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Integer Points on A^4+B^4+1225*C^4=D^4

[2026.04.27]A^4+B^4+1225*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=35とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように147個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(35,1,200);
**u= -196/95 ; tau(u)= -95/98 ; -318358*x^2 - 56466*y^2 - 40732*x*z + 37240*z^2
; C5a (55/194 : -25/582 : 1)  C5b (-179539/133358 : -81472/200037 : 1)
**u= -192/83 ; tau(u)= -83/96 ; -279414*x^2 - 50642*y^2 - 46172*x*z + 31872*z^2
; C5a (-6555/19006 : 237/442 : 1)  C5b (-1739813/5151692 : -337899/2575846 : 1)
**u= -192/155 ; tau(u)= -155/96 ; -492822*x^2 - 84914*y^2 + 22372*x*z + 59520*z^2
; C5a (-4916027/68690414 : 55480513/68690414 : 1)  C5b (-332129/110258 : -18156/55129 : 1)
**u= -192/197 ; tau(u)= -197/96 ; -646038*x^2 - 114482*y^2 + 81508*x*z + 75648*z^2
; C5a (666985/6210594 : 1697261/2070198 : 1)  C5b (333151/2751794 : -28596/1375897 : 1)
**u= -188/133 ; tau(u)= -133/94 ; -412198*x^2 - 70722*y^2 + 68*x*z + 50008*z^2
; C5a (-25445/7248254 : 18284119/21744762 : 1)  C5b (-1/35306 : -212/52959 : 1)
**u= -184/63 ; tau(u)= -63/92 ; -218118*x^2 - 41794*y^2 - 51836*x*z + 23184*z^2
; C5a (118273/533478 : 27105/177826 : 1)  C5b (19689429/12953996 : -1443307/6476998 : 1)
**u= -180/53 ; tau(u)= -53/90 ; -190374*x^2 - 38018*y^2 - 53564*x*z + 19080*z^2
; C5a (450230/8700649 : 5608730/8700649 : 1)  C5b (-1131949/663932 : 185331/331966 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (151/42 : -16/21 : 1)
**u= -180/73 ; tau(u)= -73/90 ; -234294*x^2 - 43058*y^2 - 43484*x*z + 26280*z^2
; C5a (186985/1269398 : -743995/1269398 : 1)  C5b (1262771/255822 : -130904/127911 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (-143033/194124 : 21991/97062 : 1)
**u= -176/9 ; tau(u)= -9/88 ; -106086*x^2 - 31138*y^2 - 61628*x*z + 3168*z^2
; C5a (-62639/300054 : -60545/100018 : 1)  C5b (-165383/333452 : -12153/166726 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (129831/2374844 : -20585/1187422 : 1)
**u= -172/29 ; tau(u)= -29/86 ; -133702*x^2 - 31266*y^2 - 55804*x*z + 9976*z^2
; C5a (157/5914 : -27589/53226 : 1)  C5b (-59679/46844 : -91033/210798 : 1)
**u= -172/63 ; tau(u)= -63/86 ; -199254*x^2 - 37522*y^2 - 43292*x*z + 21672*z^2
; C5a (533205/8810942 : -6157023/8810942 : 1)  C5b (421579/207934 : -36120/103967 : 1)
**u= -172/147 ; tau(u)= -147/86 ; -420678*x^2 - 72802*y^2 + 27268*x*z + 50568*z^2
; C5a (29/162 : -41/54 : 1)  C5b (416943/7369562 : -103636/3684781 : 1)
**u= -168/151 ; tau(u)= -151/84 ; -424422*x^2 - 73826*y^2 + 34756*x*z + 50736*z^2
; C5a (15313/1415718 : -392465/471906 : 1)  C5b (12829/613316 : 21837/306658 : 1)
**u= -164/189 ; tau(u)= -189/82 ; -542982*x^2 - 98338*y^2 + 89092*x*z + 61992*z^2
; C5a (865/4186 : 3193/4186 : 1)  C5b (49057/312548 : -2961/156274 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (-688833/101084 : 91087/50542 : 1)
**u= -156/49 ; tau(u)= -49/78 ; -148566*x^2 - 29138*y^2 - 39068*x*z + 15288*z^2
; C5a (-2908/9303 : 2070/3101 : 1)  C5b (-1391/4644 : -175/2322 : 1)
**u= -156/53 ; tau(u)= -53/78 ; -156006*x^2 - 29954*y^2 - 37436*x*z + 16536*z^2
; C5a (236/1471 : -686/1471 : 1)  C5b (-50629/189266 : 6084/94633 : 1)
**u= -156/67 ; tau(u)= -67/78 ; -183558*x^2 - 33314*y^2 - 30716*x*z + 20904*z^2
; C5a (16840/70851 : 7358/23617 : 1)  C5b (-17563/17868 : 2939/8934 : 1)
**u= -156/193 ; tau(u)= -193/78 ; -537366*x^2 - 98834*y^2 + 100324*x*z + 60216*z^2
; C5a (-334/2365 : -1414/2365 : 1)  C5b (1421/214386 : 12700/107193 : 1)
**u= -152/45 ; tau(u)= -45/76 ; -136182*x^2 - 27154*y^2 - 38108*x*z + 13680*z^2
; C5a (-158804/919173 : -236648/306391 : 1)  C5b (5377/5516 : 15/2758 : 1)
**u= -152/123 ; tau(u)= -123/76 ; -309654*x^2 - 53362*y^2 + 14308*x*z + 37392*z^2
; C5a (-16138/359771 : 296024/359771 : 1)  C5b (-2114833/5460412 : 492561/2730206 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-2397563/1508986 : -83952/754493 : 1)
**u= -152/189 ; tau(u)= -189/76 ; -513462*x^2 - 94546*y^2 + 96676*x*z + 57456*z^2
; C5a (4353526/48431443 : 39218620/48431443 : 1)  C5b (-8367/6332 : -209/3166 : 1)
**u= -148/51 ; tau(u)= -51/74 ; -141702*x^2 - 27106*y^2 - 33404*x*z + 15096*z^2
; C5a (-1990/63353 : 48682/63353 : 1)  C5b (-469053/603428 : 82307/301714 : 1)
**u= -144/85 ; tau(u)= -85/72 ; -203478*x^2 - 35186*y^2 - 12572*x*z + 24480*z^2
; C5a (784665/10023686 : 7970715/10023686 : 1)  C5b (-1873/84 : -145/42 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-235841/107694 : 11720/161541 : 1)
**u= -136/169 ; tau(u)= -169/68 ; -410726*x^2 - 75618*y^2 + 77252*x*z + 45968*z^2
; C5a (4827738/10951201 : -1702420/32853603 : 1)  C5b (12831/236876 : 36685/355314 : 1)
**u= -124/193 ; tau(u)= -193/62 ; -461078*x^2 - 89874*y^2 + 118244*x*z + 47864*z^2
; C5a (-1670729/13057042 : 20735689/39171126 : 1)  C5b (3731/15644 : -41/23466 : 1)
**u= -120/91 ; tau(u)= -91/60 ; -180246*x^2 - 30962*y^2 + 4324*x*z + 21840*z^2
; C5a (-107/9642 : 2695/3214 : 1)  C5b (-60499/350298 : 21932/175149 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (-187841/133778 : -9456/66889 : 1)
**u= -112/9 ; tau(u)= -9/56 ; -46182*x^2 - 12706*y^2 - 24764*x*z + 2016*z^2
; C5a (250/14367 : -1684/4789 : 1)  C5b (163483/226202 : 14844/113101 : 1)
**u= -112/111 ; tau(u)= -111/56 ; -211014*x^2 - 37186*y^2 + 24196*x*z + 24864*z^2
; C5a (8842/23211 : 2360/7737 : 1)  C5b (2859/27014 : 380/13507 : 1)
**u= -108/29 ; tau(u)= -29/54 ; -65094*x^2 - 13346*y^2 - 19964*x*z + 6264*z^2
; C5a (-2431/12730 : -509/670 : 1)  C5b (9329/7644 : 769/3822 : 1)
**u= -108/175 ; tau(u)= -175/54 ; -369942*x^2 - 72914*y^2 + 99172*x*z + 37800*z^2
; C5a (-994/167449 : -119602/167449 : 1)  C5b (-578497/650924 : -33663/325462 : 1)
**u= -104/89 ; tau(u)= -89/52 ; -154022*x^2 - 26658*y^2 + 10052*x*z + 18512*z^2
; C5a (12866/43629 : 72068/130887 : 1)  C5b (-5821/1596 : -31/342 : 1)
**u= -104/135 ; tau(u)= -135/52 ; -254118*x^2 - 47266*y^2 + 51268*x*z + 28080*z^2
; C5a (42677/410978 : -331021/410978 : 1)  C5b (-46683/59284 : 5179/29642 : 1)
**u= -104/147 ; tau(u)= -147/52 ; -284406*x^2 - 54034*y^2 + 64804*x*z + 30576*z^2
; C5a (-15746/153175 : -95284/153175 : 1)  C5b (74541/756886 : -38032/378443 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (7393/2884 : 3421/4326 : 1)
**u= -100/39 ; tau(u)= -39/50 ; -70326*x^2 - 13042*y^2 - 13916*x*z + 7800*z^2
; C5a (116372/474059 : -50162/474059 : 1)  C5b (5951/4508 : 9/322 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (1551/20762 : 976/10381 : 1)
**u= -100/171 ; tau(u)= -171/50 ; -342246*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z + 34200*z^2
; C5a (-2894/66009 : 14390/22003 : 1)  C5b (-108003/403076 : 34739/201538 : 1)
**u= -96/59 ; tau(u)= -59/48 ; -93846*x^2 - 16178*y^2 - 4508*x*z + 11328*z^2
; C5a (6773/36982 : -24935/36982 : 1)  C5b (-45199/378316 : 14415/189158 : 1)
**u= -96/77 ; tau(u)= -77/48 ; -122358*x^2 - 21074*y^2 + 5284*x*z + 14784*z^2
; C5a (-98103/929366 : -726075/929366 : 1)  C5b (-100183/17838 : -392/8919 : 1)
**u= -96/95 ; tau(u)= -95/48 ; -154758*x^2 - 27266*y^2 + 17668*x*z + 18240*z^2
; C5a (5029/80382 : 22213/26794 : 1)  C5b (-7441/67758 : -4444/33879 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (-793653/8794162 : 96800/4397081 : 1)
**u= -92/131 ; tau(u)= -131/46 ; -224774*x^2 - 42786*y^2 + 51716*x*z + 24104*z^2
; C5a (11239/35050 : 67393/105150 : 1)  C5b (-1798153/2066042 : -448928/3099063 : 1)
**u= -88/13 ; tau(u)= -13/44 ; -33398*x^2 - 8082*y^2 - 14812*x*z + 2288*z^2
; C5a (-1681/117246 : 195373/351738 : 1)  C5b (-91/246 : -4/369 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (-339/868 : -29/434 : 1)
**u= -88/167 ; tau(u)= -167/44 ; -308134*x^2 - 63522*y^2 + 96068*x*z + 29392*z^2
; C5a (-2942/414537 : -835840/1243611 : 1)  C5b (-1023617/1516658 : -304624/2274987 : 1)
**u= -84/19 ; tau(u)= -19/42 ; -36102*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z + 3192*z^2
; C5a (644/6151 : 2674/6151 : 1)  C5b (-294227/919372 : 16413/459686 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (-39259/20322 : -6344/10161 : 1)
**u= -84/41 ; tau(u)= -41/42 ; -58806*x^2 - 10418*y^2 - 7388*x*z + 6888*z^2
; C5a (1817/17046 : -4103/5682 : 1)  C5b (-187091/421844 : -37347/210922 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (1859/148 : 45/74 : 1)
**u= -84/95 ; tau(u)= -95/42 ; -139158*x^2 - 25106*y^2 + 21988*x*z + 15960*z^2
; C5a (905/2926 : -1795/2926 : 1)  C5b (32933/286436 : -8469/143218 : 1)
**u= -84/191 ; tau(u)= -191/42 ; -368406*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z + 32088*z^2
; C5a (34850/70857 : -2458/7873 : 1)  C5b (35657/387882 : -26396/193941 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (-117921/182026 : -20300/91013 : 1)
**u= -76/105 ; tau(u)= -105/38 ; -147318*x^2 - 27826*y^2 + 32548*x*z + 15960*z^2
; C5a (-430/2489 : 1150/2489 : 1)  C5b (-2603/4786 : -432/2393 : 1)
**u= -72/95 ; tau(u)= -95/36 ; -124422*x^2 - 23234*y^2 + 25732*x*z + 13680*z^2
; C5a (35437/744378 : -196847/248126 : 1)  C5b (-5677/6484 : -525/3242 : 1)
**u= -72/115 ; tau(u)= -115/36 ; -161142*x^2 - 31634*y^2 + 42532*x*z + 16560*z^2
; C5a (-13355/183746 : 116045/183746 : 1)  C5b (-44317/161894 : -13980/80947 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (-5967/7484 : -529/3742 : 1)
**u= -64/7 ; tau(u)= -7/32 ; -16166*x^2 - 4194*y^2 - 7996*x*z + 896*z^2
; C5a (448/6791 : -5432/20373 : 1)  C5b (-299/746 : 8/1119 : 1)
**u= -64/61 ; tau(u)= -61/32 ; -65846*x^2 - 11538*y^2 + 6692*x*z + 7808*z^2
; C5a (-229/778 : 251/2334 : 1)  C5b (-81431/847934 : -157876/1271901 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (-61889/36722 : 1244/7869 : 1)
**u= -60 ; tau(u)= -1/30 ; -11286*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z + 120*z^2
; C5a (-5358/24877 : 14034/24877 : 1)  C5b (6247/9226 : 96/659 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (-70357/138226 : 12504/69113 : 1)
**u= -60/169 ; tau(u)= -169/30 ; -263286*x^2 - 60722*y^2 + 107044*x*z + 20280*z^2
; C5a (258706/5794997 : -3683534/5794997 : 1)  C5b (3299/9828 : 157/4914 : 1)
**u= -56/33 ; tau(u)= -33/28 ; -30726*x^2 - 5314*y^2 - 1916*x*z + 3696*z^2
; C5a (6774/497063 : 412752/497063 : 1)  C5b (-1041/13234 : -232/6617 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (29933/383084 : 25587/191542 : 1)
**u= -52/139 ; tau(u)= -139/26 ; -181862*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z + 14456*z^2
; C5a (4303/8046 : -3523/24138 : 1)  C5b (-47447989/76624674 : -12318944/114937011 : 1)
**u= -48/23 ; tau(u)= -23/24 ; -18918*x^2 - 3362*y^2 - 2492*x*z + 2208*z^2
; C5a (-3/22 : 729/902 : 1)  C5b (-5383/34798 : -32184/713359 : 1)
**u= -48/107 ; tau(u)= -107/24 ; -116694*x^2 - 25202*y^2 + 41188*x*z + 10272*z^2
; C5a (-8835/125858 : -65403/125858 : 1)  C5b (10801/51186 : 2476/25593 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-1157/8628 : -725/4314 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (-4347/2 : -728 : 1)
**u= -44/21 ; tau(u)= -21/22 ; -15846*x^2 - 2818*y^2 - 2108*x*z + 1848*z^2
; C5a (-1100/29463 : -8074/9821 : 1)  C5b (-2221/2684 : -381/1342 : 1)
**u= -40/91 ; tau(u)= -91/20 ; -83606*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z + 7280*z^2
; C5a (7023/13706 : 7849/41118 : 1)  C5b (-85217/106654 : -932/159981 : 1)
**u= -40/161 ; tau(u)= -161/20 ; -211846*x^2 - 53442*y^2 + 100484*x*z + 12880*z^2
; C5a (2666/201997 : 312032/605991 : 1)  C5b (-20323/41786 : 7636/62679 : 1)
**u= -36/49 ; tau(u)= -49/18 ; -32406*x^2 - 6098*y^2 + 7012*x*z + 3528*z^2
; C5a (45/134 : -81/134 : 1)  C5b (12317/69742 : 1812/34871 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (-17031/759292 : -63721/379646 : 1)
**u= -28/3 ; tau(u)= -3/14 ; -3078*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z + 168*z^2
; C5a (-283/3402 : -221/378 : 1)  C5b (-12441/17546 : 1852/8773 : 1)
**u= -28/25 ; tau(u)= -25/14 ; -11702*x^2 - 2034*y^2 + 932*x*z + 1400*z^2
; C5a (-1325/4958 : -5855/14874 : 1)  C5b (-923/446 : -160/669 : 1)
**u= -28/47 ; tau(u)= -47/14 ; -26134*x^2 - 5202*y^2 + 7268*x*z + 2632*z^2
; C5a (-70/431 : 8414/21981 : 1)  C5b (3381141/68166446 : 225936968/1738244373 : 1)
**u= -28/135 ; tau(u)= -135/14 ; -141942*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z + 7560*z^2
; C5a (-5296/61331 : 5878/61331 : 1)  C5b (13541/51598 : 3024/25799 : 1)
**u= -24 ; tau(u)= -1/12 ; -1926*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z + 48*z^2
; C5a (1/38 : 109/646 : 1)  C5b (-307/378 : -44/189 : 1)
**u= -24/7 ; tau(u)= -7/12 ; -3366*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z + 336*z^2
; C5a (926/41155 : -28036/41155 : 1)  C5b (-1663/5762 : -156/2881 : 1)
**u= -24/29 ; tau(u)= -29/12 ; -12342*x^2 - 2258*y^2 + 2212*x*z + 1392*z^2
; C5a (92/249 : 40/83 : 1)  C5b (26777/303758 : -1860/21697 : 1)
**u= -24/125 ; tau(u)= -125/12 ; -119478*x^2 - 31826*y^2 + 61348*x*z + 6000*z^2
; C5a (-244/4069 : -992/4069 : 1)  C5b (3569/14098 : 864/7049 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (2149/13268 : 987/6634 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (13293/4924 : -931/2462 : 1)
**u= -20/33 ; tau(u)= -33/10 ; -13014*x^2 - 2578*y^2 + 3556*x*z + 1320*z^2
; C5a (-34/24209 : 17290/24209 : 1)  C5b (5317/39214 : -1992/19607 : 1)
**u= -16/31 ; tau(u)= -31/8 ; -10502*x^2 - 2178*y^2 + 3332*x*z + 992*z^2
; C5a (2/71 : 1648/2343 : 1)  C5b (-1351/1646 : 2048/27159 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (231/5932 : 455/2966 : 1)
**u= -16/63 ; tau(u)= -63/8 ; -32646*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z + 2016*z^2
; C5a (22565/40466 : -9293/40466 : 1)  C5b (-33/52 : 1/26 : 1)
**u= -16/81 ; tau(u)= -81/8 ; -50502*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z + 2592*z^2
; C5a (-583/9258 : -741/3086 : 1)  C5b (5443/18662 : 144/1333 : 1)
**u= -12/31 ; tau(u)= -31/6 ; -9174*x^2 - 2066*y^2 + 3556*x*z + 744*z^2
; C5a (685/1902 : -403/634 : 1)  C5b (887/3612 : 167/1806 : 1)
**u= -12/35 ; tau(u)= -35/6 ; -11142*x^2 - 2594*y^2 + 4612*x*z + 840*z^2
; C5a (-352/106687 : -60154/106687 : 1)  C5b (-81191/520342 : 44076/260171 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (40903/115644 : -6185/57822 : 1)
**u= -4/35 ; tau(u)= -35/2 ; -8518*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z + 280*z^2
; C5a (-28/673 : -322/2019 : 1)  C5b (23/186 : 44/279 : 1)
**u= -4/153 ; tau(u)= -153/2 ; -145398*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z + 1224*z^2
; C5a (310/1081 : -634/1081 : 1)  C5b (-36483/640178 : -53896/320089 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/35 ; tau(u)= 35/2 ; -6278*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z - 280*z^2
; C5a (82/263 : -398/789 : 1)  C5b (-463/1524 : -269/2286 : 1)
**u= 4/153 ; tau(u)= 153/2 ; -135606*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z - 1224*z^2
; C5a (5162/8889 : -1178/2963 : 1)  C5b (-6106443/22898222 : -1604236/11449111 : 1)
**u= 8/117 ; tau(u)= 117/4 ; -74838*x^2 - 27442*y^2 + 54628*x*z - 1872*z^2
; C5a (558/15095 : 612/15095 : 1)  C5b (139087/2620478 : 221316/1310239 : 1)
**u= 12/31 ; tau(u)= 31/6 ; -3222*x^2 - 2066*y^2 + 3556*x*z - 744*z^2
; C5a (250/837 : -34/279 : 1)  C5b (69167/363948 : -30913/181974 : 1)
**u= 12/35 ; tau(u)= 35/6 ; -4422*x^2 - 2594*y^2 + 4612*x*z - 840*z^2
; C5a (274/341 : -2/31 : 1)  C5b (-403/2946 : 200/1473 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (17957/65572 : -5115/32786 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (521/206058 : -17380/103029 : 1)
**u= 16/31 ; tau(u)= 31/8 ; -2566*x^2 - 2178*y^2 + 3332*x*z - 992*z^2
; C5a (248/461 : 2480/15213 : 1)  C5b (-127/658 : -1004/10857 : 1)
**u= 16/63 ; tau(u)= 63/8 ; -16518*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z - 2016*z^2
; C5a (7909/11338 : 3227/11338 : 1)  C5b (5273/10622 : 636/5311 : 1)
**u= 16/81 ; tau(u)= 81/8 ; -29766*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z - 2592*z^2
; C5a (15066/20399 : -2340/20399 : 1)  C5b (712397/14466892 : -1216893/7233446 : 1)
**u= 24 ; tau(u)= 1/12 ; -1542*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z - 48*z^2
; C5a (-42/67 : -384/1139 : 1)  C5b (127/98 : 348/833 : 1)
**u= 24/7 ; tau(u)= 7/12 ; -678*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z - 336*z^2
; C5a (-379/562 : 13/562 : 1)  C5b (3439/12316 : 273/6158 : 1)
**u= 28/3 ; tau(u)= 3/14 ; -1734*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z - 168*z^2
; C5a (-390/1453 : 558/1453 : 1)  C5b (503/58 : 84/29 : 1)
**u= 28/135 ; tau(u)= 135/14 ; -81462*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z - 7560*z^2
; C5a (3220/20599 : 4270/20599 : 1)  C5b (-83043/229646 : -7840/114823 : 1)
**u= 28/177 ; tau(u)= 177/14 ; -150678*x^2 - 63442*y^2 + 123748*x*z - 9912*z^2
; C5a (13/142 : -7/142 : 1)  C5b (20939127/41346188 : 1885783/20673094 : 1)
**u= 32/91 ; tau(u)= 91/16 ; -29462*x^2 - 17586*y^2 + 31076*x*z - 5824*z^2
; C5a (15152/29359 : -32312/88077 : 1)  C5b (15977/32908 : -6949/49362 : 1)
**u= 36/161 ; tau(u)= 161/18 ; -113046*x^2 - 53138*y^2 + 101092*x*z - 11592*z^2
; C5a (22/159 : 570/8639 : 1)  C5b (-66587/332898 : -3623972/27131187 : 1)
**u= 40/91 ; tau(u)= 91/20 ; -25366*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z - 7280*z^2
; C5a (466/1161 : 656/3483 : 1)  C5b (11703/60674 : 15464/91011 : 1)
**u= 40/161 ; tau(u)= 161/20 ; -108806*x^2 - 53442*y^2 + 100484*x*z - 12880*z^2
; C5a (9020/13371 : -12740/40113 : 1)  C5b (756083/1214764 : -88921/1822146 : 1)
**u= 48/107 ; tau(u)= 107/24 ; -34518*x^2 - 25202*y^2 + 41188*x*z - 10272*z^2
; C5a (546/935 : -24/85 : 1)  C5b (-36143/234738 : -13868/117369 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (-37397/920772 : 68875/460386 : 1)
**u= 48/173 ; tau(u)= 173/24 ; -120054*x^2 - 62162*y^2 + 115108*x*z - 16608*z^2
; C5a (48056/97449 : -1240/2953 : 1)  C5b (-1166921/6997854 : -474868/3498927 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (-12649/41974 : 1728/230857 : 1)
**u= 52/139 ; tau(u)= 139/26 ; -66214*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z - 14456*z^2
; C5a (522/1759 : 838/5277 : 1)  C5b (28511/49866 : 9224/74799 : 1)
**u= 56/153 ; tau(u)= 153/28 ; -81318*x^2 - 49954*y^2 + 87364*x*z - 17136*z^2
; C5a (14309/39038 : 10993/39038 : 1)  C5b (587683/1665002 : 135192/832501 : 1)
**u= 60 ; tau(u)= 1/30 ; -10326*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z - 120*z^2
; C5a (-16/559 : 82/559 : 1)  C5b (314657/113626 : 52608/56813 : 1)
**u= 60/113 ; tau(u)= 113/30 ; -33174*x^2 - 29138*y^2 + 43876*x*z - 13560*z^2
; C5a (37838/46717 : 4010/46717 : 1)  C5b (703087/1024764 : 67777/512382 : 1)
**u= 60/139 ; tau(u)= 139/30 ; -60006*x^2 - 42242*y^2 + 70084*x*z - 16680*z^2
; C5a (12802/16049 : 2522/16049 : 1)  C5b (10423/15444 : 809/7722 : 1)
**u= 60/169 ; tau(u)= 169/30 ; -101046*x^2 - 60722*y^2 + 107044*x*z - 20280*z^2
; C5a (19392/76199 : -6318/76199 : 1)  C5b (28189/991842 : 80252/495921 : 1)
**u= 64/7 ; tau(u)= 7/32 ; -8998*x^2 - 4194*y^2 - 7996*x*z - 896*z^2
; C5a (-1101/4522 : 4765/13566 : 1)  C5b (-4087/212 : -2011/318 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (79467/291922 : -1720/145961 : 1)
**u= 84/19 ; tau(u)= 19/42 ; -10566*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z - 3192*z^2
; C5a (-8032/22051 : -1130/22051 : 1)  C5b (-4223/1222 : -588/611 : 1)
**u= 84/191 ; tau(u)= 191/42 ; -111702*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z - 32088*z^2
; C5a (62278/84477 : 6586/28159 : 1)  C5b (-122819/408274 : 7152/204137 : 1)
**u= 88/13 ; tau(u)= 13/44 ; -15094*x^2 - 8082*y^2 - 14812*x*z - 2288*z^2
; C5a (-665/3314 : -967/9942 : 1)  C5b (14339/10724 : 7271/16086 : 1)
**u= 96/25 ; tau(u)= 25/48 ; -12198*x^2 - 10466*y^2 - 15932*x*z - 4800*z^2
; C5a (-1768/3193 : 524/3193 : 1)  C5b (4523/1596 : 725/798 : 1)
**u= 100/3 ; tau(u)= 3/50 ; -27654*x^2 - 10018*y^2 - 19964*x*z - 600*z^2
; C5a (-2699/84862 : -2239/84862 : 1)  C5b (218541/66892 : -36781/33446 : 1)
**u= 100/171 ; tau(u)= 171/50 ; -68646*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z - 34200*z^2
; C5a (52600/76611 : 370/25537 : 1)  C5b (443031/491498 : 18932/245749 : 1)
**u= 108/29 ; tau(u)= 29/54 ; -14982*x^2 - 13346*y^2 - 19964*x*z - 6264*z^2
; C5a (-24203/38814 : 2123/12938 : 1)  C5b (17717/29438 : 3012/14719 : 1)
**u= 112/9 ; tau(u)= 9/56 ; -30054*x^2 - 12706*y^2 - 24764*x*z - 2016*z^2
; C5a (-52678/72087 : 1196/24029 : 1)  C5b (-7191/10924 : -503/5462 : 1)
**u= 136/7 ; tau(u)= 7/68 ; -48166*x^2 - 18594*y^2 - 36796*x*z - 1904*z^2
; C5a (-76/1043 : 524/3129 : 1)  C5b (-44481/60194 : 14228/90291 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (183403/419762 : 2928/29983 : 1)
**u= 172/29 ; tau(u)= 29/86 ; -53894*x^2 - 31266*y^2 - 55804*x*z - 9976*z^2
; C5a (-4642/17861 : -27074/160749 : 1)  C5b (3549/9844 : 1333/44298 : 1)
**u= 176/9 ; tau(u)= 9/88 ; -80742*x^2 - 31138*y^2 - 61628*x*z - 3168*z^2
; C5a (-4103/39322 : 10879/39322 : 1)  C5b (-251503/100238 : -40548/50119 : 1)
**u= 180/31 ; tau(u)= 31/90 ; -58326*x^2 - 34322*y^2 - 60956*x*z - 11160*z^2
; C5a (-136/169 : 1318/22139 : 1)  C5b (49/118 : -672/7729 : 1)
**u= 188/9 ; tau(u)= 9/94 ; -92982*x^2 - 35506*y^2 - 70364*x*z - 3384*z^2
; C5a (-1120/15863 : 2818/15863 : 1)  C5b (-106357/128492 : -12891/64246 : 1)
147
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.27
H.Nakao

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