Integer Points on A^4+B^4+900*C^4=D^4

[2026.03.28]A^4+B^4+900*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように174個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(30,1,200);
**u= -196/51 ; tau(u)= -51/98 ; -210822*x^2 - 43618*y^2 - 66428*x*z + 19992*z^2
; C5a (26465/297266 : -158543/297266 : 1)  C5b (275881/310454 : -3424/155227 : 1)
**u= -196/99 ; tau(u)= -99/98 ; -329286*x^2 - 58018*y^2 - 37628*x*z + 38808*z^2
; C5a (26492/154239 : -32110/51413 : 1)  C5b (3623/1418 : -148/709 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (212971/113066 : 3008/56533 : 1)
**u= -192/109 ; tau(u)= -109/96 ; -349302*x^2 - 60626*y^2 - 26204*x*z + 41856*z^2
; C5a (-11615/42698 : 26377/42698 : 1)  C5b (-12017/12022 : 2026/6011 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (-4341083/3560942 : -520482/1780471 : 1)
**u= -188/123 ; tau(u)= -123/94 ; -381798*x^2 - 65602*y^2 - 10172*x*z + 46248*z^2
; C5a (8861/690362 : 578435/690362 : 1)  C5b (-6984677/101342 : -377760/50671 : 1)
**u= -188/195 ; tau(u)= -195/94 ; -627462*x^2 - 111394*y^2 + 81412*x*z + 73320*z^2
; C5a (-943/5606 : 3437/5606 : 1)  C5b (-14639/951482 : -55316/475741 : 1)
**u= -180/29 ; tau(u)= -29/90 ; -144006*x^2 - 34082*y^2 - 61436*x*z + 10440*z^2
; C5a (-3887/22778 : 15959/22778 : 1)  C5b (-7722973/16207594 : 1047378/8103797 : 1)
**u= -180/53 ; tau(u)= -53/90 ; -190374*x^2 - 38018*y^2 - 53564*x*z + 19080*z^2
; C5a (450230/8700649 : 5608730/8700649 : 1)  C5b (-182451863/117343466 : -32542360/58671733 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (-156829/104158 : 27024/52079 : 1)
**u= -180/79 ; tau(u)= -79/90 ; -248406*x^2 - 44882*y^2 - 39836*x*z + 28440*z^2
; C5a (-15967/61918 : 43541/61918 : 1)  C5b (-160187/4786 : -19892/2393 : 1)
**u= -180/101 ; tau(u)= -101/90 ; -303846*x^2 - 52802*y^2 - 23996*x*z + 36360*z^2
; C5a (2554361/17748406 : 12600277/17748406 : 1)  C5b (-24211/188338 : -6476/94169 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (-3198199/3045898 : 466692/1522949 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (-353397847/205021834 : 29702380/102510917 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (-14555509/20477242 : -51094/217843 : 1)
**u= -180/197 ; tau(u)= -197/90 ; -613734*x^2 - 110018*y^2 + 90436*x*z + 70920*z^2
; C5a (71542/1375737 : 34182/41689 : 1)  C5b (-53263/46946 : -4734/23473 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (3035377/5074754 : -38994/2537377 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (211191809/19680466 : 29561586/9840233 : 1)
**u= -172/63 ; tau(u)= -63/86 ; -199254*x^2 - 37522*y^2 - 43292*x*z + 21672*z^2
; C5a (533205/8810942 : -6157023/8810942 : 1)  C5b (-28213/46202 : -5490/23101 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (-17104813/1520074 : -21530/7379 : 1)
**u= -172/183 ; tau(u)= -183/86 ; -541494*x^2 - 96562*y^2 + 74788*x*z + 62952*z^2
; C5a (-8119/612218 : 490033/612218 : 1)  C5b (-1531811/851134 : 19528/425567 : 1)
**u= -164/45 ; tau(u)= -45/82 ; -151878*x^2 - 30946*y^2 - 45692*x*z + 14760*z^2
; C5a (-139480/536199 : -129990/178733 : 1)  C5b (-291877/164054 : 51886/82027 : 1)
**u= -164/105 ; tau(u)= -105/82 ; -284598*x^2 - 48946*y^2 - 9692*x*z + 34440*z^2
; C5a (-498/818981 : -687042/818981 : 1)  C5b (-129719/160658 : -22870/80329 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-3380903/2056774 : -192596/1028387 : 1)
**u= -156/77 ; tau(u)= -77/78 ; -204678*x^2 - 36194*y^2 - 24956*x*z + 24024*z^2
; C5a (6380/77931 : 6534/8659 : 1)  C5b (-3910301/859346 : 497936/429673 : 1)
**u= -156/137 ; tau(u)= -137/78 ; -356598*x^2 - 61874*y^2 + 26404*x*z + 42744*z^2
; C5a (362/525337 : 436730/525337 : 1)  C5b (-1608791/1088066 : 22134/77719 : 1)
**u= -156/187 ; tau(u)= -187/78 ; -516198*x^2 - 94274*y^2 + 91204*x*z + 58344*z^2
; C5a (1848/63823 : -51150/63823 : 1)  C5b (-116467/95902 : -6984/47951 : 1)
**u= -156/193 ; tau(u)= -193/78 ; -537366*x^2 - 98834*y^2 + 100324*x*z + 60216*z^2
; C5a (-334/2365 : -1414/2365 : 1)  C5b (-123671/99374 : -5710/49687 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (2188039/3582878 : 2892/1791439 : 1)
**u= -152/45 ; tau(u)= -45/76 ; -136182*x^2 - 27154*y^2 - 38108*x*z + 13680*z^2
; C5a (-158804/919173 : -236648/306391 : 1)  C5b (901699/50258 : -135062/25129 : 1)
**u= -152/87 ; tau(u)= -87/76 ; -220518*x^2 - 38242*y^2 - 15932*x*z + 26448*z^2
; C5a (-2042/13915 : -11032/13915 : 1)  C5b (190219/18406 : -13036/9203 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-8910283/12348514 : -1347622/6174257 : 1)
**u= -148/33 ; tau(u)= -33/74 ; -111318*x^2 - 24082*y^2 - 39452*x*z + 9768*z^2
; C5a (17144/3619943 : 2283010/3619943 : 1)  C5b (21370063/37802 : -3529620/18901 : 1)
**u= -148/87 ; tau(u)= -87/74 ; -214134*x^2 - 37042*y^2 - 13532*x*z + 25752*z^2
; C5a (-38014/394937 : 324910/394937 : 1)  C5b (20605789/1535054 : -1359636/767527 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (-659807/227258 : 44140/113629 : 1)
**u= -144/13 ; tau(u)= -13/72 ; -78198*x^2 - 21074*y^2 - 40796*x*z + 3744*z^2
; C5a (-12175/336622 : -165877/336622 : 1)  C5b (-34957/78682 : -2404/39341 : 1)
**u= -144/113 ; tau(u)= -113/72 ; -268998*x^2 - 46274*y^2 + 9604*x*z + 32544*z^2
; C5a (-1792808/10888089 : -2595712/3629363 : 1)  C5b (-39877/63082 : -7544/31541 : 1)
**u= -144/127 ; tau(u)= -127/72 ; -305286*x^2 - 52994*y^2 + 23044*x*z + 36576*z^2
; C5a (-23219/75174 : 117/1474 : 1)  C5b (-267539/164486 : 3328/11749 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (-167297/121586 : 4248/60793 : 1)
**u= -136/195 ; tau(u)= -195/68 ; -495798*x^2 - 94546*y^2 + 115108*x*z + 53040*z^2
; C5a (153260/625593 : 153880/208531 : 1)  C5b (-1358839/1423618 : 13544/101687 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-4981/12286 : 680/6143 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (-2408747/4248566 : -494972/2124283 : 1)
**u= -128/117 ; tau(u)= -117/64 ; -251094*x^2 - 43762*y^2 + 21988*x*z + 29952*z^2
; C5a (-943/13658 : -10775/13658 : 1)  C5b (-39343/14242 : 496/7121 : 1)
**u= -124/81 ; tau(u)= -81/62 ; -165846*x^2 - 28498*y^2 - 4508*x*z + 20088*z^2
; C5a (-4455/12346 : 801/12346 : 1)  C5b (-13817/3038 : 174/217 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (11303/10466 : -872/5233 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-18379/69082 : -3416/34541 : 1)
**u= -120/79 ; tau(u)= -79/60 ; -156486*x^2 - 26882*y^2 - 3836*x*z + 18960*z^2
; C5a (-270964/10489237 : -800716/953567 : 1)  C5b (-739/2062 : -186/1031 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (-4681/7778 : 920/3889 : 1)
**u= -120/91 ; tau(u)= -91/60 ; -180246*x^2 - 30962*y^2 + 4324*x*z + 21840*z^2
; C5a (-107/9642 : 2695/3214 : 1)  C5b (-42975973/92748634 : -9717380/46374317 : 1)
**u= -120/101 ; tau(u)= -101/60 ; -201366*x^2 - 34802*y^2 + 12004*x*z + 24240*z^2
; C5a (-3290/332019 : -30700/36891 : 1)  C5b (-98761/29438 : 3560/14719 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (-108781/65902 : -1502/32951 : 1)
**u= -120/187 ; tau(u)= -187/60 ; -432534*x^2 - 84338*y^2 + 111076*x*z + 44880*z^2
; C5a (-8324/60429 : -10140/20143 : 1)  C5b (-22763/96926 : -8906/48463 : 1)
**u= -108/149 ; tau(u)= -149/54 ; -296934*x^2 - 56066*y^2 + 65476*x*z + 32184*z^2
; C5a (1241/5178 : 21755/29342 : 1)  C5b (-18421/20494 : -27740/174199 : 1)
**u= -104/51 ; tau(u)= -51/52 ; -90486*x^2 - 16018*y^2 - 11228*x*z + 10608*z^2
; C5a (509/3002 : -1853/3002 : 1)  C5b (30210251/8398366 : 2203514/4199183 : 1)
**u= -104/81 ; tau(u)= -81/52 ; -139206*x^2 - 23938*y^2 + 4612*x*z + 16848*z^2
; C5a (2540/29729 : -24476/29729 : 1)  C5b (-129241/28054 : 5662/14027 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (1559/2246 : -146/1123 : 1)
**u= -96/113 ; tau(u)= -113/48 ; -191046*x^2 - 34754*y^2 + 32644*x*z + 21696*z^2
; C5a (6576/19133 : 10440/19133 : 1)  C5b (-52399/172726 : 16190/86363 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (-779/5234 : 450/2617 : 1)
**u= -96/143 ; tau(u)= -143/48 ; -260166*x^2 - 50114*y^2 + 63364*x*z + 27456*z^2
; C5a (-83387/383942 : -64679/383942 : 1)  C5b (14761/65006 : -384/32503 : 1)
**u= -92/27 ; tau(u)= -27/46 ; -49638*x^2 - 9922*y^2 - 14012*x*z + 4968*z^2
; C5a (7/286 : -2141/3146 : 1)  C5b (389857/52718 : 623998/289949 : 1)
**u= -92/87 ; tau(u)= -87/46 ; -134838*x^2 - 23602*y^2 + 13348*x*z + 16008*z^2
; C5a (-206291/1026046 : 592631/1026046 : 1)  C5b (5473/55682 : 366/27841 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (-110711/108178 : 742/7727 : 1)
**u= -92/195 ; tau(u)= -195/46 ; -397062*x^2 - 84514*y^2 + 135172*x*z + 35880*z^2
; C5a (1945/6082 : 4105/6082 : 1)  C5b (25847/136354 : 7498/68177 : 1)
**u= -88/3 ; tau(u)= -3/44 ; -25398*x^2 - 7762*y^2 - 15452*x*z + 528*z^2
; C5a (-1986/128347 : 40188/128347 : 1)  C5b (-739/274 : -134/137 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (-17417/38966 : -2242/19483 : 1)
**u= -88/57 ; tau(u)= -57/44 ; -82854*x^2 - 14242*y^2 - 2492*x*z + 10032*z^2
; C5a (-26491/122942 : 84463/122942 : 1)  C5b (2716999/197054 : -94492/98527 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (19441/384782 : 7220/192391 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (107629/860498 : -29370/430249 : 1)
**u= -84/23 ; tau(u)= -23/42 ; -39798*x^2 - 8114*y^2 - 11996*x*z + 3864*z^2
; C5a (2828/17923 : 6230/17923 : 1)  C5b (-27683/21038 : 5040/10519 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (-45697/23182 : 8050/11591 : 1)
**u= -76/105 ; tau(u)= -105/38 ; -147318*x^2 - 27826*y^2 + 32548*x*z + 15960*z^2
; C5a (-430/2489 : 1150/2489 : 1)  C5b (-153779/191018 : -16686/95509 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (176917/52922 : -1360/26461 : 1)
**u= -72/49 ; tau(u)= -49/36 ; -58182*x^2 - 9986*y^2 - 764*x*z + 7056*z^2
; C5a (92169/316922 : -138705/316922 : 1)  C5b (49499/2626 : -246/1313 : 1)
**u= -68/27 ; tau(u)= -27/34 ; -32934*x^2 - 6082*y^2 - 6332*x*z + 3672*z^2
; C5a (-612/4447 : 3570/4447 : 1)  C5b (5381/3926 : 102/1963 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (-4219/47242 : -3914/23621 : 1)
**u= -68/183 ; tau(u)= -183/34 ; -314358*x^2 - 71602*y^2 + 124708*x*z + 24888*z^2
; C5a (-5395/2229218 : -1306229/2229218 : 1)  C5b (-148063/206398 : -5182/103199 : 1)
**u= -64/9 ; tau(u)= -9/32 ; -17382*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z + 1152*z^2
; C5a (117/2162 : -861/2162 : 1)  C5b (104183/7822 : 18068/3911 : 1)
**u= -64/45 ; tau(u)= -45/32 ; -47478*x^2 - 8146*y^2 - 92*x*z + 5760*z^2
; C5a (-39808/229281 : 55816/76427 : 1)  C5b (-1644851/853922 : 183250/426961 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (-523/526 : 6/263 : 1)
**u= -60 ; tau(u)= -1/30 ; -11286*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z + 120*z^2
; C5a (-5358/24877 : 14034/24877 : 1)  C5b (47483/78286 : -4464/39143 : 1)
**u= -60/7 ; tau(u)= -7/30 ; -14454*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z + 840*z^2
; C5a (-13/274 : -6541/11782 : 1)  C5b (4261/518 : -32014/11137 : 1)
**u= -60/17 ; tau(u)= -17/30 ; -20694*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z + 2040*z^2
; C5a (-1743/3814 : 1293/3814 : 1)  C5b (-138647/375674 : -21460/187837 : 1)
**u= -60/19 ; tau(u)= -19/30 ; -22086*x^2 - 4322*y^2 - 5756*x*z + 2280*z^2
; C5a (-127/33226 : 24247/33226 : 1)  C5b (-1331/1438 : 248/719 : 1)
**u= -60/61 ; tau(u)= -61/30 ; -62406*x^2 - 11042*y^2 + 7684*x*z + 7320*z^2
; C5a (171898/17664917 : -14450290/17664917 : 1)  C5b (-70429/64282 : 7382/32141 : 1)
**u= -60/73 ; tau(u)= -73/30 ; -77814*x^2 - 14258*y^2 + 14116*x*z + 8760*z^2
; C5a (212/819 : 194/273 : 1)  C5b (3011/17338 : -146/8669 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (-15941/14558 : 712/7279 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (-64817/69866 : -4228/34933 : 1)
**u= -60/157 ; tau(u)= -157/30 ; -234054*x^2 - 52898*y^2 + 91396*x*z + 18840*z^2
; C5a (-10388/138987 : -6946/15443 : 1)  C5b (-598163/846446 : 29420/423223 : 1)
**u= -60/191 ; tau(u)= -191/30 ; -321366*x^2 - 76562*y^2 + 138724*x*z + 22920*z^2
; C5a (-33472/522691 : -213038/522691 : 1)  C5b (-7303/21106 : 1814/10553 : 1)
**u= -56/9 ; tau(u)= -9/28 ; -13926*x^2 - 3298*y^2 - 5948*x*z + 1008*z^2
; C5a (36/593 : 252/593 : 1)  C5b (-2947/3478 : 524/1739 : 1)
**u= -56/39 ; tau(u)= -39/28 ; -36006*x^2 - 6178*y^2 - 188*x*z + 4368*z^2
; C5a (205/726 : -117/242 : 1)  C5b (-31777/1138 : 1168/569 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (313/1106 : -18/553 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (68807/905342 : 74750/452671 : 1)
**u= -48/29 ; tau(u)= -29/24 ; -23094*x^2 - 3986*y^2 - 1244*x*z + 2784*z^2
; C5a (6864/27073 : -13452/27073 : 1)  C5b (-1048561/7774 : -76868/3887 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (32881/119426 : -4640/59713 : 1)
**u= -48/121 ; tau(u)= -121/24 ; -141222*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z + 11616*z^2
; C5a (3929/14578 : -10343/14578 : 1)  C5b (-106759/879814 : -79602/439907 : 1)
**u= -48/191 ; tau(u)= -191/24 ; -299142*x^2 - 75266*y^2 + 141316*x*z + 18336*z^2
; C5a (88237/154274 : 20309/154274 : 1)  C5b (-357523/553798 : -384/39557 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (-616859/338678 : -21566/169339 : 1)
**u= -44/111 ; tau(u)= -111/22 ; -118806*x^2 - 26578*y^2 + 45412*x*z + 9768*z^2
; C5a (26765/76898 : 49877/76898 : 1)  C5b (-13733/161822 : -14432/80911 : 1)
**u= -44/195 ; tau(u)= -195/22 ; -302598*x^2 - 77986*y^2 + 148228*x*z + 17160*z^2
; C5a (512/26627 : 13450/26627 : 1)  C5b (-335573/536666 : 5878/268333 : 1)
**u= -36/47 ; tau(u)= -47/18 ; -30678*x^2 - 5714*y^2 + 6244*x*z + 3384*z^2
; C5a (180/671 : -474/671 : 1)  C5b (3847/25118 : 834/12559 : 1)
**u= -36/83 ; tau(u)= -83/18 ; -69126*x^2 - 15074*y^2 + 24964*x*z + 5976*z^2
; C5a (-343/8986 : -5135/8986 : 1)  C5b (-821/13774 : -1200/6887 : 1)
**u= -36/187 ; tau(u)= -187/18 ; -267558*x^2 - 71234*y^2 + 137284*x*z + 13464*z^2
; C5a (-19780/5446911 : -774498/1815637 : 1)  C5b (-21979/82454 : -7106/41227 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (58577/253514 : 18162/126757 : 1)
**u= -24/67 ; tau(u)= -67/12 ; -41526*x^2 - 9554*y^2 + 16804*x*z + 3216*z^2
; C5a (-50291/357830 : -21359/357830 : 1)  C5b (-38161/61114 : 3294/30557 : 1)
**u= -24/83 ; tau(u)= -83/12 ; -58998*x^2 - 14354*y^2 + 26404*x*z + 3984*z^2
; C5a (4326/7727 : -1068/7727 : 1)  C5b (-4571/42086 : 3836/21043 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (-44101/78106 : 2616/39053 : 1)
**u= -16/15 ; tau(u)= -15/8 ; -4038*x^2 - 706*y^2 + 388*x*z + 480*z^2
; C5a (-507/1738 : 315/1738 : 1)  C5b (-797/674 : 86/337 : 1)
**u= -16/21 ; tau(u)= -21/8 ; -6102*x^2 - 1138*y^2 + 1252*x*z + 672*z^2
; C5a (4569/24206 : -18861/24206 : 1)  C5b (-2519/2894 : 256/1447 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (-60527/84074 : 1014/42037 : 1)
**u= -16/51 ; tau(u)= -51/8 ; -22902*x^2 - 5458*y^2 + 9892*x*z + 1632*z^2
; C5a (-39/310 : -21/310 : 1)  C5b (-5562427/9940942 : 602326/4970471 : 1)
**u= -12 ; tau(u)= -1/6 ; -534*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z + 24*z^2
; C5a (-3716/7535 : -3646/7535 : 1)  C5b (299/454 : -22/227 : 1)
**u= -12/71 ; tau(u)= -71/6 ; -37494*x^2 - 10226*y^2 + 19876*x*z + 1704*z^2
; C5a (-79928/1084427 : 63758/1084427 : 1)  C5b (29681/74126 : 1934/37063 : 1)
**u= -12/149 ; tau(u)= -149/6 ; -147942*x^2 - 44546*y^2 + 88516*x*z + 3576*z^2
; C5a (-588/17587 : -1770/17587 : 1)  C5b (6361/27094 : 2068/13547 : 1)
**u= -12/151 ; tau(u)= -151/6 ; -151734*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z + 3624*z^2
; C5a (61/930 : 137/310 : 1)  C5b (18853/40898 : -204/20449 : 1)
**u= -12/199 ; tau(u)= -199/6 ; -257142*x^2 - 79346*y^2 + 158116*x*z + 4776*z^2
; C5a (312/4787 : 2010/4787 : 1)  C5b (-14683/30178 : -1136/15089 : 1)
**u= -8/27 ; tau(u)= -27/4 ; -6294*x^2 - 1522*y^2 + 2788*x*z + 432*z^2
; C5a (-515/7546 : -2819/7546 : 1)  C5b (-331/1094 : -96/547 : 1)
**u= -8/45 ; tau(u)= -45/4 ; -15222*x^2 - 4114*y^2 + 7972*x*z + 720*z^2
; C5a (-36/791 : -2448/8701 : 1)  C5b (-133/286 : 194/1573 : 1)
**u= -4/15 ; tau(u)= -15/2 ; -1878*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z + 120*z^2
; C5a (5/38 : -25/38 : 1)  C5b (-199/538 : 44/269 : 1)
**u= -4/141 ; tau(u)= -141/2 ; -123846*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z + 1128*z^2
; C5a (1673/111674 : 26801/111674 : 1)  C5b (3097/113222 : -10300/56611 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/9 ; tau(u)= 9/2 ; -246*x^2 - 178*y^2 + 292*x*z - 72*z^2
; C5a (4/7 : 2/7 : 1)  C5b (-571/2494 : -120/1247 : 1)
**u= 4/15 ; tau(u)= 15/2 ; -918*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z - 120*z^2
; C5a (241/778 : 281/778 : 1)  C5b (563/934 : -38/467 : 1)
**u= 4/141 ; tau(u)= 141/2 ; -114822*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z - 1128*z^2
; C5a (3209/30878 : 11885/30878 : 1)  C5b (-78997/185762 : 8100/92881 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (-52069/470158 : 41604/235079 : 1)
**u= 8/105 ; tau(u)= 105/4 ; -59622*x^2 - 22114*y^2 + 43972*x*z - 1680*z^2
; C5a (3201/27538 : -9489/27538 : 1)  C5b (3083/8794 : -628/4397 : 1)
**u= 12 ; tau(u)= 1/6 ; -342*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z - 24*z^2
; C5a (-19/106 : 35/106 : 1)  C5b (41/94 : -2/47 : 1)
**u= 12/61 ; tau(u)= 61/6 ; -16902*x^2 - 7586*y^2 + 14596*x*z - 1464*z^2
; C5a (4645/23058 : 827/2562 : 1)  C5b (-461/2506 : -190/1253 : 1)
**u= 12/151 ; tau(u)= 151/6 ; -122742*x^2 - 45746*y^2 + 90916*x*z - 3624*z^2
; C5a (44225/620566 : -137069/620566 : 1)  C5b (233077/1169618 : 101236/584809 : 1)
**u= 12/199 ; tau(u)= 199/6 ; -218934*x^2 - 79346*y^2 + 158116*x*z - 4776*z^2
; C5a (11418/197893 : -42258/197893 : 1)  C5b (894683/2313898 : 148406/1156949 : 1)
**u= 16/51 ; tau(u)= 51/8 ; -9846*x^2 - 5458*y^2 + 9892*x*z - 1632*z^2
; C5a (2005/2782 : -737/2782 : 1)  C5b (-3029/8426 : 68/4213 : 1)
**u= 24/73 ; tau(u)= 73/12 ; -19686*x^2 - 11234*y^2 + 20164*x*z - 3504*z^2
; C5a (3284/5149 : 1784/5149 : 1)  C5b (63557/96802 : -3634/48401 : 1)
**u= 24/77 ; tau(u)= 77/12 ; -22518*x^2 - 12434*y^2 + 22564*x*z - 3696*z^2
; C5a (1636/5661 : 520/1887 : 1)  C5b (133963/755462 : -69104/377731 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (10859/19454 : -706/9727 : 1)
**u= 28/117 ; tau(u)= 117/14 ; -58278*x^2 - 28162*y^2 + 53188*x*z - 6552*z^2
; C5a (30510/73417 : -32406/73417 : 1)  C5b (-14111/47266 : -2478/23633 : 1)
**u= 32/123 ; tau(u)= 123/16 ; -62358*x^2 - 31282*y^2 + 58468*x*z - 7872*z^2
; C5a (8061/13846 : 5553/13846 : 1)  C5b (-4997/199862 : -17376/99931 : 1)
**u= 32/165 ; tau(u)= 165/16 ; -124182*x^2 - 55474*y^2 + 106852*x*z - 10560*z^2
; C5a (39826/189523 : 64424/189523 : 1)  C5b (-3463/8794 : -206/4397 : 1)
**u= 36/167 ; tau(u)= 167/18 ; -123126*x^2 - 57074*y^2 + 108964*x*z - 12024*z^2
; C5a (1917/14774 : 399/14774 : 1)  C5b (-2088887/5202758 : -12860/2601379 : 1)
**u= 36/187 ; tau(u)= 187/18 ; -159846*x^2 - 71234*y^2 + 137284*x*z - 13464*z^2
; C5a (61605/87398 : -20409/87398 : 1)  C5b (-8357/33878 : 2278/16939 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (3341/506 : 578/253 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (53047/69338 : 290/34669 : 1)
**u= 48/121 ; tau(u)= 121/24 ; -48294*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z - 11616*z^2
; C5a (57/194 : -9/194 : 1)  C5b (438659/1706554 : -156292/853277 : 1)
**u= 52/147 ; tau(u)= 147/26 ; -76614*x^2 - 45922*y^2 + 81028*x*z - 15288*z^2
; C5a (3653/4514 : -221/4514 : 1)  C5b (-6493/43562 : 3094/21781 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (6683/33202 : 3020/16601 : 1)
**u= 56/9 ; tau(u)= 9/28 ; -5862*x^2 - 3298*y^2 - 5948*x*z - 1008*z^2
; C5a (-63/286 : 21/286 : 1)  C5b (14831/13114 : 2702/6557 : 1)
**u= 56/141 ; tau(u)= 141/28 ; -65526*x^2 - 42898*y^2 + 73252*x*z - 15792*z^2
; C5a (41345/118838 : -24083/118838 : 1)  C5b (152243/206098 : -5254/103049 : 1)
**u= 56/195 ; tau(u)= 195/28 ; -150198*x^2 - 79186*y^2 + 145828*x*z - 21840*z^2
; C5a (4822/25611 : -8812/145129 : 1)  C5b (559/902 : -610/7667 : 1)
**u= 60 ; tau(u)= 1/30 ; -10326*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z - 120*z^2
; C5a (-16/559 : 82/559 : 1)  C5b (12649/24422 : 840/12211 : 1)
**u= 60/7 ; tau(u)= 7/30 ; -7734*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z - 840*z^2
; C5a (-421/1078 : -20393/46354 : 1)  C5b (-16003/8746 : 108958/188039 : 1)
**u= 60/17 ; tau(u)= 17/30 ; -4374*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z - 2040*z^2
; C5a (-1047/1318 : 21/1318 : 1)  C5b (-212171/130982 : -23014/65491 : 1)
**u= 60/121 ; tau(u)= 121/30 ; -40566*x^2 - 32882*y^2 + 51364*x*z - 14520*z^2
; C5a (14753/32422 : -3805/32422 : 1)  C5b (-1883/18694 : -1290/9347 : 1)
**u= 60/139 ; tau(u)= 139/30 ; -60006*x^2 - 42242*y^2 + 70084*x*z - 16680*z^2
; C5a (12802/16049 : 2522/16049 : 1)  C5b (5947/12974 : 1096/6487 : 1)
**u= 60/149 ; tau(u)= 149/30 ; -72486*x^2 - 48002*y^2 + 81604*x*z - 17880*z^2
; C5a (4808/7011 : -674/2337 : 1)  C5b (754271/1534942 : -122246/767471 : 1)
**u= 60/191 ; tau(u)= 191/30 ; -138006*x^2 - 76562*y^2 + 138724*x*z - 22920*z^2
; C5a (3010/9477 : -970/3159 : 1)  C5b (33809497/67855394 : -4809866/33927697 : 1)
**u= 64/9 ; tau(u)= 9/32 ; -8166*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z - 1152*z^2
; C5a (-11363/41254 : 12575/41254 : 1)  C5b (-41561/8174 : -7044/4087 : 1)
**u= 68/117 ; tau(u)= 117/34 ; -32358*x^2 - 32002*y^2 + 45508*x*z - 15912*z^2
; C5a (1548/2135 : -102/2135 : 1)  C5b (196141/209294 : 5304/104647 : 1)
**u= 72/169 ; tau(u)= 169/36 ; -89574*x^2 - 62306*y^2 + 103876*x*z - 24336*z^2
; C5a (2684/3241 : -208/3241 : 1)  C5b (-33223/359242 : 26654/179621 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (-20653/5602 : -2900/2801 : 1)
**u= 84/23 ; tau(u)= 23/42 ; -8886*x^2 - 8114*y^2 - 11996*x*z - 3864*z^2
; C5a (-87/154 : -15/154 : 1)  C5b (-8153/8342 : 360/4171 : 1)
**u= 84/193 ; tau(u)= 193/42 ; -114966*x^2 - 81554*y^2 + 134884*x*z - 32424*z^2
; C5a (708/877 : 1326/9647 : 1)  C5b (4361/29686 : 29648/163273 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (33121/19306 : 5986/9653 : 1)
**u= 96/13 ; tau(u)= 13/48 ; -18678*x^2 - 9554*y^2 - 17756*x*z - 2496*z^2
; C5a (-2294/13307 : 428/13307 : 1)  C5b (-2692067/2575322 : -335780/1287661 : 1)
**u= 132/31 ; tau(u)= 31/66 ; -25302*x^2 - 19346*y^2 - 31004*x*z - 8184*z^2
; C5a (-15360/21667 : 5118/21667 : 1)  C5b (1021709/1565566 : 184584/782783 : 1)
**u= 144/13 ; tau(u)= 13/72 ; -48246*x^2 - 21074*y^2 - 40796*x*z - 3744*z^2
; C5a (-4159/21226 : -7159/21226 : 1)  C5b (-6019697/5917418 : -822046/2958709 : 1)
**u= 148/15 ; tau(u)= 15/74 ; -49302*x^2 - 22354*y^2 - 42908*x*z - 4440*z^2
; C5a (-1759/13734 : -481/4578 : 1)  C5b (291167/640414 : -25818/320207 : 1)
**u= 148/33 ; tau(u)= 33/74 ; -33174*x^2 - 24082*y^2 - 39452*x*z - 9768*z^2
; C5a (-6979/18198 : -859/6066 : 1)  C5b (-133189/139906 : -9940/69953 : 1)
**u= 152/33 ; tau(u)= 33/76 ; -35718*x^2 - 25282*y^2 - 41852*x*z - 10032*z^2
; C5a (-2756/3453 : 180/1151 : 1)  C5b (324049/1019186 : 10040/509593 : 1)
**u= 156/23 ; tau(u)= 23/78 ; -47478*x^2 - 25394*y^2 - 46556*x*z - 7176*z^2
; C5a (-4006/5089 : 230/5089 : 1)  C5b (-3223/4078 : -258/2039 : 1)
**u= 156/37 ; tau(u)= 37/78 ; -35046*x^2 - 27074*y^2 - 43196*x*z - 11544*z^2
; C5a (-47623/118530 : -331/4390 : 1)  C5b (-47393/56402 : 766/28201 : 1)
**u= 168/31 ; tau(u)= 31/84 ; -48774*x^2 - 30146*y^2 - 52604*x*z - 10416*z^2
; C5a (-11987/32858 : 9043/32858 : 1)  C5b (192551/192406 : 35154/96203 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (152071/357322 : 740/25523 : 1)
**u= 176/39 ; tau(u)= 39/88 ; -47142*x^2 - 34018*y^2 - 55868*x*z - 13728*z^2
; C5a (-156239/363646 : -78203/363646 : 1)  C5b (-25037/25882 : -1964/12941 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (-193067/229714 : -23976/114857 : 1)
**u= 180/41 ; tau(u)= 41/90 ; -48246*x^2 - 35762*y^2 - 58076*x*z - 14760*z^2
; C5a (-5971/14898 : -727/4966 : 1)  C5b (704219/1270378 : -121698/635189 : 1)
174
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=-72/41のとき

22772628326580^4+21578215224107909^4+900*6595285134406970^4=37222512610092437^4
34206714983436052810679642744655377870430005053187046614952839424961010658232918512319324488538457645725214629931285320247083918486333699961496757991059568031979^4+53259156787312460776992295129892160129223467887198213169084222882098742044542532924279960062609507304162208805196002951128332725338975565144950685081619993139180^4+900*8934598620486445206745173349009716399458505263872958315416442433923699016312676200539118224405846275094493530939368966717293612730581578136759684174499162241010^4=62388508419887162699738993443143813249041922921552088808423151689481741468891508823761543028806202341195661759444863814803023080728065919220988328792442886582053^4
135600070480916942955883710861372303199819158416002585931449960605721194331217802473351955496730889680838147462017419571086432905891581096030539172512978674087752077853019734342577133605271240508385112192229499427419922012636837732809493335915310774568512370310526852893403649606266669241090672898574584592394167931557600684244620765266420512432666106472788581679499978995496991925622721214331057858755923031246498070831612075196187491698561166545620^4+137044173273135302659834371786117025583883993819418983986521377794923860694925073840601468072552621628369285893042211491653745665175479805829922597448770875111297582118804933443370046787317537359919014221488736485883453187265059110364413490209409181477781809356128939192978296523443923134133938669536812447686272614774845068452075478819074405689295058399767969877627467315178089759076164493724927734004246134635579093669881202188055489666163836726581^4+900*14234736372830090975321430098654906026282045402620064341817798867397590285471975398048989338583336474852724529045951677694115909974998846260596088883838616052722376472176366192760054631279630473093505948700669746727752197568150828697877526024185218585734210334238777236348914538605284460786469926579240045433045235239819591323578475532755694743479502032528929343467934449008093567171202534985504254717967826697735700128896250209218807989910627547650^4=164247854295703154665941497071950026557691669037427714475290824334077811371751897510723220065972227284149839166125277580609331649840324847899899768056528706818635637124659779042932761537432504530876891392494801912592427492034107619709395418279124310685550387605189509441750421329893293482101512453738726875565942799518177807026798081113188290702848270536112075489279285507556032246697076106265994891719312869406564021673332514126168465733450136824133^4
474047976842777803893934117259548225159936028877018196786096706875835114439224179659130680760296342213436038479957832358128264886623631483862141190058631401120180988912376934974899831770065057967899091981974249373571068802448778269507597033110897967999483207583743719629967454882618056218700749936315434114551210582344225941959806105694273919190359763377757947446759315858620944192017348910485706925590964593275125690589978747520165293039081365015362722840303192335938553190106711590920009802934435336276401750156103093417876036173536747589169386199250386654341215472891189169151082463948526550708733722016389696261694356580550184481951716159577936982053424607526583025522983161142203459676444587927531033070745451806777042643663316983082712545530797215314385068810315734823941337541679267175330874868376065581765180045883099231649842860916895022975399121998123326328132493891927820^4+561554915409564180158300923866583684112477250321817751503173394461042056717451856722767210644034502486557290290158095914459649996752086721018382690918753924037320352473520926666062102068642322469311251522754140194703966896210850422863799557288427490966993083262675597575296499003557043029664973456556734819730821917522084139075681825908791317788456396773456480667769080850726208835630901779876227776589130012867724332984293634062435668086466861363936497319957928562795051649092773460487263996593083607212599820955787426778969637704549658883101749314936639057354533167481190505045618732504614940995643501889110181678450822935402007686112006765707082718560161687687711593806201408864069145811003326346753477032148634260456961401496305808692334263234232595746814105283774337996134874713449912393789747014274514319232756010970753792915426461160484207924959341086881734712439618115206171^4+900*13771966290464332728446419512333223310108817426914818638735921098141065140974853712334869828126234971670560010108097444652013575703734514179374241511903002681889578212854116438684039622325404518083684471435116755052896124816265239565431835030715578801244434792027515458225607070850145698208230855885724168389375494440804286378669394557418113506227201302308640638098063692991104187007591015760639149336900012393059153232643707021742469769984693606495866607704670077647762254573554862071932167505742372963756512744013647817629111538955961967141573374823787970933389000981929537569626399659206174595414908856031508517280034946002727960048706487693334492389198610464468150395850451712393630320257691481970468433702639050050337828228031557932911353835542216291707168382557645509082218671644214560859262118067462926004558494092670721060348601365947622723140224144183644502276356832160810^4=622305916015417972722972488845282280024064289312916137630208849886753256499730423351530671497028688771605608959167576428772549664521269299980587264308809268328466372980813682490250902642176715894392308728837724906208277175062121072632567598045262971301508362287916110418765300977729112499775312041412282690713247941481901961240682952250271542271541882318533560376303742589642096263399348689870914686032507391964247687211125444479393887128741011682546251728885680325720280755057251398842665080919446604319937121438572106433421189392919777429171827855237349158074239512290945631721838795166309612000142449203347453026757210962517395947836743268133501802515234108242618369390284190871460890996945762021864362250592437100355828518674133717641558977973174908742606979801638423595601956247722276338442820353707446881071530889743368238558516067657650268917722901658753347434033574389354997^4
...

u=-96/113のとき

2244245832556529139840729853871648637561346631^4+3508215556851756699561473381020206073920559590^4+900*740145036742509923447447610590786527546533770^4=4597916620082610865987161213094480097627506283^4
11733276361488961782247749462672438321421344833769535426005371628913124387105723631264881854982627023470882970061844733151965293404976485855295193885739664454626668021868548430565787798359353538012990161939791650838251444918775167904802959588614429180905211763423546271322805935849676357033210368816363652558128485534117518724061762489163617494995800752090934544150362096456776061740264120328899194039228756282046729951319201^4+17941825885676887252940403632114021083842483430645478788213777265838962411794925571106188011859544910932597513024576356747369281148740895820169772860498958761432034804294012358177801395088326943001683096765455116234348062800987608474608624412535159362240061419149492662295401112916198603522447391149851065716314704215297175741502752718044232777886058401250358046691531131393979704376308548217591733173150613235868385932732490^4+900*206723603881029494324571253856963850206455863021513237483346374441738629436308648596217332035480683069019419293203164839731196199998042050095594234656210510345722300318739040858119379723008024459023322676077596676651360917730289837695222280020807636901514518815090081576985263624490977228402599214553851554714377538287180612509231313749877316710017141820516959269422315284945378675231511836758270402554532934579984955109810^4=18711344011298038588702440941115476617133141457415738294650670277908479530586839015632153256402540045116345123419309329253075834360104083621765506321599166987909420301119215364038916869501067732601292047847076342238151381377477082729396317943233086032122598809755908743734778689751043034941076723626113612790299313260600110549304502270757075605849805262407170392820560136518631541643956508163642613747846532757137936001532707^4
92807113417806972435311912463493668842921341684545650897383286919329341651702441977812286109404311732041258778901868015990176284041760547083606843301676672592852467648027302150039147053663153019599154126481254247395389237510802764595510237110063125978778149660218651368513744256960213219658943896634490538484984809628977833443336747540903788694324584375043964261534874025430822383028293540885649741080465823475665143617328677016823345786894871966646005349648605140014214283448386658045690431887420530378503661949722238925239630563724788557031006141812736752436772910107442223603839915471488742647207154481824398872928768408680961451053877196474543429463404197973695296207962983799325327920823287508808725127247759760987061008601674808038700369409438390736965222811613495368267108670229741398139450159485090173635286006849644187029684832917204719061478946222422494601986975952997040791482737079710757182735469035263787989946923207892929071250687176531351887189182856564241950393439015132952392548304169082603471121070471316223953612848232694603459680325615510141083891360288081218037005161633028345724621154961290857048605875785173839508443418099085746024963708605585300030895242959^4+116746706690262761721841321625363187218863847232802136410629483610139716447145543477830105132645796553461459048756080293080985725814116576837186942223052722598794557479401585837614946026798344750887815849148950098995297267183497385464656692643094574649088363063567848487447239837945658538350909979437410339126478270077961944906491699224676245276835354675809885046908871168149727397930472059080051240446722599026434285567191209003820979654663634067298671439871172207917359043833214834973272130874436655605433856838489858112420407074946280686036278092280355668373908936973216685567587481555040816373322139329590655710099876729358844951038417960739629642554927424085953649667911599154274209073187981652210237165618580043655155063724174349705092754051761327998003212601010071626903640545508592056241346591649412509134428667290811220812974459175887435616552508700399529473602648620824641664932165196116895703987896783552545424396753865112242668455910019004989145761401819078990844625181205164301258787792654877443726421513551988187838509753631020001284294221552384506377932973928211805930041753709676130985269617982748789255957050281496046696348874591884807320263482966330268332909962710^4+900*21758940114012839294020404784619790026711483069508440174880982293110818118853748571900481073788605558067215638926608116039129515441622746026623325701035912974417925628886613852261547541306370474580252719770922900739306513426377402718594575553877245716281186149869461954552648426624457950843906884608343969557938097555096186875082890841591163561872207224777830183326956420589530213567634612010107393363609122206128006735211789038743956553638060554218795882384377734067812123681445169092889889016403854538493809252377553128197540611817291935391387500368683682255765740060271052044217853254535350886802157801788034054447338069644444978579509070526858837095526350775714503616045243446304397274174293235148140937567787552705692920272077029140333859961259369328304888646632124221372047659324249391031027377395845463307928242055368877772398692606107801859634496774027312254673693847004018253885587074441113306430385468985400811627666518623191061028523019963451291896450625983940176298128683689848875674576591107774411905378490254123780487050197744557024788511341821453248794424280752100386950024701631700397876648032006224827775012699086664288571965233321123586297930381485376700283168350^4=146585026235099824557740328350483410972807377341298072375049259979081667639738932123270503166249857216688984634194695317598879316358840845936704085476305533822041013532856743647624873965463383369179574245141296635191065469325497141805933323541070820903447412916643545917908381107575843354032066703270260113300187654986096414718408671749604142074815871420131867755300799677104278620622392236537015946216121773139113916900223287740786351457327319170273721552518357667077075826650061435685135188510084397136794994431546495822787163227144389250540890637909678544864905330294845275744832359231628688085164234441413184875584064468963668798788938011535511059228339845161657087555237407683875255062446905920166965209161126662813583847417467278048689086705282995853019125630811422446229848173782635868765737168901122371382848048986170674561774175077750102954033882170684927828001122508093149182142231615082987595187642848834584185609315389111942730393659523349393501984113113898171059667710332991982576200162990521035373552238867230816390457759402170482257312373266794956775371569223985856811309365012004586836109973685674007466432680235953402963036946125416139185669143079446578214218469587^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.03.28

H.Nakao