Integer Points on A^4+B^4+1369*C^4=D^4

[2026.05.03]A^4+B^4+1369*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム"syzygy3.gp"(Pari/GP)
A^4+B^4+n^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム"x100.gp"(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム"conics2.magma"(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム"rp4.magma"(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=37とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように238個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(37,1,200);
**u= -200/123 ; tau(u)= -123/100 ; -407574*x^2 - 70258*y^2 - 19484*x*z + 49200*z^2
; C5a (64293/2832698 : -2354709/2832698 : 1)  C5b (-78077/6554 : 5700/3277 : 1)
**u= -196/81 ; tau(u)= -81/98 ; -281622*x^2 - 51538*y^2 - 50588*x*z + 31752*z^2
; C5a (116865/460762 : 57561/460762 : 1)  C5b (-44851/228014 : 4956/114007 : 1)
**u= -196/111 ; tau(u)= -111/98 ; -363222*x^2 - 63058*y^2 - 27548*x*z + 43512*z^2
; C5a (53762/772133 : 613682/772133 : 1)  C5b (-22597/285438 : -1748/142719 : 1)
**u= -196/183 ; tau(u)= -183/98 ; -603126*x^2 - 105394*y^2 + 57124*x*z + 71736*z^2
; C5a (11595905/205746318 : 19030979/22860702 : 1)  C5b (-99263/3119901 : 306257/3119901 : 1)
**u= -192/43 ; tau(u)= -43/96 ; -187734*x^2 - 40562*y^2 - 66332*x*z + 16512*z^2
; C5a (-28699/63634 : 28685/63634 : 1)  C5b (270031/127886 : 33780/63943 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (-24109/94507 : 9657/94507 : 1)
**u= -192/121 ; tau(u)= -121/96 ; -384294*x^2 - 66146*y^2 - 15164*x*z + 46464*z^2
; C5a (-251659/684510 : -8683/228170 : 1)  C5b (-16779/145319 : 11101/145319 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (31971/745478 : 13432/372739 : 1)
**u= -192/175 ; tau(u)= -175/96 ; -563142*x^2 - 98114*y^2 + 48772*x*z + 67200*z^2
; C5a (46464/151637 : -82824/151637 : 1)  C5b (45147/1792481 : 124645/1792481 : 1)
**u= -188/123 ; tau(u)= -123/94 ; -381798*x^2 - 65602*y^2 - 10172*x*z + 46248*z^2
; C5a (8861/690362 : 578435/690362 : 1)  C5b (-38479/1215759 : -21925/1215759 : 1)
**u= -188/137 ; tau(u)= -137/94 ; -424694*x^2 - 72882*y^2 + 4388*x*z + 51512*z^2
; C5a (220/12329 : -31078/36987 : 1)  C5b (-153823/1331354 : -195652/1997031 : 1)
**u= -188/155 ; tau(u)= -155/94 ; -483302*x^2 - 83394*y^2 + 25412*x*z + 58280*z^2
; C5a (2826/19739 : -46766/59217 : 1)  C5b (-15551/555542 : 65720/833313 : 1)
**u= -188/195 ; tau(u)= -195/94 ; -627462*x^2 - 111394*y^2 + 81412*x*z + 73320*z^2
; C5a (-943/5606 : 3437/5606 : 1)  C5b (1499311/28547094 : 1108396/14273547 : 1)
**u= -184/125 ; tau(u)= -125/92 ; -379318*x^2 - 65106*y^2 - 5212*x*z + 46000*z^2
; C5a (-1516/78367 : 197528/235101 : 1)  C5b (-21/1466 : 8/2199 : 1)
**u= -180/91 ; tau(u)= -91/90 ; -277926*x^2 - 48962*y^2 - 31676*x*z + 32760*z^2
; C5a (302989/2673014 : -1932767/2673014 : 1)  C5b (-71529/61427 : -21535/61427 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (-24761/40121 : -5139/40121 : 1)
**u= -176/71 ; tau(u)= -71/88 ; -223142*x^2 - 41058*y^2 - 41788*x*z + 24992*z^2
; C5a (215/1058 : 1337/3174 : 1)  C5b (-8459/43359 : 4465/130077 : 1)
**u= -176/105 ; tau(u)= -105/88 ; -306918*x^2 - 53026*y^2 - 17852*x*z + 36960*z^2
; C5a (-52963/254466 : 20317/28274 : 1)  C5b (-154081/2555301 : 19847/2555301 : 1)
**u= -176/129 ; tau(u)= -129/88 ; -374406*x^2 - 64258*y^2 + 4612*x*z + 45408*z^2
; C5a (7627/36886 : 481681/700834 : 1)  C5b (-9929/131326 : -102300/1247597 : 1)
**u= -176/163 ; tau(u)= -163/88 ; -481846*x^2 - 84114*y^2 + 44324*x*z + 57376*z^2
; C5a (-79050/262469 : 48496/787407 : 1)  C5b (93/1357 : -179/4071 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (18359/16374 : 2384/8187 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (-86057/79461 : -27385/79461 : 1)
**u= -172/147 ; tau(u)= -147/86 ; -420678*x^2 - 72802*y^2 + 27268*x*z + 50568*z^2
; C5a (29/162 : -41/54 : 1)  C5b (452581/8252286 : -122564/4126143 : 1)
**u= -168/19 ; tau(u)= -19/84 ; -112374*x^2 - 28946*y^2 - 55004*x*z + 6384*z^2
; C5a (-36851/277686 : 58859/92562 : 1)  C5b (-13047/9689 : -4253/9689 : 1)
**u= -168/53 ; tau(u)= -53/84 ; -172758*x^2 - 33842*y^2 - 45212*x*z + 17808*z^2
; C5a (-707/49386 : -12145/16462 : 1)  C5b (-135305/105502 : 21984/52751 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (-52407/547906 : 10280/273953 : 1)
**u= -168/127 ; tau(u)= -127/84 ; -352134*x^2 - 60482*y^2 + 8068*x*z + 42672*z^2
; C5a (1125885/4202366 : 2389671/4202366 : 1)  C5b (-29762173/532370330 : -20694396/266185165 : 1)
**u= -168/145 ; tau(u)= -145/84 ; -405702*x^2 - 70274*y^2 + 27652*x*z + 48720*z^2
; C5a (-6095/44462 : -2945/4042 : 1)  C5b (-71199/1894226 : -85264/947113 : 1)
**u= -168/149 ; tau(u)= -149/84 ; -418134*x^2 - 72626*y^2 + 32356*x*z + 50064*z^2
; C5a (-63763/375898 : -251629/375898 : 1)  C5b (-26991995/38295961 : 8265453/38295961 : 1)
**u= -168/151 ; tau(u)= -151/84 ; -424422*x^2 - 73826*y^2 + 34756*x*z + 50736*z^2
; C5a (15313/1415718 : -392465/471906 : 1)  C5b (40603/586246 : -9696/293123 : 1)
**u= -164/13 ; tau(u)= -13/82 ; -98758*x^2 - 27234*y^2 - 53116*x*z + 4264*z^2
; C5a (-456550/3165051 : -5716442/9495153 : 1)  C5b (53/83 : 19/249 : 1)
**u= -160/131 ; tau(u)= -131/80 ; -347446*x^2 - 59922*y^2 + 17444*x*z + 41920*z^2
; C5a (371/9802 : -24643/29406 : 1)  C5b (-131661/1749481 : -512537/5248443 : 1)
**u= -160/177 ; tau(u)= -177/80 ; -491334*x^2 - 88258*y^2 + 74116*x*z + 56640*z^2
; C5a (48/9257 : 7440/9257 : 1)  C5b (33431/225081 : 1459/225081 : 1)
**u= -156/109 ; tau(u)= -109/78 ; -280326*x^2 - 48098*y^2 - 1148*x*z + 34008*z^2
; C5a (-1150/163657 : -137602/163657 : 1)  C5b (-675183/14568410 : -413524/7284205 : 1)
**u= -156/187 ; tau(u)= -187/78 ; -516198*x^2 - 94274*y^2 + 91204*x*z + 58344*z^2
; C5a (1848/63823 : -51150/63823 : 1)  C5b (-72915/66574 : 5116/33287 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (-367217/699623 : 339/2903 : 1)
**u= -152/93 ; tau(u)= -93/76 ; -234294*x^2 - 40402*y^2 - 11612*x*z + 28272*z^2
; C5a (1580/261197 : -218192/261197 : 1)  C5b (-929/14334 : 236/7167 : 1)
**u= -144/19 ; tau(u)= -19/72 ; -86262*x^2 - 21458*y^2 - 40028*x*z + 5472*z^2
; C5a (3274/30695 : 3116/30695 : 1)  C5b (-11445/17203 : 3343/17203 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (-158057/1347013 : 197433/1347013 : 1)
**u= -136/57 ; tau(u)= -57/68 ; -136998*x^2 - 24994*y^2 - 23996*x*z + 15504*z^2
; C5a (-3719/8842 : 2063/8842 : 1)  C5b (-13741/68934 : -1708/34467 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (3217/62037 : -6119/62037 : 1)
**u= -136/177 ; tau(u)= -177/68 ; -436038*x^2 - 81154*y^2 + 88324*x*z + 48144*z^2
; C5a (4799509/12611458 : 6038477/12611458 : 1)  C5b (123337/1598910 : -77552/799455 : 1)
**u= -136/189 ; tau(u)= -189/68 ; -475446*x^2 - 89938*y^2 + 105892*x*z + 51408*z^2
; C5a (-330111/7954706 : -5700975/7954706 : 1)  C5b (10453/164415 : 17803/164415 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (-104329/310342 : 660/155171 : 1)
**u= -132/49 ; tau(u)= -49/66 ; -118422*x^2 - 22226*y^2 - 25244*x*z + 12936*z^2
; C5a (-1648/4684959 : -132422/173517 : 1)  C5b (-9251/17789 : -3279/17789 : 1)
**u= -132/71 ; tau(u)= -71/66 ; -157494*x^2 - 27506*y^2 - 14684*x*z + 18744*z^2
; C5a (-12126/48557 : -32850/48557 : 1)  C5b (-9669/34591 : -4325/34591 : 1)
**u= -132/107 ; tau(u)= -107/66 ; -233958*x^2 - 40322*y^2 + 10948*x*z + 28248*z^2
; C5a (-10910/49881 : -10026/16627 : 1)  C5b (71815/1498613 : -3687/1498613 : 1)
**u= -132/173 ; tau(u)= -173/66 ; -414534*x^2 - 77282*y^2 + 84868*x*z + 45672*z^2
; C5a (-68600/725183 : 480538/725183 : 1)  C5b (-48389/1187422 : -78192/593711 : 1)
**u= -128/21 ; tau(u)= -21/64 ; -73302*x^2 - 17266*y^2 - 31004*x*z + 5376*z^2
; C5a (5705/97946 : 42959/97946 : 1)  C5b (96679/70867 : -23553/70867 : 1)
**u= -128/33 ; tau(u)= -33/64 ; -89478*x^2 - 18562*y^2 - 28412*x*z + 8448*z^2
; C5a (5216/254261 : -165112/254261 : 1)  C5b (-17767/57673 : 2781/57673 : 1)
**u= -128/41 ; tau(u)= -41/64 ; -101222*x^2 - 19746*y^2 - 26044*x*z + 10496*z^2
; C5a (-24938/80301 : 161020/240903 : 1)  C5b (160327/140158 : 20740/210237 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (190739/47846 : -2904/23923 : 1)
**u= -128/95 ; tau(u)= -95/64 ; -200582*x^2 - 34434*y^2 + 3332*x*z + 24320*z^2
; C5a (-2389/18714 : 43451/56142 : 1)  C5b (4911/300389 : 6859/901167 : 1)
**u= -128/147 ; tau(u)= -147/64 ; -329334*x^2 - 59602*y^2 + 53668*x*z + 37632*z^2
; C5a (-411015/1567594 : 194769/1567594 : 1)  C5b (9377/60191 : -1131/60191 : 1)
**u= -124/15 ; tau(u)= -15/62 ; -62358*x^2 - 15826*y^2 - 29852*x*z + 3720*z^2
; C5a (-503/8466 : -1629/2822 : 1)  C5b (-35597/89538 : 1208/44769 : 1)
**u= -124/59 ; tau(u)= -59/62 ; -125542*x^2 - 22338*y^2 - 16828*x*z + 14632*z^2
; C5a (-11121/114526 : 282317/343578 : 1)  C5b (-45839/304310 : -17144/456465 : 1)
**u= -124/105 ; tau(u)= -105/62 ; -216438*x^2 - 37426*y^2 + 13348*x*z + 26040*z^2
; C5a (-190172/602347 : 49394/602347 : 1)  C5b (72641/1153811 : 3183/1153811 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (-12289/78054 : 5540/39027 : 1)
**u= -124/185 ; tau(u)= -185/62 ; -434998*x^2 - 83826*y^2 + 106148*x*z + 45880*z^2
; C5a (-9572/56673 : -73210/170019 : 1)  C5b (-9689/12681 : -5689/38043 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (65237/70229 : -4905/70229 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (61487/3648158 : -996/1824079 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (28961/259277 : -14385/259277 : 1)
**u= -120/191 ; tau(u)= -191/60 ; -445446*x^2 - 87362*y^2 + 117124*x*z + 45840*z^2
; C5a (12/53 : 8340/11077 : 1)  C5b (-1581/4298 : 10960/64163 : 1)
**u= -116/159 ; tau(u)= -159/58 ; -339606*x^2 - 64018*y^2 + 74212*x*z + 36888*z^2
; C5a (651741/3119018 : -2389293/3119018 : 1)  C5b (-73961/1170341 : -162807/1170341 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (-35839/14814 : -5320/7407 : 1)
**u= -112/123 ; tau(u)= -123/56 ; -238614*x^2 - 42802*y^2 + 35428*x*z + 27552*z^2
; C5a (458/2559 : 668/853 : 1)  C5b (6389/44342 : 336/22171 : 1)
**u= -112/171 ; tau(u)= -171/56 ; -366294*x^2 - 71026*y^2 + 91876*x*z + 38304*z^2
; C5a (-6363/54898 : -31059/54898 : 1)  C5b (-189407/755490 : 62872/377745 : 1)
**u= -112/197 ; tau(u)= -197/56 ; -446998*x^2 - 90162*y^2 + 130148*x*z + 44128*z^2
; C5a (29271/93598 : 189611/280794 : 1)  C5b (1577/10021 : -2891/30063 : 1)
**u= -108/7 ; tau(u)= -7/54 ; -41334*x^2 - 11762*y^2 - 23132*x*z + 1512*z^2
; C5a (45/45538 : 16203/45538 : 1)  C5b (10077/3577 : 3155/3577 : 1)
**u= -108/23 ; tau(u)= -23/54 ; -58038*x^2 - 12722*y^2 - 21212*x*z + 4968*z^2
; C5a (953/8350 : 3133/8350 : 1)  C5b (-3407/1513 : 1101/1513 : 1)
**u= -108/97 ; tau(u)= -97/54 ; -175254*x^2 - 30482*y^2 + 14308*x*z + 20952*z^2
; C5a (-19534/167593 : 124802/167593 : 1)  C5b (153909/3588751 : 200123/3588751 : 1)
**u= -104/51 ; tau(u)= -51/52 ; -90486*x^2 - 16018*y^2 - 11228*x*z + 10608*z^2
; C5a (509/3002 : -1853/3002 : 1)  C5b (6281/1999 : 747/1999 : 1)
**u= -104/161 ; tau(u)= -161/52 ; -321926*x^2 - 62658*y^2 + 82052*x*z + 33488*z^2
; C5a (52/853 : 116480/150981 : 1)  C5b (-54107/67065 : -1603069/11870505 : 1)
**u= -104/171 ; tau(u)= -171/52 ; -350166*x^2 - 69298*y^2 + 95332*x*z + 35568*z^2
; C5a (23669/49218 : -1295/16406 : 1)  C5b (-68929/349134 : 28496/174567 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (-3169/42313 : -5715/42313 : 1)
**u= -100/187 ; tau(u)= -187/50 ; -389414*x^2 - 79938*y^2 + 119876*x*z + 37400*z^2
; C5a (6699/122086 : -268015/366258 : 1)  C5b (-15431/34811 : -17083/104433 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (-2059/1613 : 657/1613 : 1)
**u= -96/143 ; tau(u)= -143/48 ; -260166*x^2 - 50114*y^2 + 63364*x*z + 27456*z^2
; C5a (-83387/383942 : -64679/383942 : 1)  C5b (371725/1672849 : -39243/1672849 : 1)
**u= -92/27 ; tau(u)= -27/46 ; -49638*x^2 - 9922*y^2 - 14012*x*z + 4968*z^2
; C5a (7/286 : -2141/3146 : 1)  C5b (-277/690 : -464/3795 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (-14281/114849 : 925/16407 : 1)
**u= -88/3 ; tau(u)= -3/44 ; -25398*x^2 - 7762*y^2 - 15452*x*z + 528*z^2
; C5a (-1986/128347 : 40188/128347 : 1)  C5b (-365921/781442 : -4572/390721 : 1)
**u= -88/159 ; tau(u)= -159/44 ; -286854*x^2 - 58306*y^2 + 85636*x*z + 27984*z^2
; C5a (3046/7735 : -4204/7735 : 1)  C5b (-26857/30127 : 1653/30127 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (-10551/2329 : -3107/2329 : 1)
**u= -84/53 ; tau(u)= -53/42 ; -73638*x^2 - 12674*y^2 - 2876*x*z + 8904*z^2
; C5a (464/9559 : -7870/9559 : 1)  C5b (14249/2278 : 48/1139 : 1)
**u= -84/85 ; tau(u)= -85/42 ; -121638*x^2 - 21506*y^2 + 14788*x*z + 14280*z^2
; C5a (-43739/871634 : 683693/871634 : 1)  C5b (-1239659/26474597 : -2968455/26474597 : 1)
**u= -84/89 ; tau(u)= -89/42 ; -128502*x^2 - 22898*y^2 + 17572*x*z + 14952*z^2
; C5a (-17/266 : 21695/28462 : 1)  C5b (11/181 : -1491/19367 : 1)
**u= -84/151 ; tau(u)= -151/42 ; -259446*x^2 - 52658*y^2 + 77092*x*z + 25368*z^2
; C5a (4393/21974 : -16699/21974 : 1)  C5b (116071/4822679 : -655683/4822679 : 1)
**u= -80/27 ; tau(u)= -27/40 ; -40854*x^2 - 7858*y^2 - 9884*x*z + 4320*z^2
; C5a (2312/18213 : -3360/6071 : 1)  C5b (3491/1254 : 368/627 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (-40099/318101 : -729/318101 : 1)
**u= -80/173 ; tau(u)= -173/40 ; -309494*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z + 27680*z^2
; C5a (-3958/27407 : -72884/246663 : 1)  C5b (86983/1077407 : -1286083/9696663 : 1)
**u= -76/177 ; tau(u)= -177/38 ; -312918*x^2 - 68434*y^2 + 113764*x*z + 26904*z^2
; C5a (12081/25706 : 10425/25706 : 1)  C5b (22873/163893 : -19927/163893 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-4129/4351 : 1275/4351 : 1)
**u= -72/67 ; tau(u)= -67/36 ; -81078*x^2 - 14162*y^2 + 7588*x*z + 9648*z^2
; C5a (-287/1094 : -419/1094 : 1)  C5b (-369/395 : -89/395 : 1)
**u= -72/115 ; tau(u)= -115/36 ; -161142*x^2 - 31634*y^2 + 42532*x*z + 16560*z^2
; C5a (-13355/183746 : 116045/183746 : 1)  C5b (105203/1642441 : -196035/1642441 : 1)
**u= -72/137 ; tau(u)= -137/36 ; -207078*x^2 - 42722*y^2 + 64708*x*z + 19728*z^2
; C5a (414/10075 : 7236/10075 : 1)  C5b (-104355/157037 : -20767/157037 : 1)
**u= -72/161 ; tau(u)= -161/36 ; -263814*x^2 - 57026*y^2 + 93316*x*z + 23184*z^2
; C5a (25508/94021 : -67144/94021 : 1)  C5b (-544643/723391 : -51477/723391 : 1)
**u= -68/9 ; tau(u)= -9/34 ; -19254*x^2 - 4786*y^2 - 8924*x*z + 1224*z^2
; C5a (353/3206 : 131/3206 : 1)  C5b (-16897/23770 : 2532/11885 : 1)
**u= -68/37 ; tau(u)= -37/34 ; -42214*x^2 - 7362*y^2 - 3772*x*z + 5032*z^2
; C5a (2951/82782 : -201445/248346 : 1)  C5b (-515/1141 : 613/3423 : 1)
**u= -68/87 ; tau(u)= -87/34 ; -106614*x^2 - 19762*y^2 + 21028*x*z + 11832*z^2
; C5a (175749/910502 : 707097/910502 : 1)  C5b (-1898579/35390674 : 2353284/17695337 : 1)
**u= -68/161 ; tau(u)= -161/34 ; -256982*x^2 - 56466*y^2 + 94436*x*z + 21896*z^2
; C5a (-85/8826 : 16133/26478 : 1)  C5b (-909/88223 : 40159/264669 : 1)
**u= -64/9 ; tau(u)= -9/32 ; -17382*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z + 1152*z^2
; C5a (117/2162 : -861/2162 : 1)  C5b (158831/103710 : 21032/51855 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (-1057/7169 : 2975/21507 : 1)
**u= -60/19 ; tau(u)= -19/30 ; -22086*x^2 - 4322*y^2 - 5756*x*z + 2280*z^2
; C5a (-127/33226 : 24247/33226 : 1)  C5b (-17543/67183 : 2853/67183 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (12651/1121881 : -162851/1121881 : 1)
**u= -56/31 ; tau(u)= -31/28 ; -29062*x^2 - 5058*y^2 - 2428*x*z + 3472*z^2
; C5a (-974/5885 : 1252/1605 : 1)  C5b (-1119/2210 : -644/3315 : 1)
**u= -56/85 ; tau(u)= -85/28 ; -90838*x^2 - 17586*y^2 + 22628*x*z + 9520*z^2
; C5a (-1717/10762 : -14603/32286 : 1)  C5b (-348031/3573679 : -1605569/10721037 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (-901777/2109858 : -175900/1054929 : 1)
**u= -52/135 ; tau(u)= -135/26 ; -173622*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z + 14040*z^2
; C5a (7714/116661081 : -23289986/38887027 : 1)  C5b (-153173/1437089 : 233355/1437089 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-1015849/3423691 : -540375/3423691 : 1)
**u= -48/43 ; tau(u)= -43/24 ; -34518*x^2 - 6002*y^2 + 2788*x*z + 4128*z^2
; C5a (-3880/67501 : -54088/67501 : 1)  C5b (-66587/1433914 : -70524/716957 : 1)
**u= -48/53 ; tau(u)= -53/24 ; -44118*x^2 - 7922*y^2 + 6628*x*z + 5088*z^2
; C5a (-1595/11718 : 283/434 : 1)  C5b (11909/218170 : 9372/109085 : 1)
**u= -48/79 ; tau(u)= -79/24 ; -74694*x^2 - 14786*y^2 + 20356*x*z + 7584*z^2
; C5a (-5672/27401 : -2936/27401 : 1)  C5b (219/875 : -1/125 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (14017/237051 : -17065/237051 : 1)
**u= -44/119 ; tau(u)= -119/22 ; -132662*x^2 - 30258*y^2 + 52772*x*z + 10472*z^2
; C5a (403/742 : 319/91266 : 1)  C5b (-1385/33866 : -328924/2082759 : 1)
**u= -44/159 ; tau(u)= -159/22 ; -213462*x^2 - 52498*y^2 + 97252*x*z + 13992*z^2
; C5a (23406302/89793945 : 20588026/29931315 : 1)  C5b (-2377/42189 : -167/1029 : 1)
**u= -44/177 ; tau(u)= -177/22 ; -256086*x^2 - 64594*y^2 + 121444*x*z + 15576*z^2
; C5a (3873/259846 : 134589/259846 : 1)  C5b (43/14226 : -1132/7113 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (-4383/8894 : -580/13341 : 1)
**u= -36/17 ; tau(u)= -17/18 ; -10518*x^2 - 1874*y^2 - 1436*x*z + 1224*z^2
; C5a (-26/209 : 170/209 : 1)  C5b (-4487/31562 : 360/15781 : 1)
**u= -36/41 ; tau(u)= -41/18 ; -25782*x^2 - 4658*y^2 + 4132*x*z + 2952*z^2
; C5a (6544/44915 : 36086/44915 : 1)  C5b (39433/257318 : -2448/128659 : 1)
**u= -36/47 ; tau(u)= -47/18 ; -30678*x^2 - 5714*y^2 + 6244*x*z + 3384*z^2
; C5a (180/671 : -474/671 : 1)  C5b (-716685/5620562 : -416552/2810281 : 1)
**u= -36/83 ; tau(u)= -83/18 ; -69126*x^2 - 15074*y^2 + 24964*x*z + 5976*z^2
; C5a (-343/8986 : -5135/8986 : 1)  C5b (-471873/46878790 : -3539428/23439395 : 1)
**u= -36/91 ; tau(u)= -91/18 ; -79782*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z + 6552*z^2
; C5a (133/254 : -49/254 : 1)  C5b (-55953/76489 : 3949/76489 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (741/2306 : -44/1153 : 1)
**u= -36/115 ; tau(u)= -115/18 ; -116358*x^2 - 27746*y^2 + 50308*x*z + 8280*z^2
; C5a (378/773 : -330/773 : 1)  C5b (-2047/22202 : -1812/11101 : 1)
**u= -36/121 ; tau(u)= -121/18 ; -126582*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z + 8712*z^2
; C5a (133632/600907 : 419454/600907 : 1)  C5b (-76013/367769 : -60291/367769 : 1)
**u= -36/157 ; tau(u)= -157/18 ; -196998*x^2 - 50594*y^2 + 96004*x*z + 11304*z^2
; C5a (-14823/152306 : -6585/152306 : 1)  C5b (1126327/3187466 : -104508/1593733 : 1)
**u= -36/181 ; tau(u)= -181/18 ; -252582*x^2 - 66818*y^2 + 128452*x*z + 13032*z^2
; C5a (-4234/99957 : 990/3029 : 1)  C5b (121923/509557 : -62375/509557 : 1)
**u= -32/27 ; tau(u)= -27/16 ; -14358*x^2 - 2482*y^2 + 868*x*z + 1728*z^2
; C5a (8784/86977 : 71328/86977 : 1)  C5b (881/17566 : -264/8783 : 1)
**u= -32/171 ; tau(u)= -171/16 ; -222294*x^2 - 59506*y^2 + 114916*x*z + 10944*z^2
; C5a (152017/9405346 : -4352465/9405346 : 1)  C5b (-81551/2272734 : 185600/1136367 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (1407511/8704781 : 1253217/8704781 : 1)
**u= -28/33 ; tau(u)= -33/14 ; -16278*x^2 - 2962*y^2 + 2788*x*z + 1848*z^2
; C5a (330/1633 : -1254/1633 : 1)  C5b (439/5462 : 228/2731 : 1)
**u= -28/81 ; tau(u)= -81/14 ; -59862*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z + 4536*z^2
; C5a (-121518/889789 : 53094/889789 : 1)  C5b (2747/16530 : 1028/8265 : 1)
**u= -28/153 ; tau(u)= -153/14 ; -177078*x^2 - 47602*y^2 + 92068*x*z + 8568*z^2
; C5a (3609/33502 : 19683/33502 : 1)  C5b (6907/1718799 : 277451/1718799 : 1)
**u= -24/11 ; tau(u)= -11/12 ; -4566*x^2 - 818*y^2 - 668*x*z + 528*z^2
; C5a (365/3354 : 783/1118 : 1)  C5b (-863/5390 : 96/2695 : 1)
**u= -24/29 ; tau(u)= -29/12 ; -12342*x^2 - 2258*y^2 + 2212*x*z + 1392*z^2
; C5a (92/249 : 40/83 : 1)  C5b (-101/16723 : -279/2389 : 1)
**u= -24/71 ; tau(u)= -71/12 ; -45606*x^2 - 10658*y^2 + 19012*x*z + 3408*z^2
; C5a (20/37 : -496/2701 : 1)  C5b (-33/50 : 128/1825 : 1)
**u= -24/119 ; tau(u)= -119/12 ; -109542*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z + 5712*z^2
; C5a (1144781/3104206 : -1939303/3104206 : 1)  C5b (100119/463582 : -29768/231791 : 1)
**u= -24/193 ; tau(u)= -193/12 ; -262278*x^2 - 75074*y^2 + 147844*x*z + 9264*z^2
; C5a (117049/838082 : 481655/838082 : 1)  C5b (-112355/2040323 : -335409/2040323 : 1)
**u= -16/5 ; tau(u)= -5/8 ; -1558*x^2 - 306*y^2 - 412*x*z + 160*z^2
; C5a (-21/86 : 191/258 : 1)  C5b (-1 : 1/3 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (-2981/3899 : -15/557 : 1)
**u= -16/51 ; tau(u)= -51/8 ; -22902*x^2 - 5458*y^2 + 9892*x*z + 1632*z^2
; C5a (-39/310 : -21/310 : 1)  C5b (-3140621/17632634 : 1452456/8816317 : 1)
**u= -16/81 ; tau(u)= -81/8 ; -50502*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z + 2592*z^2
; C5a (-583/9258 : -741/3086 : 1)  C5b (5797/117439 : 2637/16777 : 1)
**u= -16/153 ; tau(u)= -153/8 ; -160806*x^2 - 47074*y^2 + 93124*x*z + 4896*z^2
; C5a (-7/46910 : -15107/46910 : 1)  C5b (-72239/440018 : 35268/220009 : 1)
**u= -12/7 ; tau(u)= -7/6 ; -1398*x^2 - 242*y^2 - 92*x*z + 168*z^2
; C5a (7/26 : 119/286 : 1)  C5b (-75/62 : 116/341 : 1)
**u= -12/11 ; tau(u)= -11/6 ; -2214*x^2 - 386*y^2 + 196*x*z + 264*z^2
; C5a (-11/3662 : 3025/3662 : 1)  C5b (681/20371 : -1345/20371 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (-1103/2198 : -108/1099 : 1)
**u= -12/71 ; tau(u)= -71/6 ; -37494*x^2 - 10226*y^2 + 19876*x*z + 1704*z^2
; C5a (-79928/1084427 : 63758/1084427 : 1)  C5b (-5241/14045 : -1903/14045 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (8491/20473 : -915/20473 : 1)
**u= -12/151 ; tau(u)= -151/6 ; -151734*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z + 3624*z^2
; C5a (61/930 : 137/310 : 1)  C5b (5823011/116515565 : 18845487/116515565 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (26029/425314 : -34344/212657 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (-5/3 : 7/27 : 1)
**u= -8/9 ; tau(u)= -9/4 ; -1254*x^2 - 226*y^2 + 196*x*z + 144*z^2
; C5a (-155/598 : 119/598 : 1)  C5b (-1/25 : -3/25 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (391/6786 : -544/3393 : 1)
**u= -8/83 ; tau(u)= -83/4 ; -46838*x^2 - 13842*y^2 + 27428*x*z + 1328*z^2
; C5a (4676/57755 : 83848/173265 : 1)  C5b (-3681157/6765126 : 269936/10147689 : 1)
**u= -4 ; tau(u)= -1/2 ; -86*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z + 8*z^2
; C5a (-1/26 : -55/78 : 1)  C5b (-5/17 : 1/51 : 1)
**u= -4/3 ; tau(u)= -3/2 ; -198*x^2 - 34*y^2 + 4*x*z + 24*z^2
; C5a (-4/47 : 38/47 : 1)  C5b (-5/114 : -4/57 : 1)
**u= -4/21 ; tau(u)= -21/2 ; -3366*x^2 - 898*y^2 + 1732*x*z + 168*z^2
; C5a (-40/567 : 34/189 : 1)  C5b (-53/89 : 3/89 : 1)
**u= -4/117 ; tau(u)= -117/2 ; -85926*x^2 - 27394*y^2 + 54724*x*z + 936*z^2
; C5a (2542/251257 : -58418/251257 : 1)  C5b (249599/3786682 : 306948/1893341 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4 ; tau(u)= 1/2 ; -22*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z - 8*z^2
; C5a (-2/3 : -2/9 : 1)  C5b (1 : -1/3 : 1)
**u= 4/21 ; tau(u)= 21/2 ; -2022*x^2 - 898*y^2 + 1732*x*z - 168*z^2
; C5a (130/1057 : -134/1057 : 1)  C5b (-2911/10294 : -564/5147 : 1)
**u= 4/53 ; tau(u)= 53/2 ; -15206*x^2 - 5634*y^2 + 11204*x*z - 424*z^2
; C5a (516/4025 : -4442/12075 : 1)  C5b (-61/226 : -44/339 : 1)
**u= 4/73 ; tau(u)= 73/2 ; -29686*x^2 - 10674*y^2 + 21284*x*z - 584*z^2
; C5a (62/1579 : -658/4737 : 1)  C5b (2253/40129 : 19759/120387 : 1)
**u= 8/15 ; tau(u)= 15/4 ; -582*x^2 - 514*y^2 + 772*x*z - 240*z^2
; C5a (77/102 : -5/34 : 1)  C5b (233/269 : -15/269 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (-169/763 : -15/109 : 1)
**u= 12/67 ; tau(u)= 67/6 ; -20934*x^2 - 9122*y^2 + 17668*x*z - 1608*z^2
; C5a (154/353 : 170/353 : 1)  C5b (-12989/34127 : 2091/34127 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (25083/139058 : -11200/69529 : 1)
**u= 12/83 ; tau(u)= 83/6 ; -33798*x^2 - 13922*y^2 + 27268*x*z - 1992*z^2
; C5a (1261/9026 : 2603/9026 : 1)  C5b (30387/264482 : -21668/132241 : 1)
**u= 12/151 ; tau(u)= 151/6 ; -122742*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z - 3624*z^2
; C5a (44225/620566 : -137069/620566 : 1)  C5b (-614199/10593910 : 854096/5296955 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (14921/28954 : -636/14477 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (-2177/25827 : -3535/25827 : 1)
**u= 16/51 ; tau(u)= 51/8 ; -9846*x^2 - 5458*y^2 + 9892*x*z - 1632*z^2
; C5a (2005/2782 : -737/2782 : 1)  C5b (-3365/67578 : -5084/33789 : 1)
**u= 16/81 ; tau(u)= 81/8 ; -29766*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z - 2592*z^2
; C5a (15066/20399 : -2340/20399 : 1)  C5b (445/20043 : 3257/20043 : 1)
**u= 20/59 ; tau(u)= 59/10 ; -12646*x^2 - 7362*y^2 + 13124*x*z - 2360*z^2
; C5a (9008/12177 : 8810/36531 : 1)  C5b (1283/4878 : -1192/7317 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (-5507/18543 : -2117/18543 : 1)
**u= 24/71 ; tau(u)= 71/12 ; -18342*x^2 - 10658*y^2 + 19012*x*z - 3408*z^2
; C5a (13/54 : -131/1314 : 1)  C5b (9/31 : -5/31 : 1)
**u= 24/103 ; tau(u)= 103/12 ; -45606*x^2 - 21794*y^2 + 41284*x*z - 4944*z^2
; C5a (15316/20073 : -100/6691 : 1)  C5b (-254247/17931518 : 1424120/8965759 : 1)
**u= 24/119 ; tau(u)= 119/12 ; -63846*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z - 5712*z^2
; C5a (1070/4507 : -1648/4507 : 1)  C5b (25983/106622 : 8428/53311 : 1)
**u= 24/169 ; tau(u)= 169/12 ; -140646*x^2 - 57698*y^2 + 113092*x*z - 8112*z^2
; C5a (1153/2054 : -899/2054 : 1)  C5b (3847/17150 : 192/1225 : 1)
**u= 24/193 ; tau(u)= 193/12 ; -188166*x^2 - 75074*y^2 + 147844*x*z - 9264*z^2
; C5a (1830/24103 : 2604/24103 : 1)  C5b (-611311/5852027 : -907671/5852027 : 1)
**u= 28/69 ; tau(u)= 69/14 ; -15462*x^2 - 10306*y^2 + 17476*x*z - 3864*z^2
; C5a (10601/13482 : 263/1498 : 1)  C5b (25/127 : 21/127 : 1)
**u= 28/81 ; tau(u)= 81/14 ; -23574*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z - 4536*z^2
; C5a (16/67 : -2/67 : 1)  C5b (-258209/2315367 : -317923/2315367 : 1)
**u= 28/153 ; tau(u)= 153/14 ; -108534*x^2 - 47602*y^2 + 92068*x*z - 8568*z^2
; C5a (29150/50397 : 7046/16799 : 1)  C5b (-119213/4144914 : -330884/2072457 : 1)
**u= 32/9 ; tau(u)= 9/16 ; -1254*x^2 - 1186*y^2 - 1724*x*z - 576*z^2
; C5a (-47/82 : -1/82 : 1)  C5b (473401/1594109 : 85521/1594109 : 1)
**u= 32/181 ; tau(u)= 181/16 ; -153302*x^2 - 66546*y^2 + 128996*x*z - 11584*z^2
; C5a (8470/33541 : 41308/100623 : 1)  C5b (-104765/338442 : 51596/507663 : 1)
**u= 36/91 ; tau(u)= 91/18 ; -27366*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z - 6552*z^2
; C5a (2765/9166 : -889/9166 : 1)  C5b (-39681/139973 : -9319/139973 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (-28499/94051 : 5343/94051 : 1)
**u= 36/121 ; tau(u)= 121/18 ; -56886*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z - 8712*z^2
; C5a (115378/146229 : 1682/48743 : 1)  C5b (50379/96542 : -5684/48271 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (265913/4078582 : -334200/2039291 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (-10475/11346 : -748/5673 : 1)
**u= 44/119 ; tau(u)= 119/22 ; -48886*x^2 - 30258*y^2 + 52772*x*z - 10472*z^2
; C5a (151/522 : 9785/64206 : 1)  C5b (1595/4706 : -46144/289419 : 1)
**u= 48/131 ; tau(u)= 131/24 ; -59574*x^2 - 36626*y^2 + 64036*x*z - 12576*z^2
; C5a (15418/25919 : 9020/25919 : 1)  C5b (186251/290551 : -26925/290551 : 1)
**u= 48/143 ; tau(u)= 143/24 ; -74694*x^2 - 43202*y^2 + 77188*x*z - 13728*z^2
; C5a (19205/79026 : -3153/26342 : 1)  C5b (134159/4708415 : 745131/4708415 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (133/178 : 84/979 : 1)
**u= 52/135 ; tau(u)= 135/26 ; -61302*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z - 14040*z^2
; C5a (3176/4619 : -1358/4619 : 1)  C5b (18071/24109 : 33/24109 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (1012459/27721730 : 2229612/13860865 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (101473/2734402 : -200100/1367201 : 1)
**u= 56/141 ; tau(u)= 141/28 ; -65526*x^2 - 42898*y^2 + 73252*x*z - 15792*z^2
; C5a (41345/118838 : -24083/118838 : 1)  C5b (-28867/744161 : -108843/744161 : 1)
**u= 60/103 ; tau(u)= 103/30 ; -25014*x^2 - 24818*y^2 + 35236*x*z - 12360*z^2
; C5a (18884/28531 : -350/28531 : 1)  C5b (1080809/44316122 : 3168960/22158061 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (-141317/481486 : -6240/240743 : 1)
**u= 64/9 ; tau(u)= 9/32 ; -8166*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z - 1152*z^2
; C5a (-11363/41254 : 12575/41254 : 1)  C5b (73/34 : 12/17 : 1)
**u= 64/119 ; tau(u)= 119/32 ; -36326*x^2 - 32418*y^2 + 48452*x*z - 15232*z^2
; C5a (2968/3739 : -1148/11217 : 1)  C5b (37033/150318 : 37600/225477 : 1)
**u= 64/183 ; tau(u)= 183/32 ; -119526*x^2 - 71074*y^2 + 125764*x*z - 23424*z^2
; C5a (2554/5883 : -684/1961 : 1)  C5b (-797011/58527786 : -4477372/29263893 : 1)
**u= 68/125 ; tau(u)= 125/34 ; -39622*x^2 - 35874*y^2 + 53252*x*z - 17000*z^2
; C5a (772/1441 : 26/393 : 1)  C5b (6503/7587 : -1613/22761 : 1)
**u= 68/161 ; tau(u)= 161/34 ; -81814*x^2 - 56466*y^2 + 94436*x*z - 21896*z^2
; C5a (2887/3662 : -1909/10986 : 1)  C5b (-105241/903931 : 348277/2711793 : 1)
**u= 68/163 ; tau(u)= 163/34 ; -84614*x^2 - 57762*y^2 + 97028*x*z - 22168*z^2
; C5a (151/278 : -259/834 : 1)  C5b (-99971/1273726 : -262552/1910589 : 1)
**u= 72/157 ; tau(u)= 157/36 ; -73014*x^2 - 54482*y^2 + 88228*x*z - 22608*z^2
; C5a (62825/79738 : 13583/79738 : 1)  C5b (603/1414 : -16/101 : 1)
**u= 72/161 ; tau(u)= 161/36 ; -78342*x^2 - 57026*y^2 + 93316*x*z - 23184*z^2
; C5a (22081/28518 : -1825/9506 : 1)  C5b (25639/32603 : 1449/32603 : 1)
**u= 76/17 ; tau(u)= 17/38 ; -8726*x^2 - 6354*y^2 - 10396*x*z - 2584*z^2
; C5a (-89/174 : -139/522 : 1)  C5b (6363/10267 : 6091/30801 : 1)
**u= 76/143 ; tau(u)= 143/38 ; -53078*x^2 - 46674*y^2 + 70244*x*z - 21736*z^2
; C5a (230/323 : -166/969 : 1)  C5b (6349/23934 : 6004/35901 : 1)
**u= 76/153 ; tau(u)= 153/38 ; -64758*x^2 - 52594*y^2 + 82084*x*z - 23256*z^2
; C5a (7750/18061 : 514/18061 : 1)  C5b (-73109/448254 : 23560/224127 : 1)
**u= 80/173 ; tau(u)= 173/40 ; -88054*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z - 27680*z^2
; C5a (6601/16522 : -18089/148698 : 1)  C5b (-399871/24831266 : 16214312/111740697 : 1)
**u= 80/187 ; tau(u)= 187/40 ; -109334*x^2 - 76338*y^2 + 127076*x*z - 29920*z^2
; C5a (4511/7522 : -6817/22566 : 1)  C5b (-1609/16559 : 6577/49677 : 1)
**u= 80/189 ; tau(u)= 189/40 ; -112566*x^2 - 77842*y^2 + 130084*x*z - 30240*z^2
; C5a (28769/39746 : 10015/39746 : 1)  C5b (166541/3928517 : 611145/3928517 : 1)
**u= 84/151 ; tau(u)= 151/42 ; -56502*x^2 - 52658*y^2 + 77092*x*z - 25368*z^2
; C5a (3894/5149 : 558/5149 : 1)  C5b (-10970827/57392731 : -4780119/57392731 : 1)
**u= 84/169 ; tau(u)= 169/42 ; -78966*x^2 - 64178*y^2 + 100132*x*z - 28392*z^2
; C5a (1719330/2901601 : -649434/2901601 : 1)  C5b (6853/168466 : 12744/84233 : 1)
**u= 96/5 ; tau(u)= 5/48 ; -23958*x^2 - 9266*y^2 - 18332*x*z - 960*z^2
; C5a (-1128/16561 : 2292/16561 : 1)  C5b (10221/19178 : 940/9589 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (-182131/228122 : 19272/114061 : 1)
**u= 104/27 ; tau(u)= 27/52 ; -14358*x^2 - 12274*y^2 - 18716*x*z - 5616*z^2
; C5a (-77/94 : -145/1786 : 1)  C5b (1115/3423 : 4241/65037 : 1)
**u= 108/7 ; tau(u)= 7/54 ; -29238*x^2 - 11762*y^2 - 23132*x*z - 1512*z^2
; C5a (-7684/102207 : -2470/34069 : 1)  C5b (459257/164458 : 75420/82229 : 1)
**u= 108/197 ; tau(u)= 197/54 ; -97638*x^2 - 89282*y^2 + 131908*x*z - 42552*z^2
; C5a (14958/27485 : 1638/27485 : 1)  C5b (-15021/56734 : -764/28367 : 1)
**u= 112/197 ; tau(u)= 197/56 ; -93974*x^2 - 90162*y^2 + 130148*x*z - 44128*z^2
; C5a (3211/4158 : -761/12474 : 1)  C5b (-249435/1130737 : -215551/3392211 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (2719/794 : -1340/1191 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (80113/97022 : -12756/48511 : 1)
**u= 128/21 ; tau(u)= 21/64 ; -30294*x^2 - 17266*y^2 - 31004*x*z - 5376*z^2
; C5a (-6597366/10767043 : -3884652/10767043 : 1)  C5b (-16361/21847 : 1539/21847 : 1)
**u= 128/33 ; tau(u)= 33/64 ; -21894*x^2 - 18562*y^2 - 28412*x*z - 8448*z^2
; C5a (-411/566 : -105/566 : 1)  C5b (175435/2374 : 25332/1187 : 1)
**u= 132/37 ; tau(u)= 37/66 ; -21414*x^2 - 20162*y^2 - 29372*x*z - 9768*z^2
; C5a (-12783/16406 : -1251/16406 : 1)  C5b (757/1403 : -249/1403 : 1)
**u= 136/33 ; tau(u)= 33/68 ; -26118*x^2 - 20674*y^2 - 32636*x*z - 8976*z^2
; C5a (-6596/13833 : 272/1537 : 1)  C5b (10063/29227 : -2055/29227 : 1)
**u= 144/11 ; tau(u)= 11/72 ; -50262*x^2 - 20978*y^2 - 40988*x*z - 3168*z^2
; C5a (-143/266 : -121/266 : 1)  C5b (-19471/22247 : -4461/22247 : 1)
**u= 144/23 ; tau(u)= 23/72 ; -38886*x^2 - 21794*y^2 - 39356*x*z - 6624*z^2
; C5a (-839/1574 : -613/1574 : 1)  C5b (4023/10499 : 527/10499 : 1)
**u= 156/37 ; tau(u)= 37/78 ; -35046*x^2 - 27074*y^2 - 43196*x*z - 11544*z^2
; C5a (-47623/118530 : -331/4390 : 1)  C5b (138507/286274 : 20708/143137 : 1)
**u= 164/3 ; tau(u)= 3/82 ; -76806*x^2 - 26914*y^2 - 53756*x*z - 984*z^2
; C5a (-20339/847206 : 27877/282402 : 1)  C5b (43007/69050 : 4548/34525 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (-17195/13269 : -4087/13269 : 1)
**u= 168/19 ; tau(u)= 19/84 ; -61302*x^2 - 28946*y^2 - 55004*x*z - 6384*z^2
; C5a (-6650/9039 : 532/3013 : 1)  C5b (30899/73933 : 3489/73933 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (251621/384674 : 33756/192337 : 1)
**u= 184/15 ; tau(u)= 15/92 ; -80838*x^2 - 34306*y^2 - 66812*x*z - 5520*z^2
; C5a (-49210/67691 : 6620/67691 : 1)  C5b (-19031/8798 : 2880/4399 : 1)
**u= 192/17 ; tau(u)= 17/96 ; -86214*x^2 - 37442*y^2 - 72572*x*z - 6528*z^2
; C5a (-15547/45166 : 21185/45166 : 1)  C5b (24943/19742 : 4008/9871 : 1)
**u= 192/43 ; tau(u)= 43/96 ; -55638*x^2 - 40562*y^2 - 66332*x*z - 16512*z^2
; C5a (-7663/17154 : 425/1906 : 1)  C5b (26657/5458 : -4140/2729 : 1)
238
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0のとき

8^4+9^4+1369*12^4=73^4
2996063^4+110470752^4+1369*4259928^4=110554273^4
254995251416577207^4+367881445133532856^4+1369*154059577348485852^4=943882602618187657^4
15485844248566540493960065302144^4+148469203413916542800596777233025^4+1369*11504707700789338028298407015760^4=150272522066686342800975280548481^4
52945534361828165259517217363594626324359619179464^4+102144003938378620878536948906036175656498852458953^4+1369*24877710426372249417007599944554147301295376204092^4=159121987867285928710935233230526764783971453419017^4
530892616532520940664862412231575166987233406878903982284339511133127263^4+2403320235090724041165869916212060230104766587856508127987282122957834592^4+1369*285512330433081418943530010497478243646218042073296420541013516102576392^4=2553845129882530548175479392195803574527723199431925798806525333794267553^4
105060071823682901589535408340232663623590522911807524470574514380935673650275418637666350975347831^4+293366510620374254235049862874160766856460837520303544965639462681500551918757223997121599781046392^4+1369*48888125577018543786484672989491103778977294410868591361941489615037816820378957003027467210000812^4=351981705948423477235774634965339523682630830037107666430583130955155103316079930677549771253992393^4
167356351003824188582154274087377887802958248456779529656185435518325028182331391079633332829543744476586842202429615969769126400^4+459313154686120953115917014344421617820262286130833148596455437667455460707477636558590860223734822205418563310978009687162104321^4+1369*77644193673910945718329827002352693398098354739768348575831910088714491948770704554863256745853509520214753218228534693934635680^4=555245662057291085090352645238665716594820687784602613342252956422840060292491995665596416372231031275426001330333294042479864321^4
2065125948894607650271027923702912026697357995263214189569571075250949331027920103213654286488714290936166015625347659258031170675624367264784600619420380840942728^4+9581532266259814117508492722707380916380869472936652936952913752380028186368534928488243946108958285872575351284873284241985580520888921260211711111340894502838409^4+1369*1121103342104590448020266290425297820387193224874422729514371188558944622711928591756943820592638707570744964474016967132926866259784563562354065238967349637072492^4=10148923783525848925050032292181490192340556323937217302756387405172376127407840804051881902639463180816847637305773986834673283254363502234787099930764484713244873^4
523048306575733350101961250392128025829336937045376772269603569279272825481167946252109525805510332920899153531088293519080752459761139567996253035847860443594863996863284669993151954769741684562188383^4+995931183339476312008044453974009823158577880156893665997355093196110262898762878649851193497778652056980911351850189288823787530144878454768543039010274811000103683569270961939774717099120464831844192^4+1369*246890232652232696035998409283428382151619344338766859086880472051348628758695230721132287537044804631453031944071780435683496550988014636579996686537250933560670451068785387557852638123975165910141368^4=1574466682201333868084936295109600743891272230814128902309735538959988444695804769756355725119754257324614836792853503190344148907792114799182419986146936863344192891650015789224960628105630232948804513^4
370965907364824733437813094565341969283276366142433715687902285573990411214204918809796513302279769567211660937417251772860385047709705485529552546369421710191350801028065709484730236811558778735861089073780183433358851043127673445117598721847^4+3698761335108551247607586740247078645458509696289037364662914878502309446050884643694063238511985442699130075302476645359478431716783113964532020703514725865051549487615686637298555262187912278640737009167453977310021143430313536949060028079416^4+1369*280647703221686427446186399842704320132091919636451825817461436444022418041371158431825190445691700012078578633405602780755763033829319350330493119581624936473527718310394130412965124991512563180109469828001050456534051732857153612250914157692^4=3740114749828611830954831224597325039808996529280725121069759055118967011206970988941861746236892261526515178023959387105365827299326975780776850348077656353887166477737822466708849620257462850113184070198002352520597411053883203785030571840777^4
15547148058322340735848614541091077893686649228800682868580829470367627640205579892074862303544379085681701681181037295680754431275505000326476723440396685052088253820389940104493480034796013276418723734733151701228421462577185393224083635093909204159818976615483288340681920016077650571904^4+22189754983338310439429888528896236008001888382213101545403948115067164016259215139772335671528506786342056977858569731756927090705325690394603263837146370341192167871158404181268142895643366921111903261480623862060689891149142573297455547449674285877861585031727509741965735458826905796225^4+1369*9568071301741824437070620619043307261695281934518107504846966476128234527026031757245758416838337077293907020972313075924681154739749287975020494965453918368762404689648522912027364147124631596866983119416223858526523792586302351290474370397468078051662503058716973390101546905584832618480^4=58578151207282423729459574197561716017905463731754370526917275120925852708933216245833572367602839641306604233292136203291855272155749957860152955122373128140993683598184752624578541925656247606658902897842736261256516009001154813712817402694872762810766915219565171379902973342207282478721^4
429810198905415565246055094080002756772796449248899460316969353777564446823863370537669001900069463916146396834912962225488289804068189670444492020946176599506109848118182300573973629699675628287620268321832938912220278220945186125855710662900442784625893788907842175336225388717749382076780296699247486060608720667922726209879967837583944^4+17207258669141300280260416517544987256101368854853303824874590499858758634259468317024493934586722637998307534749121449643285504521930496366247438050803092959535434103023225563634586690176527277558859126251332308756043304292700969023069908164164672720294264768940499102723015594354509913833363052828533039875136987587803594930030931122293833^4+1369*636418056735129709264782892658616119749265070378983819286313916248502431901791377748278500010681869138596393968246985919398794290003902131809213044334575044217072613361357757222109475303710511102847578687243108131631249086564753009113246196012457058251122356613859910853701854509393427368629702235596828990316626089538187372426835811213212^4=17218269688332379670918038345823126603283709998340373817523512052069957323616009028395761960165870231217714339621952994027940860459279104849402589607836486073490344335624777842023529751433824559444908582464686230296258636897787039175712340425200477347776836198205305078656670831593009224331670290536316174912077309822502795015696960786514057^4
2876416161419118258665942638591067830255761175166231880550407503556259552970965273510198897471483080516134684237928666383492073459762539405583644287812680088167700243401474643194794032446773158235798615207104556359531492979241929677303022574105703577654838424156431669432669257535345973286300985044769532954599557496913620489767507770937194256393937069263067804317061051662388575754331373893983^4+3204745895973822284961379394593758883179966589460068512963465869020104104854469923174247444559472483622731765931802714621166560851825379979918842516258307721933524309861420870387280567702277984465854083837044337188361430116766554334363436159931653365044395800874395487296649037534506425979529620460148953003940107410844089837591604549356208546976405377045622108099369158616816346034889822140512^4+1369*4669329697120220970290058603668512293616729980728010669530923652189308691273458376306999782331080436536184388066363343848361230239897831135497169870459566643726040713669460513676539812496133442006740240908118848369667540973545578026087953246605067469155598019344210598942193836977399442808868287573777593546732849814830040899238181415069100310333900493049436080662241213103370771532247994085992^4=28404321392522633174863894843118382038202705202650575770459391033145511659280506660191366347826949793216765077257915057087291580094433142199161867995993815875909853650239447507019881943331241659549442124330415811696274764158910897832883611353087922118369704844829126954577993397314072632995155892045756872743696809745894740005903517723220175221823497454253834031618193863120201482080206324705953^4
44642631017915124581502759683990705388008163008585941371034732305605234438191621311611481386630860151843065864165410412220035220094774212658703333065788392179914661749005222988306826590058800084038932139552965169272754757755855822442662300644189815076796648119899080689382382381922040382716581205669421320998787905161606648469874604077393177757359621565923165470907685973105306332127169899510526458387445433506315758042478091397831902926329653617911^4+974133865677345005927392077512704896654193019072622072283199664509169094473882695465365765430536620163814005150791534343340969978163246366859855308593587456919658960894113818767661343752399520279085337387517966640409708947778940589089766734854016348195628690270742942030681364381520883203925800445867527447924006265313092402834525898623696155513662858730485863425567794132861311155026240746995999654897924097416628652093033828656458989957716519364148472^4+1369*1533215933049135287870498322760633133995232599638334154752859188696260290221198144956572466780382368482295044323819661134041249133991505748004356259211846345700436760169632648176569373213474201188447948272975577485897686253130889245374083062854723188659185954090097484091998850025249254302686344267305062614135885252273555120608355321824969625591768699408149182737885051156490239891480520417260079299868013986221620757773729212962435988895644350717108^4=974133867723322373348624098536765842310437378829462342747271146844829744713289784511076536337218401155992387718558761799515830377286614411405284510473440744424727264837425792933786114983071514810401505296189900585952329664082974291374454004092919684578647128178299767122900163593010077091499281372774155652939431080955287712774950088287484877689969039183433789971342097881211568356468018829296218642876865212947033487359996653283912174098075498249276233^4
20972247784956625973723822230923791471436542014164372133357311379663684063318803625672132389286500880488034812695712201117465791375801829830534655559629130720159016913770189420730229230621086845185232989774485991586703549506902831830307198014530190747888331929534010768897531746834124854861447197228131593277336993790370814441875207728654362613550454944547067893479030440340106957865889246842066399281421092347202049793327654124542424154988289499797083093333685193089346101989123822036476126219276139870900889016319^4+23824157103469710898277415236899036980480386620051004539608950577082353813686727592929586554044809864771762518551528836053893838747621694294485260736959773396770705856147010639456514703786890852047421279347643242017820548402127364520999507674925950204064180514157039947719881082624860590741383323476053243080975527052975632911800488407085168037927897947705795556704002327537082197796831223480517639360289442381434476210461048416254058406069648840126395489041782485692731992858396442314657626383192773790787609958400^4+1369*29267314969941593559258873816788317306648605223223191835132258466739257790301309427417816934061243579812853929458215695823392871321229973948676890940171503326603767690713856652731345344477020903412808203253109600689636609130744851730031151793857692702038493120844025982028720861554252304256627618899874958972525168659184095275308764060576858440592980254831392833762176963063524831748903813756702338488728882074064647334768265370409572286354336409780149806551082161432915076443051456437478287818568186137550288368960^4=178048968635323501342989716784659578221091826158273724387525008956375587607109921554361113431844248674183014093891183790471129045909947471391027549179627730687319198995859301134793945600838487084704615648319924742015259531282202975919135218930564083662731192982357427475033151112577099606138520907182876674072101161969306376652595410492338755750821844486206531714525312281161004712882587867121534702879752514043759595637935803529285950311185784911430482549374752963964449243384850456830087059310554154709800540743681^4
...

u=-196/81のとき

6498969332401324387^4+11259434887250336990^4+1369*597124766215886704^4=11587720176365780775^4
27037072009294608726103275811271555482985169530995090854660682358635862680560482217729453977762940201900699243770114748485829664076760358098605569368996202671681041971953617202099889^4+516468487897707166317570691665509534472718553556353615609520999413779178196769528855861195286820995750360582150789885373363806007960629958429760411139457395325114434335934896005064510486^4+1369*95466620041422395297160013682373687629940622998122306080880726581526395895464612679218678300075821229973184649378492880726910100739051121957476607177519972826305864575914634584414292368^4=655710992569748847367969246699092934874379989822438837968430947678519157567357052507515777728256197766215957464051837413429944507470850721950818375828373757351588478199339018669686316707^4
277094300900765523860702042681307274518498991104713635550180505584403680200798812695956211765462291876847307881674975083951184677599994810808118804083023233854260871912596828533079284263081364571253625701644565500760599334316862908202047715181857192131648940081051471755765634972663869418032443898148878573739815481150955556124355924298102806144376874752057588957019456828027171070754687372345408789863974519915066902767802329114355370461900800632680882935500707373573269703015264760953750911094737166980977236244586074^4+2804843474316286889394549016850263066988908876642153123669688987958929415329643207789935231129977807041013530297394181451012944803224440668359737642080403190567247079277310396297389836155623270529447969810435870666364771355865550047090955539575773727648903467649919795213317021391396033045839897792813635447772773028917584065036470205197730183918992878475674633445248016716485953181989298703233379214644036626957565494479123080141907791930354779274704280438141340961887212621583373053539472676526009269309018948685147273^4+1369*466759778660280533420906759964874562721258555423017975558383693933548195755451112651694908255449329682341642805519681774248397517802750767409694284593655905066338813994035882643268612695635121696948567521797464225699856128084229638746597875076981328408460009004538516203502654826173135957450528933894558256434074118615681930102820289171308155455334813312005183971107235255291249811941388802266629949133526615280589915840548705420851147159054957736603122080024459857097049748174332100553600858019506809186770292698053232^4=3356187105423338567890683145225880598378226242031980979529444547480429168588642459358239461497232844784443474177837246208376758549186268658856028448654704285409524757865232235895238020504772256816721349973036946098492303141938385329928915675979308497678989830755754845283723028777684095965765624315363292158457802470597268391870143928495612700913314088973967778293384815178574859129502605931566744399172406656950966544756687311063709965002674827905307546153388721529824066076361267083597699476850980103252140630120313259^4
863463436024350036704491767415619225527056194268534359331175903382012071191219744488492914870583314270546873392699910456496417395269480311576074702441879644429650113683734960247247197614553060696245798737727188566745486717245012001124562938380366203125237070608759220536292519112223688674819556009922592887775764827301186864089389489045842926566270158724535828054062699742426417280993273865648596995538941969794704424551613996246348246713885310450501354902564453492554410942987625891660425360332828663359076227709073111322931764340152634174880673803013916352129136409232286806766020287506258239989595207850319590212840654142898673105621253313795873489285211660110970003425899304997308777212256422241267792418735103360124566738671818267616127871696888080461892071789694150512271408830686090895394773970577109701025620058153653696701064998574141832306410009516148080314534763412767043553143331654577218589242994791029549503956006025297794746402209290742967518577951984190995423678881770934879714055955565990507016339625394^4+1445541526942747513034603920530108881522194866869669245419593257636321786101087482328040262062795881221595282633612400007585802773369264713109609905835572654369105090936905874595187741074120434030753942722077611390717336808778009097959172891348226063666916849977311134352284234929325815017704437973302110152355811416852445124217437546851772878104137569126518576691004228620781507179571323280923326719333721782172738763545202736648432150202194595503206235661615110983787771363751305444131606083049718338578218045240524019437378804825587478206335249218396723221080914728780827702329040087238557042092487014225925270975316138973531193453292350278142351000802670559690996881674550757268983575432835170767721647618643257392530154711731508247229326613522849047348094263087203150567371640157140852184462616133631181279045645402116847028334407081436437669673268651216579162000675591234178491285943770450056585818345329610886891002187704434943406734477504922327838326092275946648730951864685763664075453136766051002331876743492933^4+1369*62504935976506546338725140005518438886861028794439259116584275793574754378640358202398946449839058767599513732553663277624677184326004617463336500087834560107816127738065843547861835290894052686146663922157594462963123909522923191978471596300574594876984871489355389629134561590603796262257006589341617820296307327528444442593253105872816894741615864894567561492853011226431602038795697842185273022417584905990630800108840075573083768014992060404239307095374604705147376273494957047661559910111939113877450898648784631141123730663924577618345184660528532282596207269030734605328123872148889899496102884467284863457128651976440762756111546552463094381408249271010394804218684252361551647459107151810281946152690613747013546822752632781124391242292541324646630085558362368476783646329590374248838238265648370230845898782320637925391657543603170847457621344130662025462858224983719809238299220639270136039546368289055946547173012549144036519912287775256897266360259189043897808508794768103791749459506405155436866246398096^4=1491080522292903060979412872426130913031254231347144076521957785689297910385999214354154500353978719427074193158009247326737514843351231287985467986354716261786271593416816849964460006620079815087211464207347194832281332422276241542384655260929891020793710375082686031454153769362404946448056243904673248855183343096355858946278145452013580803878672507182583315089471494936901752085490031021801296585830039428113281484770971031497099770530502242964828265944497219403840773013566035788171411494842861897133576486428637783048061494418131530165011679284280496474546468858711793459928811432813785470223815040380627229668762460906334613709178699839726853781076485662348660909749486749983713804770305194142971128902939378390578399529719468499013362394894238185246628413888310545013773152875996194221792069525811244347976077977252817547672503584118217772504644956514374966975921340813857466286174809535431589754259042275733228802937487499178366030610798923668085419106831089594757499290148119516761876462827448451692358978419103^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.05.03

H.Nakao