Integer Points on A^4+B^4+1681*C^4=D^4

[2026.04.09]A^4+B^4+1681*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように88個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(41,1,200);
**u= -200/59 ; tau(u)= -59/100 ; -235286*x^2 - 46962*y^2 - 66076*x*z + 23600*z^2
; C5a (-2561/20798 : 48323/62394 : 1)  C5b (-21248/75371 : 10405/226113 : 1)
**u= -200/123 ; tau(u)= -123/100 ; -407574*x^2 - 70258*y^2 - 19484*x*z + 49200*z^2
; C5a (64293/2832698 : -2354709/2832698 : 1)  C5b (-59894/34987 : -13695/34987 : 1)
**u= -196/15 ; tau(u)= -15/98 ; -140118*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z + 5880*z^2
; C5a (-42043/253226 : -155333/253226 : 1)  C5b (191839/220250 : 20784/110125 : 1)
**u= -192/95 ; tau(u)= -95/96 ; -310662*x^2 - 54914*y^2 - 37628*x*z + 36480*z^2
; C5a (-152715/572866 : 382125/572866 : 1)  C5b (-147005/1211274 : 796/605637 : 1)
**u= -192/175 ; tau(u)= -175/96 ; -563142*x^2 - 98114*y^2 + 48772*x*z + 67200*z^2
; C5a (46464/151637 : -82824/151637 : 1)  C5b (-21602/152979 : -18745/152979 : 1)
**u= -188/155 ; tau(u)= -155/94 ; -483302*x^2 - 83394*y^2 + 25412*x*z + 58280*z^2
; C5a (2826/19739 : -46766/59217 : 1)  C5b (2/41 : -95/5043 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (7490/1099939 : -26991/1099939 : 1)
**u= -176/129 ; tau(u)= -129/88 ; -374406*x^2 - 64258*y^2 + 4612*x*z + 45408*z^2
; C5a (7627/36886 : 481681/700834 : 1)  C5b (-15636/76669 : 177155/1456711 : 1)
**u= -160/21 ; tau(u)= -21/80 ; -106326*x^2 - 26482*y^2 - 49436*x*z + 6720*z^2
; C5a (-530611/1430618 : -897779/1430618 : 1)  C5b (-155740/375833 : 21027/375833 : 1)
**u= -160/39 ; tau(u)= -39/80 ; -135846*x^2 - 28642*y^2 - 45116*x*z + 12480*z^2
; C5a (626/10199 : 5780/10199 : 1)  C5b (11951/12110 : 708/6055 : 1)
**u= -160/103 ; tau(u)= -103/80 ; -272294*x^2 - 46818*y^2 - 8764*x*z + 32960*z^2
; C5a (186/659 : 43700/100827 : 1)  C5b (-420/8503 : -43771/1300959 : 1)
**u= -156/5 ; tau(u)= -5/78 ; -79398*x^2 - 24386*y^2 - 48572*x*z + 1560*z^2
; C5a (5629/229646 : -26377/229646 : 1)  C5b (-2576161/5438870 : 58584/2719435 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (72/35377 : 4325/85321 : 1)
**u= -144/143 ; tau(u)= -143/72 ; -349638*x^2 - 61634*y^2 + 40324*x*z + 41184*z^2
; C5a (-420395/11731722 : -3122279/3910574 : 1)  C5b (76/20409 : -1795/20409 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (2542/1169 : 76225/115731 : 1)
**u= -140/71 ; tau(u)= -71/70 ; -168566*x^2 - 29682*y^2 - 19036*x*z + 19880*z^2
; C5a (-286/4423 : 11002/13269 : 1)  C5b (-6458/50951 : 4745/152853 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (-110/119 : -241/861 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (-4689744/80117 : 670945/80117 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-2707/6082 : -14340/124681 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-73/22 : -540/1529 : 1)
**u= -128/59 ; tau(u)= -59/64 ; -130454*x^2 - 23346*y^2 - 18844*x*z + 15104*z^2
; C5a (-5802/47329 : 6080/7473 : 1)  C5b (-106189/596006 : 46040/894009 : 1)
**u= -124/15 ; tau(u)= -15/62 ; -62358*x^2 - 15826*y^2 - 29852*x*z + 3720*z^2
; C5a (-503/8466 : -1629/2822 : 1)  C5b (-192/175 : -2411/7175 : 1)
**u= -120/97 ; tau(u)= -97/60 ; -192774*x^2 - 33218*y^2 + 8836*x*z + 23280*z^2
; C5a (-154/591 : 96/197 : 1)  C5b (-10682/329449 : -24315/329449 : 1)
**u= -120/101 ; tau(u)= -101/60 ; -201366*x^2 - 34802*y^2 + 12004*x*z + 24240*z^2
; C5a (-3290/332019 : -30700/36891 : 1)  C5b (-3985/30574 : 1728/15287 : 1)
**u= -120/167 ; tau(u)= -167/60 ; -370854*x^2 - 70178*y^2 + 82756*x*z + 40080*z^2
; C5a (-45178/479763 : 102800/159921 : 1)  C5b (34210/377101 : -35481/377101 : 1)
**u= -116/39 ; tau(u)= -39/58 ; -85686*x^2 - 16498*y^2 - 20828*x*z + 9048*z^2
; C5a (10929/80786 : 42945/80786 : 1)  C5b (-2619039/10629446 : 207640/5314723 : 1)
**u= -112/55 ; tau(u)= -55/56 ; -105062*x^2 - 18594*y^2 - 12988*x*z + 12320*z^2
; C5a (270/1813 : 3580/5439 : 1)  C5b (-8550/67541 : 173/11919 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (9553/15270 : -128/22905 : 1)
**u= -100/153 ; tau(u)= -153/50 ; -292854*x^2 - 56818*y^2 + 73636*x*z + 30600*z^2
; C5a (-4642/184101 : -43506/61367 : 1)  C5b (-36490/97901 : -15969/97901 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (-5258/7723 : 1215/7723 : 1)
**u= -84/73 ; tau(u)= -73/42 ; -102198*x^2 - 17714*y^2 + 7204*x*z + 12264*z^2
; C5a (25/66 : 3/22 : 1)  C5b (-50987/274942 : 17820/137471 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (177002/82259 : 9465/82259 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-5857/50418 : 1360/25209 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-2255/26 : 96/13 : 1)
**u= -64/33 ; tau(u)= -33/32 ; -35718*x^2 - 6274*y^2 - 3836*x*z + 4224*z^2
; C5a (-2638/10559 : -7244/10559 : 1)  C5b (12313/2062 : 840/1031 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (202479/964622 : -27580/482311 : 1)
**u= -64/155 ; tau(u)= -155/32 ; -235798*x^2 - 52146*y^2 + 87908*x*z + 19840*z^2
; C5a (9007/3981482 : -7404215/11944446 : 1)  C5b (33269/113030 : -8492/169545 : 1)
**u= -60/7 ; tau(u)= -7/30 ; -14454*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z + 840*z^2
; C5a (-13/274 : -6541/11782 : 1)  C5b (170/81 : -2023/3483 : 1)
**u= -60/17 ; tau(u)= -17/30 ; -20694*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z + 2040*z^2
; C5a (-1743/3814 : 1293/3814 : 1)  C5b (-4276/1395 : -1241/1395 : 1)
**u= -60/157 ; tau(u)= -157/30 ; -234054*x^2 - 52898*y^2 + 91396*x*z + 18840*z^2
; C5a (-10388/138987 : -6946/15443 : 1)  C5b (21283/1891070 : -135936/945535 : 1)
**u= -52/135 ; tau(u)= -135/26 ; -173622*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z + 14040*z^2
; C5a (7714/116661081 : -23289986/38887027 : 1)  C5b (114693/345250 : 1892/172625 : 1)
**u= -52/165 ; tau(u)= -165/26 ; -240102*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z + 17160*z^2
; C5a (-2/349 : -7702/14309 : 1)  C5b (136848/622481 : 2721835/25521721 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (124/1093 : -1305/44813 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (1871/2622 : -580/3933 : 1)
**u= -40/81 ; tau(u)= -81/20 ; -70086*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z + 6480*z^2
; C5a (1278/4051 : -2748/4051 : 1)  C5b (14906/78467 : -7095/78467 : 1)
**u= -40/87 ; tau(u)= -87/20 ; -78054*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z + 6960*z^2
; C5a (-4139/108802 : 64141/108802 : 1)  C5b (138/475 : -17/475 : 1)
**u= -40/123 ; tau(u)= -123/20 ; -134934*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z + 9840*z^2
; C5a (-1892/22921 : -8312/22921 : 1)  C5b (4266/13567 : 835/13567 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (9860/110931 : -47267/332793 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-779/6526 : 120/3263 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (-105247/882666 : 68980/441333 : 1)
**u= -24/29 ; tau(u)= -29/12 ; -12342*x^2 - 2258*y^2 + 2212*x*z + 1392*z^2
; C5a (92/249 : 40/83 : 1)  C5b (-506/3711 : -515/3711 : 1)
**u= -24/55 ; tau(u)= -55/12 ; -30438*x^2 - 6626*y^2 + 10948*x*z + 2640*z^2
; C5a (-467/2862 : -77/954 : 1)  C5b (-36884/49035 : -431/7005 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (52126/154815 : 2563/154815 : 1)
**u= -24/79 ; tau(u)= -79/12 ; -54342*x^2 - 13058*y^2 + 23812*x*z + 3792*z^2
; C5a (-419/3626 : 563/3626 : 1)  C5b (78466/1505459 : 215655/1505459 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (124/485 : -1891/24735 : 1)
**u= -20/57 ; tau(u)= -57/10 ; -29814*x^2 - 6898*y^2 + 12196*x*z + 2280*z^2
; C5a (21901/79386 : -18511/26462 : 1)  C5b (16155/48158 : 776/24079 : 1)
**u= -20/177 ; tau(u)= -177/10 ; -217494*x^2 - 63058*y^2 + 124516*x*z + 7080*z^2
; C5a (366/1289 : -810/1289 : 1)  C5b (-38181/121490 : -8152/60745 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (303715/3195326 : -238428/1597663 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (-564/1091 : -145/1091 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (349/1810 : -3396/37105 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (-1465955/3377282 : 157728/1688641 : 1)
**u= -8/45 ; tau(u)= -45/4 ; -15222*x^2 - 4114*y^2 + 7972*x*z + 720*z^2
; C5a (-36/791 : -2448/8701 : 1)  C5b (79/418 : 300/2299 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (-18/43 : -175/1763 : 1)
**u= -4/87 ; tau(u)= -87/2 ; -48246*x^2 - 15154*y^2 + 30244*x*z + 696*z^2
; C5a (-438/22529 : 1734/22529 : 1)  C5b (82729/230554 : 11640/115277 : 1)
**u= -4/141 ; tau(u)= -141/2 ; -123846*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z + 1128*z^2
; C5a (1673/111674 : 26801/111674 : 1)  C5b (192672/4837007 : 107285/691001 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/141 ; tau(u)= 141/2 ; -114822*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z - 1128*z^2
; C5a (3209/30878 : 11885/30878 : 1)  C5b (-3103/7478 : -300/3739 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (-128/665 : 357/3895 : 1)
**u= 12/61 ; tau(u)= 61/6 ; -16902*x^2 - 7586*y^2 + 14596*x*z - 1464*z^2
; C5a (4645/23058 : 827/2562 : 1)  C5b (29233/100922 : -7320/50461 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (-306352/2214689 : 325155/2214689 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (36851/670534 : 50160/335267 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (2667/17746 : -70540/452523 : 1)
**u= 24/55 ; tau(u)= 55/12 ; -9318*x^2 - 6626*y^2 + 10948*x*z - 2640*z^2
; C5a (965/2278 : -505/2278 : 1)  C5b (23375/72414 : 5644/36207 : 1)
**u= 40/81 ; tau(u)= 81/20 ; -18246*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z - 6480*z^2
; C5a (29237/43098 : 3255/14366 : 1)  C5b (69918/1057471 : -155395/1057471 : 1)
**u= 40/87 ; tau(u)= 87/20 ; -22374*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z - 6960*z^2
; C5a (28101/69382 : 87/614 : 1)  C5b (10007/36190 : 408/2585 : 1)
**u= 40/123 ; tau(u)= 123/20 ; -56214*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z - 9840*z^2
; C5a (4333/15478 : 3679/15478 : 1)  C5b (-149520/418883 : 623/418883 : 1)
**u= 44/7 ; tau(u)= 7/22 ; -3638*x^2 - 2034*y^2 - 3676*x*z - 616*z^2
; C5a (-65/306 : -1/54 : 1)  C5b (386/859 : 245/2577 : 1)
**u= 52/135 ; tau(u)= 135/26 ; -61302*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z - 14040*z^2
; C5a (3176/4619 : -1358/4619 : 1)  C5b (-2615/1482202 : 107292/741101 : 1)
**u= 52/165 ; tau(u)= 165/26 ; -102822*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z - 17160*z^2
; C5a (61/78 : 133/1066 : 1)  C5b (-730599/7108730 : -19626904/145728965 : 1)
**u= 60/7 ; tau(u)= 7/30 ; -7734*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z - 840*z^2
; C5a (-421/1078 : -20393/46354 : 1)  C5b (938/2375 : -831/102125 : 1)
**u= 60/17 ; tau(u)= 17/30 ; -4374*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z - 2040*z^2
; C5a (-1047/1318 : 21/1318 : 1)  C5b (-1588/1481 : 165/1481 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (-2533/962 : -1100/1443 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (35006/97053 : -535/97053 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (-41/10 : 628/495 : 1)
**u= 160/21 ; tau(u)= 21/80 ; -52566*x^2 - 26482*y^2 - 49436*x*z - 6720*z^2
; C5a (-9366/44123 : -10164/44123 : 1)  C5b (-17925/11254 : -136/331 : 1)
**u= 160/41 ; tau(u)= 41/80 ; -34406*x^2 - 28962*y^2 - 44476*x*z - 13120*z^2
; C5a (-3154/4637 : -2848/13911 : 1)  C5b (7533/11174 : -3560/16761 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (2095633/378106 : -326820/189053 : 1)
**u= 196/15 ; tau(u)= 15/98 ; -93078*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z - 5880*z^2
; C5a (-18112/83303 : 33350/83303 : 1)  C5b (945050/1949087 : 147621/1949087 : 1)
88
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0,(5b+)のとき

497080^4+3455480^4+1681*303331^4=3539001^4
15236591948579409228640799^4+31549852505197226270563200^4+1681*6680445495336168732921360^4=45780835539017331389599201^4
799969644352754351666510833593360965766856394849368342360^4+866632530827032997517552075362956382984925465212984087960^4+1681*1634551456687341592769806914373170810797198433090038504669^4=10466448346375202288463937942892466225839378509522402571001^4
3218999488811818856843718915742232077471739545525429570803650478744635418521078518122834409466711683199^4+5381527028406506660113336575712220093975175491213555471061615992606318284689617950057363156071064972800^4+1681*1552463825821345203648445871429215346706825158024598784073175122063510075566443465277435428157171085280^4=10173122751119403672251767464713463158203795650790330094807336916091834512261941616178262646674764156801^4
37386059726988099691875692568261547625198480657830899263260092521405128181174018492534038946197219081064049212876551001769807528808007764346444452001171806258600^4+163917412041992020713197958822021573206607414025731211442706333533143978870448297339824780657473902585663226796925420622843133801502171030013525985152620136218600^4+1681*18871941129348823359142739537976265606765426323189513006257824984024673069791014320801975421612143643612765253398767541493749593438802169467985380156576941799331^4=174963824147272128499351676073472227251050959685726660097912861754476507858373460360779345253393248782062845225726704264965516515965361372333409214660271364475001^4
150201313669338209512630078446631639928895750207397651926231944055527474006209563256951289426832276552519044690660197762655255072342644777010477779976853499259730677624924142638332467574072094062340715483701242882279531370804611200^4+11847340997973370374932655977714612838070267187552915122401591974932332446617863308926668195952377209293777451437705017475605139954028870322151520716976222203943916125096594753825656212351552715723746050714997290390604852857711512801^4+1681*295581935651525074036148265044281048841095235510780021320408534413403237410562181101479917704894740650169040276410203276433383099165457799709918715834074710172991890874627386293686567469845230516934333086946314764825823646166252080^4=11849269711764680224373733960569408946353898522247349763230823789802180710803767794584457755275811037160404414009489664609705098502505836324561034508998508230250608159727293945955243665382411279491011704893979230639113349926572952801^4
767406823321763678903158441059708032283362029421722400730732074054059555940046600802302771252948672791739495193903160466078127762529625912307251291139874044786828847869108653775809213954225820871827112583878279806610649751740116573882577333363558906354778762477149941585517536774463874895335976561634914330057577160^4+10135033730151360961168186616937534373792701574325359854359572533064101758220234040454060424470434601650819239590509580143822577820680565283365379629212738380855789329144973951951233075145672594562248893720003995103928835779806780310823730719349191844567077039535904159313416148009360944579265597185656801561644458760^4+1681*629454708988434032155615231558663332406393088349300866085725668023455174053037149773536333449481228537213508838263895312397845916067141169461052533772611764110484851829619266534531944082387967338928244777592091810017251681593046047489788358456077678116131889796136196796668986898869623833611755733116516311313055331^4=10197900584087595902323219073434289569970895134231811987978379218251465884278575923175953961072925721059125076063420054268854167136153914271234881808511562748578232137489620004551856626291133763976978652007877857652897044582272551727774469148670702640753971335327621715030912402163193432200863616570019920907312931001^4
9147216624708903162911961981578800475005300845545384593282967183117216523021412129028095806276298108393505299996818113145404293206390270088312141733479592589722257503545185837765032005195460328725974857410464282310093641109549312668394436563023810913186788794598900366487933986203652942474355197805678655063677255743402730903254791782017377051145752333145925883721146653261225549350389860216354047294295984652799^4+24439691354741520694644907834931067649122795511109163802961501994256350825374414723819736861764576423647668499932052467990134798834122022084576917892996072500990396546226221976068496435540559956640694939244557538264581776332564150893820544984148258948817907966414219603749379322281015453903325859590012423903167639795614635474951361556834625413892837625489712061587730726379991174055117637723094778142370895411200^4+1681*4014652665235773156370871535576747323461635568646724448379235456670192792862601911574661812227106330866371411397144856644970255861002857541713936310870905521058119086540202946078035853265314680477326494125443881142784508748409201980821341133513791890008377277173911238214973196739232771733500663716399647749405904609327348798828842291167385531821295659164260944668138226592810570478985836433203731824010213605440^4=29911112655509135218719350946482170755297912108347765235041037592650956797950008796216983427358361728290604484530969933325322206436562114005300896823389556361107500116154408029635909580594544927834465406668561089261025753000888934558357557163876151606863755262256569567979063704399580457670421623694302189745979304721692344985077287786576281627190643497803713696725703938985448993193220223220637321173809804787201^4
308297700139480937036821439707697597910685908125453510215494624122150962291012022076777200539420892289378125539784431684463631466381154189311952430813422975453187195947459408303806868901102618839593555662599684617118560493525902668674651541525706268550746881639151874306125611826752463826090005669789389524763270758225884775505178436644900155735718747092549047096171807927216453001441875010899932304723240359559041252063801426346855077451374659914041070357144282267133542171486483475709524268467409666448236216146373118280^4+393588294544382424125296089434866124993802534199916395682348221068400990534222926676386599822019346401459783512949210300294878653186976868924476821647247104485126543014219835178549817643848109717101546801496620898115670623554446857963855154752382078860665922660380250322437274764038536935927233193528564137305257172489366275272017838471397170843089783027434133709415781952145461485509035047603235273671778733996954705785296974402910799439795162416337163365087051948236920861873906674432825237594382415338411843284481548680^4+1681*235130542432127357301318343635890207793327770003776347297562694765742753246752710587756813547324144854714800180013595067539534674069521864772080724255410071018679894039931484740940133560900617956238511130515263351366906753895477500526888936426365183547113661530245153585667215970629872386469979946695412419081896315460420111325876632510497892593960920900820094755661233631431496563887132202728868343772360969340224251948532807497594399079892809774838681441942556696627686068306423605551883605571971473143275268738326976669^4=1507983997546202611162632647593084181510288343311548502409530169305757325499583116686849623266638194143478629058640199813282410744575463944711814584523711759044875307987070114009806597177813983591874385336659245489487532479463531784121520164111955265033052906221673767120820311678227640640739319835335356084641614381776821090033136023576291288360577718099952666186733277036321896726249033025106740333852188419745558144653358067799406210264776076061880646040816791665078756962649738702241788800122393014589354846827923459001^4
82639258850392667301047960924683913804116047415814188716985505820330139174187477935179285158532683722067506083339619106959532211943155511491941705132135438621366145087632250765986904907749360923060491288680517881504341264169855018730511257330683439753815585700521851920636669501018415642637883317375833907237581888459254890802756731588085576774993951587922704758536821740768480430267339260707231913743742896585113070116890896269339392399676328254421281143346465276061628883115476489281755585450822003853775771483017173355954465198215161192955685406645200110186384877750579737463852539849754406506504247468478893856143612483825127084984252019999^4+114667922687005399200596652840083111914761962885587627408050021857204636371992028333847766419731313073073318308363260687837101511377171282559584482435717997251554144244165716631497059020136518176577585128965878806873179135558226090843185856978493501154102630676756375391019098273593865617273440116002257857792820157074301943147622040776388193675043380482516024115405888015236180119941850464834240412994824020787989105213385993112619263760179831743049203869581896438802229395214272616973610044488023845743500587898531975163976690543330184397577071792950825800200360146677823411143780533963206032361219328817057129544929002536101897714886140080000^4+1681*50963068366351339926844329965116067723567506229898317814198208164998121602281364530624841199262060770178225558177525638065830389535960521585513731307625159787551159953808739545935552507123385869571202844614912019828027034842846514182679490629801221623277714411906095063848430537754640020840163076182810375788231363463620494555502090682379354058300425975796662035147409585765236190998638723056447297512733567684367293069846336165485351800639823342630407195620969824656674846348095156471097325394683302221482224451570800117094786695823254538473127328539494829781024707198643617723273803252337913346612314946814030669792993471305546748163774753200^4=327890901272066666795798690096767007301912089906175564631005318143685963840102456295650262600700590414154694670000482734603105308039809282238432449053128185872042505701197848819680155353733896673374038113020592143547701328834208715362073425594071845733907158056616179844860974794404309147568573910614892215675772956640935438368385539337299474176478978254689624475203055210572455087954457602979712020848288617100551859137489612886007474982925563536655287758514301932193642771798724684584428621185450787114080236146541938969316796267252543867742039455564207503687648664265715983927428623937342025661309471622593198856799685132594166713422147980001^4
...

u=0,(5b-)のとき

5096867688476800^4+14257173103200801^4+1681*1789104792189360^4=15599428217440801^4
29065551169994340677332475122690977163453651540286035014551683201^4+90916784146320179255945316351763855386060914206148135097280627200^4+1681*10820053577622371082156146249795920684664811338771414162493306720^4=97957872841488187078222998613043688653636547618041949991995523201^4
156400954686363144955207302319741935561173175285241092810095740638821235147324582805932201187298326082446739912422423474263373416537094410087201^4+240186071496358561095183952188021110196713933321966029105660984084689269659561292315075078672342288514308864937519131254895924987637285070692611200^4+1681*1353461977767450052558350533242211579252276647544993887638218399442997873294360942470535433372562456662373019232109945194866445969579541712519920^4=240186173273037386716830232202544077755391470003971812734341614718990635995479235764415773816045274078398480935178094822129724989324883831879527201^4
51360666368813039019462076855567176403497534030018100084070381813757534739338900833338583677155379991878886622326025430299252558876985232775357509787334462515314348976161051384317318588465667321572237840469449981390550484340062243430867765809185079372812812801^4+128886254085859159233660984782826333091917294396061177342844130152905451512770347545961324483173433318155124946943971395092061018516188086954731314948804998918072227786777743381980068874816473970159868166570862771229584329750527839751245623438197411328238028800^4+1681*17029812454324639475576022787242180086012311742103337635640275792935426422396979066578621564627376126651108558351757956081469147069644997871658991809550537591532706812549395498633234701852395022107040840664462914795250648167220518151271512595951020188650762560^4=143521278324799742078923040149388799650870884627848884990516037196387248947672498211141232879872908567011550469752623778897683311324270987528308871621203854881528126012169942117882291989332202947498626282467485428237077848378541848625204095520691533592138252801^4
9520828051400631251146026790897891978516808435413898485668117844628320653087234741283625839708381195227793687167288761894909185968364844915955994365135353041410920570403937015617121915568645256268753936198876160301835921046328318442564153721452379667689230525445000121999095285978753864601244175508219644867650768413733734137855246365612514157377017513380197948100739854972213285770193184447766080307920000^4+33424568538377624945778551388780194843182201949049707892109901715628451113107607315630634912394673840488884024005444254647842450445092310209509930385522340677612798925654466537040738809207700185452773731281743321094778876190774691529980850081488837800589991258964861208110449000016879355186171252398255179050595668758678440723236733811975834000340829999575956341847101435823628675185332866547363234204020001^4+1681*3766183280706061458211826938244170843089945295609508683839314787146110502262574674468707890320556643804537144285462659954380215938544478631110891005027574432343641491598606164730434757515211483126413820519078583761157069150987084952243629050342637595952949941902004770746532655885590021572379729867268793994647127161265847492113856749771589911681955351103176400624111968034720964633102631167791652561293200^4=35535299233222634003377758458777524098200218373678001344410306491753983912915402074170830430995918244229394713760366102794525935296630180718222467425823286284721179876607671289724199048154763286879331586473447334978119394284122399261509503186841856326041258946325707998524266684479554558262198631522716915005254323086442718394430862156104400646328789943198753199924231677650207009317993419756161960604020001^4
8676941186751705864930587819351051128748736793686954324852238590549718520670629114154078147775186274659851812455320403051882510049270969500410556142097268948268232387354519516105889958261507638465151953268212726253225518939924195410987839149722522086424338462489703794794986851295595580751105560478711853857383674884295178463130169484165453801033993449629269953585053288425513188228576698664218653452997206913695583028423755191096701933334745538735102655619864566149657096736100466032205090910887270776300643169394299050385309118755066644454351551378449810411755002726814907722764800^4+3328055343945455543139181592609902697095303497623961126001389993278213676302466971620903482099031394624903438029690950282769637565771895285725903584813878475580380529535932367559722250547889576475485748077469693134939981585479760776979477069665273051401736204266373785995993997480512366593901036742815863121180823630288608222827332068965789529610620483479864178711440975656942793591306785090670150094987400392464689068495732986674742981064666430660995535562612617165829650610137829106551072180235015222998332712190983315674524722087672105721138740439025559589971431718564237869673628801^4+1681*37507652137351402064375995735545003908740479241259564851760983957029062874282321596912603451227296846599611336092971477562810903069967602599905386191868778577382396021395800649581322727922048655502085175896200668454328028120021994929617202873038034129247535489557227890218877600786991089844377433598241889349150872166234209200412779265837567900011056624415827404782194605515519305039877473890720801223591278681214902759533668917050825931809807984883093821059953156521773264543434360394850182365779405952451902422067327849953940340256132624617644976191104219039569773480728807816816160^4=3328077907729998229339693901001666888076617848733370769306210492928236421095464329845183639576405475441871717986193421922800871574328448305341898722204775778262701442175188435432678212870040193050936272823835841319812147235524881484650789605009795464749037465255228787496757117371071725046294997796007784586892153615940354053392084339433361358770133884753317679427403377124068113030655538551955132008842040005376458961446611639449079514973895325933609225725594616501628555689231528030180889178756592953975722193413570284148542148549398522139162963631645198539215671855066910570048668801^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.04.09

H.Nakao