Integer Points on A^4+B^4+1764*C^4=D^4

[2026.04.07]A^4+B^4+1764*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように168個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(42,1,200);
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (17341/8698 : -448/4349 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (-37703/9098 : 246/4549 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (-337/29962 : -636/14981 : 1)
**u= -176/9 ; tau(u)= -9/88 ; -106086*x^2 - 31138*y^2 - 61628*x*z + 3168*z^2
; C5a (-62639/300054 : -60545/100018 : 1)  C5b (45409/73082 : -3014/36541 : 1)
**u= -176/93 ; tau(u)= -93/88 ; -275766*x^2 - 48274*y^2 - 27356*x*z + 32736*z^2
; C5a (9128/129293 : -100952/129293 : 1)  C5b (314335/61178 : 18702/30589 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (207047/333046 : -8220/166523 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (7682195/956914 : -894672/478457 : 1)
**u= -172/141 ; tau(u)= -141/86 ; -402054*x^2 - 69346*y^2 + 20356*x*z + 48504*z^2
; C5a (-3079/1924158 : 536225/641386 : 1)  C5b (-15943/155218 : 7834/77609 : 1)
**u= -172/183 ; tau(u)= -183/86 ; -541494*x^2 - 96562*y^2 + 74788*x*z + 62952*z^2
; C5a (-8119/612218 : 490033/612218 : 1)  C5b (-107659/62818 : -2684/31409 : 1)
**u= -168/13 ; tau(u)= -13/84 ; -103158*x^2 - 28562*y^2 - 55772*x*z + 4368*z^2
; C5a (-102092/216089 : 112136/216089 : 1)  C5b (3888259/1449482 : -564548/724741 : 1)
**u= -168/17 ; tau(u)= -17/84 ; -109254*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z + 5712*z^2
; C5a (3225/46006 : 9771/46006 : 1)  C5b (1798121/400870 : 263762/200435 : 1)
**u= -168/53 ; tau(u)= -53/84 ; -172758*x^2 - 33842*y^2 - 45212*x*z + 17808*z^2
; C5a (-707/49386 : -12145/16462 : 1)  C5b (324857/20998 : 39890/10499 : 1)
**u= -168/61 ; tau(u)= -61/84 ; -188982*x^2 - 35666*y^2 - 41564*x*z + 20496*z^2
; C5a (-4292/14033 : 9260/14033 : 1)  C5b (2136545/429622 : 223898/214811 : 1)
**u= -168/73 ; tau(u)= -73/84 ; -214758*x^2 - 38882*y^2 - 35132*x*z + 24528*z^2
; C5a (-16516/46957 : 24188/46957 : 1)  C5b (494605/235426 : 27082/117713 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (5209529/1401574 : -139926/700787 : 1)
**u= -168/187 ; tau(u)= -187/84 ; -545814*x^2 - 98162*y^2 + 83428*x*z + 62832*z^2
; C5a (81084/1834601 : -1498080/1834601 : 1)  C5b (-101281/61750 : -1082/30875 : 1)
**u= -168/191 ; tau(u)= -191/84 ; -560262*x^2 - 101186*y^2 + 89476*x*z + 64176*z^2
; C5a (-37163/178014 : 27083/59338 : 1)  C5b (-60833/45170 : -2812/22585 : 1)
**u= -164/111 ; tau(u)= -111/82 ; -300246*x^2 - 51538*y^2 - 4508*x*z + 36408*z^2
; C5a (226372/2629051 : -2128894/2629051 : 1)  C5b (-32185/15974 : -444/1141 : 1)
**u= -164/195 ; tau(u)= -195/82 ; -564678*x^2 - 102946*y^2 + 98308*x*z + 63960*z^2
; C5a (742649/2246906 : -1305727/2246906 : 1)  C5b (506251/6122774 : 240374/3061387 : 1)
**u= -160/93 ; tau(u)= -93/80 ; -247734*x^2 - 42898*y^2 - 16604*x*z + 29760*z^2
; C5a (9080/28877 : 940/28877 : 1)  C5b (-5302019/12773306 : -147096/912379 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (-46403/21554 : -110/10777 : 1)
**u= -156/77 ; tau(u)= -77/78 ; -204678*x^2 - 36194*y^2 - 24956*x*z + 24024*z^2
; C5a (6380/77931 : 6534/8659 : 1)  C5b (413794697/85958686 : -28778542/42979343 : 1)
**u= -156/161 ; tau(u)= -161/78 ; -429462*x^2 - 76178*y^2 + 55012*x*z + 50232*z^2
; C5a (426/4073 : -3342/4073 : 1)  C5b (-313255/482234 : 45032/241117 : 1)
**u= -152/39 ; tau(u)= -39/76 ; -125862*x^2 - 26146*y^2 - 40124*x*z + 11856*z^2
; C5a (-30308/105837 : -24900/35279 : 1)  C5b (-139681/910 : 18916/455 : 1)
**u= -152/45 ; tau(u)= -45/76 ; -136182*x^2 - 27154*y^2 - 38108*x*z + 13680*z^2
; C5a (-158804/919173 : -236648/306391 : 1)  C5b (-20179/68866 : 1914/34433 : 1)
**u= -152/87 ; tau(u)= -87/76 ; -220518*x^2 - 38242*y^2 - 15932*x*z + 26448*z^2
; C5a (-2042/13915 : -11032/13915 : 1)  C5b (274937/21406 : 16656/10703 : 1)
**u= -152/123 ; tau(u)= -123/76 ; -309654*x^2 - 53362*y^2 + 14308*x*z + 37392*z^2
; C5a (-16138/359771 : 296024/359771 : 1)  C5b (-530821/106162 : 7054/53081 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-68201/110078 : -10000/55039 : 1)
**u= -148/33 ; tau(u)= -33/74 ; -111318*x^2 - 24082*y^2 - 39452*x*z + 9768*z^2
; C5a (17144/3619943 : 2283010/3619943 : 1)  C5b (-17694661/178738 : -353892/12767 : 1)
**u= -148/51 ; tau(u)= -51/74 ; -141702*x^2 - 27106*y^2 - 33404*x*z + 15096*z^2
; C5a (-1990/63353 : 48682/63353 : 1)  C5b (-860249/105518 : -15662/7537 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (-1811/4550 : 54/325 : 1)
**u= -148/177 ; tau(u)= -177/74 ; -463254*x^2 - 84562*y^2 + 81508*x*z + 52392*z^2
; C5a (-227699/1274218 : 60457/115838 : 1)  C5b (-37139/183722 : 13478/91861 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (16523/14974 : 1230/7487 : 1)
**u= -144/175 ; tau(u)= -175/72 ; -447558*x^2 - 81986*y^2 + 81028*x*z + 50400*z^2
; C5a (143762/353503 : -119264/353503 : 1)  C5b (-169231/311134 : 26804/155567 : 1)
**u= -136/141 ; tau(u)= -141/68 ; -328182*x^2 - 58258*y^2 + 42532*x*z + 38352*z^2
; C5a (61701/326506 : 251877/326506 : 1)  C5b (2671/20650 : -2/10325 : 1)
**u= -136/195 ; tau(u)= -195/68 ; -495798*x^2 - 94546*y^2 + 115108*x*z + 53040*z^2
; C5a (153260/625593 : 153880/208531 : 1)  C5b (312761/1433446 : -6266/716723 : 1)
**u= -132/49 ; tau(u)= -49/66 ; -118422*x^2 - 22226*y^2 - 25244*x*z + 12936*z^2
; C5a (-1648/4684959 : -132422/173517 : 1)  C5b (-17591471/181814 : 2056332/90907 : 1)
**u= -132/91 ; tau(u)= -91/66 ; -198054*x^2 - 33986*y^2 - 1724*x*z + 24024*z^2
; C5a (-15268/80983 : -57794/80983 : 1)  C5b (-42361/202 : -1108/101 : 1)
**u= -132/119 ; tau(u)= -119/66 ; -262902*x^2 - 45746*y^2 + 21796*x*z + 31416*z^2
; C5a (103625/747438 : 199681/249146 : 1)  C5b (-105199/48490 : -4896/24245 : 1)
**u= -124/81 ; tau(u)= -81/62 ; -165846*x^2 - 28498*y^2 - 4508*x*z + 20088*z^2
; C5a (-4455/12346 : 801/12346 : 1)  C5b (-180319/17038 : 10614/8519 : 1)
**u= -120/91 ; tau(u)= -91/60 ; -180246*x^2 - 30962*y^2 + 4324*x*z + 21840*z^2
; C5a (-107/9642 : 2695/3214 : 1)  C5b (-61727/9578 : 1906/4789 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (-19261/16598 : -1360/8299 : 1)
**u= -116/27 ; tau(u)= -27/58 ; -69798*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z + 6264*z^2
; C5a (41/402 : 61/134 : 1)  C5b (-71069/11774 : 1460/841 : 1)
**u= -108/7 ; tau(u)= -7/54 ; -41334*x^2 - 11762*y^2 - 23132*x*z + 1512*z^2
; C5a (45/45538 : 16203/45538 : 1)  C5b (14251/13190 : 1778/6595 : 1)
**u= -108/119 ; tau(u)= -119/54 ; -222774*x^2 - 39986*y^2 + 33316*x*z + 25704*z^2
; C5a (-3898/86709 : 22278/28903 : 1)  C5b (-8627/77414 : -4934/38707 : 1)
**u= -104/51 ; tau(u)= -51/52 ; -90486*x^2 - 16018*y^2 - 11228*x*z + 10608*z^2
; C5a (509/3002 : -1853/3002 : 1)  C5b (-3631/27370 : -338/13685 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (-25603/136318 : -10310/68159 : 1)
**u= -104/177 ; tau(u)= -177/52 ; -367686*x^2 - 73474*y^2 + 103684*x*z + 36816*z^2
; C5a (373/766 : 31/766 : 1)  C5b (108665/426398 : -72/4351 : 1)
**u= -100/39 ; tau(u)= -39/50 ; -70326*x^2 - 13042*y^2 - 13916*x*z + 7800*z^2
; C5a (116372/474059 : -50162/474059 : 1)  C5b (-25393/66682 : -4264/33341 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (6559/39314 : -602/19657 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (32695/29102 : -4088/14551 : 1)
**u= -96/77 ; tau(u)= -77/48 ; -122358*x^2 - 21074*y^2 + 5284*x*z + 14784*z^2
; C5a (-98103/929366 : -726075/929366 : 1)  C5b (-12547/2290 : -118/1145 : 1)
**u= -96/91 ; tau(u)= -91/48 ; -147222*x^2 - 25778*y^2 + 14692*x*z + 17472*z^2
; C5a (14986/85787 : -66620/85787 : 1)  C5b (-71/310 : 22/155 : 1)
**u= -96/161 ; tau(u)= -161/48 ; -306822*x^2 - 61058*y^2 + 85252*x*z + 30912*z^2
; C5a (-4911/120694 : 80163/120694 : 1)  C5b (-526523/618806 : -30176/309403 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (66121/18662 : 292/1333 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (-75389/510874 : 37294/255437 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (31/14 : 4/7 : 1)
**u= -88/141 ; tau(u)= -141/44 ; -241782*x^2 - 47506*y^2 + 64036*x*z + 24816*z^2
; C5a (105/5674 : -4191/5674 : 1)  C5b (-247825/1243018 : 13586/88787 : 1)
**u= -84/13 ; tau(u)= -13/42 ; -30918*x^2 - 7394*y^2 - 13436*x*z + 2184*z^2
; C5a (-50/1349 : 806/1349 : 1)  C5b (-310417/5506 : -45786/2753 : 1)
**u= -84/19 ; tau(u)= -19/42 ; -36102*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z + 3192*z^2
; C5a (644/6151 : 2674/6151 : 1)  C5b (181295/96274 : -20538/48137 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (2281/1006 : -234/503 : 1)
**u= -84/29 ; tau(u)= -29/42 ; -45702*x^2 - 8738*y^2 - 10748*x*z + 4872*z^2
; C5a (17504/123907 : -65498/123907 : 1)  C5b (156257/21974 : -17612/10987 : 1)
**u= -84/41 ; tau(u)= -41/42 ; -58806*x^2 - 10418*y^2 - 7388*x*z + 6888*z^2
; C5a (1817/17046 : -4103/5682 : 1)  C5b (-65/514 : -2/257 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (149591/13834 : 2464/6917 : 1)
**u= -84/67 ; tau(u)= -67/42 ; -93126*x^2 - 16034*y^2 + 3844*x*z + 11256*z^2
; C5a (849/12346 : 10263/12346 : 1)  C5b (-38459/68294 : -6558/34147 : 1)
**u= -84/95 ; tau(u)= -95/42 ; -139158*x^2 - 25106*y^2 + 21988*x*z + 15960*z^2
; C5a (905/2926 : -1795/2926 : 1)  C5b (-497533/915262 : 3504/19897 : 1)
**u= -84/191 ; tau(u)= -191/42 ; -368406*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z + 32088*z^2
; C5a (34850/70857 : -2458/7873 : 1)  C5b (15811/183110 : 11482/91555 : 1)
**u= -84/197 ; tau(u)= -197/42 ; -386406*x^2 - 84674*y^2 + 141124*x*z + 33096*z^2
; C5a (-1265680/9698983 : 2999746/9698983 : 1)  C5b (115235/366574 : 3156/183287 : 1)
**u= -80/57 ; tau(u)= -57/40 ; -75174*x^2 - 12898*y^2 + 196*x*z + 9120*z^2
; C5a (-13723/73074 : -17201/24358 : 1)  C5b (-79/38234 : 342/19117 : 1)
**u= -80/141 ; tau(u)= -141/40 ; -228726*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z + 22560*z^2
; C5a (-53223/11052934 : 7670757/11052934 : 1)  C5b (648293/2531998 : 35314/1265999 : 1)
**u= -72/49 ; tau(u)= -49/36 ; -58182*x^2 - 9986*y^2 - 764*x*z + 7056*z^2
; C5a (92169/316922 : -138705/316922 : 1)  C5b (163621/7118 : 2186/3559 : 1)
**u= -68/39 ; tau(u)= -39/34 ; -44214*x^2 - 7666*y^2 - 3164*x*z + 5304*z^2
; C5a (-8878/25493 : -9406/25493 : 1)  C5b (607895/170506 : -8516/85253 : 1)
**u= -64/9 ; tau(u)= -9/32 ; -17382*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z + 1152*z^2
; C5a (117/2162 : -861/2162 : 1)  C5b (600289/64358 : -87494/32179 : 1)
**u= -64/51 ; tau(u)= -51/32 ; -54006*x^2 - 9298*y^2 + 2212*x*z + 6528*z^2
; C5a (-454291/4116662 : -3202273/4116662 : 1)  C5b (-268231/68810 : -10398/34405 : 1)
**u= -64/177 ; tau(u)= -177/32 ; -290886*x^2 - 66754*y^2 + 117124*x*z + 22656*z^2
; C5a (-39975/281966 : -15603/281966 : 1)  C5b (-1036151/2007278 : -124184/1003639 : 1)
**u= -60/7 ; tau(u)= -7/30 ; -14454*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z + 840*z^2
; C5a (-13/274 : -6541/11782 : 1)  C5b (1747/398 : -10892/8557 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (4993/22802 : 374/11401 : 1)
**u= -52/27 ; tau(u)= -27/26 ; -23718*x^2 - 4162*y^2 - 2492*x*z + 2808*z^2
; C5a (1780/6343 : 1526/6343 : 1)  C5b (21493/8806 : 338/4403 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (-132131/106526 : 1600/53263 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (123787/352142 : -7800/176071 : 1)
**u= -48/35 ; tau(u)= -35/24 ; -27702*x^2 - 4754*y^2 + 292*x*z + 3360*z^2
; C5a (-64/553 : -436/553 : 1)  C5b (-12283/542 : 42/271 : 1)
**u= -48/91 ; tau(u)= -91/24 ; -91542*x^2 - 18866*y^2 + 28516*x*z + 8736*z^2
; C5a (3813/101126 : 72441/101126 : 1)  C5b (-83095/310258 : 24352/155129 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-6665/38218 : 2958/19109 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (-8261/15722 : -754/7861 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (991/7994 : 36/3997 : 1)
**u= -44/87 ; tau(u)= -87/22 ; -81846*x^2 - 17074*y^2 + 26404*x*z + 7656*z^2
; C5a (-331/27794 : -18211/27794 : 1)  C5b (-34933/1310890 : -13074/93635 : 1)
**u= -44/129 ; tau(u)= -129/22 ; -151062*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z + 11352*z^2
; C5a (27050/114789 : 27154/38263 : 1)  C5b (-14287/21478 : 688/10739 : 1)
**u= -40/87 ; tau(u)= -87/20 ; -78054*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z + 6960*z^2
; C5a (-4139/108802 : 64141/108802 : 1)  C5b (-18679/258398 : 2720/18457 : 1)
**u= -40/123 ; tau(u)= -123/20 ; -134934*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z + 9840*z^2
; C5a (-1892/22921 : -8312/22921 : 1)  C5b (-91/126758 : 9280/63379 : 1)
**u= -36/49 ; tau(u)= -49/18 ; -32406*x^2 - 6098*y^2 + 7012*x*z + 3528*z^2
; C5a (45/134 : -81/134 : 1)  C5b (-18239/15070 : 98/7535 : 1)
**u= -36/91 ; tau(u)= -91/18 ; -79782*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z + 6552*z^2
; C5a (133/254 : -49/254 : 1)  C5b (-2491/3530 : 118/1765 : 1)
**u= -32/69 ; tau(u)= -69/16 ; -49302*x^2 - 10546*y^2 + 16996*x*z + 4416*z^2
; C5a (354/163627 : -106320/163627 : 1)  C5b (-283463/409682 : -2932/29263 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (58513/165254 : 6450/82627 : 1)
**u= -24/7 ; tau(u)= -7/12 ; -3366*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z + 336*z^2
; C5a (926/41155 : -28036/41155 : 1)  C5b (2381/1514 : -208/757 : 1)
**u= -24/49 ; tau(u)= -49/12 ; -25542*x^2 - 5378*y^2 + 8452*x*z + 2352*z^2
; C5a (-3579/145898 : 91803/145898 : 1)  C5b (6793/23554 : 256/11777 : 1)
**u= -24/119 ; tau(u)= -119/12 ; -109542*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z + 5712*z^2
; C5a (1144781/3104206 : -1939303/3104206 : 1)  C5b (84409/507170 : 33252/253585 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (1541/11258 : 776/5629 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-5309/4214 : 762/2107 : 1)
**u= -20/33 ; tau(u)= -33/10 ; -13014*x^2 - 2578*y^2 + 3556*x*z + 1320*z^2
; C5a (-34/24209 : 17290/24209 : 1)  C5b (-6823/147238 : 1432/10517 : 1)
**u= -16/3 ; tau(u)= -3/8 ; -1206*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z + 96*z^2
; C5a (2/27 : -4/9 : 1)  C5b (131/154 : -8/77 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (-377/2198 : 170/1099 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (-457/3374 : -260/1687 : 1)
**u= -16/81 ; tau(u)= -81/8 ; -50502*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z + 2592*z^2
; C5a (-583/9258 : -741/3086 : 1)  C5b (-62651/103670 : -1268/51835 : 1)
**u= -16/129 ; tau(u)= -129/8 ; -117126*x^2 - 33538*y^2 + 66052*x*z + 4128*z^2
; C5a (4145/22766 : -13771/22766 : 1)  C5b (-1213/4858 : -348/2429 : 1)
**u= -12/7 ; tau(u)= -7/6 ; -1398*x^2 - 242*y^2 - 92*x*z + 168*z^2
; C5a (7/26 : 119/286 : 1)  C5b (-13/2 : -12/11 : 1)
**u= -12/35 ; tau(u)= -35/6 ; -11142*x^2 - 2594*y^2 + 4612*x*z + 840*z^2
; C5a (-352/106687 : -60154/106687 : 1)  C5b (-43/418 : 32/209 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (39413/84526 : 300/42263 : 1)
**u= -8/9 ; tau(u)= -9/4 ; -1254*x^2 - 226*y^2 + 196*x*z + 144*z^2
; C5a (-155/598 : 119/598 : 1)  C5b (-5743/6286 : -556/3143 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (-16451/57386 : -4040/28693 : 1)
**u= -4/15 ; tau(u)= -15/2 ; -1878*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z + 120*z^2
; C5a (5/38 : -25/38 : 1)  C5b (389/1414 : 66/707 : 1)
**u= -4/153 ; tau(u)= -153/2 ; -145398*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z + 1224*z^2
; C5a (310/1081 : -634/1081 : 1)  C5b (203/2150 : -162/1075 : 1)
**u= -4/195 ; tau(u)= -195/2 ; -234438*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z + 1560*z^2
; C5a (-39/13774 : 1677/13774 : 1)  C5b (1614887/3299786 : -10860/1649893 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/15 ; tau(u)= 15/2 ; -918*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z - 120*z^2
; C5a (241/778 : 281/778 : 1)  C5b (343/562 : -18/281 : 1)
**u= 4/153 ; tau(u)= 153/2 ; -135606*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z - 1224*z^2
; C5a (5162/8889 : -1178/2963 : 1)  C5b (-22727/120722 : -1218/8623 : 1)
**u= 4/195 ; tau(u)= 195/2 ; -221958*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z - 1560*z^2
; C5a (3281/4994 : -83/454 : 1)  C5b (2105237/4231318 : -73462/2115659 : 1)
**u= 8/117 ; tau(u)= 117/4 ; -74838*x^2 - 27442*y^2 + 54628*x*z - 1872*z^2
; C5a (558/15095 : 612/15095 : 1)  C5b (-27787/65870 : 2106/32935 : 1)
**u= 12/35 ; tau(u)= 35/6 ; -4422*x^2 - 2594*y^2 + 4612*x*z - 840*z^2
; C5a (274/341 : -2/31 : 1)  C5b (4349/8494 : 516/4247 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (1759/76934 : 5900/38467 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (165397/625322 : -42858/312661 : 1)
**u= 16/3 ; tau(u)= 3/8 ; -438*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z - 96*z^2
; C5a (-70/167 : -52/167 : 1)  C5b (79/98 : 12/49 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (1787/2338 : -30/1169 : 1)
**u= 16/81 ; tau(u)= 81/8 ; -29766*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z - 2592*z^2
; C5a (15066/20399 : -2340/20399 : 1)  C5b (95/4354 : -332/2177 : 1)
**u= 16/129 ; tau(u)= 129/8 ; -84102*x^2 - 33538*y^2 + 66052*x*z - 4128*z^2
; C5a (24041/37238 : 11963/37238 : 1)  C5b (22747/158774 : 12092/79387 : 1)
**u= 24/7 ; tau(u)= 7/12 ; -678*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z - 336*z^2
; C5a (-379/562 : 13/562 : 1)  C5b (-817/46 : 104/23 : 1)
**u= 24/49 ; tau(u)= 49/12 ; -6726*x^2 - 5378*y^2 + 8452*x*z - 2352*z^2
; C5a (4881/7282 : 1695/7282 : 1)  C5b (2255/10222 : -796/5111 : 1)
**u= 24/77 ; tau(u)= 77/12 ; -22518*x^2 - 12434*y^2 + 22564*x*z - 3696*z^2
; C5a (1636/5661 : 520/1887 : 1)  C5b (4253/128990 : -9662/64495 : 1)
**u= 24/119 ; tau(u)= 119/12 ; -63846*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z - 5712*z^2
; C5a (1070/4507 : -1648/4507 : 1)  C5b (609655/1067942 : -32946/533971 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (5519/226666 : 17338/113333 : 1)
**u= 32/69 ; tau(u)= 69/16 ; -13974*x^2 - 10546*y^2 + 16996*x*z - 4416*z^2
; C5a (7714/17131 : 3352/17131 : 1)  C5b (411295/840602 : 59922/420301 : 1)
**u= 32/141 ; tau(u)= 141/16 ; -86262*x^2 - 40786*y^2 + 77476*x*z - 9024*z^2
; C5a (1136/1497 : -24/499 : 1)  C5b (3001/4942 : -16/353 : 1)
**u= 36/77 ; tau(u)= 77/18 ; -17286*x^2 - 13154*y^2 + 21124*x*z - 5544*z^2
; C5a (2785/5334 : 431/1778 : 1)  C5b (247/33506 : -2334/16753 : 1)
**u= 36/91 ; tau(u)= 91/18 ; -27366*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z - 6552*z^2
; C5a (2765/9166 : -889/9166 : 1)  C5b (-2321/7118 : -62/3559 : 1)
**u= 36/161 ; tau(u)= 161/18 ; -113046*x^2 - 53138*y^2 + 101092*x*z - 11592*z^2
; C5a (22/159 : 570/8639 : 1)  C5b (25/146 : -1826/11899 : 1)
**u= 40/87 ; tau(u)= 87/20 ; -22374*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z - 6960*z^2
; C5a (28101/69382 : 87/614 : 1)  C5b (521903/1041838 : 73236/520919 : 1)
**u= 40/123 ; tau(u)= 123/20 ; -56214*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z - 9840*z^2
; C5a (4333/15478 : 3679/15478 : 1)  C5b (18473/27938 : 816/13969 : 1)
**u= 44/87 ; tau(u)= 87/22 ; -20598*x^2 - 17074*y^2 + 26404*x*z - 7656*z^2
; C5a (23905/52918 : 3347/52918 : 1)  C5b (75539/166642 : 12536/83321 : 1)
**u= 44/129 ; tau(u)= 129/22 ; -60246*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z - 11352*z^2
; C5a (28360/42727 : -13882/42727 : 1)  C5b (-27505/84938 : -2064/42469 : 1)
**u= 48/91 ; tau(u)= 91/24 ; -21654*x^2 - 18866*y^2 + 28516*x*z - 8736*z^2
; C5a (18789/31066 : -5493/31066 : 1)  C5b (274861/346190 : -15126/173095 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (593441/1067014 : -65250/533507 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (619/7238 : -5902/39809 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-39577/500822 : 34840/250411 : 1)
**u= 60/7 ; tau(u)= 7/30 ; -7734*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z - 840*z^2
; C5a (-421/1078 : -20393/46354 : 1)  C5b (-281/422 : -500/9073 : 1)
**u= 64/9 ; tau(u)= 9/32 ; -8166*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z - 1152*z^2
; C5a (-11363/41254 : 12575/41254 : 1)  C5b (2645/182 : -396/91 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (37867/151802 : -242/1549 : 1)
**u= 80/141 ; tau(u)= 141/40 ; -48246*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z - 22560*z^2
; C5a (6218/7991 : 452/7991 : 1)  C5b (774799/1572158 : 120320/786079 : 1)
**u= 84/11 ; tau(u)= 11/42 ; -14502*x^2 - 7298*y^2 - 13628*x*z - 1848*z^2
; C5a (-327/1586 : -345/1586 : 1)  C5b (-25439/29234 : 2270/14617 : 1)
**u= 84/13 ; tau(u)= 13/42 ; -13446*x^2 - 7394*y^2 - 13436*x*z - 2184*z^2
; C5a (-1039/4950 : -127/1650 : 1)  C5b (35100031/1193330 : 5190246/596665 : 1)
**u= 84/19 ; tau(u)= 19/42 ; -10566*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z - 3192*z^2
; C5a (-8032/22051 : -1130/22051 : 1)  C5b (11797/37250 : 516/18625 : 1)
**u= 84/163 ; tau(u)= 163/42 ; -71046*x^2 - 60194*y^2 + 92164*x*z - 27384*z^2
; C5a (1045/1442 : 269/1442 : 1)  C5b (-163579/682198 : 20598/341099 : 1)
**u= 84/191 ; tau(u)= 191/42 ; -111702*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z - 32088*z^2
; C5a (62278/84477 : 6586/28159 : 1)  C5b (113923/246586 : -17658/123293 : 1)
**u= 84/193 ; tau(u)= 193/42 ; -114966*x^2 - 81554*y^2 + 134884*x*z - 32424*z^2
; C5a (708/877 : 1326/9647 : 1)  C5b (273625/350654 : 68986/1928597 : 1)
**u= 84/197 ; tau(u)= 197/42 ; -121638*x^2 - 84674*y^2 + 141124*x*z - 33096*z^2
; C5a (17961/54866 : -1545/54866 : 1)  C5b (83941/211742 : 15748/105871 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (13375/18238 : 1752/9119 : 1)
**u= 100/3 ; tau(u)= 3/50 ; -27654*x^2 - 10018*y^2 - 19964*x*z - 600*z^2
; C5a (-2699/84862 : -2239/84862 : 1)  C5b (9659/20426 : -142/10213 : 1)
**u= 108/7 ; tau(u)= 7/54 ; -29238*x^2 - 11762*y^2 - 23132*x*z - 1512*z^2
; C5a (-7684/102207 : -2470/34069 : 1)  C5b (-286039/410014 : 23930/205007 : 1)
**u= 116/27 ; tau(u)= 27/58 ; -19686*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z - 6264*z^2
; C5a (-14544/36931 : -3486/36931 : 1)  C5b (66383/28714 : -9976/14357 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (87811/168806 : -12824/84403 : 1)
**u= 148/33 ; tau(u)= 33/74 ; -33174*x^2 - 24082*y^2 - 39452*x*z - 9768*z^2
; C5a (-6979/18198 : -859/6066 : 1)  C5b (1256239/184954 : -181260/92477 : 1)
**u= 152/39 ; tau(u)= 39/76 ; -31014*x^2 - 26146*y^2 - 40124*x*z - 11856*z^2
; C5a (-458/715 : 148/715 : 1)  C5b (-976375/229726 : -17352/16409 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (-1063/770 : 122/385 : 1)
**u= 168/17 ; tau(u)= 17/84 ; -63558*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z - 5712*z^2
; C5a (-2212/5269 : -224/479 : 1)  C5b (-863545/58402 : -129556/29201 : 1)
**u= 168/31 ; tau(u)= 31/84 ; -48774*x^2 - 30146*y^2 - 52604*x*z - 10416*z^2
; C5a (-11987/32858 : 9043/32858 : 1)  C5b (1597/1846 : -244/923 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (78241/123494 : -9636/61747 : 1)
**u= 176/9 ; tau(u)= 9/88 ; -80742*x^2 - 31138*y^2 - 61628*x*z - 3168*z^2
; C5a (-4103/39322 : 10879/39322 : 1)  C5b (168625/17318 : -25986/8659 : 1)
**u= 188/9 ; tau(u)= 9/94 ; -92982*x^2 - 35506*y^2 - 70364*x*z - 3384*z^2
; C5a (-1120/15863 : 2818/15863 : 1)  C5b (1946387/285110 : -300262/142555 : 1)
166
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0,(5b+)のとき

3^4+4^4+1764*2^4=13^4
287^4+1968^4+1764*172^4=2017^4
21472412^4+62215101^4+1764*9445242^4=73531597^4
6461068563264^4+13220907364225^4+1764*2805289760680^4=19396410687361^4
134628582412623289539^4+2292631874689204014628^4+1764*123226892885708952202^4=2301030775315213591117^4
70072912825812166090814542367^4+74978079561376484420141963568^4+1764*166029739033385054690387869188^4=1076006867490839655823384479457^4
7003619427409864536564859106023018246076^4+313105531877626347472602982641403148795517^4+1764*10278346282218551300643729716618010449678^4=313265774865627836481000368441392203277453^4
106014517838799376627642500445670309625987464122728959^4+180910048074902089385735477076976631803330705248326400^4+1764*49745562997465135164878675699459737350919905454421840^4=330973449150543521792728812487718693325841661447831041^4
42589296319671725442067061690148863667400900473631770095598195384963^4+162996030706004317155845087671698395336930770349331051736515148977604^4+1764*20241232346897929836408235097621717141566986510153001446992397394158^4=178060372167047164630221871231688999398529987701279285223038682851213^4
120161701559957687558809742448447126671995118019371578261525211009500732809456829392^4+555019892464203679096551362968270643471965360515429158563836891810870505755702692833^4+1764*61121496670876799257915917588955467650990305572908539285295382976532077399865798492^4=588223439790195545983954355549688715255241782568616150445810137072611000097457472737^4
158360908152169965169634426771113492614405318110439053676112957856189707262202277071532733849109131612^4+245863632856675297743619823369155299774019518412740644285276582688162042324496175254077949757646479421^4+1764*81043717156792626920815146547310047002425984885925251043860944503292912132541335435348152297088215958^4=532462448098925562830079805342029770313625832709729438328868145680249140854578377998767058607688149837^4
48275665370065119991073158899888796468697915382098635052383653404614803140702182276398460646911222399139752579429454975^4+5312976757184289135655480287896664769763683219571593834000905235058945843255182329543731487728587124196850545155873985216^4+1764*110770940465707334839988094127525653141252542849608099035379512712008667506302619574766453118870364482803423303434389240^4=5313419429964049818530369419138488805649610343657277095626404715156348208332593637496146056647398884459244484986650835841^4
1217901244913539667604747909227949897544984842416674422054967786456417979448254444489608302705863920372746653716345491997852166893910769604892^4+1409584425801553916296582511893004732387118516628379531615861604429709208812598499630458074022461599786038155693834474391375145091703782067901^4+1764*1411224389804072574735484382180534877882209227080325630120748808140126475603311708439906629152637350007839530967940268009289116924017038168678^4=9147787827322307339976437461308252359937244164943471159802887728006880920931493165449625353045846544644459681994322254572100413512862285877197^4
16950627256455614831509883650160651897786414367521232786380359275442436561711385940578031183075381728881185635052284549388644568951103147129978667237628866200096592^4+195729450741547644936898659249734003161008662493985272962994600008221955306776328918456142585644587287761976871852321639648977943045773153567668145968440534902151393^4+1764*12891363750752616912619991483281859728663990910756336895202043663176199752150484167669284185334149597710098824279978362705214451895155219618756276998247202309256012^4=197336597263637020336923056934353990545301227669235684377382862290866230894847381677943712980762909913270020694910128833743224240886553881995290006444524154994098657^4
285394640760105679306452612652821988027720270759153717587586950715721362602458306353889714092339884283225886473730324210383113641537983458413748268006285738130574560689080579488030193657603^4+656213251645840974630887372952217569550351206703750611111934789494110787891140580682528569889839213804631277469415390286835998601578785567149041961711819259788349076150927755893384326252164^4+1764*122438421450878789969380407608324532975249523642695069608391538668204475976768770460059781468162943424184908361635498816734572539257778236882978532470286832787720393438263017822936530298398^4=875862693673679088232109075409728197005921117719694122017917786851898947068038052816919761688685569080524424047418636487201454597198730508562077549985368944765486263446565836248615432869133^4
10335371772836613780482876978628170988649067680073579164254965995606923666504781644964040628482020425827065423960176163228117777842705465726398004531656504779609291424192051173688751550515401734082785356801059850239^4+26096281201844882322610768245998909496753005727895042458128773727609496444091743761737458966678265393536144851785258030672254349072366262839556576557494587533008235686365836364520976343091624152549228165623054617600^4+1764*4451539776282226760887459682708917174199068843270319049815840273722763359829841491765359700126681784965407192141232200033752103795415124023081843493301611348132073466258908160246659350319232111997175535545052090720^4=32873803156646784297339246817070571048760100495514975384829221755416554700612551669380331216696839247161901475195002103681220839617914110482499169017728269506527066482813296948460440576912909779789992528898872309761^4
52129191049312226264303974485117484153237015588486056655330254318197067922874759623497349785880693824690848207031679617705086911191533157771969149532720053727013798604043411205122075095010570608519832047851311391440919312042982778469525745276^4+472777844315809384076526417018941966504928014173331778542665675313965267152335769104974945846147140997902180667757787663916747473837281479218612489022497235505469958449281860655845469809672570522251944752330117627366790583123317865045949290237^4+1764*35430604134336642894652472653130364841502932424790225666222111408117402820345455975183646959741411814798250521614865888447902892518938299565168990001440590523854034978470451983849011046961687806311152557359520251471286394383725541087685294558^4=479237992323781450119003643887009527819427866444803617680824526964160304281929767212699618951404855932327128355991087819868705224280741304511738395239491423701739140282437144533294665136765589925441552891702871490014017236609619820515334839053^4
5513420391172533014510676244485920731848752888726700223928000467768984820895587864878282137855486394596723244715360214885247794464074834448354005662666797179390392405682512386436278808131292867279092449585705269294267014212499321431705003788307189003546238540793547032912^4+6770989682284408267512139823318270210947489038721512741657125032821197985750703177502953273209346382648527644184173842697778784101906120768210448857891173303290634174602399165137192899616237022441681490628537680038728959103962580066995343486202420190666750866716260717793^4+1764*4770642444228758396757160751907288136678351783663940947244367314739751448353163006749000102057460819113823583557375677109961851178972779010351464183828844851991896840113520898174400272521754944395282091643154943143515768737910309115398093814733777442858699205362881917428^4=30942862059130522446359993401843350972399962695955630476081478356843007011722194777369219013038191891659124315338272530229803509730261077135861881072012354565119577215272906344636515127177551999477517130035253355093327618475023986070448279580965809510057863968029064232417^4
3624518952427077059068635759722798756663075670623833757097393617131428447140891345726225052318415178508233796691455214531926861663221230154005174210995698204076993555285697329663532389613923441041560675222794879485331275759045069763065005000324611532576998968189674938723602493825549437502292399699779^4+1206030469907772081856526011199529170781518986783879430396231134455462545316761515664597198571402914202987081003810633812906018105999446072329185456706329162861913396536491012926082056269494427487746740697758480275297016940616462590384552946240168095769667169928115612196341503888066789213862538724141028^4+1764*14438520772949460960668885308220076404677127223301746971864065301884340709522556300923794484770548695079647636505244002535373426244096163801929204077532804480510883319275817291677694922453003813726931209377952290867882187469921583413397959206350183940991787166085753894998957158804488959369542503264602^4=1206041395616868968190533023792841343384009563913939115894784116312752867870129626440519171310225451060441026008740033914578412138842770509301227866330909143130889852133956081348538552814257980639981254846900161517831911413602091554104326144559051442987616912159113177292024905626211770251478078670463437^4
44579848601503932808887140525346142260969473456799016932851556557404091526632821601060810020673491996161866659513537134536543749586046694260885820719977524041731363163156063451415253688791885618692021643788534183854971460871700971569723959291012061436109625104278749621195932607650240822134854857914443227675190555024355980027645026624^4+64760848749582602143373978978567241050547342485209279516986279823277413704842408794785990344526716113915853454578403539226193308618848304717094427217045931037129651332600417233682532929439428179461101157572340591959967676194301365423353596985260303801483027538098570864313122104202006110543637866900856915436624210583869656592224330625^4+1764*24994903783517391550520118300571551835917665903722532935396103223019242225817286651466800091006348171821758243711732031496248816062081340775348374078010400077850621596964187144724576642786157931795024978064563512463259959488188948947094829400716697058505004124198002628573379564337850720529002370626803470818992628378389022112037980600^4=163237776887468716560188016055879976352920515723425121976542684181339228922037511362628482547766440110476779092996812334323959297957540200219755734541763939493198821235996499158276458083524224912858261072170597446183227574034482725647037321050954351569671299654454128409571236070306890810633380374675131532114012465563304341911042864001^4
2201847617938560124527736229911007789729180414435240760400213825630742586156018387383577421362502820494205004204257972681862821146437242770146540267583383002269102785119209354608597804304683855204644429818664775394752459261464594617862419173802730981507267360166733028252942379382266408820507530762641845284629468775881159222515522690757287345951519108399503138008455772^4+11890596171853003436647219345058915609358651450933918762895269629580771957259064626553176021366376703769719495905189720317972877336666106764616154176464082533015629301479128708357586104785408008156034061330276997799611044785511641100525219640564180197264380248848325564834832006555597640455629840632002289918838374454202786556017766605433139840309080302735659297551849021^4+1764*1191883650499114457868041582629276123855531912005136541403830956086653621852457548040385681652476066675700782438320963328297521690187091628357768007276598718870375383407725686892198993622009246695785959428673675643587154249893857770230814736326921331979265036281978638623051311818336194819851031894628569864469945980084043039781151181153702081423977446769585685671391402^4=12390984112116245298864548032667555000479002731867668580663476730769171404665461963176320595123907331626442692474142806671810033779323408842839404890737810015363245386751294972698389682855251558365618816166680338863998739755071629167978711791895970754386307060994342550961981069490462511523831806378876725038127162684236947120299025881412611130642508640716859864878025037^4
1294913634511340448135813734061284131982168446645266064582684563035511778428619692008468512560061719364656711732526156092769723396799574563013472676121059216751562902902201057583357851067766506226047488201061228192986766229302163437245287699994066089845755145652496943001728855033833631537340014608956391339867960534779263438463725384711365837706719488719384244942637850155604768846865823362048588647448607^4+4372335117033359468619202521768594766307398731711987906495628859335029317137651861041051861364057713071696019920233514617444115561388357144771274927104835043846754812832162446359182946344794365419604201497744434114121633260161616376959864114009847948514183168230548970163176278826615253478921649029032457571771175248617628181980174884975737579860987603410297787919442636402434959843654153490126465214615088^4+1764*591777075978820066717949808366468421985241364760418476739734241367019801041551097931407352566272987522389506416286388018760703549844002286728216632716176561645502250701990558264750965227547981790967026274476273853456812486868107504579733389802698010038096546584218357338416277314864372339778460879321791349029351383888989272737077632836387774570287331467343801524045347476357594085110512046965125409903772^4=4917207286921895963751482488630634700230324311062906907063083608184221107095428063784620156839427644878942393879965502931004274912941466509156028453333446870800108978891033643343857076663639844921936046908831526471988261545420223749638885694223264726408687054031141470930927258222446018214880207207046226509946734352983559094129298537898052664322991796191625197430197015638918264212898717716412612500027617^4
207770680720826447876633858536441262278059916236210649114949787949066139119224923264053338882567173861809187933424732927108078421365328571937740610937376627117169926820735781871285033163938559360699334216400169658016310527337356782847245054350656644401107313241859855754103263247385780595823012295720306514083686419357635843103389376830224175591939310029750668533178087348339154928578093014995321452478603169575904331765104500834107893121708163^4+381926908299554371788155324205610126089743029664919020735398252994953899042078673481909791855990388221834967836622178840378862667385839719494607001901366200961338822355680974022105609341946418558204917554428179447916887455895304038579872870400628502757182158040336013933452226484246276622846917844262768227088000216673080496391148251766094638454560143675508615231057016698290911263562949448876632769350139767775679940506578458152795106663408324^4+1764*93390850965930314351945690800681492618793956446995011601126469020361419189664966095035966714630589303012101470871703039924262731123783601055633893683639231876379688690477516728552337343509975467394743221006745527309460204725979155886401351951641468421657862350322130263208171079720539770365100885375771797932704523732885768293219009213927334739059076658892769843017975181881994177972971375686200619388963269939952498419397214970383746953401042^4=629800075784656580520492331760719622351553182025852263430368678801931853678697366110962103678772499759228006962127282555870077627485725163100352704622519543540043875594203627015608675996138683863971883085858971847165174338152640143750184448200559774479328639456545672179134623460031568702790204976434186900556137318804805215558998221870374218801197398710809579615735987913376351146309892108048702184443139358771875206786602576772783894739194253^4
28563013417839699383788835179187323016493310102323204803396592445785018355795142674485887491033123482958685694163384134415254427157184625260421457860155257301625012506960935911820093230562192755221924025184335129421202519119602523326213337094934034008801485904194414968450861735022492952590750729800073748579211010145453440132949170175932645000572399774231068853018418351558545482331557273467815479784101610645695111136684972857780119820512539280326531266481707075060073856281990400^4+796536282541951889295947798749208316834680361495484182051131065654669450139011621211356915585434930326647442312839019998779863473389639556131710057750357152799559408593740583087961148745369824001737546751674175820803963393710762807804587175447543931046657815253201803691531014012207896064467022771340778276137463270893246402222023506375721494991718750347485276630027475699351318801701925343871647489102703195936586611506010645247271169658416677355570811872831202965678062661975272961^4+1764*33231014768459520096432503591427576180300094182600179147992458512934450584816058691429592070269788648288279872525377502279904299987183347104392306333497105948101550192760682374077351445421306440338262482650446445973555535519309615522645323497863809520228899590148331347888084365082846590500010981380230805990836108140779755653033801108190331552925760900005383399063147666767275682020007265615923400537320527430588186656592338305465013104820662743870705652194245206490018120859032080^4=797598618652215437862705199224903668094081834712382659171630917473880438061700666217656826696267642974794143276489892342780131506020657952312463591955726392965500241321669258932288178814220078388056017914923529666462767989819925407309179426942333106411291844573345932832609127403013547977479380396211937455308140038806199926952600648245780154984846068909246592960111396949017842977925175686034401705100338397235845685576909354231916633063901348590729503867281838967134561577753832961^4
1848314361905933437082851965457544532924737334939354131177150250589764406529385825292735096994235246148038024093650585877187931127071068763798642326393152852100309306184736175781827569319813714493861112064899754477702601065338022536201711931797283887501891430382525296569881867197150158987450895046185607565952227524543732093931273059825102342938908389815951454117550271555802767191449823449396286519456545939753854090782004865763990686926038595622971215279607278714054470504042656801113865169920548236813443300459967894403^4+1866947043893571282423283010379290550576604481355077000901166405147765275631576955555132310510640366190691118617857819869666118380777272152379025843818748464505282401390735896760253928040361556636076150283278048847361056075684790813210545425149762296583779380886577149961753005046426577190121906595133626126263818029014205348027172158235361710869548306039747608567360531610202798142163901444633612696096656886039328833207895716299735457469672168862437069762138289047027855622459374210861721743325731786692035807091575780164^4+1764*28579294956446273761402543766819666571444828366096277066757819845335697362178243047252047172098564511323978778116016809890651916683423746139056938823356699346139625842384975904376524888989830637345121852258298278666945941738939819215365520765455568844281764486850318522074058573627988184129161073834127534275083966479587554797798979434464027037881605210854143620009389072865103092883813455644431016235829953348119925867312299667610342699060186077926708368595067018407474484716123005056656084721588030468175611374262580458802^4=185215000893270428772844665772498024552579103878467812890691955583582315496860020914194669094634132811009172785312083708630747990968601650023284288268682486639045813592703822425599876584030144250957920527863028028415578948866413821489721133475155364023042182611365705560364618688131269683917937616782335096410868246915278970879306024811539547805807161260204532647642248351366209140255204464692634194492528857794559967511027675181374525836158004057816163253002399808010869960663156357849677705542320618319494816970730329365133^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.04.06

H.Nakao