Integer Points on A^4+B^4+1444*C^4=D^4

[2026.05.04]A^4+B^4+1444*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム"syzygy3.gp"(Pari/GP)
A^4+B^4+n^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム"x100.gp"(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム"conics2.magma"(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム"rp4.magma"(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=38とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように175個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(38,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (351399/390698 : -29710/195349 : 1)
**u= -192/113 ; tau(u)= -113/96 ; -360774*x^2 - 62402*y^2 - 22652*x*z + 43392*z^2
; C5a (-75/1354 : -1131/1354 : 1)  C5b (-268349/228510 : -37466/114255 : 1)
**u= -192/193 ; tau(u)= -193/96 ; -630534*x^2 - 111362*y^2 + 75268*x*z + 74112*z^2
; C5a (-311/1542 : -281/514 : 1)  C5b (-1388927/4540898 : 373020/2270449 : 1)
**u= -188/115 ; tau(u)= -115/94 ; -358342*x^2 - 61794*y^2 - 17788*x*z + 43240*z^2
; C5a (-3926/3075979 : -7721210/9227937 : 1)  C5b (-1017073/18704902 : -454372/28057353 : 1)
**u= -184/117 ; tau(u)= -117/92 ; -355926*x^2 - 61234*y^2 - 12956*x*z + 43056*z^2
; C5a (721/4414 : -3163/4414 : 1)  C5b (-114625/2510894 : 31212/1255447 : 1)
**u= -184/143 ; tau(u)= -143/92 ; -434758*x^2 - 74754*y^2 + 14084*x*z + 52624*z^2
; C5a (46111/155586 : 232895/466758 : 1)  C5b (40119/1265290 : 20746/1897935 : 1)
**u= -180/53 ; tau(u)= -53/90 ; -190374*x^2 - 38018*y^2 - 53564*x*z + 19080*z^2
; C5a (450230/8700649 : 5608730/8700649 : 1)  C5b (-18253/60138 : 1978/30069 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (34483/488674 : 3420/244337 : 1)
**u= -176/93 ; tau(u)= -93/88 ; -275766*x^2 - 48274*y^2 - 27356*x*z + 32736*z^2
; C5a (9128/129293 : -100952/129293 : 1)  C5b (-45033/369998 : -7568/184999 : 1)
**u= -172/29 ; tau(u)= -29/86 ; -133702*x^2 - 31266*y^2 - 55804*x*z + 9976*z^2
; C5a (157/5914 : -27589/53226 : 1)  C5b (677351/902590 : -263678/4061655 : 1)
**u= -172/141 ; tau(u)= -141/86 ; -402054*x^2 - 69346*y^2 + 20356*x*z + 48504*z^2
; C5a (-3079/1924158 : 536225/641386 : 1)  C5b (840163/21825434 : -346002/10912717 : 1)
**u= -164/13 ; tau(u)= -13/82 ; -98758*x^2 - 27234*y^2 - 53116*x*z + 4264*z^2
; C5a (-456550/3165051 : -5716442/9495153 : 1)  C5b (1117/1850 : 118/2775 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (37579/793298 : 29460/396649 : 1)
**u= -164/189 ; tau(u)= -189/82 ; -542982*x^2 - 98338*y^2 + 89092*x*z + 61992*z^2
; C5a (865/4186 : 3193/4186 : 1)  C5b (323751/4306126 : -175738/2153063 : 1)
**u= -160/23 ; tau(u)= -23/80 ; -109414*x^2 - 26658*y^2 - 49084*x*z + 7360*z^2
; C5a (-33/51554 : 81439/154662 : 1)  C5b (141863/165882 : 36734/248823 : 1)
**u= -160/121 ; tau(u)= -121/80 ; -319526*x^2 - 54882*y^2 + 7364*x*z + 38720*z^2
; C5a (-1817866/7303013 : -12225412/21909039 : 1)  C5b (-723/79486 : -5890/119229 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (2035561/17579558 : -39150/8789779 : 1)
**u= -156/55 ; tau(u)= -55/78 ; -159798*x^2 - 30386*y^2 - 36572*x*z + 17160*z^2
; C5a (23437/1058018 : -774229/1058018 : 1)  C5b (-622243/521438 : -2424/6359 : 1)
**u= -156/101 ; tau(u)= -101/78 ; -260262*x^2 - 44738*y^2 - 7868*x*z + 31512*z^2
; C5a (1453/83246 : 69625/83246 : 1)  C5b (-517/6 : 26/3 : 1)
**u= -152/9 ; tau(u)= -9/76 ; -80742*x^2 - 23266*y^2 - 45884*x*z + 2736*z^2
; C5a (-1575/268762 : 96543/268762 : 1)  C5b (125199/86770 : -18008/43385 : 1)
**u= -152/11 ; tau(u)= -11/76 ; -83414*x^2 - 23346*y^2 - 45724*x*z + 3344*z^2
; C5a (-327846/2115073 : 3812276/6345219 : 1)  C5b (10397/17906 : -58/3837 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (-15783/37898 : 514/18949 : 1)
**u= -152/39 ; tau(u)= -39/76 ; -125862*x^2 - 26146*y^2 - 40124*x*z + 11856*z^2
; C5a (-30308/105837 : -24900/35279 : 1)  C5b (-483819/1047590 : 72352/523795 : 1)
**u= -152/45 ; tau(u)= -45/76 ; -136182*x^2 - 27154*y^2 - 38108*x*z + 13680*z^2
; C5a (-158804/919173 : -236648/306391 : 1)  C5b (4621557/3508382 : 350174/1754191 : 1)
**u= -152/65 ; tau(u)= -65/76 ; -173702*x^2 - 31554*y^2 - 29308*x*z + 19760*z^2
; C5a (9219/1071586 : 2526869/3214758 : 1)  C5b (1599/146 : 496/219 : 1)
**u= -152/87 ; tau(u)= -87/76 ; -220518*x^2 - 38242*y^2 - 15932*x*z + 26448*z^2
; C5a (-2042/13915 : -11032/13915 : 1)  C5b (360099/98062 : -7414/49031 : 1)
**u= -152/93 ; tau(u)= -93/76 ; -234294*x^2 - 40402*y^2 - 11612*x*z + 28272*z^2
; C5a (1580/261197 : -218192/261197 : 1)  C5b (-6281/49118 : 1884/24559 : 1)
**u= -152/123 ; tau(u)= -123/76 ; -309654*x^2 - 53362*y^2 + 14308*x*z + 37392*z^2
; C5a (-16138/359771 : 296024/359771 : 1)  C5b (-5555/43534 : 2454/21767 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-94881/182542 : -16960/91271 : 1)
**u= -152/189 ; tau(u)= -189/76 ; -513462*x^2 - 94546*y^2 + 96676*x*z + 57456*z^2
; C5a (4353526/48431443 : 39218620/48431443 : 1)  C5b (-58135/100862 : 9084/50431 : 1)
**u= -152/191 ; tau(u)= -191/76 ; -520454*x^2 - 96066*y^2 + 99716*x*z + 58064*z^2
; C5a (-2852/21653 : 119132/194877 : 1)  C5b (-77677/314250 : 228224/1414125 : 1)
**u= -148/17 ; tau(u)= -17/74 ; -87574*x^2 - 22482*y^2 - 42652*x*z + 5032*z^2
; C5a (2296/27889 : 16990/83667 : 1)  C5b (-45249/85246 : 16010/127869 : 1)
**u= -148/21 ; tau(u)= -21/74 ; -93222*x^2 - 22786*y^2 - 42044*x*z + 6216*z^2
; C5a (-151/2618 : -1583/2618 : 1)  C5b (-734651/932174 : 112896/466087 : 1)
**u= -148/51 ; tau(u)= -51/74 ; -141702*x^2 - 27106*y^2 - 33404*x*z + 15096*z^2
; C5a (-1990/63353 : 48682/63353 : 1)  C5b (388541/324866 : 13044/162433 : 1)
**u= -148/177 ; tau(u)= -177/74 ; -463254*x^2 - 84562*y^2 + 81508*x*z + 52392*z^2
; C5a (-227699/1274218 : 60457/115838 : 1)  C5b (-14291/112222 : 7968/56111 : 1)
**u= -144/83 ; tau(u)= -83/72 ; -199158*x^2 - 34514*y^2 - 13916*x*z + 23904*z^2
; C5a (21797/71346 : -4175/23782 : 1)  C5b (-5537/66398 : 1008/33199 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (403/602 : -4198/29799 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (-6317/28678 : 462/14339 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-63029/14194 : 9720/7097 : 1)
**u= -132/49 ; tau(u)= -49/66 ; -118422*x^2 - 22226*y^2 - 25244*x*z + 12936*z^2
; C5a (-1648/4684959 : -132422/173517 : 1)  C5b (19653595/940146 : 2342272/470073 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (-174767/120762 : -24776/60381 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-407/278 : 5760/19321 : 1)
**u= -128/131 ; tau(u)= -131/64 ; -286262*x^2 - 50706*y^2 + 35876*x*z + 33536*z^2
; C5a (4325/138494 : -1026311/1246446 : 1)  C5b (1/10 : -2/45 : 1)
**u= -124/81 ; tau(u)= -81/62 ; -165846*x^2 - 28498*y^2 - 4508*x*z + 20088*z^2
; C5a (-4455/12346 : 801/12346 : 1)  C5b (-14357/112046 : 4872/56023 : 1)
**u= -124/185 ; tau(u)= -185/62 ; -434998*x^2 - 83826*y^2 + 106148*x*z + 45880*z^2
; C5a (-9572/56673 : -73210/170019 : 1)  C5b (-88007/151034 : -37640/226551 : 1)
**u= -120/47 ; tau(u)= -47/60 ; -101574*x^2 - 18818*y^2 - 19964*x*z + 11280*z^2
; C5a (1718/9463 : -439172/917911 : 1)  C5b (-73/62 : 36/97 : 1)
**u= -120/79 ; tau(u)= -79/60 ; -156486*x^2 - 26882*y^2 - 3836*x*z + 18960*z^2
; C5a (-270964/10489237 : -800716/953567 : 1)  C5b (-64259/6294 : 3904/3147 : 1)
**u= -116/187 ; tau(u)= -187/58 ; -423718*x^2 - 83394*y^2 + 112964*x*z + 43384*z^2
; C5a (11911/27046 : 29405/81138 : 1)  C5b (-63989/132422 : 33022/198633 : 1)
**u= -112 ; tau(u)= -1/56 ; -38534*x^2 - 12546*y^2 - 25084*x*z + 224*z^2
; C5a (-845/4882 : 7637/14646 : 1)  C5b (78129325/133668766 : -18534014/200503149 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (18691/13114 : 1140/6557 : 1)
**u= -112/73 ; tau(u)= -73/56 ; -135014*x^2 - 23202*y^2 - 3772*x*z + 16352*z^2
; C5a (142/5709 : -1300/1557 : 1)  C5b (-6043/97006 : -178/3549 : 1)
**u= -112/111 ; tau(u)= -111/56 ; -211014*x^2 - 37186*y^2 + 24196*x*z + 24864*z^2
; C5a (8842/23211 : 2360/7737 : 1)  C5b (-1959/86054 : 4334/43027 : 1)
**u= -112/117 ; tau(u)= -117/56 ; -224598*x^2 - 39922*y^2 + 29668*x*z + 26208*z^2
; C5a (-5974/1049783 : -847708/1049783 : 1)  C5b (153533/1699718 : -48204/849859 : 1)
**u= -108/149 ; tau(u)= -149/54 ; -296934*x^2 - 56066*y^2 + 65476*x*z + 32184*z^2
; C5a (1241/5178 : 21755/29342 : 1)  C5b (-389/482 : 636/4097 : 1)
**u= -108/161 ; tau(u)= -161/54 ; -329622*x^2 - 63506*y^2 + 80356*x*z + 34776*z^2
; C5a (-110/753 : 126/251 : 1)  C5b (-3415/13274 : 1092/6637 : 1)
**u= -104/81 ; tau(u)= -81/52 ; -139206*x^2 - 23938*y^2 + 4612*x*z + 16848*z^2
; C5a (2540/29729 : -24476/29729 : 1)  C5b (6841/233494 : 2202/116747 : 1)
**u= -104/109 ; tau(u)= -109/52 ; -194422*x^2 - 34578*y^2 + 25892*x*z + 22672*z^2
; C5a (131/422 : -745/1266 : 1)  C5b (-17197/144562 : 28690/216843 : 1)
**u= -100/97 ; tau(u)= -97/50 ; -164054*x^2 - 28818*y^2 + 17636*x*z + 19400*z^2
; C5a (151/1662 : 4117/4986 : 1)  C5b (-729767/7002642 : -1290206/10503963 : 1)
**u= -96/65 ; tau(u)= -65/48 ; -102918*x^2 - 17666*y^2 - 1532*x*z + 12480*z^2
; C5a (-3856/21211 : -169808/233321 : 1)  C5b (-1001/5646 : 3428/31053 : 1)
**u= -96/143 ; tau(u)= -143/48 ; -260166*x^2 - 50114*y^2 + 63364*x*z + 27456*z^2
; C5a (-83387/383942 : -64679/383942 : 1)  C5b (225497/1339950 : -47596/669975 : 1)
**u= -96/161 ; tau(u)= -161/48 ; -306822*x^2 - 61058*y^2 + 85252*x*z + 30912*z^2
; C5a (-4911/120694 : 80163/120694 : 1)  C5b (-48072853/112538030 : -9369582/56269015 : 1)
**u= -92/27 ; tau(u)= -27/46 ; -49638*x^2 - 9922*y^2 - 14012*x*z + 4968*z^2
; C5a (7/286 : -2141/3146 : 1)  C5b (87643/89206 : 18234/490633 : 1)
**u= -92/33 ; tau(u)= -33/46 ; -56214*x^2 - 10642*y^2 - 12572*x*z + 6072*z^2
; C5a (345/5146 : -3519/5146 : 1)  C5b (-28485/1898 : -3662/949 : 1)
**u= -92/87 ; tau(u)= -87/46 ; -134838*x^2 - 23602*y^2 + 13348*x*z + 16008*z^2
; C5a (-206291/1026046 : 592631/1026046 : 1)  C5b (7117/79282 : 1116/39641 : 1)
**u= -92/157 ; tau(u)= -157/46 ; -288838*x^2 - 57762*y^2 + 81668*x*z + 28888*z^2
; C5a (-2461/142018 : -293365/426054 : 1)  C5b (-86083/95238 : 10490/142857 : 1)
**u= -92/195 ; tau(u)= -195/46 ; -397062*x^2 - 84514*y^2 + 135172*x*z + 35880*z^2
; C5a (1945/6082 : 4105/6082 : 1)  C5b (390453/1328998 : -16934/664499 : 1)
**u= -88/13 ; tau(u)= -13/44 ; -33398*x^2 - 8082*y^2 - 14812*x*z + 2288*z^2
; C5a (-1681/117246 : 195373/351738 : 1)  C5b (9971/14610 : 478/21915 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (-36399/20902 : -2830/10451 : 1)
**u= -84/167 ; tau(u)= -167/42 ; -300726*x^2 - 62834*y^2 + 97444*x*z + 28056*z^2
; C5a (15340/81491 : -61462/81491 : 1)  C5b (-74797/98970 : -4774/49485 : 1)
**u= -80/93 ; tau(u)= -93/40 ; -130614*x^2 - 23698*y^2 + 21796*x*z + 14880*z^2
; C5a (256/637 : 3548/10829 : 1)  C5b (-39/27034 : -25378/229789 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (206467/109694 : 21924/54847 : 1)
**u= -76/39 ; tau(u)= -39/38 ; -50166*x^2 - 8818*y^2 - 5468*x*z + 5928*z^2
; C5a (-16786/390393 : 35990/43377 : 1)  C5b (193757/84350 : 1632/42175 : 1)
**u= -76/63 ; tau(u)= -63/38 ; -79446*x^2 - 13714*y^2 + 4324*x*z + 9576*z^2
; C5a (-568/1787 : -202/1787 : 1)  C5b (-186967/145982 : -414/1553 : 1)
**u= -76/89 ; tau(u)= -89/38 ; -118966*x^2 - 21618*y^2 + 20132*x*z + 13528*z^2
; C5a (-18970/312419 : 694418/937257 : 1)  C5b (-6767/6302 : -1538/9453 : 1)
**u= -76/105 ; tau(u)= -105/38 ; -147318*x^2 - 27826*y^2 + 32548*x*z + 15960*z^2
; C5a (-430/2489 : 1150/2489 : 1)  C5b (6199/69226 : 3372/34613 : 1)
**u= -76/127 ; tau(u)= -127/38 ; -191318*x^2 - 38034*y^2 + 52964*x*z + 19304*z^2
; C5a (10738/28663 : -48890/85989 : 1)  C5b (-11763/13106 : -1672/19659 : 1)
**u= -76/177 ; tau(u)= -177/38 ; -312918*x^2 - 68434*y^2 + 113764*x*z + 26904*z^2
; C5a (12081/25706 : 10425/25706 : 1)  C5b (-72693/95914 : 22/403 : 1)
**u= -76/179 ; tau(u)= -179/38 ; -318406*x^2 - 69858*y^2 + 116612*x*z + 27208*z^2
; C5a (-33865/1580026 : 2810687/4740078 : 1)  C5b (2243/25994 : -5198/38991 : 1)
**u= -72/55 ; tau(u)= -55/36 ; -65382*x^2 - 11234*y^2 + 1732*x*z + 7920*z^2
; C5a (54541/507314 : -24139/29842 : 1)  C5b (769/29006 : 108/14503 : 1)
**u= -72/59 ; tau(u)= -59/36 ; -70422*x^2 - 12146*y^2 + 3556*x*z + 8496*z^2
; C5a (-1403/5006 : -2015/5006 : 1)  C5b (-1183/4526 : 336/2263 : 1)
**u= -72/89 ; tau(u)= -89/36 ; -114342*x^2 - 21026*y^2 + 21316*x*z + 12816*z^2
; C5a (-1692/38941 : -29016/38941 : 1)  C5b (8837/48922 : -72/24461 : 1)
**u= -68/99 ; tau(u)= -99/34 ; -126534*x^2 - 24226*y^2 + 29956*x*z + 13464*z^2
; C5a (-3231/15050 : 3351/15050 : 1)  C5b (47697/230054 : -4216/115027 : 1)
**u= -68/183 ; tau(u)= -183/34 ; -314358*x^2 - 71602*y^2 + 124708*x*z + 24888*z^2
; C5a (-5395/2229218 : -1306229/2229218 : 1)  C5b (-521029/749326 : -23808/374663 : 1)
**u= -64/177 ; tau(u)= -177/32 ; -290886*x^2 - 66754*y^2 + 117124*x*z + 22656*z^2
; C5a (-39975/281966 : -15603/281966 : 1)  C5b (-59787/86126 : -2506/43063 : 1)
**u= -60/157 ; tau(u)= -157/30 ; -234054*x^2 - 52898*y^2 + 91396*x*z + 18840*z^2
; C5a (-10388/138987 : -6946/15443 : 1)  C5b (-594391/2628054 : -214156/1314027 : 1)
**u= -56/9 ; tau(u)= -9/28 ; -13926*x^2 - 3298*y^2 - 5948*x*z + 1008*z^2
; C5a (36/593 : 252/593 : 1)  C5b (18741/18490 : 1876/9245 : 1)
**u= -52/31 ; tau(u)= -31/26 ; -26774*x^2 - 4626*y^2 - 1564*x*z + 3224*z^2
; C5a (227/786 : 805/2358 : 1)  C5b (-4759/4590 : -122/405 : 1)
**u= -52/159 ; tau(u)= -159/26 ; -225942*x^2 - 53266*y^2 + 95716*x*z + 16536*z^2
; C5a (-2395/18182 : -217/18182 : 1)  C5b (-82363/117790 : 936/58895 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-6383/50410 : 4092/25205 : 1)
**u= -48/23 ; tau(u)= -23/24 ; -18918*x^2 - 3362*y^2 - 2492*x*z + 2208*z^2
; C5a (-3/22 : 729/902 : 1)  C5b (-113/162 : -796/3321 : 1)
**u= -48/43 ; tau(u)= -43/24 ; -34518*x^2 - 6002*y^2 + 2788*x*z + 4128*z^2
; C5a (-3880/67501 : -54088/67501 : 1)  C5b (4435/69918 : -1318/34959 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (66457/206802 : 2320/103401 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (751/958 : -78/479 : 1)
**u= -44/79 ; tau(u)= -79/22 ; -71062*x^2 - 14418*y^2 + 21092*x*z + 6952*z^2
; C5a (-25863/342446 : -1806539/3082014 : 1)  C5b (1571/22982 : 12842/103419 : 1)
**u= -44/111 ; tau(u)= -111/22 ; -118806*x^2 - 26578*y^2 + 45412*x*z + 9768*z^2
; C5a (26765/76898 : 49877/76898 : 1)  C5b (14087/48566 : 1476/24283 : 1)
**u= -44/123 ; tau(u)= -123/22 ; -139878*x^2 - 32194*y^2 + 56644*x*z + 10824*z^2
; C5a (-7935/57406 : -5739/57406 : 1)  C5b (-1157253/2250770 : 146156/1125385 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (20047/38066 : -580/57099 : 1)
**u= -40/111 ; tau(u)= -111/20 ; -114246*x^2 - 26242*y^2 + 46084*x*z + 8880*z^2
; C5a (-579/25502 : 13881/25502 : 1)  C5b (-1317/38662 : 3008/19331 : 1)
**u= -36/41 ; tau(u)= -41/18 ; -25782*x^2 - 4658*y^2 + 4132*x*z + 2952*z^2
; C5a (6544/44915 : 36086/44915 : 1)  C5b (-821633/3258910 : -260322/1629455 : 1)
**u= -36/79 ; tau(u)= -79/18 ; -64086*x^2 - 13778*y^2 + 22372*x*z + 5688*z^2
; C5a (14/187 : 1006/1411 : 1)  C5b (-59/702 : 4552/29133 : 1)
**u= -36/115 ; tau(u)= -115/18 ; -116358*x^2 - 27746*y^2 + 50308*x*z + 8280*z^2
; C5a (378/773 : -330/773 : 1)  C5b (145993/675802 : 37956/337901 : 1)
**u= -32/35 ; tau(u)= -35/16 ; -19382*x^2 - 3474*y^2 + 2852*x*z + 2240*z^2
; C5a (-1522/7517 : 11272/22551 : 1)  C5b (87/1522 : -188/2283 : 1)
**u= -28/81 ; tau(u)= -81/14 ; -59862*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z + 4536*z^2
; C5a (-121518/889789 : 53094/889789 : 1)  C5b (158925/575594 : -23642/287797 : 1)
**u= -24/7 ; tau(u)= -7/12 ; -3366*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z + 336*z^2
; C5a (926/41155 : -28036/41155 : 1)  C5b (469/198 : 52/99 : 1)
**u= -24/145 ; tau(u)= -145/12 ; -155718*x^2 - 42626*y^2 + 82948*x*z + 6960*z^2
; C5a (134/13927 : -5936/13927 : 1)  C5b (125977/355702 : -14526/177851 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-3801/17914 : -644/8957 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (-59/326 : -1354/8313 : 1)
**u= -20/67 ; tau(u)= -67/10 ; -38854*x^2 - 9378*y^2 + 17156*x*z + 2680*z^2
; C5a (-849/31186 : 45151/93558 : 1)  C5b (28213/79734 : 4430/119601 : 1)
**u= -20/123 ; tau(u)= -123/10 ; -111654*x^2 - 30658*y^2 + 59716*x*z + 4920*z^2
; C5a (-6587/552826 : 204437/552826 : 1)  C5b (349569/923782 : -31180/461891 : 1)
**u= -16/5 ; tau(u)= -5/8 ; -1558*x^2 - 306*y^2 - 412*x*z + 160*z^2
; C5a (-21/86 : 191/258 : 1)  C5b (1009/738 : 220/1107 : 1)
**u= -16/27 ; tau(u)= -27/8 ; -8598*x^2 - 1714*y^2 + 2404*x*z + 864*z^2
; C5a (445/5794 : 4421/5794 : 1)  C5b (-8509/37054 : 3030/18527 : 1)
**u= -16/49 ; tau(u)= -49/8 ; -21446*x^2 - 5058*y^2 + 9092*x*z + 1568*z^2
; C5a (-5/38 : -1/114 : 1)  C5b (-15697/26230 : -3794/39345 : 1)
**u= -16/81 ; tau(u)= -81/8 ; -50502*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z + 2592*z^2
; C5a (-583/9258 : -741/3086 : 1)  C5b (-231/410 : -14/205 : 1)
**u= -16/103 ; tau(u)= -103/8 ; -77606*x^2 - 21474*y^2 + 41924*x*z + 3296*z^2
; C5a (-4537/66286 : 10763/198858 : 1)  C5b (-23/50 : 8/75 : 1)
**u= -12 ; tau(u)= -1/6 ; -534*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z + 24*z^2
; C5a (-3716/7535 : -3646/7535 : 1)  C5b (4117/5406 : 388/2703 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (1493/5018 : -6/2509 : 1)
**u= -12/151 ; tau(u)= -151/6 ; -151734*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z + 3624*z^2
; C5a (61/930 : 137/310 : 1)  C5b (-108283/254090 : 13146/127045 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (3/106 : 28/477 : 1)
**u= -8/45 ; tau(u)= -45/4 ; -15222*x^2 - 4114*y^2 + 7972*x*z + 720*z^2
; C5a (-36/791 : -2448/8701 : 1)  C5b (1419/3398 : 80/18689 : 1)
**u= -8/69 ; tau(u)= -69/4 ; -33174*x^2 - 9586*y^2 + 18916*x*z + 1104*z^2
; C5a (8348/17861 : 9476/17861 : 1)  C5b (273/614 : 2/307 : 1)
**u= -8/99 ; tau(u)= -99/4 ; -65334*x^2 - 19666*y^2 + 39076*x*z + 1584*z^2
; C5a (-2/149395 : 42392/149395 : 1)  C5b (70751/162266 : -4110/81133 : 1)
**u= -8/129 ; tau(u)= -129/4 ; -108294*x^2 - 33346*y^2 + 66436*x*z + 2064*z^2
; C5a (473276/1041545 : -567284/1041545 : 1)  C5b (4268871/9180862 : -104128/4590431 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (-10467/23462 : 1070/11731 : 1)
**u= -4/89 ; tau(u)= -89/2 ; -50422*x^2 - 15858*y^2 + 31652*x*z + 712*z^2
; C5a (1056/1765 : 1682/5295 : 1)  C5b (-227/694 : 134/1041 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (16394559/35618126 : -1282522/17809063 : 1)
**u= 8/99 ; tau(u)= 99/4 ; -52662*x^2 - 19666*y^2 + 39076*x*z - 1584*z^2
; C5a (1372/15277 : -4220/15277 : 1)  C5b (412861/854954 : 32700/427477 : 1)
**u= 8/137 ; tau(u)= 137/4 ; -104038*x^2 - 37602*y^2 + 74948*x*z - 2192*z^2
; C5a (367/10486 : -2827/31458 : 1)  C5b (77243/186718 : -29122/280077 : 1)
**u= 8/183 ; tau(u)= 183/4 ; -189414*x^2 - 67042*y^2 + 133828*x*z - 2928*z^2
; C5a (28852/49033 : 19160/49033 : 1)  C5b (-18393/106238 : 7936/53119 : 1)
**u= 12 ; tau(u)= 1/6 ; -342*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z - 24*z^2
; C5a (-19/106 : 35/106 : 1)  C5b (-451/762 : 2/381 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (20341/67046 : -786/4789 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (15491/31398 : -1462/15699 : 1)
**u= 12/151 ; tau(u)= 151/6 ; -122742*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z - 3624*z^2
; C5a (44225/620566 : -137069/620566 : 1)  C5b (96895/1660474 : 134592/830237 : 1)
**u= 16/49 ; tau(u)= 49/8 ; -8902*x^2 - 5058*y^2 + 9092*x*z - 1568*z^2
; C5a (251/334 : -217/1002 : 1)  C5b (-4327/19374 : -3136/29061 : 1)
**u= 16/81 ; tau(u)= 81/8 ; -29766*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z - 2592*z^2
; C5a (15066/20399 : -2340/20399 : 1)  C5b (-15643/46870 : 1992/23435 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (-277/878 : 668/22389 : 1)
**u= 20/67 ; tau(u)= 67/10 ; -17414*x^2 - 9378*y^2 + 17156*x*z - 2680*z^2
; C5a (1360/6497 : 2450/19491 : 1)  C5b (-731/4134 : -778/6201 : 1)
**u= 24/7 ; tau(u)= 7/12 ; -678*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z - 336*z^2
; C5a (-379/562 : 13/562 : 1)  C5b (23141/24190 : -3822/12095 : 1)
**u= 24/131 ; tau(u)= 131/12 ; -79542*x^2 - 34898*y^2 + 67492*x*z - 6288*z^2
; C5a (184364/316261 : -131416/316261 : 1)  C5b (393521/1578906 : -121922/789453 : 1)
**u= 24/169 ; tau(u)= 169/12 ; -140646*x^2 - 57698*y^2 + 113092*x*z - 8112*z^2
; C5a (1153/2054 : -899/2054 : 1)  C5b (19049/235102 : -2724/16793 : 1)
**u= 24/197 ; tau(u)= 197/12 ; -196758*x^2 - 78194*y^2 + 154084*x*z - 9456*z^2
; C5a (15868/29489 : -13540/29489 : 1)  C5b (141041/309414 : -2230/22101 : 1)
**u= 28/81 ; tau(u)= 81/14 ; -23574*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z - 4536*z^2
; C5a (16/67 : -2/67 : 1)  C5b (1962995/3370094 : 181968/1685047 : 1)
**u= 28/129 ; tau(u)= 129/14 ; -73302*x^2 - 34066*y^2 + 64996*x*z - 7224*z^2
; C5a (74629/447738 : 32071/149246 : 1)  C5b (285545/481222 : 13164/240611 : 1)
**u= 32/9 ; tau(u)= 9/16 ; -1254*x^2 - 1186*y^2 - 1724*x*z - 576*z^2
; C5a (-47/82 : -1/82 : 1)  C5b (-16333/3514 : -2076/1757 : 1)
**u= 32/123 ; tau(u)= 123/16 ; -62358*x^2 - 31282*y^2 + 58468*x*z - 7872*z^2
; C5a (8061/13846 : 5553/13846 : 1)  C5b (-59481/168974 : 4688/84487 : 1)
**u= 36/77 ; tau(u)= 77/18 ; -17286*x^2 - 13154*y^2 + 21124*x*z - 5544*z^2
; C5a (2785/5334 : 431/1778 : 1)  C5b (362821/483318 : 19934/241659 : 1)
**u= 36/79 ; tau(u)= 79/18 ; -18582*x^2 - 13778*y^2 + 22372*x*z - 5688*z^2
; C5a (99/206 : -4047/17098 : 1)  C5b (797/1170 : 5164/48555 : 1)
**u= 36/193 ; tau(u)= 193/18 ; -171798*x^2 - 75794*y^2 + 146404*x*z - 13896*z^2
; C5a (63490/321893 : 9682/29263 : 1)  C5b (49439/147182 : 10518/73591 : 1)
**u= 40/111 ; tau(u)= 111/20 ; -43206*x^2 - 26242*y^2 + 46084*x*z - 8880*z^2
; C5a (1101/4226 : 363/4226 : 1)  C5b (-510357/1840774 : -72040/920387 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (19797/58510 : -1088/29255 : 1)
**u= 44/79 ; tau(u)= 79/22 ; -15446*x^2 - 14418*y^2 + 21092*x*z - 6952*z^2
; C5a (221/378 : 283/3402 : 1)  C5b (523145/784374 : 484616/3529683 : 1)
**u= 44/123 ; tau(u)= 123/22 ; -53286*x^2 - 32194*y^2 + 56644*x*z - 10824*z^2
; C5a (1074/1325 : -66/1325 : 1)  C5b (408423033/564098734 : -4283182/282049367 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (26611/89694 : 7250/44847 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (-5197/82854 : 6148/41427 : 1)
**u= 52/131 ; tau(u)= 131/26 ; -56582*x^2 - 37026*y^2 + 63236*x*z - 13624*z^2
; C5a (1120/2847 : 24394/93951 : 1)  C5b (601/894 : -1310/14751 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (3931905/8453654 : -545264/4226827 : 1)
**u= 56/9 ; tau(u)= 9/28 ; -5862*x^2 - 3298*y^2 - 5948*x*z - 1008*z^2
; C5a (-63/286 : 21/286 : 1)  C5b (55263/7918 : -8696/3959 : 1)
**u= 56/141 ; tau(u)= 141/28 ; -65526*x^2 - 42898*y^2 + 73252*x*z - 15792*z^2
; C5a (41345/118838 : -24083/118838 : 1)  C5b (-235911/1675198 : 103364/837599 : 1)
**u= 72/127 ; tau(u)= 127/36 ; -39174*x^2 - 37442*y^2 + 54148*x*z - 18288*z^2
; C5a (37260/60221 : -4596/60221 : 1)  C5b (25447/34146 : -2096/17073 : 1)
**u= 72/169 ; tau(u)= 169/36 ; -89574*x^2 - 62306*y^2 + 103876*x*z - 24336*z^2
; C5a (2684/3241 : -208/3241 : 1)  C5b (67902197/86845058 : -911622/43422529 : 1)
**u= 76/3 ; tau(u)= 3/38 ; -15558*x^2 - 5794*y^2 - 11516*x*z - 456*z^2
; C5a (-431/1558 : 803/1558 : 1)  C5b (92661/180154 : -6850/90077 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (7397/12514 : -1212/6257 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (374961/447686 : -1412/223843 : 1)
**u= 84/167 ; tau(u)= 167/42 ; -76278*x^2 - 62834*y^2 + 97444*x*z - 28056*z^2
; C5a (2174/4873 : -298/4873 : 1)  C5b (20903/119970 : -9694/59985 : 1)
**u= 88/13 ; tau(u)= 13/44 ; -15094*x^2 - 8082*y^2 - 14812*x*z - 2288*z^2
; C5a (-665/3314 : -967/9942 : 1)  C5b (53/126 : -2/27 : 1)
**u= 88/177 ; tau(u)= 177/44 ; -86598*x^2 - 70402*y^2 + 109828*x*z - 31152*z^2
; C5a (15052/29329 : -5420/29329 : 1)  C5b (484341/572734 : 9910/286367 : 1)
**u= 96/181 ; tau(u)= 181/48 ; -85206*x^2 - 74738*y^2 + 112612*x*z - 34752*z^2
; C5a (66872/85893 : -3740/28631 : 1)  C5b (14863/124674 : 9764/62337 : 1)
**u= 128/31 ; tau(u)= 31/64 ; -23174*x^2 - 18306*y^2 - 28924*x*z - 7936*z^2
; C5a (-6968/17109 : -236/153981 : 1)  C5b (354565/612074 : 504508/2754333 : 1)
**u= 136/33 ; tau(u)= 33/68 ; -26118*x^2 - 20674*y^2 - 32636*x*z - 8976*z^2
; C5a (-6596/13833 : 272/1537 : 1)  C5b (274524583/495573782 : 42947430/247786891 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (-83/82 : -28/99 : 1)
**u= 144/31 ; tau(u)= 31/72 ; -32262*x^2 - 22658*y^2 - 37628*x*z - 8928*z^2
; C5a (-12456/24841 : -7056/24841 : 1)  C5b (171257/293070 : 26308/146535 : 1)
**u= 152/11 ; tau(u)= 11/76 ; -56662*x^2 - 23346*y^2 - 45724*x*z - 3344*z^2
; C5a (-350/549 : 568/1647 : 1)  C5b (14803/24590 : -5302/36885 : 1)
**u= 152/33 ; tau(u)= 33/76 ; -35718*x^2 - 25282*y^2 - 41852*x*z - 10032*z^2
; C5a (-2756/3453 : 180/1151 : 1)  C5b (78303/25658 : 12286/12829 : 1)
**u= 152/39 ; tau(u)= 39/76 ; -31014*x^2 - 26146*y^2 - 40124*x*z - 11856*z^2
; C5a (-458/715 : 148/715 : 1)  C5b (127101/119338 : 20864/59669 : 1)
**u= 172/29 ; tau(u)= 29/86 ; -53894*x^2 - 31266*y^2 - 55804*x*z - 9976*z^2
; C5a (-4642/17861 : -27074/160749 : 1)  C5b (263497/397030 : 358136/1786635 : 1)
175
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=-156/55のとき

12409115136099948411412^4+15122333608270942354743^4+1444*1808347843304318776356^4=17389865411710136508937^4
4982415084957026869391529556942977654564384456442104598489339922172393842732178488489721035407709522992231160738345927440854088469274743294602548754927382682210548435504760159088938697472577825895072193023113274076^4+8084128586530480283020841548984654581646467528406420976021046782363465046719120635923706347470721427594418846560850645211643484443052358397801355939745084289621354296943923692348778672294393401243196493628053861629^4+1444*1757452974953110730482813393502957714477259234641825564361919477320997209383032680217370071651560104484101136404278728454635987146449576463381029620666878986220740364470787589784615269357928016261511625249161579228^4=11688078959472354017912190330571494981985459654317063366126285672945760155861901363121064822777296414608052480487161427174664885772219389416499585404983267795360982911006808064412620538146396470153408816193243108669^4
5094912714672653599202960435023202367097033554599218046648648152017885577688159459729469395530578538584541820627602091398805994430800063881025099352642096407260225377777810641354133904999354395806150447462984838997151782302319282832487437155553135153881765565019367215800008724006082257245423444699294585493196051732083561175676862558642035742239936758185922754021319200329592506859151770738443459398424587283226464088466818117630307237530031230266990739636131802835139651644469746962055202461765452718605201143782313424855439426937836490448756686151897254045735678814944594807146788620966396105941^4+8773520197462927658914626554397357607118279587593735187036936926203161341367461482773261334519821882524501118080202058208321764566999721493672565273146998747316774750856943497892458718460466530319963164780973125170684095647463340940631281353651100034891456636896361493348135400585770822105485157971941268079131045649832141048390183254144428785834927056419276824204579777865410233071373652142544857895844270956220723447429145742228193040048710957319082257960601441441605118906622917317145320703979520900439536777909973991312477527327607990326260331443304966234270106906517758242376653429532561535484^4+1444*295564430339723375226898994235847601006835850822611619803958995393488498644863009581570445368347951656132883415754832113219933251298214358081243903936220907678808967330145729978997565104346183541652995282950530670778108693786973370183865884345994742983672572996505355280543424159770033300653693374414103355432958716088401031742494763912585932123271365612956189599296064980381002628017873763028143380135741623586237445954757819385130827725877154851324788912210805365252304287965426541422447222064610451450720973659055150259836739307495948979590728237921657712579036396927007237725151771775076810332^4=9016737348330063042443663823254115333063325794554061386680161182755961696654277479717837908430122639302803729297560238829429318252981267113684839214730897478146345657087396520012315813864973842361973201015816908573033200496743550502950431899219651591638452946519111295265675492944723697102071317922259113882664948356562843384685035222813245296299430285766979142362318582016326922578684966587961515918340065110892683092538139815575987897884083860047137550778062269425578292006541440943921821426628725819792018034554886026820365725027965851558210833726519806696420203835343616831570655139204085891861^4
564296321397587268265692063358818042074419041168968077991076628270482051798693093940772696495352772889353666720582661003809849232981387701872633063907410228362667060954650504033028234727693874087846345465031568421618123126813863577327458911767059411713836059996107321877901831420031541405139826529086751313752858713209399166672893100429991579920574936666737163440341953246854088862691584611011739972190338100214770060399100310756697398558852889157949359565618676811291952407130746573850413893149515749764485380047041760904506439478356978154307680008353605393287677977420712580219493372792143869011645493421465212437440598892660147626613491185730978535399759005992376513762765046234768890025954585493928021686464058781946255553092345759322015523242912192758828038983988150917458088043614176065463983595076894250052786267482250781066858868764913048872535335463242882047671065893321805606669364166052336766383635170053824548890481420536480967017120240954005225595053698229139020930279731310549591832779578574863903543316425655663194801192548095264483279441431338920291504032987930177424968721432711307349780783445187080996969903458461323654100697527161296618854289382849234228^4+844413017146186785722140733905358513468829620073852343367065421978115035998322111636757530414072664602699379544380656761323712526645410434452631486517541159498533954017659905281815900932604685400820408196004627794478183898773160935441653513008682859371155262630538766423010740741444829743516722478668242422906270667623671532854644164053063444485468129411286621315884894640260742099763649486719866931712331562001484381593024004617410798385835016034098201276419510838432021269774819037231279292568708089762713077808850087042637226747776852943841518989424528637951188718619874018690481385025406078876436507584859243872677746308924174678207783710603254663809591946795075597748592528201970730961570107934016736614237452883613389089490572574823717144756168829792581300660038780191978459820782551154886185018022567468079051263946993657801453508064562846572519735977582905420599003686113265493133487999068927251883680203405303472559003311732722028536277064389897604367111614571425257783223590612920852680455483350169419271142486194301139686749783605037377668300269955806153083224199742552899897274658183482031053098476681026893312362602217550021806449507213016120432944647603210993^4+1444*491434731562406462155600572331844699991392219543299371834525201525590685444811412672785593743078137955699386702853774628632146512338934834442692401940696837232944470661471713110546871224793529329725911993211538887088431448205894095482146438547477539748490467865699946882862216275342760433182745053451243480309349241097461844737972006947907637905911472579159474439942573229709902365194357591478176505142254074442066197740184557085214903684586326696641750832276205389116047189177024162359123532096677274272844973940896465950519275747237262076612410698192957504598564534079480884233617474391346412290521597344546008778263694282658579607034806780314424763146698739750489570268721442318314114788905252493507395316591959449718714386385032984302876114234444402562719837840637101760851790491485160466970237277981405295898928359874054706705334150258715922119265411939548541719050128171368676288725534990907401870809304114013729825012747979540877412857490991899614500280172086983071521815718445761935394655276597597804115914950437613275892800300118115786276841619762731078491188745723292699073804325690768801546577106884617192234866770480774778333424527146112768552794559228015920804^4=3034875901854443209668709869698829913307687364043241547525505727684462669183217532764063258347145165808904156715418411910365136370475797070676132739202107917061115492896341877652602046673444447459473655358485010514886544371565193847510066164153225874485094147074001407333162137521435819678795661471887622181302120445337265275407482331470656806049721701477587762831937951759205225821069751349929526088091840850011271923937172205421340373501677311191870486557913013348206870703651533904639753419513548459573107771504146993914352920235805835789811407926945065763713290385086956393371339296860529502130957219712875607024491778962455677291325257239039045946843346325716373392761683652690030460957736186241492375860518939560350815202885062316115223812932628999416226642657269323868753003766613432469158739816550909534220700242329687368434795079397599973088908432175221122093512389157541081780359711635810504804533062253187788524010769041961995029411340819773222334237862344115448684807044953137764755450577199749963947959442144641733249604666943776829898707168118491504523686998251233091288203971643982132640064347547214864528730366616416196159876583749146368145258043935168093233^4
...

u=-184/117のとき

1760178^4+5248353^4+1444*856654^4=6270499^4
34874435544092574159321155804987709893203900338608949723207363149369855270319^4+38622735923263236353580427820923488511304346814970112332185354892343722762958^4+1444*875302509808240644903769775109337433197591262716098549407755821879534503606^4=43873770322310916342348749140009607537707296944034412574029486403872423914227^4
623387205730130343974255222340140567623719172982860153338234680174098498504535196097500999782377397057064645262677496366661430821367416929994855139714952324971294826491392479143890335261045611840990707990182179808818^4+1009634795825189955542233868456824576122869574773375755454167233288376513863616812891009966126405149308627727916552816508598395351563645660700399594845216883133632372345951465495284099391034198095855818974590113810225^4+1444*112723623728553381550873758607720598419133372748751665573747650113386638111795410131741902312403742838054715967019076320319619862266479243753563225133542483828748404946920767793163878204483227221318363552318265431706^4=1092248307123650206737733277724918268786145816925507524391619848115981627453544662622108344594293333349700142027619717919972498661989022341055468870108529416518789208076139760262478578429050826118775955736972165881235^4
18477689690662307225029048139282150179305858386627946484212155989548841225502180948715145835928260239907880114549321035163569923287454034326632124479545917952255680108865807417409329439172777305472333747717879790662054224119487435164770929936356405600233861671899443378904211655325603747151447681589621876199499590791928498013343751621742278306518950064325715019036728067254902771141194101842177875239710224287261781026471246^4+84485471801602529124743905383431934752002863674626336172557970462010916453194318531632834913853782764266205877185247113190788068510467646044936046950638778844368418278384569400135078934983217028950428279759859778837233264792124091094203575639912665582997195599121634519347202464691626027459874508136592930465914758404385963839592943685623124770249621837370439641968311442470461165308851836777036945002173508241541263319394817^4+1444*22919936066577746100462159058011201704575449391031861475524487824255338592530221496749755668709106380582443387094219162217543390995086517982110522420236710045312928302424446494271653797726174188413138875190875078305320376751755442313218965559081032097604758454515692603964437739029345002510294586953990894553425954340227110068832294724500562737526541430749285699182680300720817167913357667340749368050381856886048810968338274^4=145611736196211616057387922589219745330558142798291704321161686222807057400235765929164891062192345293109894813615348126132566588374351669716019065069475847269895289391264521101393020139419419228457125116922181258023025098037623171434365315869579629424581716657213554669671810883347069713596701480765046118630838232889560424670305865931935701255812933478047108465479325612220087246349934335181014707053894008719415439194302467^4
120210541003333355025150911951604592539437186957903803527614966062829024299228108782595674334896116249028880268766205213501271659903119587147622052883732227985274924411079956176500336719200031608289758233176305761104345074065687218947834620420828638064885891828383747290334600363906275597598899363653701780876875761871045520513418367354025535423099380648180002271137725757286498537305771642564669804109614228501859610038426481179760315982239951823904389647907260825205895754911055302430754157901003141547061920591852643994808189291491088706823170528184960848961374889483418000435120044236019874781979828847519675523882635222266163028334867696449365460006686941666078164935904324743763262605081537760465983^4+147834284408968954735557587746969890614685593334128975806291732912573968714776514864677521406018909665329740094708767867259408552733177188732504842871728327981885851388907918329507567614825199042311068023429269499301853571672472516802340319493865107067042432555916833272101765040236079562887323176325641383796074138769447042553037030341445034374106973763763251737855337496878721807909990429894221751784972917314313343522635269790944360190745057203099060218939895050944450269118515376503708199099364797731897841515268274291280947534174103806558655871183059719320541521432862133711601477002135119317863807546127239003804417616601743466909969540990262324799196734203943544412158582651067360606954082507602766^4+1444*9733714925091034579001582763859995719917171669615793246788934588900371075323820436433318567948754362431956982256049973441853359420714813147228485637326825669284229490391919925225779222652540681884733735403369284236718985471524031041290246640146325486808725438090194624059362973850947437650147201192983144525821358572634326634344403260330044503518474246695657003245022772684378785535079271747078023889192828767133114094733789266341002820035279258983851602372745121531748982420039637438969211043819515160963028217474244001978277819891479144194708607920803107137639830169273992469351409146945833374793787793192704562940815126747140856079039528322862619014873435460597754219096343581275016992219656325545474^4=162624030380894125847213540070146912820203457123657301843082244461712555608213185600355315936444923984513877197357483356461925864537414784851408720825212818056411223976324873500526281365906646940001756006742116826458173501079116618606605245994269180846737392001171361524714119551149334048000707561367856281907175144591634520206387476770327359125821407374225585014527352319501832097823998480600492181155576686797931996043029111356753206488147842143609941184766069521110851028878727252398414112870521104476087978843799280289823724543757923226489612357274035103122152607879559522313445973976524174270975576829056683821449698756050863697823084125321175980584920252579726791388009636731505391984463192626525507^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.05.04

H.Nakao