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Integer Points on A^4+B^4+1089*C^4=D^4

[2026.04.07]A^4+B^4+1089*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように207個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(33,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (-204487/524738 : 16832/262369 : 1)
**u= -200/123 ; tau(u)= -123/100 ; -407574*x^2 - 70258*y^2 - 19484*x*z + 49200*z^2
; C5a (64293/2832698 : -2354709/2832698 : 1)  C5b (22262/4343 : -209/4343 : 1)
**u= -200/189 ; tau(u)= -189/100 ; -636726*x^2 - 111442*y^2 + 62884*x*z + 75600*z^2
; C5a (-24399/189862 : -135789/189862 : 1)  C5b (2452/31607 : 1401/31607 : 1)
**u= -196/45 ; tau(u)= -45/98 ; -197958*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z + 17640*z^2
; C5a (216/1499 : 438/1499 : 1)  C5b (-68308/90499 : -23835/90499 : 1)
**u= -196/177 ; tau(u)= -177/98 ; -580758*x^2 - 101074*y^2 + 48484*x*z + 69384*z^2
; C5a (365/3458 : 2837/3458 : 1)  C5b (37/93394 : 3972/46697 : 1)
**u= -192/85 ; tau(u)= -85/96 ; -284502*x^2 - 51314*y^2 - 44828*x*z + 32640*z^2
; C5a (-19318/45343 : -1984/45343 : 1)  C5b (1074773/325562 : -90524/162781 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (2871530/222401 : 573239/222401 : 1)
**u= -192/107 ; tau(u)= -107/96 ; -343638*x^2 - 59762*y^2 - 27932*x*z + 41088*z^2
; C5a (-23590/64327 : 18824/64327 : 1)  C5b (2434/745 : 113/745 : 1)
**u= -192/113 ; tau(u)= -113/96 ; -360774*x^2 - 62402*y^2 - 22652*x*z + 43392*z^2
; C5a (-75/1354 : -1131/1354 : 1)  C5b (28891/4262 : -1404/2131 : 1)
**u= -184/63 ; tau(u)= -63/92 ; -218118*x^2 - 41794*y^2 - 51836*x*z + 23184*z^2
; C5a (118273/533478 : 27105/177826 : 1)  C5b (248305/219122 : 4296/109561 : 1)
**u= -180/7 ; tau(u)= -7/90 ; -107574*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z + 2520*z^2
; C5a (469/24506 : 4795/24506 : 1)  C5b (896273/1383002 : 82948/691501 : 1)
**u= -180/161 ; tau(u)= -161/90 ; -484566*x^2 - 84242*y^2 + 38884*x*z + 57960*z^2
; C5a (5310/17681 : 9810/17681 : 1)  C5b (15649/329542 : 8980/164771 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (-4416128/5279723 : 1225219/5279723 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (72338/63769 : 4809/63769 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (511594/313909 : 24581/313909 : 1)
**u= -172/141 ; tau(u)= -141/86 ; -402054*x^2 - 69346*y^2 + 20356*x*z + 48504*z^2
; C5a (-3079/1924158 : 536225/641386 : 1)  C5b (-8026/1679 : 95/1679 : 1)
**u= -168/73 ; tau(u)= -73/84 ; -214758*x^2 - 38882*y^2 - 35132*x*z + 24528*z^2
; C5a (-16516/46957 : 24188/46957 : 1)  C5b (-16967/56014 : -3372/28007 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (-454/4007 : -225/4007 : 1)
**u= -160/93 ; tau(u)= -93/80 ; -247734*x^2 - 42898*y^2 - 16604*x*z + 29760*z^2
; C5a (9080/28877 : 940/28877 : 1)  C5b (-139468/4019 : -22435/4019 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (-144163/162038 : 18212/81019 : 1)
**u= -156/53 ; tau(u)= -53/78 ; -156006*x^2 - 29954*y^2 - 37436*x*z + 16536*z^2
; C5a (236/1471 : -686/1471 : 1)  C5b (-2038/9001 : 89/9001 : 1)
**u= -156/55 ; tau(u)= -55/78 ; -159798*x^2 - 30386*y^2 - 36572*x*z + 17160*z^2
; C5a (23437/1058018 : -774229/1058018 : 1)  C5b (-42431/164458 : -5380/82229 : 1)
**u= -156/77 ; tau(u)= -77/78 ; -204678*x^2 - 36194*y^2 - 24956*x*z + 24024*z^2
; C5a (6380/77931 : 6534/8659 : 1)  C5b (-138323/1126990 : -4264/563495 : 1)
**u= -156/101 ; tau(u)= -101/78 ; -260262*x^2 - 44738*y^2 - 7868*x*z + 31512*z^2
; C5a (1453/83246 : 69625/83246 : 1)  C5b (-58642/2177 : 985/311 : 1)
**u= -152/9 ; tau(u)= -9/76 ; -80742*x^2 - 23266*y^2 - 45884*x*z + 2736*z^2
; C5a (-1575/268762 : 96543/268762 : 1)  C5b (2737271/3400802 : -322984/1700401 : 1)
**u= -152/123 ; tau(u)= -123/76 ; -309654*x^2 - 53362*y^2 + 14308*x*z + 37392*z^2
; C5a (-16138/359771 : 296024/359771 : 1)  C5b (-15814/455099 : 38061/455099 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-657751/467666 : -37412/233833 : 1)
**u= -152/189 ; tau(u)= -189/76 ; -513462*x^2 - 94546*y^2 + 96676*x*z + 57456*z^2
; C5a (4353526/48431443 : 39218620/48431443 : 1)  C5b (-38872/28355 : 77/28355 : 1)
**u= -148/3 ; tau(u)= -3/74 ; -69318*x^2 - 21922*y^2 - 43772*x*z + 888*z^2
; C5a (-10006/348185 : 107474/348185 : 1)  C5b (20206/28511 : 4689/28511 : 1)
**u= -148/129 ; tau(u)= -129/74 ; -318294*x^2 - 55186*y^2 + 22756*x*z + 38184*z^2
; C5a (1102/3105 : -346/1035 : 1)  C5b (1787/62750 : 1944/31375 : 1)
**u= -144/83 ; tau(u)= -83/72 ; -199158*x^2 - 34514*y^2 - 13916*x*z + 23904*z^2
; C5a (21797/71346 : -4175/23782 : 1)  C5b (-387490/283289 : 111329/283289 : 1)
**u= -144/115 ; tau(u)= -115/72 ; -274038*x^2 - 47186*y^2 + 11428*x*z + 33120*z^2
; C5a (-6224/79593 : 21348/26531 : 1)  C5b (-270626/177349 : -55891/177349 : 1)
**u= -144/127 ; tau(u)= -127/72 ; -305286*x^2 - 52994*y^2 + 23044*x*z + 36576*z^2
; C5a (-23219/75174 : 117/1474 : 1)  C5b (-71309/182090 : -17108/91045 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (19531433/9722 : 2589868/4861 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (19433/5306 : 240/2653 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (-886/6151 : 983/6151 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (-105836/1679281 : 233889/1679281 : 1)
**u= -128/117 ; tau(u)= -117/64 ; -251094*x^2 - 43762*y^2 + 21988*x*z + 29952*z^2
; C5a (-943/13658 : -10775/13658 : 1)  C5b (-152276/55591 : 193/2417 : 1)
**u= -128/147 ; tau(u)= -147/64 ; -329334*x^2 - 59602*y^2 + 53668*x*z + 37632*z^2
; C5a (-411015/1567594 : 194769/1567594 : 1)  C5b (688/75091 : -8541/75091 : 1)
**u= -124/81 ; tau(u)= -81/62 ; -165846*x^2 - 28498*y^2 - 4508*x*z + 20088*z^2
; C5a (-4455/12346 : 801/12346 : 1)  C5b (-8516/219667 : 957/31381 : 1)
**u= -124/183 ; tau(u)= -183/62 ; -428598*x^2 - 82354*y^2 + 103204*x*z + 45384*z^2
; C5a (-38075/732006 : 167603/244002 : 1)  C5b (25748/114949 : -1683/114949 : 1)
**u= -120/137 ; tau(u)= -137/60 ; -287334*x^2 - 51938*y^2 + 46276*x*z + 32880*z^2
; C5a (45609/318586 : 256305/318586 : 1)  C5b (-4118/2767 : 249/2767 : 1)
**u= -120/149 ; tau(u)= -149/60 ; -319446*x^2 - 58802*y^2 + 60004*x*z + 35760*z^2
; C5a (-59626/2815339 : 2151652/2815339 : 1)  C5b (-13333/12902 : 1032/6451 : 1)
**u= -116/3 ; tau(u)= -3/58 ; -43206*x^2 - 13474*y^2 - 26876*x*z + 696*z^2
; C5a (-30/5341 : 1338/5341 : 1)  C5b (1855/3238 : 124/1619 : 1)
**u= -112/9 ; tau(u)= -9/56 ; -46182*x^2 - 12706*y^2 - 24764*x*z + 2016*z^2
; C5a (250/14367 : -1684/4789 : 1)  C5b (-288061/626918 : 20424/313459 : 1)
**u= -112/33 ; tau(u)= -33/56 ; -73734*x^2 - 14722*y^2 - 20732*x*z + 7392*z^2
; C5a (11497/57754 : -8815/57754 : 1)  C5b (-8576/151 : 2521/151 : 1)
**u= -112/75 ; tau(u)= -75/56 ; -138582*x^2 - 23794*y^2 - 2588*x*z + 16800*z^2
; C5a (23837/70658 : -5701/70658 : 1)  C5b (109226/8399 : 121/8399 : 1)
**u= -112/141 ; tau(u)= -141/56 ; -283254*x^2 - 52306*y^2 + 54436*x*z + 31584*z^2
; C5a (1469/3386 : -643/3386 : 1)  C5b (-37129/27790 : 432/13895 : 1)
**u= -108/53 ; tau(u)= -53/54 ; -97638*x^2 - 17282*y^2 - 12092*x*z + 11448*z^2
; C5a (2770/81941 : -65158/81941 : 1)  C5b (-3439/710 : -416/355 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (-478031/2430634 : 107812/1215317 : 1)
**u= -108/79 ; tau(u)= -79/54 ; -140694*x^2 - 24146*y^2 + 1636*x*z + 17064*z^2
; C5a (-31/138 : 29/46 : 1)  C5b (-5218/3535 : 1217/3535 : 1)
**u= -108/97 ; tau(u)= -97/54 ; -175254*x^2 - 30482*y^2 + 14308*x*z + 20952*z^2
; C5a (-19534/167593 : 124802/167593 : 1)  C5b (-1337845/2212046 : -3288/15151 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (15143/82562 : 2920/41281 : 1)
**u= -104/171 ; tau(u)= -171/52 ; -350166*x^2 - 69298*y^2 + 95332*x*z + 35568*z^2
; C5a (23669/49218 : -1295/16406 : 1)  C5b (-2368/311171 : -45427/311171 : 1)
**u= -100/39 ; tau(u)= -39/50 ; -70326*x^2 - 13042*y^2 - 13916*x*z + 7800*z^2
; C5a (116372/474059 : -50162/474059 : 1)  C5b (-631/1238 : -120/619 : 1)
**u= -100/171 ; tau(u)= -171/50 ; -342246*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z + 34200*z^2
; C5a (-2894/66009 : 14390/22003 : 1)  C5b (-649189/683246 : 13224/341623 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (-386/769 : 73/769 : 1)
**u= -96/59 ; tau(u)= -59/48 ; -93846*x^2 - 16178*y^2 - 4508*x*z + 11328*z^2
; C5a (6773/36982 : -24935/36982 : 1)  C5b (1982/163 : -197/163 : 1)
**u= -96/95 ; tau(u)= -95/48 ; -154758*x^2 - 27266*y^2 + 17668*x*z + 18240*z^2
; C5a (5029/80382 : 22213/26794 : 1)  C5b (-50399/30418 : 2900/15209 : 1)
**u= -96/161 ; tau(u)= -161/48 ; -306822*x^2 - 61058*y^2 + 85252*x*z + 30912*z^2
; C5a (-4911/120694 : 80163/120694 : 1)  C5b (3661366/14410027 : 144061/14410027 : 1)
**u= -96/169 ; tau(u)= -169/48 ; -328806*x^2 - 66338*y^2 + 95812*x*z + 32448*z^2
; C5a (-6204382/48101419 : -22580776/48101419 : 1)  C5b (-310906/363893 : 33827/363893 : 1)
**u= -96/191 ; tau(u)= -191/48 ; -393222*x^2 - 82178*y^2 + 127492*x*z + 36672*z^2
; C5a (3376/11537 : 8080/11537 : 1)  C5b (663547/2317258 : -20320/1158629 : 1)
**u= -92/75 ; tau(u)= -75/46 ; -114342*x^2 - 19714*y^2 + 5572*x*z + 13800*z^2
; C5a (31944/123551 : 76698/123551 : 1)  C5b (-28592/14407 : -4673/14407 : 1)
**u= -92/189 ; tau(u)= -189/46 ; -378822*x^2 - 79906*y^2 + 125956*x*z + 34776*z^2
; C5a (-6638/95529 : 17522/31843 : 1)  C5b (-3140482/3732185 : -93673/3732185 : 1)
**u= -84/29 ; tau(u)= -29/42 ; -45702*x^2 - 8738*y^2 - 10748*x*z + 4872*z^2
; C5a (17504/123907 : -65498/123907 : 1)  C5b (-2438/5977 : -873/5977 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (-26263/13366 : -3000/6683 : 1)
**u= -84/73 ; tau(u)= -73/42 ; -102198*x^2 - 17714*y^2 + 7204*x*z + 12264*z^2
; C5a (25/66 : 3/22 : 1)  C5b (1217/40058 : -1200/20029 : 1)
**u= -84/95 ; tau(u)= -95/42 ; -139158*x^2 - 25106*y^2 + 21988*x*z + 15960*z^2
; C5a (905/2926 : -1795/2926 : 1)  C5b (-5248/6467 : -1307/6467 : 1)
**u= -84/191 ; tau(u)= -191/42 ; -368406*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z + 32088*z^2
; C5a (34850/70857 : -2458/7873 : 1)  C5b (374005/1196146 : 144/598073 : 1)
**u= -76/105 ; tau(u)= -105/38 ; -147318*x^2 - 27826*y^2 + 32548*x*z + 15960*z^2
; C5a (-430/2489 : 1150/2489 : 1)  C5b (971/8066 : 368/4033 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-1028/11207 : -425/11207 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-2473/118 : 136/59 : 1)
**u= -68/87 ; tau(u)= -87/34 ; -106614*x^2 - 19762*y^2 + 21028*x*z + 11832*z^2
; C5a (175749/910502 : 707097/910502 : 1)  C5b (-113959/171530 : 16244/85765 : 1)
**u= -64/9 ; tau(u)= -9/32 ; -17382*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z + 1152*z^2
; C5a (117/2162 : -861/2162 : 1)  C5b (25457/4942 : 588/353 : 1)
**u= -64/57 ; tau(u)= -57/32 ; -60966*x^2 - 10594*y^2 + 4804*x*z + 7296*z^2
; C5a (3218/8303 : -28/8303 : 1)  C5b (-7009/38018 : 2776/19009 : 1)
**u= -60/17 ; tau(u)= -17/30 ; -20694*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z + 2040*z^2
; C5a (-1743/3814 : 1293/3814 : 1)  C5b (142459/148558 : -3280/74279 : 1)
**u= -60/61 ; tau(u)= -61/30 ; -62406*x^2 - 11042*y^2 + 7684*x*z + 7320*z^2
; C5a (171898/17664917 : -14450290/17664917 : 1)  C5b (496/17087 : -1545/17087 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (3392/47327 : 753/6761 : 1)
**u= -56/33 ; tau(u)= -33/28 ; -30726*x^2 - 5314*y^2 - 1916*x*z + 3696*z^2
; C5a (6774/497063 : 412752/497063 : 1)  C5b (-2776/7835 : 1291/7835 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (-3029/5866 : -500/2933 : 1)
**u= -52/81 ; tau(u)= -81/26 ; -81174*x^2 - 15826*y^2 + 20836*x*z + 8424*z^2
; C5a (-9611/230322 : 52545/76774 : 1)  C5b (4144/17669 : 365/17669 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-229481/508042 : -36008/254021 : 1)
**u= -48/35 ; tau(u)= -35/24 ; -27702*x^2 - 4754*y^2 + 292*x*z + 3360*z^2
; C5a (-64/553 : -436/553 : 1)  C5b (-33802/11213 : 5323/11213 : 1)
**u= -48/53 ; tau(u)= -53/24 ; -44118*x^2 - 7922*y^2 + 6628*x*z + 5088*z^2
; C5a (-1595/11718 : 283/434 : 1)  C5b (83/9994 : -548/4997 : 1)
**u= -48/79 ; tau(u)= -79/24 ; -74694*x^2 - 14786*y^2 + 20356*x*z + 7584*z^2
; C5a (-5672/27401 : -2936/27401 : 1)  C5b (617/5246 : 292/2623 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-2572/44531 : -7453/44531 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (655/362 : -104/181 : 1)
**u= -44/21 ; tau(u)= -21/22 ; -15846*x^2 - 2818*y^2 - 2108*x*z + 1848*z^2
; C5a (-1100/29463 : -8074/9821 : 1)  C5b (-3727/1082 : -484/541 : 1)
**u= -44/27 ; tau(u)= -27/22 ; -19686*x^2 - 3394*y^2 - 956*x*z + 2376*z^2
; C5a (-6491/461938 : 387277/461938 : 1)  C5b (587/14 : 36/7 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (1426/11657 : -185/11657 : 1)
**u= -44/69 ; tau(u)= -69/22 ; -58662*x^2 - 11458*y^2 + 15172*x*z + 6072*z^2
; C5a (8769/48370 : 37521/48370 : 1)  C5b (143057/631286 : -11748/315643 : 1)
**u= -44/81 ; tau(u)= -81/22 ; -73686*x^2 - 15058*y^2 + 22372*x*z + 7128*z^2
; C5a (-174230/1019829 : 94158/339943 : 1)  C5b (-3881/32410 : 388/2315 : 1)
**u= -44/87 ; tau(u)= -87/22 ; -81846*x^2 - 17074*y^2 + 26404*x*z + 7656*z^2
; C5a (-331/27794 : -18211/27794 : 1)  C5b (-6619/119774 : 9684/59887 : 1)
**u= -44/111 ; tau(u)= -111/22 ; -118806*x^2 - 26578*y^2 + 45412*x*z + 9768*z^2
; C5a (26765/76898 : 49877/76898 : 1)  C5b (68953/285526 : 13612/142763 : 1)
**u= -44/129 ; tau(u)= -129/22 ; -151062*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z + 11352*z^2
; C5a (27050/114789 : 27154/38263 : 1)  C5b (17750/60937 : -4889/60937 : 1)
**u= -44/159 ; tau(u)= -159/22 ; -213462*x^2 - 52498*y^2 + 97252*x*z + 13992*z^2
; C5a (23406302/89793945 : 20588026/29931315 : 1)  C5b (32347/300946 : -22968/150473 : 1)
**u= -44/177 ; tau(u)= -177/22 ; -256086*x^2 - 64594*y^2 + 121444*x*z + 15576*z^2
; C5a (3873/259846 : 134589/259846 : 1)  C5b (50800/131003 : -557/131003 : 1)
**u= -40/81 ; tau(u)= -81/20 ; -70086*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z + 6480*z^2
; C5a (1278/4051 : -2748/4051 : 1)  C5b (28519/144766 : 7064/72383 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-817/938 : -20/67 : 1)
**u= -36/41 ; tau(u)= -41/18 ; -25782*x^2 - 4658*y^2 + 4132*x*z + 2952*z^2
; C5a (6544/44915 : 36086/44915 : 1)  C5b (160/1201 : 57/1201 : 1)
**u= -36/47 ; tau(u)= -47/18 ; -30678*x^2 - 5714*y^2 + 6244*x*z + 3384*z^2
; C5a (180/671 : -474/671 : 1)  C5b (287/1574 : -28/787 : 1)
**u= -36/55 ; tau(u)= -55/18 ; -37878*x^2 - 7346*y^2 + 9508*x*z + 3960*z^2
; C5a (-4527/25222 : 9459/25222 : 1)  C5b (-48164/71059 : -11861/71059 : 1)
**u= -36/91 ; tau(u)= -91/18 ; -79782*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z + 6552*z^2
; C5a (133/254 : -49/254 : 1)  C5b (8356/26581 : 1091/26581 : 1)
**u= -36/107 ; tau(u)= -107/18 ; -103398*x^2 - 24194*y^2 + 43204*x*z + 7704*z^2
; C5a (-1060/11019 : -1202/3673 : 1)  C5b (89795/1528238 : -119396/764119 : 1)
**u= -36/121 ; tau(u)= -121/18 ; -126582*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z + 8712*z^2
; C5a (133632/600907 : 419454/600907 : 1)  C5b (18251/87182 : -5452/43591 : 1)
**u= -36/157 ; tau(u)= -157/18 ; -196998*x^2 - 50594*y^2 + 96004*x*z + 11304*z^2
; C5a (-14823/152306 : -6585/152306 : 1)  C5b (285503/1015034 : 55676/507517 : 1)
**u= -36/187 ; tau(u)= -187/18 ; -267558*x^2 - 71234*y^2 + 137284*x*z + 13464*z^2
; C5a (-19780/5446911 : -774498/1815637 : 1)  C5b (-7088/13549 : 1301/13549 : 1)
**u= -32/21 ; tau(u)= -21/16 ; -11094*x^2 - 1906*y^2 - 284*x*z + 1344*z^2
; C5a (-2719/30338 : 24865/30338 : 1)  C5b (-397/26 : -24/13 : 1)
**u= -32/87 ; tau(u)= -87/16 ; -70758*x^2 - 16162*y^2 + 28228*x*z + 5568*z^2
; C5a (3928/36205 : 25148/36205 : 1)  C5b (327149/970198 : -9028/485099 : 1)
**u= -32/99 ; tau(u)= -99/16 ; -87222*x^2 - 20626*y^2 + 37156*x*z + 6336*z^2
; C5a (2357/34094 : -21871/34094 : 1)  C5b (6319/23134 : 1096/11567 : 1)
**u= -32/177 ; tau(u)= -177/16 ; -236358*x^2 - 63682*y^2 + 123268*x*z + 11328*z^2
; C5a (-29072/733225 : 226352/733225 : 1)  C5b (-4001/21550 : -1844/10775 : 1)
**u= -28/3 ; tau(u)= -3/14 ; -3078*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z + 168*z^2
; C5a (-283/3402 : -221/378 : 1)  C5b (-370/863 : -49/863 : 1)
**u= -24 ; tau(u)= -1/12 ; -1926*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z + 48*z^2
; C5a (1/38 : 109/646 : 1)  C5b (34/43 : -141/731 : 1)
**u= -24/43 ; tau(u)= -43/12 ; -21078*x^2 - 4274*y^2 + 6244*x*z + 2064*z^2
; C5a (-4250/916499 : -632344/916499 : 1)  C5b (7111/26482 : -76/13241 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (-8599/21662 : 1760/10831 : 1)
**u= -24/67 ; tau(u)= -67/12 ; -41526*x^2 - 9554*y^2 + 16804*x*z + 3216*z^2
; C5a (-50291/357830 : -21359/357830 : 1)  C5b (5761/17614 : -384/8807 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (878/2269 : -133/2269 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (-98173/167978 : -136/83989 : 1)
**u= -20/21 ; tau(u)= -21/10 ; -7206*x^2 - 1282*y^2 + 964*x*z + 840*z^2
; C5a (-651/2614 : -903/2614 : 1)  C5b (-584/997 : 205/997 : 1)
**u= -20/177 ; tau(u)= -177/10 ; -217494*x^2 - 63058*y^2 + 124516*x*z + 7080*z^2
; C5a (366/1289 : -810/1289 : 1)  C5b (-74179/132478 : -280/66239 : 1)
**u= -16/27 ; tau(u)= -27/8 ; -8598*x^2 - 1714*y^2 + 2404*x*z + 864*z^2
; C5a (445/5794 : 4421/5794 : 1)  C5b (563/2422 : -60/1211 : 1)
**u= -16/33 ; tau(u)= -33/8 ; -11526*x^2 - 2434*y^2 + 3844*x*z + 1056*z^2
; C5a (673/9762 : 2347/3254 : 1)  C5b (-28/1451 : -229/1451 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (7166/22391 : 465/22391 : 1)
**u= -16/159 ; tau(u)= -159/8 ; -172806*x^2 - 50818*y^2 + 100612*x*z + 5088*z^2
; C5a (-2931/2202818 : 687765/2202818 : 1)  C5b (-5789/16090 : -1104/8045 : 1)
**u= -12 ; tau(u)= -1/6 ; -534*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z + 24*z^2
; C5a (-3716/7535 : -3646/7535 : 1)  C5b (172/49 : 57/49 : 1)
**u= -12/11 ; tau(u)= -11/6 ; -2214*x^2 - 386*y^2 + 196*x*z + 264*z^2
; C5a (-11/3662 : 3025/3662 : 1)  C5b (-101/194 : 20/97 : 1)
**u= -12/23 ; tau(u)= -23/6 ; -5814*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z + 552*z^2
; C5a (-1160/71667 : -5242/7963 : 1)  C5b (-829/1006 : -40/503 : 1)
**u= -12/43 ; tau(u)= -43/6 ; -15654*x^2 - 3842*y^2 + 7108*x*z + 1032*z^2
; C5a (2128/12311 : 8410/12311 : 1)  C5b (5744/27905 : -3593/27905 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (-202/983 : 167/983 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (-38416/756839 : -131679/756839 : 1)
**u= -12/199 ; tau(u)= -199/6 ; -257142*x^2 - 79346*y^2 + 158116*x*z + 4776*z^2
; C5a (312/4787 : 2010/4787 : 1)  C5b (84899/645470 : -7596/46105 : 1)
**u= -8/3 ; tau(u)= -3/4 ; -438*x^2 - 82*y^2 - 92*x*z + 48*z^2
; C5a (-35/78 : 3/26 : 1)  C5b (1429/1030 : 64/515 : 1)
**u= -8/63 ; tau(u)= -63/4 ; -28038*x^2 - 8002*y^2 + 15748*x*z + 1008*z^2
; C5a (1417/3046 : -1621/3046 : 1)  C5b (10544/31799 : 3431/31799 : 1)
**u= -8/69 ; tau(u)= -69/4 ; -33174*x^2 - 9586*y^2 + 18916*x*z + 1104*z^2
; C5a (8348/17861 : 9476/17861 : 1)  C5b (27439889/148570418 : 11324688/74285209 : 1)
**u= -8/99 ; tau(u)= -99/4 ; -65334*x^2 - 19666*y^2 + 39076*x*z + 1584*z^2
; C5a (-2/149395 : 42392/149395 : 1)  C5b (571/7786 : -660/3893 : 1)
**u= -8/129 ; tau(u)= -129/4 ; -108294*x^2 - 33346*y^2 + 66436*x*z + 2064*z^2
; C5a (473276/1041545 : -567284/1041545 : 1)  C5b (14065/32818 : -1136/16409 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/9 ; tau(u)= 9/2 ; -246*x^2 - 178*y^2 + 292*x*z - 72*z^2
; C5a (4/7 : 2/7 : 1)  C5b (-271/6134 : 460/3067 : 1)
**u= 4/57 ; tau(u)= 57/2 ; -17718*x^2 - 6514*y^2 + 12964*x*z - 456*z^2
; C5a (797/1382 : -575/1382 : 1)  C5b (130237/436862 : 32372/218431 : 1)
**u= 4/189 ; tau(u)= 189/2 ; -208326*x^2 - 71458*y^2 + 142852*x*z - 1512*z^2
; C5a (26946/45433 : -16938/45433 : 1)  C5b (186343/1012582 : -82664/506291 : 1)
**u= 8/63 ; tau(u)= 63/4 ; -19974*x^2 - 8002*y^2 + 15748*x*z - 1008*z^2
; C5a (10684/76633 : -24220/76633 : 1)  C5b (1715/20054 : 1744/10027 : 1)
**u= 8/99 ; tau(u)= 99/4 ; -52662*x^2 - 19666*y^2 + 39076*x*z - 1584*z^2
; C5a (1372/15277 : -4220/15277 : 1)  C5b (91502/308003 : -46075/308003 : 1)
**u= 12 ; tau(u)= 1/6 ; -342*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z - 24*z^2
; C5a (-19/106 : 35/106 : 1)  C5b (-383/646 : -4/323 : 1)
**u= 12/23 ; tau(u)= 23/6 ; -1398*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z - 552*z^2
; C5a (1068/1391 : 210/1391 : 1)  C5b (829/1006 : 40/503 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (146837/288482 : -13240/144241 : 1)
**u= 12/89 ; tau(u)= 89/6 ; -39414*x^2 - 15986*y^2 + 31396*x*z - 2136*z^2
; C5a (341/474 : -9/158 : 1)  C5b (4295/9158 : 484/4579 : 1)
**u= 12/133 ; tau(u)= 133/6 ; -93798*x^2 - 35522*y^2 + 70468*x*z - 3192*z^2
; C5a (13669/85050 : -421/1050 : 1)  C5b (-7858/17419 : -453/17419 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (-199267/465518 : -15624/232759 : 1)
**u= 12/199 ; tau(u)= 199/6 ; -218934*x^2 - 79346*y^2 + 158116*x*z - 4776*z^2
; C5a (11418/197893 : -42258/197893 : 1)  C5b (5458/15695 : 2113/15695 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (18347/35738 : -2660/17869 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (-2069/13694 : -1076/6847 : 1)
**u= 24 ; tau(u)= 1/12 ; -1542*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z - 48*z^2
; C5a (-42/67 : -384/1139 : 1)  C5b (-4/7 : -1/17 : 1)
**u= 24/43 ; tau(u)= 43/12 ; -4566*x^2 - 4274*y^2 + 6244*x*z - 2064*z^2
; C5a (381/610 : 69/610 : 1)  C5b (2440/4589 : -771/4589 : 1)
**u= 24/131 ; tau(u)= 131/12 ; -79542*x^2 - 34898*y^2 + 67492*x*z - 6288*z^2
; C5a (184364/316261 : -131416/316261 : 1)  C5b (-103451/532042 : 38204/266021 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (-54608/193825 : -22897/193825 : 1)
**u= 24/197 ; tau(u)= 197/12 ; -196758*x^2 - 78194*y^2 + 154084*x*z - 9456*z^2
; C5a (15868/29489 : -13540/29489 : 1)  C5b (11302/22339 : 1829/22339 : 1)
**u= 28/3 ; tau(u)= 3/14 ; -1734*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z - 168*z^2
; C5a (-390/1453 : 558/1453 : 1)  C5b (-193/134 : -28/67 : 1)
**u= 28/69 ; tau(u)= 69/14 ; -15462*x^2 - 10306*y^2 + 17476*x*z - 3864*z^2
; C5a (10601/13482 : 263/1498 : 1)  C5b (80/6713 : -1087/6713 : 1)
**u= 28/129 ; tau(u)= 129/14 ; -73302*x^2 - 34066*y^2 + 64996*x*z - 7224*z^2
; C5a (74629/447738 : 32071/149246 : 1)  C5b (-83731/208850 : -432/104425 : 1)
**u= 32/99 ; tau(u)= 99/16 ; -36534*x^2 - 20626*y^2 + 37156*x*z - 6336*z^2
; C5a (953/4358 : 197/4358 : 1)  C5b (20179/191146 : -16556/95573 : 1)
**u= 32/177 ; tau(u)= 177/16 ; -145734*x^2 - 63682*y^2 + 123268*x*z - 11328*z^2
; C5a (31000/117733 : -48988/117733 : 1)  C5b (239831/407954 : -7792/203977 : 1)
**u= 36/77 ; tau(u)= 77/18 ; -17286*x^2 - 13154*y^2 + 21124*x*z - 5544*z^2
; C5a (2785/5334 : 431/1778 : 1)  C5b (47699/59186 : 1416/29593 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (-1588/5023 : -87/5023 : 1)
**u= 36/91 ; tau(u)= 91/18 ; -27366*x^2 - 17858*y^2 + 30532*x*z - 6552*z^2
; C5a (2765/9166 : -889/9166 : 1)  C5b (50/643 : -109/643 : 1)
**u= 36/113 ; tau(u)= 113/18 ; -47958*x^2 - 26834*y^2 + 48484*x*z - 8136*z^2
; C5a (365/498 : 41/166 : 1)  C5b (101348/273293 : 44021/273293 : 1)
**u= 36/121 ; tau(u)= 121/18 ; -56886*x^2 - 30578*y^2 + 55972*x*z - 8712*z^2
; C5a (115378/146229 : 1682/48743 : 1)  C5b (116395/213298 : 12412/106649 : 1)
**u= 36/173 ; tau(u)= 173/18 ; -133638*x^2 - 61154*y^2 + 117124*x*z - 12456*z^2
; C5a (5130/41389 : 474/41389 : 1)  C5b (-213083/920654 : -8596/65761 : 1)
**u= 36/187 ; tau(u)= 187/18 ; -159846*x^2 - 71234*y^2 + 137284*x*z - 13464*z^2
; C5a (61605/87398 : -20409/87398 : 1)  C5b (-413632/1030295 : -5049/147185 : 1)
**u= 40/81 ; tau(u)= 81/20 ; -18246*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z - 6480*z^2
; C5a (29237/43098 : 3255/14366 : 1)  C5b (-109/8438 : 640/4219 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (7003/5074 : 1224/2537 : 1)
**u= 44/81 ; tau(u)= 81/22 ; -16662*x^2 - 15058*y^2 + 22372*x*z - 7128*z^2
; C5a (15958/21157 : 2818/21157 : 1)  C5b (133945/172198 : -9688/86099 : 1)
**u= 44/87 ; tau(u)= 87/22 ; -20598*x^2 - 17074*y^2 + 26404*x*z - 7656*z^2
; C5a (23905/52918 : 3347/52918 : 1)  C5b (199552/627625 : 110927/627625 : 1)
**u= 44/129 ; tau(u)= 129/22 ; -60246*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z - 11352*z^2
; C5a (28360/42727 : -13882/42727 : 1)  C5b (-91145/311434 : 12356/155717 : 1)
**u= 44/171 ; tau(u)= 171/22 ; -121062*x^2 - 60418*y^2 + 113092*x*z - 15048*z^2
; C5a (135940/261111 : 37166/87037 : 1)  C5b (478232/784759 : 53393/784759 : 1)
**u= 44/183 ; tau(u)= 183/22 ; -142326*x^2 - 68914*y^2 + 130084*x*z - 16104*z^2
; C5a (3500/6219 : 866/2073 : 1)  C5b (19757/40306 : -2468/20153 : 1)
**u= 48/13 ; tau(u)= 13/24 ; -2934*x^2 - 2642*y^2 - 3932*x*z - 1248*z^2
; C5a (-190/367 : 8/367 : 1)  C5b (25249/4450 : -3984/2225 : 1)
**u= 48/101 ; tau(u)= 101/24 ; -29334*x^2 - 22706*y^2 + 36196*x*z - 9696*z^2
; C5a (99953/188590 : 44213/188590 : 1)  C5b (237574/2057665 : 349449/2057665 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (174524/636221 : -110925/636221 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (132845/212474 : -7656/106237 : 1)
**u= 52/147 ; tau(u)= 147/26 ; -76614*x^2 - 45922*y^2 + 81028*x*z - 15288*z^2
; C5a (3653/4514 : -221/4514 : 1)  C5b (3704/5237 : 221/5237 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (302023/548422 : -4340/39173 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (-180566/810691 : -53925/810691 : 1)
**u= 56/153 ; tau(u)= 153/28 ; -81318*x^2 - 49954*y^2 + 87364*x*z - 17136*z^2
; C5a (14309/39038 : 10993/39038 : 1)  C5b (1120831/2453998 : -187608/1226999 : 1)
**u= 60/17 ; tau(u)= 17/30 ; -4374*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z - 2040*z^2
; C5a (-1047/1318 : 21/1318 : 1)  C5b (-732932/56659 : 211115/56659 : 1)
**u= 60/149 ; tau(u)= 149/30 ; -72486*x^2 - 48002*y^2 + 81604*x*z - 17880*z^2
; C5a (4808/7011 : -674/2337 : 1)  C5b (263761/491626 : 35044/245813 : 1)
**u= 64/9 ; tau(u)= 9/32 ; -8166*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z - 1152*z^2
; C5a (-11363/41254 : 12575/41254 : 1)  C5b (67723/5482 : 11456/2741 : 1)
**u= 72/157 ; tau(u)= 157/36 ; -73014*x^2 - 54482*y^2 + 88228*x*z - 22608*z^2
; C5a (62825/79738 : 13583/79738 : 1)  C5b (9634/57241 : -9951/57241 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (719813/866146 : -11884/433073 : 1)
**u= 80/3 ; tau(u)= 3/40 ; -17334*x^2 - 6418*y^2 - 12764*x*z - 480*z^2
; C5a (-2710/8123 : -4360/8123 : 1)  C5b (-23696/1279 : -8207/1279 : 1)
**u= 84/11 ; tau(u)= 11/42 ; -14502*x^2 - 7298*y^2 - 13628*x*z - 1848*z^2
; C5a (-327/1586 : -345/1586 : 1)  C5b (-17341/26146 : -440/13073 : 1)
**u= 84/191 ; tau(u)= 191/42 ; -111702*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z - 32088*z^2
; C5a (62278/84477 : 6586/28159 : 1)  C5b (60820/636043 : -107741/636043 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (2996/6805 : 219/6805 : 1)
**u= 100/171 ; tau(u)= 171/50 ; -68646*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z - 34200*z^2
; C5a (52600/76611 : 370/25537 : 1)  C5b (23093/27086 : -1400/13543 : 1)
**u= 104/27 ; tau(u)= 27/52 ; -14358*x^2 - 12274*y^2 - 18716*x*z - 5616*z^2
; C5a (-77/94 : -145/1786 : 1)  C5b (6118/19423 : -21941/369037 : 1)
**u= 108/31 ; tau(u)= 31/54 ; -13974*x^2 - 13586*y^2 - 19484*x*z - 6696*z^2
; C5a (-2519/3374 : -227/3374 : 1)  C5b (164851/142258 : -28824/71129 : 1)
**u= 108/185 ; tau(u)= 185/54 ; -80502*x^2 - 80114*y^2 + 113572*x*z - 39960*z^2
; C5a (83465/113878 : -2405/113878 : 1)  C5b (2251/4978 : 440/2489 : 1)
**u= 112/9 ; tau(u)= 9/56 ; -30054*x^2 - 12706*y^2 - 24764*x*z - 2016*z^2
; C5a (-52678/72087 : 1196/24029 : 1)  C5b (-1742519/1728334 : -230504/864167 : 1)
**u= 136/33 ; tau(u)= 33/68 ; -26118*x^2 - 20674*y^2 - 32636*x*z - 8976*z^2
; C5a (-6596/13833 : 272/1537 : 1)  C5b (-17488/19763 : -1315/19763 : 1)
**u= 152/33 ; tau(u)= 33/76 ; -35718*x^2 - 25282*y^2 - 41852*x*z - 10032*z^2
; C5a (-2756/3453 : 180/1151 : 1)  C5b (4438/5567 : -1545/5567 : 1)
**u= 156/11 ; tau(u)= 11/78 ; -60006*x^2 - 24578*y^2 - 48188*x*z - 3432*z^2
; C5a (-1527/9166 : -3165/9166 : 1)  C5b (1809677/3649406 : -162244/1824703 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (86477/172046 : 1708/12289 : 1)
**u= 168/37 ; tau(u)= 37/84 ; -43158*x^2 - 30962*y^2 - 50972*x*z - 12432*z^2
; C5a (-30706/39487 : 7468/39487 : 1)  C5b (281675/811286 : 25596/405643 : 1)
**u= 180/7 ; tau(u)= 7/90 ; -87414*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z - 2520*z^2
; C5a (-315/2878 : -945/2878 : 1)  C5b (437/914 : -20/457 : 1)
**u= 188/27 ; tau(u)= 27/94 ; -69798*x^2 - 36802*y^2 - 67772*x*z - 10152*z^2
; C5a (-27979/105702 : -9885/35234 : 1)  C5b (6317/4478 : -1100/2239 : 1)
**u= 192/19 ; tau(u)= 19/96 ; -83574*x^2 - 37586*y^2 - 72284*x*z - 7296*z^2
; C5a (-16478/25875 : -1032/2875 : 1)  C5b (-74876/26891 : -24187/26891 : 1)
**u= 192/47 ; tau(u)= 47/96 ; -51654*x^2 - 41282*y^2 - 64892*x*z - 18048*z^2
; C5a (-14015/32582 : 2813/32582 : 1)  C5b (114484/121015 : 40423/121015 : 1)
**u= 196/45 ; tau(u)= 45/98 ; -56838*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z - 17640*z^2
; C5a (-30020/58471 : -14650/58471 : 1)  C5b (197776/179053 : 69525/179053 : 1)
207
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.04.09追記]u=-184/63のときの整数解を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.09
H.Nakao

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