5a (21065/142326 : -893/15814 : 1)  C5b (-2032033/15648766 : 1041108/7824383 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (-554961/4554578 : -315232/2277289 : 1)
**u= 24/169 ; tau(u)= 169/12 ; -140646*x^2 - 57698*y^2 + 113092*x*z - 8112*z^2
; C5a (1153/2054 : -899/2054 : 1)  C5b (130251/250900 : -8881/125450 : 1)
**u= 24/185 ; tau(u)= 185/12 ; -171558*x^2 - 69026*y^2 + 135748*x*z - 8880*z^2
; C5a (10213/34562 : 16771/34562 : 1)  C5b (-284679/794846 : 32888/397423 : 1)
**u= 24/187 ; tau(u)= 187/12 ; -175638*x^2 - 70514*y^2 + 138724*x*z - 8976*z^2
; C5a (47369/239878 : 1331/3286 : 1)  C5b (-257829/721132 : -30049/360566 : 1)
**u= 28/117 ; tau(u)= 117/14 ; -58278*x^2 - 28162*y^2 + 53188*x*z - 6552*z^2
; C5a (30510/73417 : -32406/73417 : 1)  C5b (78377/419862 : 31796/209931 : 1)
**u= 28/129 ; tau(u)= 129/14 ; -73302*x^2 - 34066*y^2 + 64996*x*z - 7224*z^2
; C5a (74629/447738 : 32071/149246 : 1)  C5b (154271/346726 : -20064/173363 : 1)
**u= 28/135 ; tau(u)= 135/14 ; -81462*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z - 7560*z^2
; C5a (3220/20599 : 4270/20599 : 1)  C5b (-22457/1055452 : 77979/527726 : 1)
**u= 28/155 ; tau(u)= 155/14 ; -111782*x^2 - 48834*y^2 + 94532*x*z - 8680*z^2
; C5a (103539/147362 : -101147/442086 : 1)  C5b (42223/1148916 : 261335/1723374 : 1)
**u= 32/9 ; tau(u)= 9/16 ; -1254*x^2 - 1186*y^2 - 1724*x*z - 576*z^2
; C5a (-47/82 : -1/82 : 1)  C5b (2219/8038 : -108/4019 : 1)
**u= 32/179 ; tau(u)= 179/16 ; -149494*x^2 - 65106*y^2 + 126116*x*z - 11456*z^2
; C5a (3112/28991 : 6460/86973 : 1)  C5b (-154233/3447652 : 760255/5171478 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (58773/1051372 : -79775/525686 : 1)
**u= 36/193 ; tau(u)= 193/18 ; -171798*x^2 - 75794*y^2 + 146404*x*z - 13896*z^2
; C5a (63490/321893 : 9682/29263 : 1)  C5b (-1109049/3831172 : -191509/1915586 : 1)
**u= 40/91 ; tau(u)= 91/20 ; -25366*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z - 7280*z^2
; C5a (466/1161 : 656/3483 : 1)  C5b (-6889/96642 : 18400/144963 : 1)
**u= 40/111 ; tau(u)= 111/20 ; -43206*x^2 - 26242*y^2 + 46084*x*z - 8880*z^2
; C5a (1101/4226 : 363/4226 : 1)  C5b (22639/34654 : 1356/17327 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (5069/15412 : 153/7706 : 1)
**u= 44/129 ; tau(u)= 129/22 ; -60246*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z - 11352*z^2
; C5a (28360/42727 : -13882/42727 : 1)  C5b (-318839261/1355055170 : -9212712/96789655 : 1)
**u= 44/169 ; tau(u)= 169/22 ; -117686*x^2 - 59058*y^2 + 110372*x*z - 14872*z^2
; C5a (5003/11062 : -14305/33186 : 1)  C5b (6989/40196 : -9179/60294 : 1)
**u= 48/13 ; tau(u)= 13/24 ; -2934*x^2 - 2642*y^2 - 3932*x*z - 1248*z^2
; C5a (-190/367 : 8/367 : 1)  C5b (-1703/116 : -219/58 : 1)
**u= 48/121 ; tau(u)= 121/24 ; -48294*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z - 11616*z^2
; C5a (57/194 : -9/194 : 1)  C5b (695151/3022834 : -231836/1511417 : 1)
**u= 52/5 ; tau(u)= 5/26 ; -6182*x^2 - 2754*y^2 - 5308*x*z - 520*z^2
; C5a (-163/1422 : -655/12798 : 1)  C5b (149/188 : -185/846 : 1)
**u= 52/139 ; tau(u)= 139/26 ; -66214*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z - 14456*z^2
; C5a (522/1759 : 838/5277 : 1)  C5b (-22653/68108 : 2171/102162 : 1)
**u= 56/121 ; tau(u)= 121/28 ; -43046*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z - 13552*z^2
; C5a (348675/726742 : 488569/2180226 : 1)  C5b (34177/501470 : 109156/752205 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (-123051/845086 : 44824/422543 : 1)
**u= 60/191 ; tau(u)= 191/30 ; -138006*x^2 - 76562*y^2 + 138724*x*z - 22920*z^2
; C5a (3010/9477 : -970/3159 : 1)  C5b (17249829/503250884 : -37257841/251625442 : 1)
**u= 64/123 ; tau(u)= 123/32 ; -40086*x^2 - 34354*y^2 + 52324*x*z - 15744*z^2
; C5a (5009/6338 : 817/6338 : 1)  C5b (-18893/71804 : -1431/35902 : 1)
**u= 64/137 ; tau(u)= 137/32 ; -54758*x^2 - 41634*y^2 + 66884*x*z - 17536*z^2
; C5a (1273/1638 : -2675/14742 : 1)  C5b (17649/97618 : 67084/439281 : 1)
**u= 68/161 ; tau(u)= 161/34 ; -81814*x^2 - 56466*y^2 + 94436*x*z - 21896*z^2
; C5a (2887/3662 : -1909/10986 : 1)  C5b (353033/1187572 : 271889/1781358 : 1)
**u= 72/127 ; tau(u)= 127/36 ; -39174*x^2 - 37442*y^2 + 54148*x*z - 18288*z^2
; C5a (37260/60221 : -4596/60221 : 1)  C5b (-18107/183814 : 9936/91907 : 1)
**u= 72/163 ; tau(u)= 163/36 ; -81078*x^2 - 58322*y^2 + 95908*x*z - 23472*z^2
; C5a (324/883 : 1140/9713 : 1)  C5b (-401/1486 : 480/8173 : 1)
**u= 76/3 ; tau(u)= 3/38 ; -15558*x^2 - 5794*y^2 - 11516*x*z - 456*z^2
; C5a (-431/1558 : 803/1558 : 1)  C5b (-53171/84556 : 3975/42278 : 1)
**u= 76/143 ; tau(u)= 143/38 ; -53078*x^2 - 46674*y^2 + 70244*x*z - 21736*z^2
; C5a (230/323 : -166/969 : 1)  C5b (-13398355/53271084 : 3727541/79906626 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (374909/2553732 : -192599/1276866 : 1)
**u= 84/197 ; tau(u)= 197/42 ; -121638*x^2 - 84674*y^2 + 141124*x*z - 33096*z^2
; C5a (17961/54866 : -1545/54866 : 1)  C5b (1132001/5279068 : -405597/2639534 : 1)
**u= 88/13 ; tau(u)= 13/44 ; -15094*x^2 - 8082*y^2 - 14812*x*z - 2288*z^2
; C5a (-665/3314 : -967/9942 : 1)  C5b (19605/50234 : -3328/75351 : 1)
**u= 88/153 ; tau(u)= 153/44 ; -55974*x^2 - 54562*y^2 + 78148*x*z - 26928*z^2
; C5a (6865/9946 : -791/9946 : 1)  C5b (-124303/483758 : 5184/241879 : 1)
**u= 88/183 ; tau(u)= 183/44 ; -95334*x^2 - 74722*y^2 + 118468*x*z - 32208*z^2
; C5a (9757/11686 : 671/11686 : 1)  C5b (-180989/666820 : 2193/47630 : 1)
**u= 92/21 ; tau(u)= 21/46 ; -12582*x^2 - 9346*y^2 - 15164*x*z - 3864*z^2
; C5a (-6258/16769 : 1134/16769 : 1)  C5b (8929/28538 : 336/14269 : 1)
**u= 96/181 ; tau(u)= 181/48 ; -85206*x^2 - 74738*y^2 + 112612*x*z - 34752*z^2
; C5a (66872/85893 : -3740/28631 : 1)  C5b (773577/1126850 : 67108/563425 : 1)
**u= 100/3 ; tau(u)= 3/50 ; -27654*x^2 - 10018*y^2 - 19964*x*z - 600*z^2
; C5a (-2699/84862 : -2239/84862 : 1)  C5b (100939/192894 : -6904/96447 : 1)
**u= 100/171 ; tau(u)= 171/50 ; -68646*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z - 34200*z^2
; C5a (52600/76611 : 370/25537 : 1)  C5b (35641727/38259948 : -973523/19129974 : 1)
**u= 104/3 ; tau(u)= 3/52 ; -30006*x^2 - 10834*y^2 - 21596*x*z - 624*z^2
; C5a (-658/4535 : 1888/4535 : 1)  C5b (1543/1492 : 213/746 : 1)
**u= 104/21 ; tau(u)= 21/52 ; -17622*x^2 - 11698*y^2 - 19868*x*z - 4368*z^2
; C5a (-119/286 : -7/26 : 1)  C5b (129023/395330 : -252/197665 : 1)
**u= 112/27 ; tau(u)= 27/56 ; -17814*x^2 - 14002*y^2 - 22172*x*z - 6048*z^2
; C5a (-70/143 : -28/143 : 1)  C5b (5957/7062 : 920/3531 : 1)
**u= 128/31 ; tau(u)= 31/64 ; -23174*x^2 - 18306*y^2 - 28924*x*z - 7936*z^2
; C5a (-6968/17109 : -236/153981 : 1)  C5b (2741/5564 : -3481/25038 : 1)
**u= 132/31 ; tau(u)= 31/66 ; -25302*x^2 - 19346*y^2 - 31004*x*z - 8184*z^2
; C5a (-15360/21667 : 5118/21667 : 1)  C5b (21017/38474 : 3048/19237 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (319/6 : -4816/297 : 1)
**u= 144/25 ; tau(u)= 25/72 ; -37158*x^2 - 21986*y^2 - 38972*x*z - 7200*z^2
; C5a (-3275/7098 : -855/2366 : 1)  C5b (-25089/25564 : 2173/12782 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (133881/402514 : 11432/201257 : 1)
**u= 148 ; tau(u)= 1/74 ; -64534*x^2 - 21906*y^2 - 43804*x*z - 296*z^2
; C5a (-92001/13182214 : -685003/39546642 : 1)  C5b (-28179/55454 : -4/357 : 1)
**u= 148/33 ; tau(u)= 33/74 ; -33174*x^2 - 24082*y^2 - 39452*x*z - 9768*z^2
; C5a (-6979/18198 : -859/6066 : 1)  C5b (23983/34102 : 3624/17051 : 1)
**u= 168/17 ; tau(u)= 17/84 ; -63558*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z - 5712*z^2
; C5a (-2212/5269 : -224/479 : 1)  C5b (-339/442 : -28/221 : 1)
**u= 168/19 ; tau(u)= 19/84 ; -61302*x^2 - 28946*y^2 - 55004*x*z - 6384*z^2
; C5a (-6650/9039 : 532/3013 : 1)  C5b (13605/19228 : -1841/9614 : 1)
**u= 184/15 ; tau(u)= 15/92 ; -80838*x^2 - 34306*y^2 - 66812*x*z - 5520*z^2
; C5a (-49210/67691 : 6620/67691 : 1)  C5b (-403103/665262 : 13064/332631 : 1)
**u= 192 ; tau(u)= 1/96 ; -109062*x^2 - 36866*y^2 - 73724*x*z - 384*z^2
; C5a (-31755/5854666 : 108501/5854666 : 1)  C5b (-23397/46262 : 160/23131 : 1)
**u= 196/45 ; tau(u)= 45/98 ; -56838*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z - 17640*z^2
; C5a (-30020/58471 : -14650/58471 : 1)  C5b (589897/1027604 : 86235/513802 : 1)
**u= 196/57 ; tau(u)= 57/98 ; -45366*x^2 - 44914*y^2 - 63836*x*z - 22344*z^2
; C5a (-35678/54397 : 782/54397 : 1)  C5b (73409/19130 : -10188/9565 : 1)
224
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0,(5b-)のとき

963^4+10486^4+1849*672^4=10567^4
5030213484828672^4+11746189106376337^4+1849*1568345796075072^4=13254441400954513^4
1292034149398019308972009074078821302^4+1725176854560883303256264032560776739^4+1849*301631690613828375074142711268459488^4=2278453453718282340239707607852422183^4
11575541621237709302770520575943527490914619668322003067271209025^4+54288169512774687953092253604186776358954120977938124408532197376^4+1849*5206875054209338718103669726661326193439759527544646637945050240^4=56322569966650899903775204950138329613011941227852038618964648001^4
3613261807614609961861783929300024838613759571801538859737620275359447666179568761676097806728640822^4+176529036011282054122706158043028155169032744488450286831884909347125073741600518347766407751408922339^4+1849*5419933214879162151654985579007430646866592872262514191543032245387375382029763814785381594507884832^4=176601510166704961573164648398810457232706582082973267798180275953021425956460670299682327681493482983^4
1503159080855297816284451418474321347134711566005343180664603556557695200281727355337102057635804507437611315295592415348081818209671610814007057^4+62689574705221765806967991699846338934387680520463765985566134775185877678205904802097043778792614422485179239220313693277508096950584674176407552^4+1849*2081535092556757003751655187085249983657168565411675337872581233073303195119314904717652726571896023732439486000842260798838144106332539241137472^4=62724773194039635876841923283155351999087176899374975809558803464126358191649390309277571088066606779325325551262044462643170942882451295758026513^4
548771954072911370788820716114217657802468067001494327477427091276593536823476653988328509883213921516468399069800500474371783371857539422941513116164830526897080307383805226235444367303349899354486^4+2428547135236787872974159912199986791267478569886436043086984917925716732818665177733096023895445191361343846913424572018483510035452393382299661022124896601254506279486188341618500005033985727546883^4+1849*239431018667446388013531488188420789607264875133000842566266695147609783336321458839181307408915364968352593578780637442544712268867545420907957208689301732616256775269782473631351482879478859048352^4=2529695399344020084367329583531293051585905236087891546023156053227817406493518660816249252540108330572966604503768786708616251528226467840616409720000569307435689766715818244264506296467677717253767^4
7582005941487069254175076498825050103605721176208697712976834977031946912871484096928892418768094023206025883137061004836374470940418123149884752988058875780739032728139702152706067080420462124326470020312269626561402647577555185112770036390270032274622112001^4+9690011667104522970808325481174664259705090887555321024077302412439753801866383728864274528945451676129729974239258363193385939155667462697003424486526691236347559334533336676525427978205292494724450497441475644286016579438344493610221161062972458673179033600^4+1849*1731014046867506557100416152159784132364237504277565069282132266147781795661762750983662243530921166154689099925137637070917437773183617653605781223254945212276433536554324695873911180728410677576256512360102962299223611566633909792272416540641035176354420480^4=13018332387907264916358739039728682096502309371597102704997588018302528036569024480479671229486274602436616074764242835696098681217603151518173617719848926534490642689701250022779944658705909202034295963260389122916729742077838054198419239893406350393575072001^4
3523306270835527492515521429432907345497247850756366366520016143708181028669780681766388521819313889348039696585415592482112537181841979942181555034194279603223339616502233114981237204206152298675109320975045998738410471137770101202263322897334655693339832568817406622369113017362368926509715327714876469904403237049862571603843^4+8632835996089444634789574770357670293912380991718336450949356751838401742309951097482508287316611423185528461563169851906013128830709264772035294520199432902056210995995781964433341360371052600733085973922892088387134978538075900405720693157294301014787118006875906776030948140514650935111921261356877592715037479725646132231286^4+1849*1126546962436475217116379620298444140427662100723214548868820339248425372628864904851329746224342759380188903940497416530305617195788243829969214783425638939625254408236415409461531307473395874456996664877572876643363029609175285582264946430433376770759701555636591786350061803448357955692747678946928850026655581069475409191008^4=9654022389398177112269362329203366150076492943825257822344329823644236454389298418822748575497135770417036769125690513925988747000605636013086423103775122439237231246387949700064534755218879545221045491382860388255418117306708024531873235797007998710897207436843405496035757047974660234054073463656961005282766284663917690012167^4
81918505094694726081961464942039273593114755578370990502552162042046871453368339177913684506483848909039862940596212862689794049827803710364558421628104705254887495539820597241449514096501735076223962236431491172359835720571168393108439510765282298630753299159559338184822710547585588346637198141973587154240698780901204043620441234205691146509889862581434858397841562923175553752199085326544737257428992^4+969538197405084041792612678708299971234319044238145673251252252198273527462246980333896307768735344400245761580125053638303570228160077918964669195965630097422271238440240970142560322236916035888458433471560339711035780761190499612871438605388895469541295864565143649709317905177966437830590742362773218160904925460720138898539666628443314105558931685281683056718136945179220602404052394209552332179404817^4+1849*59677527050342993526243946466132085853242352805720099776163179089038043102684294036749489383691892405328732811214227813958497288508798125016899147510583095614760024993070123882031520242034763831887663517806216892971345740169301167701631712905018391899678179450205839180808954912827670951357408796491449998048301109497773797541675041747914039644240303471702415732282862611783662823942693569531848252737728^4=975920430226459715840338584092621902156432250799803914837616392514067657453710930386503332655419170709913049430611085710540905102159934565429682086694769006536096395158551452360979583184991689421668159656460258043813164740305857971781863676298236680191431285419612808696434723071432187656876044973740681795697214749969399018584931604736481351331865155660909116602621159545998271967224069725567772211050513^4
1564886754435886197121447593791992157534367579491723024607694016572617941805212262811255507687305391573853159187460428757564014668100934567983605541364439784599448778565470831483447161076096429656807528304433284943639356524525379423801395482727416921071881203163105723030818886286057880497574789093179715054458065335763736756173588324316448363940517018147800168429504621336092799586372690498275660132987849464220787015213621650325580242716913051380518708156808956390930561516152086762339^4+11657249860766457172772421100029192493951117299152897534586807001823239508282219374879793838945240455453037740873846299147363185381552346907040411170771602666975186283737160437870986625270971867608297474490909317004188218367558226667167970380148446317705517109137110840791952033046865329876262169900500398983048745375617090737853916761209189951971652016787888007286740248902151704339637708050216570133806544081006166578821050908186537950127567122492366626471249470377027955773827128714684982^4+1849*29127667494301610671659595466685698273873569898525991185392853253713742263963091188134911453273030085186519053409907164059376553785410193142269588430889001236499535326817041579995429383011635862264053882424834568557962333130715809626041576572723807754634688891471838481782081704503962780679323598711987274820836798031643295298829939930946570897759781377333630218846066415307040062482297221879555553465823455036239521327587442781235674810306337016994931144835932128265509986195803765571808^4=11657250070811012064564016159163551221603878354610404580579213474654934158655170344422883225201942775692277957696319780826354224582779613462862593271858989891412765523548042158363870040711314077894064063779634205294486791136298382250700905050533588541303701851160909892232068309853166519222116913292365439005456393856066333331072972995083744560078861516389758384557954473220828232296341006167745320981295749366430353959869735689980999361105189699975130164504532707942484316079723355123476583^4
1533851110815004812181240813607137690376257097942729480373514872364839143566852230055894173796384464698125070033814277988402021348846263747641467583455493793359187475602520258645379873888918364051315888351676067969291918414310039476545411949062674737456239863398920581475225388533703712238093926817858427382915303199715460949910678734182629654756978579723213719739366443906438170678545851528769141185284142834089622129766566670003259846360152094176510328129618299046418732692462499904615371308406967002776240815866128708112682725268721085788135144782188004089023498561730969439461376^4+15410875244645579833195475777483719487732777414644604337042228535339469922946311121984961494628210432373558099672237165518594639322581915245124485862607252021608945418538106911303188121733116590071711742030222464865255708240929824860093314353053076401383527147034247127401349954207631125888984837028787848607736613082749389376810843718339987625701669150942649008495803432133870165097020755670224998479934310442114535882952771052747553760629433956622592415229928816380238082561436848480694373150846187494320668372533172454293560231952208366476196909769604953586093200939225782364316225^4+1849*1026734897153682077798166075220057690780391908165242903463756947190794491755219714773945398571578109029005045316138252342043241743698580284693860881087655484366200758043923051316397649606994255050575746891801610989204929555810415020423777033037095027517982145560647542226754174410721351414898823239099154051101515220186290106477071013750749580614526591806573477615772918845555522925845212123272580176223277371075629690532063951869992819329735452210009936045496067516255123445871011836663282628174321430545309659002170717419467190317256039763013811243110319063778843697091479167630720^4=15549720758039795638503149351295212841735850443135628951905272573819796356221594109545792756115211578684738774392963299757652836958397030542409691812660952466012567570332474397955393967797428254450135306534006381128484286473077997131469707827465993770140091372177301636181940756925661595914575426808545141314721372303947773907383040528984394347831766324602511251295789162891810902990319619583481954656428810642198041650864682469297685312092053245860843690111497789469332517803457921876493479712042901531958939294068026653934670858908972900743111312039442043081883424002731708276712001^4
975254257723987462729506333439186343582987387679025796321397824678004911673267686810057399963202776969967395171009859931154349887418468391327632209824866271171796324104362365968549227675464523598377811804053643346270206622621938436921866635990898324433015188641864913426092522810938130668060788448757883042204115241600886499443630609043956791948578880469077149430998862415159029647888201272926813365327776603929898079244645385758011138127159805679664419430165184783494073359310809589062986900213238590311936926135179712805774893254750665465838770788102357288141856633944937914309791987946003324137895013533931776963260297066579563780190146716763910565944280158466970076067229242527139^4+2171492278393391031366987065731573439976795917090349767648887882835657355731767764628041829319445532722234707782656511505372763132787822203809484808257235334955440837617713859519269443592465487203805006194820731527641601825363139524362781502306090579166451041111539414175515381345291549629982141645613054436762067085221567027525337587972110629496140805281013021787957006833866053641527434173520008416380278743834869128988485637884078907698424207748864237666723744084311767079035589813306997698176192599430884773405954347281760239670935081056966904133523623384705142090416186635169749458019881786029845685863083125755552071023838569627507604828127755009524177953823656025104750698959542^4+1849*296592532486850651973844070892952192374153281637500446999036223509884432038959818039834193878218531475234310329930571741977175903420339578890583561498039968160698748192895536778148203423741652078115217512318551301056841362810993526091581016066366773872906722425879192692392793644421489117203467314098888635970388531490952961384604699890913255889668489856962763663504039089203116932770051541195191677046423592896520607144012020298685502483685344469339993885474970435256544793337153566958999262901203967769542359527092423133393673842186240338705178441947431756362978077508579667968981405765456813477531077258714671776258440747455216841279136457841247818209189662057132357560233857349152^4=2473747593936634227563260341781697923641494796911478454870710451623313426583389928094333602753814690979162994041456204631501594373500809866872326004031662025392691614117602065658751809261960280149528092232828169084318579763810312374908362474455009352990616572710158600134666237774143920882808805056125679031737780925406629844291709658005404491121438356381100148225551635054072149221349121133284685693508905644981906809982332033983756164489966019556620564499104911264211425116199631360022197521507157350707141812608670710066563280682275267673926198015953274501123182750399076244514864913560972347313184159197693071047530703127650365540709625927504040273271331914833859113934350339138983^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.04.06

H.Nakao