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Integer Points on A^4+B^4+1156*C^4=D^4

[2026.04.21]A^4+B^4+1156*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=34とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように72個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(34,1,200);
**u= -196/95 ; tau(u)= -95/98 ; -318358*x^2 - 56466*y^2 - 40732*x*z + 37240*z^2
; C5a (55/194 : -25/582 : 1)  C5b (-164169/33958 : -59320/50937 : 1)
**u= -192/85 ; tau(u)= -85/96 ; -284502*x^2 - 51314*y^2 - 44828*x*z + 32640*z^2
; C5a (-19318/45343 : -1984/45343 : 1)  C5b (863091/448870 : 40928/224435 : 1)
**u= -192/155 ; tau(u)= -155/96 ; -492822*x^2 - 84914*y^2 + 22372*x*z + 59520*z^2
; C5a (-4916027/68690414 : 55480513/68690414 : 1)  C5b (-1276615/2037266 : 32364/145519 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (-35863/17510 : 2328/8755 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (-101323/1362782 : 74370/681391 : 1)
**u= -160/51 ; tau(u)= -51/80 ; -157686*x^2 - 30802*y^2 - 40796*x*z + 16320*z^2
; C5a (-2888/57049 : 68/89 : 1)  C5b (-19783/70506 : -2270/35253 : 1)
**u= -152/65 ; tau(u)= -65/76 ; -173702*x^2 - 31554*y^2 - 29308*x*z + 19760*z^2
; C5a (9219/1071586 : 2526869/3214758 : 1)  C5b (-196775/303554 : 108764/455331 : 1)
**u= -148/17 ; tau(u)= -17/74 ; -87574*x^2 - 22482*y^2 - 42652*x*z + 5032*z^2
; C5a (2296/27889 : 16990/83667 : 1)  C5b (8917/7362 : 3560/11043 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (289/11574 : 200/5787 : 1)
**u= -144/85 ; tau(u)= -85/72 ; -203478*x^2 - 35186*y^2 - 12572*x*z + 24480*z^2
; C5a (784665/10023686 : 7970715/10023686 : 1)  C5b (103371/3490 : 6982/1745 : 1)
**u= -144/143 ; tau(u)= -143/72 ; -349638*x^2 - 61634*y^2 + 40324*x*z + 41184*z^2
; C5a (-420395/11731722 : -3122279/3910574 : 1)  C5b (60633/529142 : 2750/264571 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (28751/22890 : -856/11445 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (-5491/6390 : -114758/392985 : 1)
**u= -136/25 ; tau(u)= -25/68 ; -86438*x^2 - 19746*y^2 - 34492*x*z + 6800*z^2
; C5a (-3572/519399 : -929944/1558197 : 1)  C5b (12827/13754 : -3320/20631 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-16119/45146 : 12250/67719 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (-534979/426110 : -25182/213055 : 1)
**u= -136/169 ; tau(u)= -169/68 ; -410726*x^2 - 75618*y^2 + 77252*x*z + 45968*z^2
; C5a (4827738/10951201 : -1702420/32853603 : 1)  C5b (-92783/362922 : -13330/77769 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (11559/986 : -1760/493 : 1)
**u= -132/85 ; tau(u)= -85/66 ; -185382*x^2 - 31874*y^2 - 5948*x*z + 22440*z^2
; C5a (6377/44626 : 33353/44626 : 1)  C5b (29865/706 : 1418/353 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (-49211/574430 : -11838/287215 : 1)
**u= -124/85 ; tau(u)= -85/62 ; -173798*x^2 - 29826*y^2 - 1852*x*z + 21080*z^2
; C5a (-6314/680059 : 1715254/2040177 : 1)  C5b (21815/654 : -1114/981 : 1)
**u= -124/185 ; tau(u)= -185/62 ; -434998*x^2 - 83826*y^2 + 106148*x*z + 45880*z^2
; C5a (-9572/56673 : -73210/170019 : 1)  C5b (-42775/39134 : 194/58701 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (451147/139910 : 60168/69955 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (73271/566270 : -12024/283135 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (16711/208614 : -1730/14901 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (30969/46138 : -5140/69207 : 1)
**u= -100/119 ; tau(u)= -119/50 ; -210166*x^2 - 38322*y^2 + 36644*x*z + 23800*z^2
; C5a (1467/4934 : -9599/14802 : 1)  C5b (-52693/51286 : 13270/76929 : 1)
**u= -100/187 ; tau(u)= -187/50 ; -389414*x^2 - 79938*y^2 + 119876*x*z + 37400*z^2
; C5a (6699/122086 : -268015/366258 : 1)  C5b (166829/631158 : 34670/946737 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (-13413/23458 : -2110/11729 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (-3253/3082 : -510/1541 : 1)
**u= -92/157 ; tau(u)= -157/46 ; -288838*x^2 - 57762*y^2 + 81668*x*z + 28888*z^2
; C5a (-2461/142018 : -293365/426054 : 1)  C5b (-23273/34958 : -7970/52437 : 1)
**u= -88/111 ; tau(u)= -111/44 ; -175302*x^2 - 32386*y^2 + 33796*x*z + 19536*z^2
; C5a (-19770/91783 : 32748/91783 : 1)  C5b (31543/195942 : -4730/97971 : 1)
**u= -72/187 ; tau(u)= -187/36 ; -333078*x^2 - 75122*y^2 + 129508*x*z + 26928*z^2
; C5a (3614/168931 : 105944/168931 : 1)  C5b (325761/1071694 : -30140/535847 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-689/22218 : 40/1587 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (-4367/4314 : 140/2157 : 1)
**u= -68/165 ; tau(u)= -165/34 ; -266982*x^2 - 59074*y^2 + 99652*x*z + 22440*z^2
; C5a (-22184/162619 : -41662/162619 : 1)  C5b (52355/190594 : 6768/95297 : 1)
**u= -60/7 ; tau(u)= -7/30 ; -14454*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z + 840*z^2
; C5a (-13/274 : -6541/11782 : 1)  C5b (-181/170 : 1302/3655 : 1)
**u= -60/17 ; tau(u)= -17/30 ; -20694*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z + 2040*z^2
; C5a (-1743/3814 : 1293/3814 : 1)  C5b (-3191/11230 : 246/5615 : 1)
**u= -60/61 ; tau(u)= -61/30 ; -62406*x^2 - 11042*y^2 + 7684*x*z + 7320*z^2
; C5a (171898/17664917 : -14450290/17664917 : 1)  C5b (-305847/310066 : -33730/155033 : 1)
**u= -52/31 ; tau(u)= -31/26 ; -26774*x^2 - 4626*y^2 - 1564*x*z + 3224*z^2
; C5a (227/786 : 805/2358 : 1)  C5b (-1241/1894 : 680/2841 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-8170795/14239322 : 1067766/7119661 : 1)
**u= -48/25 ; tau(u)= -25/24 ; -20262*x^2 - 3554*y^2 - 2108*x*z + 2400*z^2
; C5a (1869/8426 : 393/766 : 1)  C5b (38993/6086 : -2910/3043 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-14973/19762 : -290/9881 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (-237/170 : -116/255 : 1)
**u= -36/17 ; tau(u)= -17/18 ; -10518*x^2 - 1874*y^2 - 1436*x*z + 1224*z^2
; C5a (-26/209 : 170/209 : 1)  C5b (57433/9602 : -5130/4801 : 1)
**u= -36/181 ; tau(u)= -181/18 ; -252582*x^2 - 66818*y^2 + 128452*x*z + 13032*z^2
; C5a (-4234/99957 : 990/3029 : 1)  C5b (48887/126038 : -180/3707 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-5933/26490 : -1102/13245 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (-1597/5510 : 426/2755 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (-56247/841330 : 10282/60095 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (7/102 : 10/459 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (5981/22774 : 1440/11387 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (16813/42890 : 1704/21445 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (231013/562962 : -22700/281481 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (-1663841/3490710 : 63472/1745355 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (87043/176970 : -7444/88485 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (1090805/6620782 : 78228/472913 : 1)
**u= 20/51 ; tau(u)= 51/10 ; -8646*x^2 - 5602*y^2 + 9604*x*z - 2040*z^2
; C5a (1942/2697 : 238/899 : 1)  C5b (-8093/37806 : -2020/18903 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (-4655/17482 : 1128/8741 : 1)
**u= 24/115 ; tau(u)= 115/12 ; -58998*x^2 - 27026*y^2 + 51748*x*z - 5520*z^2
; C5a (1509/5294 : 2145/5294 : 1)  C5b (5695/10774 : -522/5387 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (68627925/91573586 : 2762308/45786793 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (99653/263362 : -21750/131681 : 1)
**u= 60/7 ; tau(u)= 7/30 ; -7734*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z - 840*z^2
; C5a (-421/1078 : -20393/46354 : 1)  C5b (-459/710 : -578/15265 : 1)
**u= 60/17 ; tau(u)= 17/30 ; -4374*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z - 2040*z^2
; C5a (-1047/1318 : 21/1318 : 1)  C5b (-3507/3050 : -242/1525 : 1)
**u= 64/119 ; tau(u)= 119/32 ; -36326*x^2 - 32418*y^2 + 48452*x*z - 15232*z^2
; C5a (2968/3739 : -1148/11217 : 1)  C5b (159869/234874 : 48400/352311 : 1)
**u= 68/125 ; tau(u)= 125/34 ; -39622*x^2 - 35874*y^2 + 53252*x*z - 17000*z^2
; C5a (772/1441 : 26/393 : 1)  C5b (216133/236970 : -2258/355455 : 1)
**u= 68/145 ; tau(u)= 145/34 ; -61142*x^2 - 46674*y^2 + 74852*x*z - 19720*z^2
; C5a (1603/1954 : 629/5862 : 1)  C5b (7235/9738 : 1342/14607 : 1)
**u= 80/187 ; tau(u)= 187/40 ; -109334*x^2 - 76338*y^2 + 127076*x*z - 29920*z^2
; C5a (4511/7522 : -6817/22566 : 1)  C5b (1763/4634 : -1160/6951 : 1)
**u= 80/189 ; tau(u)= 189/40 ; -112566*x^2 - 77842*y^2 + 130084*x*z - 30240*z^2
; C5a (28769/39746 : 10015/39746 : 1)  C5b (1257179/2130882 : 140230/1065441 : 1)
**u= 136/33 ; tau(u)= 33/68 ; -26118*x^2 - 20674*y^2 - 32636*x*z - 8976*z^2
; C5a (-6596/13833 : 272/1537 : 1)  C5b (223369/212546 : -38760/106273 : 1)
**u= 148/15 ; tau(u)= 15/74 ; -49302*x^2 - 22354*y^2 - 42908*x*z - 4440*z^2
; C5a (-1759/13734 : -481/4578 : 1)  C5b (84745/199722 : -4484/99861 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (-302529/426938 : 27940/213469 : 1)
72
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.27
H.Nakao

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