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Integer Points on A^4+B^4+9*C^4=D^4

[2026.04.06]A^4+B^4+9*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように240個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(3,1,200);
**u= -196/51 ; tau(u)= -51/98 ; -210822*x^2 - 43618*y^2 - 66428*x*z + 19992*z^2
; C5a (26465/297266 : -158543/297266 : 1)  C5b (175115/194444 : -13499/97222 : 1)
**u= -196/111 ; tau(u)= -111/98 ; -363222*x^2 - 63058*y^2 - 27548*x*z + 43512*z^2
; C5a (53762/772133 : 613682/772133 : 1)  C5b (-22633/6566 : 8408/3283 : 1)
**u= -196/177 ; tau(u)= -177/98 ; -580758*x^2 - 101074*y^2 + 48484*x*z + 69384*z^2
; C5a (365/3458 : 2837/3458 : 1)  C5b (-401131/136274 : -3916/68137 : 1)
**u= -196/183 ; tau(u)= -183/98 ; -603126*x^2 - 105394*y^2 + 57124*x*z + 71736*z^2
; C5a (11595905/205746318 : 19030979/22860702 : 1)  C5b (-15443/97396 : 23107/48698 : 1)
**u= -192/83 ; tau(u)= -83/96 ; -279414*x^2 - 50642*y^2 - 46172*x*z + 31872*z^2
; C5a (-6555/19006 : 237/442 : 1)  C5b (10999/6658 : 1156/3329 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (-38233/22868 : -18953/11434 : 1)
**u= -192/107 ; tau(u)= -107/96 ; -343638*x^2 - 59762*y^2 - 27932*x*z + 41088*z^2
; C5a (-23590/64327 : 18824/64327 : 1)  C5b (-199349/15604 : 61675/7802 : 1)
**u= -192/109 ; tau(u)= -109/96 ; -349302*x^2 - 60626*y^2 - 26204*x*z + 41856*z^2
; C5a (-11615/42698 : 26377/42698 : 1)  C5b (-570619/1728332 : -443419/864166 : 1)
**u= -192/113 ; tau(u)= -113/96 ; -360774*x^2 - 62402*y^2 - 22652*x*z + 43392*z^2
; C5a (-75/1354 : -1131/1354 : 1)  C5b (-51515/20294 : -19916/10147 : 1)
**u= -192/131 ; tau(u)= -131/96 ; -414774*x^2 - 71186*y^2 - 5084*x*z + 50304*z^2
; C5a (193793/1317798 : -331681/439266 : 1)  C5b (-22737787/3229382 : 4839348/1614691 : 1)
**u= -192/161 ; tau(u)= -161/96 ; -513414*x^2 - 88706*y^2 + 29956*x*z + 61824*z^2
; C5a (-7608/273385 : 225948/273385 : 1)  C5b (-7/6046 : -724/3023 : 1)
**u= -192/193 ; tau(u)= -193/96 ; -630534*x^2 - 111362*y^2 + 75268*x*z + 74112*z^2
; C5a (-311/1542 : -281/514 : 1)  C5b (-4243781/2452294 : 670260/1226147 : 1)
**u= -192/197 ; tau(u)= -197/96 ; -646038*x^2 - 114482*y^2 + 81508*x*z + 75648*z^2
; C5a (666985/6210594 : 1697261/2070198 : 1)  C5b (-21469/24470 : 8876/12235 : 1)
**u= -188/39 ; tau(u)= -39/94 ; -173814*x^2 - 38386*y^2 - 64604*x*z + 14664*z^2
; C5a (-7042/141725 : 95542/141725 : 1)  C5b (-11029/11666 : -6400/5833 : 1)
**u= -188/123 ; tau(u)= -123/94 ; -381798*x^2 - 65602*y^2 - 10172*x*z + 46248*z^2
; C5a (8861/690362 : 578435/690362 : 1)  C5b (-1229/286 : 348/143 : 1)
**u= -188/195 ; tau(u)= -195/94 ; -627462*x^2 - 111394*y^2 + 81412*x*z + 73320*z^2
; C5a (-943/5606 : 3437/5606 : 1)  C5b (-57421/50702 : -17760/25351 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (454453/722098 : 76396/361049 : 1)
**u= -172/21 ; tau(u)= -21/86 ; -120294*x^2 - 30466*y^2 - 57404*x*z + 7224*z^2
; C5a (-9487/16398 : 409/5466 : 1)  C5b (583627/102020 : 318501/51010 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (-248311/977258 : 78652/488629 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (199201/79174 : -48812/39587 : 1)
**u= -172/147 ; tau(u)= -147/86 ; -420678*x^2 - 72802*y^2 + 27268*x*z + 50568*z^2
; C5a (29/162 : -41/54 : 1)  C5b (13657/283132 : -18551/141566 : 1)
**u= -172/153 ; tau(u)= -153/86 ; -439734*x^2 - 76402*y^2 + 34468*x*z + 52632*z^2
; C5a (-16531/1147326 : -315645/382442 : 1)  C5b (-4536667/1987372 : 772699/993686 : 1)
**u= -172/183 ; tau(u)= -183/86 ; -541494*x^2 - 96562*y^2 + 74788*x*z + 62952*z^2
; C5a (-8119/612218 : 490033/612218 : 1)  C5b (-27529/187754 : 6644/13411 : 1)
**u= -168/17 ; tau(u)= -17/84 ; -109254*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z + 5712*z^2
; C5a (3225/46006 : 9771/46006 : 1)  C5b (-26525/42476 : 12461/21238 : 1)
**u= -168/19 ; tau(u)= -19/84 ; -112374*x^2 - 28946*y^2 - 55004*x*z + 6384*z^2
; C5a (-36851/277686 : 58859/92562 : 1)  C5b (81169/31180 : 42703/15590 : 1)
**u= -168/53 ; tau(u)= -53/84 ; -172758*x^2 - 33842*y^2 - 45212*x*z + 17808*z^2
; C5a (-707/49386 : -12145/16462 : 1)  C5b (6053/4502 : -1500/2251 : 1)
**u= -168/83 ; tau(u)= -83/84 ; -237558*x^2 - 42002*y^2 - 28892*x*z + 27888*z^2
; C5a (19462/135723 : 30316/45241 : 1)  C5b (-27149/19732 : -13853/9866 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (-52369/4004 : -15777/2002 : 1)
**u= -168/113 ; tau(u)= -113/84 ; -313158*x^2 - 53762*y^2 - 5372*x*z + 37968*z^2
; C5a (2894/4799515 : 4033196/4799515 : 1)  C5b (54311/2110 : -4704/1055 : 1)
**u= -168/149 ; tau(u)= -149/84 ; -418134*x^2 - 72626*y^2 + 32356*x*z + 50064*z^2
; C5a (-63763/375898 : -251629/375898 : 1)  C5b (16873/214300 : -711/107150 : 1)
**u= -168/187 ; tau(u)= -187/84 ; -545814*x^2 - 98162*y^2 + 83428*x*z + 62832*z^2
; C5a (81084/1834601 : -1498080/1834601 : 1)  C5b (-22973/250250 : -58048/125125 : 1)
**u= -164/45 ; tau(u)= -45/82 ; -151878*x^2 - 30946*y^2 - 45692*x*z + 14760*z^2
; C5a (-139480/536199 : -129990/178733 : 1)  C5b (-1573/4318 : 736/2159 : 1)
**u= -164/105 ; tau(u)= -105/82 ; -284598*x^2 - 48946*y^2 - 9692*x*z + 34440*z^2
; C5a (-498/818981 : -687042/818981 : 1)  C5b (-37523/63886 : 23980/31943 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (39581/399614 : -28688/199807 : 1)
**u= -148/51 ; tau(u)= -51/74 ; -141702*x^2 - 27106*y^2 - 33404*x*z + 15096*z^2
; C5a (-1990/63353 : 48682/63353 : 1)  C5b (-195133/875054 : -14188/437527 : 1)
**u= -148/87 ; tau(u)= -87/74 ; -214134*x^2 - 37042*y^2 - 13532*x*z + 25752*z^2
; C5a (-38014/394937 : 324910/394937 : 1)  C5b (40913/8762 : 4204/4381 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (-51445/10052 : 701/718 : 1)
**u= -148/129 ; tau(u)= -129/74 ; -318294*x^2 - 55186*y^2 + 22756*x*z + 38184*z^2
; C5a (1102/3105 : -346/1035 : 1)  C5b (-465053/249220 : 113731/124610 : 1)
**u= -148/177 ; tau(u)= -177/74 ; -463254*x^2 - 84562*y^2 + 81508*x*z + 52392*z^2
; C5a (-227699/1274218 : 60457/115838 : 1)  C5b (-25085/18626 : 3056/9313 : 1)
**u= -144 ; tau(u)= -1/72 ; -63366*x^2 - 20738*y^2 - 41468*x*z + 288*z^2
; C5a (23689/3456078 : 7105/1152026 : 1)  C5b (-451/716 : -163/358 : 1)
**u= -144/13 ; tau(u)= -13/72 ; -78198*x^2 - 21074*y^2 - 40796*x*z + 3744*z^2
; C5a (-12175/336622 : -165877/336622 : 1)  C5b (2627/572 : -1453/286 : 1)
**u= -144/19 ; tau(u)= -19/72 ; -86262*x^2 - 21458*y^2 - 40028*x*z + 5472*z^2
; C5a (3274/30695 : 3116/30695 : 1)  C5b (8297/6286 : 3728/3143 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (486301/439036 : 136243/219518 : 1)
**u= -144/83 ; tau(u)= -83/72 ; -199158*x^2 - 34514*y^2 - 13916*x*z + 23904*z^2
; C5a (21797/71346 : -4175/23782 : 1)  C5b (-1403/5542 : -1188/2771 : 1)
**u= -144/85 ; tau(u)= -85/72 ; -203478*x^2 - 35186*y^2 - 12572*x*z + 24480*z^2
; C5a (784665/10023686 : 7970715/10023686 : 1)  C5b (-45077/47878 : -24236/23939 : 1)
**u= -144/113 ; tau(u)= -113/72 ; -268998*x^2 - 46274*y^2 + 9604*x*z + 32544*z^2
; C5a (-1792808/10888089 : -2595712/3629363 : 1)  C5b (-21923/11740 : 6701/5870 : 1)
**u= -144/127 ; tau(u)= -127/72 ; -305286*x^2 - 52994*y^2 + 23044*x*z + 36576*z^2
; C5a (-23219/75174 : 117/1474 : 1)  C5b (-49021/15178 : 1092/7589 : 1)
**u= -144/143 ; tau(u)= -143/72 ; -349638*x^2 - 61634*y^2 + 40324*x*z + 41184*z^2
; C5a (-420395/11731722 : -3122279/3910574 : 1)  C5b (-2327/2206 : -828/1103 : 1)
**u= -144/157 ; tau(u)= -157/72 ; -390966*x^2 - 70034*y^2 + 57124*x*z + 45216*z^2
; C5a (-713/54986 : 831935/1044734 : 1)  C5b (-391/494 : 3240/4693 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (127957/91474 : -22740/45737 : 1)
**u= -140/69 ; tau(u)= -69/70 ; -164646*x^2 - 29122*y^2 - 20156*x*z + 19320*z^2
; C5a (-1015/14598 : -4025/4866 : 1)  C5b (-17999/30022 : -11440/15011 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (-5689/63596 : 4359/31798 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-1837/1436 : 595/718 : 1)
**u= -140/171 ; tau(u)= -171/70 ; -425766*x^2 - 78082*y^2 + 77764*x*z + 47880*z^2
; C5a (14560/35587 : 11690/35587 : 1)  C5b (-56207/132748 : -41617/66374 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (13403/72962 : 4132/36481 : 1)
**u= -124/9 ; tau(u)= -9/62 ; -55542*x^2 - 15538*y^2 - 30428*x*z + 2232*z^2
; C5a (2225/36722 : 4001/36722 : 1)  C5b (80591/44006 : -42332/22003 : 1)
**u= -124/15 ; tau(u)= -15/62 ; -62358*x^2 - 15826*y^2 - 29852*x*z + 3720*z^2
; C5a (-503/8466 : -1629/2822 : 1)  C5b (1093459/1478644 : 278147/739322 : 1)
**u= -124/63 ; tau(u)= -63/62 ; -132438*x^2 - 23314*y^2 - 14876*x*z + 15624*z^2
; C5a (-71915/387282 : 99391/129094 : 1)  C5b (-3071/10778 : -2304/5389 : 1)
**u= -124/153 ; tau(u)= -153/62 ; -338358*x^2 - 62194*y^2 + 62884*x*z + 37944*z^2
; C5a (-3469/49922 : -393533/549142 : 1)  C5b (-1709/12034 : -34420/66187 : 1)
**u= -124/165 ; tau(u)= -165/62 ; -373158*x^2 - 69826*y^2 + 78148*x*z + 40920*z^2
; C5a (13521/101494 : -81213/101494 : 1)  C5b (-84169/75476 : -13607/37738 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (201221/221732 : -20165/110866 : 1)
**u= -120/47 ; tau(u)= -47/60 ; -101574*x^2 - 18818*y^2 - 19964*x*z + 11280*z^2
; C5a (1718/9463 : -439172/917911 : 1)  C5b (1169/764 : -18753/37054 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (-569129/371326 : 212496/185663 : 1)
**u= -120/101 ; tau(u)= -101/60 ; -201366*x^2 - 34802*y^2 + 12004*x*z + 24240*z^2
; C5a (-3290/332019 : -30700/36891 : 1)  C5b (-5303/23236 : -5895/11618 : 1)
**u= -120/119 ; tau(u)= -119/60 ; -242406*x^2 - 42722*y^2 + 27844*x*z + 28560*z^2
; C5a (20373/167086 : -136113/167086 : 1)  C5b (-613859/286714 : 22796/143357 : 1)
**u= -120/131 ; tau(u)= -131/60 ; -271926*x^2 - 48722*y^2 + 39844*x*z + 31440*z^2
; C5a (-108844/519157 : 248176/519157 : 1)  C5b (-8749/13114 : -4484/6557 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (-101453/266758 : -82692/133379 : 1)
**u= -120/167 ; tau(u)= -167/60 ; -370854*x^2 - 70178*y^2 + 82756*x*z + 40080*z^2
; C5a (-45178/479763 : 102800/159921 : 1)  C5b (-31697/45916 : 13535/22958 : 1)
**u= -116/27 ; tau(u)= -27/58 ; -69798*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z + 6264*z^2
; C5a (41/402 : 61/134 : 1)  C5b (169/202 : -12/101 : 1)
**u= -116/39 ; tau(u)= -39/58 ; -85686*x^2 - 16498*y^2 - 20828*x*z + 9048*z^2
; C5a (10929/80786 : 42945/80786 : 1)  C5b (-5203/9932 : -3155/4966 : 1)
**u= -100/111 ; tau(u)= -111/50 ; -192726*x^2 - 34642*y^2 + 29284*x*z + 22200*z^2
; C5a (61125/322346 : -249915/322346 : 1)  C5b (1927/16198 : 1432/8099 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (757/97372 : 19557/48686 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (-9425/21748 : -511/10874 : 1)
**u= -96/31 ; tau(u)= -31/48 ; -57222*x^2 - 11138*y^2 - 14588*x*z + 5952*z^2
; C5a (-1238/6983 : 5432/6983 : 1)  C5b (1175/1106 : -8/79 : 1)
**u= -96/61 ; tau(u)= -61/48 ; -96822*x^2 - 16658*y^2 - 3548*x*z + 11712*z^2
; C5a (-6536/60689 : -49252/60689 : 1)  C5b (-3589/5510 : -2196/2755 : 1)
**u= -96/65 ; tau(u)= -65/48 ; -102918*x^2 - 17666*y^2 - 1532*x*z + 12480*z^2
; C5a (-3856/21211 : -169808/233321 : 1)  C5b (1193/68 : -419/374 : 1)
**u= -96/91 ; tau(u)= -91/48 ; -147222*x^2 - 25778*y^2 + 14692*x*z + 17472*z^2
; C5a (14986/85787 : -66620/85787 : 1)  C5b (-12517/10652 : 4235/5326 : 1)
**u= -96/113 ; tau(u)= -113/48 ; -191046*x^2 - 34754*y^2 + 32644*x*z + 21696*z^2
; C5a (6576/19133 : 10440/19133 : 1)  C5b (-41887/35756 : 9329/17878 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (-163/6406 : 1504/3203 : 1)
**u= -96/139 ; tau(u)= -139/48 ; -250326*x^2 - 47858*y^2 + 58852*x*z + 26688*z^2
; C5a (-2134/9643 : -1652/9643 : 1)  C5b (-16253/14428 : 339/7214 : 1)
**u= -96/143 ; tau(u)= -143/48 ; -260166*x^2 - 50114*y^2 + 63364*x*z + 27456*z^2
; C5a (-83387/383942 : -64679/383942 : 1)  C5b (349/11206 : -2424/5603 : 1)
**u= -96/163 ; tau(u)= -163/48 ; -312246*x^2 - 62354*y^2 + 87844*x*z + 31296*z^2
; C5a (13168/31049 : -13840/31049 : 1)  C5b (-21803/22630 : -996/11315 : 1)
**u= -96/169 ; tau(u)= -169/48 ; -328806*x^2 - 66338*y^2 + 95812*x*z + 32448*z^2
; C5a (-6204382/48101419 : -22580776/48101419 : 1)  C5b (1049/4940 : -599/2470 : 1)
**u= -92/21 ; tau(u)= -21/46 ; -43494*x^2 - 9346*y^2 - 15164*x*z + 3864*z^2
; C5a (497/8174 : 4459/8174 : 1)  C5b (3289/268 : 1673/134 : 1)
**u= -92/27 ; tau(u)= -27/46 ; -49638*x^2 - 9922*y^2 - 14012*x*z + 4968*z^2
; C5a (7/286 : -2141/3146 : 1)  C5b (-577/1556 : -3221/8558 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (9731/716 : -2435/358 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (1673/16858 : 2996/8429 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (12427/13438 : -300/6719 : 1)
**u= -76/39 ; tau(u)= -39/38 ; -50166*x^2 - 8818*y^2 - 5468*x*z + 5928*z^2
; C5a (-16786/390393 : 35990/43377 : 1)  C5b (28429/8302 : 5372/4151 : 1)
**u= -76/117 ; tau(u)= -117/38 ; -170598*x^2 - 33154*y^2 + 43204*x*z + 17784*z^2
; C5a (3559/19942 : 170635/219362 : 1)  C5b (677/3454 : 3968/18997 : 1)
**u= -76/177 ; tau(u)= -177/38 ; -312918*x^2 - 68434*y^2 + 113764*x*z + 26904*z^2
; C5a (12081/25706 : 10425/25706 : 1)  C5b (52901/168110 : -4092/84055 : 1)
**u= -72/19 ; tau(u)= -19/36 ; -28662*x^2 - 5906*y^2 - 8924*x*z + 2736*z^2
; C5a (-32395/431242 : 319637/431242 : 1)  C5b (6895/7556 : 577/3778 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-13147/8996 : 6171/4498 : 1)
**u= -72/49 ; tau(u)= -49/36 ; -58182*x^2 - 9986*y^2 - 764*x*z + 7056*z^2
; C5a (92169/316922 : -138705/316922 : 1)  C5b (-31/2132 : -33/1066 : 1)
**u= -72/59 ; tau(u)= -59/36 ; -70422*x^2 - 12146*y^2 + 3556*x*z + 8496*z^2
; C5a (-1403/5006 : -2015/5006 : 1)  C5b (-4387/5942 : -2360/2971 : 1)
**u= -72/89 ; tau(u)= -89/36 ; -114342*x^2 - 21026*y^2 + 21316*x*z + 12816*z^2
; C5a (-1692/38941 : -29016/38941 : 1)  C5b (-2221/6758 : -2036/3379 : 1)
**u= -72/115 ; tau(u)= -115/36 ; -161142*x^2 - 31634*y^2 + 42532*x*z + 16560*z^2
; C5a (-13355/183746 : 116045/183746 : 1)  C5b (-4369/5084 : 33/82 : 1)
**u= -72/137 ; tau(u)= -137/36 ; -207078*x^2 - 42722*y^2 + 64708*x*z + 19728*z^2
; C5a (414/10075 : 7236/10075 : 1)  C5b (-20813/31498 : -7360/15749 : 1)
**u= -72/199 ; tau(u)= -199/36 ; -367782*x^2 - 84386*y^2 + 148036*x*z + 28656*z^2
; C5a (7753/102318 : -22815/34106 : 1)  C5b (-1195/3734 : -1052/1867 : 1)
**u= -68/27 ; tau(u)= -27/34 ; -32934*x^2 - 6082*y^2 - 6332*x*z + 3672*z^2
; C5a (-612/4447 : 3570/4447 : 1)  C5b (68027/9490 : 25868/4745 : 1)
**u= -68/39 ; tau(u)= -39/34 ; -44214*x^2 - 7666*y^2 - 3164*x*z + 5304*z^2
; C5a (-8878/25493 : -9406/25493 : 1)  C5b (-451/356 : -221/178 : 1)
**u= -68/93 ; tau(u)= -93/34 ; -116358*x^2 - 21922*y^2 + 25348*x*z + 12648*z^2
; C5a (-1410/40121 : 29202/40121 : 1)  C5b (-37351/31252 : 1641/15626 : 1)
**u= -68/99 ; tau(u)= -99/34 ; -126534*x^2 - 24226*y^2 + 29956*x*z + 13464*z^2
; C5a (-3231/15050 : 3351/15050 : 1)  C5b (-3853/8558 : 2612/4279 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (-29261/43924 : 12163/21962 : 1)
**u= -68/177 ; tau(u)= -177/34 ; -298134*x^2 - 67282*y^2 + 116068*x*z + 24072*z^2
; C5a (-22415/1257154 : -717361/1257154 : 1)  C5b (-299531/407998 : -27276/203999 : 1)
**u= -68/183 ; tau(u)= -183/34 ; -314358*x^2 - 71602*y^2 + 124708*x*z + 24888*z^2
; C5a (-5395/2229218 : -1306229/2229218 : 1)  C5b (38461/287140 : -65379/143570 : 1)
**u= -68/189 ; tau(u)= -189/34 ; -331014*x^2 - 76066*y^2 + 133636*x*z + 25704*z^2
; C5a (-11771/105766 : -31463/105766 : 1)  C5b (35/116 : 13/58 : 1)
**u= -52/81 ; tau(u)= -81/26 ; -81174*x^2 - 15826*y^2 + 20836*x*z + 8424*z^2
; C5a (-9611/230322 : 52545/76774 : 1)  C5b (-377/388 : -55/194 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-74039/132694 : -34108/66347 : 1)
**u= -52/123 ; tau(u)= -123/26 ; -150054*x^2 - 32962*y^2 + 55108*x*z + 12792*z^2
; C5a (-1292/177751 : 108950/177751 : 1)  C5b (90467/307310 : -26492/153655 : 1)
**u= -52/135 ; tau(u)= -135/26 ; -173622*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z + 14040*z^2
; C5a (7714/116661081 : -23289986/38887027 : 1)  C5b (149/4018 : 1040/2009 : 1)
**u= -52/141 ; tau(u)= -141/26 ; -186054*x^2 - 42466*y^2 + 74116*x*z + 14664*z^2
; C5a (1830/13169 : 9342/13169 : 1)  C5b (25/586 : 152/293 : 1)
**u= -52/165 ; tau(u)= -165/26 ; -240102*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z + 17160*z^2
; C5a (-2/349 : -7702/14309 : 1)  C5b (1097/3062 : 3676/62771 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-79979/122236 : 8475/61118 : 1)
**u= -48/7 ; tau(u)= -7/24 ; -9894*x^2 - 2402*y^2 - 4412*x*z + 672*z^2
; C5a (890/8839 : 2036/8839 : 1)  C5b (10630763/1403594 : 5749336/701797 : 1)
**u= -48/23 ; tau(u)= -23/24 ; -18918*x^2 - 3362*y^2 - 2492*x*z + 2208*z^2
; C5a (-3/22 : 729/902 : 1)  C5b (127/34 : -1304/697 : 1)
**u= -48/29 ; tau(u)= -29/24 ; -23094*x^2 - 3986*y^2 - 1244*x*z + 2784*z^2
; C5a (6864/27073 : -13452/27073 : 1)  C5b (-775/1268 : -489/634 : 1)
**u= -48/37 ; tau(u)= -37/24 ; -29334*x^2 - 5042*y^2 + 868*x*z + 3552*z^2
; C5a (4393/116306 : -97495/116306 : 1)  C5b (-11963/2476 : -1701/1238 : 1)
**u= -48/43 ; tau(u)= -43/24 ; -34518*x^2 - 6002*y^2 + 2788*x*z + 4128*z^2
; C5a (-3880/67501 : -54088/67501 : 1)  C5b (-3671/13582 : 3736/6791 : 1)
**u= -48/107 ; tau(u)= -107/24 ; -116694*x^2 - 25202*y^2 + 41188*x*z + 10272*z^2
; C5a (-8835/125858 : -65403/125858 : 1)  C5b (-199667/386410 : -98948/193205 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-1147/10708 : 3045/5354 : 1)
**u= -48/121 ; tau(u)= -121/24 ; -141222*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z + 11616*z^2
; C5a (3929/14578 : -10343/14578 : 1)  C5b (110545/467596 : 75807/233798 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (-84353/125308 : -8671/62654 : 1)
**u= -48/197 ; tau(u)= -197/24 ; -315414*x^2 - 79922*y^2 + 150628*x*z + 18912*z^2
; C5a (20874/68627 : -45768/68627 : 1)  C5b (-9601/15028 : -401/7514 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (322949/338498 : 140816/169249 : 1)
**u= -44/21 ; tau(u)= -21/22 ; -15846*x^2 - 2818*y^2 - 2108*x*z + 1848*z^2
; C5a (-1100/29463 : -8074/9821 : 1)  C5b (6397/2836 : 941/1418 : 1)
**u= -44/27 ; tau(u)= -27/22 ; -19686*x^2 - 3394*y^2 - 956*x*z + 2376*z^2
; C5a (-6491/461938 : 387277/461938 : 1)  C5b (-1955357/101602 : 475112/50801 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (-173/628 : -179/314 : 1)
**u= -44/69 ; tau(u)= -69/22 ; -58662*x^2 - 11458*y^2 + 15172*x*z + 6072*z^2
; C5a (8769/48370 : 37521/48370 : 1)  C5b (-20381/82492 : 24099/41246 : 1)
**u= -44/129 ; tau(u)= -129/22 ; -151062*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z + 11352*z^2
; C5a (27050/114789 : 27154/38263 : 1)  C5b (-321086731/1147752482 : 326676924/573876241 : 1)
**u= -44/177 ; tau(u)= -177/22 ; -256086*x^2 - 64594*y^2 + 121444*x*z + 15576*z^2
; C5a (3873/259846 : 134589/259846 : 1)  C5b (-54461/127180 : -29907/63590 : 1)
**u= -28/3 ; tau(u)= -3/14 ; -3078*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z + 168*z^2
; C5a (-283/3402 : -221/378 : 1)  C5b (-65/92 : -33/46 : 1)
**u= -28/39 ; tau(u)= -39/14 ; -20214*x^2 - 3826*y^2 + 4516*x*z + 2184*z^2
; C5a (-15722/118753 : 67382/118753 : 1)  C5b (115/1282 : -224/641 : 1)
**u= -28/51 ; tau(u)= -51/14 ; -29382*x^2 - 5986*y^2 + 8836*x*z + 2856*z^2
; C5a (20481/208978 : 2685/3542 : 1)  C5b (19/788 : -189/394 : 1)
**u= -28/81 ; tau(u)= -81/14 ; -59862*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z + 4536*z^2
; C5a (-121518/889789 : 53094/889789 : 1)  C5b (3025/53398 : -13804/26699 : 1)
**u= -28/171 ; tau(u)= -171/14 ; -216102*x^2 - 59266*y^2 + 115396*x*z + 9576*z^2
; C5a (909/7504558 : 3018777/7504558 : 1)  C5b (453377/2160022 : -508992/1080011 : 1)
**u= -28/183 ; tau(u)= -183/14 ; -244278*x^2 - 67762*y^2 + 132388*x*z + 10248*z^2
; C5a (352/107887 : 42826/107887 : 1)  C5b (-1595/54652 : -15707/27326 : 1)
**u= -24 ; tau(u)= -1/12 ; -1926*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z + 48*z^2
; C5a (1/38 : 109/646 : 1)  C5b (-1/2 : -4/17 : 1)
**u= -24/7 ; tau(u)= -7/12 ; -3366*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z + 336*z^2
; C5a (926/41155 : -28036/41155 : 1)  C5b (2533/2620 : 91/1310 : 1)
**u= -24/11 ; tau(u)= -11/12 ; -4566*x^2 - 818*y^2 - 668*x*z + 528*z^2
; C5a (365/3354 : 783/1118 : 1)  C5b (-511/220 : -241/110 : 1)
**u= -24/29 ; tau(u)= -29/12 ; -12342*x^2 - 2258*y^2 + 2212*x*z + 1392*z^2
; C5a (92/249 : 40/83 : 1)  C5b (-16073/15058 : -4100/7529 : 1)
**u= -24/37 ; tau(u)= -37/12 ; -17046*x^2 - 3314*y^2 + 4324*x*z + 1776*z^2
; C5a (-2027/31922 : -20989/31922 : 1)  C5b (-103/476 : -137/238 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (73/13852 : 3719/6926 : 1)
**u= -24/67 ; tau(u)= -67/12 ; -41526*x^2 - 9554*y^2 + 16804*x*z + 3216*z^2
; C5a (-50291/357830 : -21359/357830 : 1)  C5b (439/5596 : 1401/2798 : 1)
**u= -24/119 ; tau(u)= -119/12 ; -109542*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z + 5712*z^2
; C5a (1144781/3104206 : -1939303/3104206 : 1)  C5b (151795/378326 : 17144/189163 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (6167/32092 : 7687/16046 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (289897/2940046 : 795260/1470023 : 1)
**u= -24/193 ; tau(u)= -193/12 ; -262278*x^2 - 75074*y^2 + 147844*x*z + 9264*z^2
; C5a (117049/838082 : 481655/838082 : 1)  C5b (599131/1409158 : 101952/704579 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-139/14 : 8 : 1)
**u= -20/81 ; tau(u)= -81/10 ; -53526*x^2 - 13522*y^2 + 25444*x*z + 3240*z^2
; C5a (33313/65206 : -26707/65206 : 1)  C5b (149/508 : 85/254 : 1)
**u= -20/93 ; tau(u)= -93/10 ; -67974*x^2 - 17698*y^2 + 33796*x*z + 3720*z^2
; C5a (10121/176354 : 97735/176354 : 1)  C5b (1571/4834 : -736/2417 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (51737/130316 : 14505/65158 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (2549/7204 : -1221/3602 : 1)
**u= -4/3 ; tau(u)= -3/2 ; -198*x^2 - 34*y^2 + 4*x*z + 24*z^2
; C5a (-4/47 : 38/47 : 1)  C5b (-13/4 : 3/2 : 1)
**u= -4/15 ; tau(u)= -15/2 ; -1878*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z + 120*z^2
; C5a (5/38 : -25/38 : 1)  C5b (-17/58 : 16/29 : 1)
**u= -4/33 ; tau(u)= -33/2 ; -7638*x^2 - 2194*y^2 + 4324*x*z + 264*z^2
; C5a (105/18514 : -6711/18514 : 1)  C5b (-323/572 : -3/286 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (2323/5902 : -900/2951 : 1)
**u= -4/87 ; tau(u)= -87/2 ; -48246*x^2 - 15154*y^2 + 30244*x*z + 696*z^2
; C5a (-438/22529 : 1734/22529 : 1)  C5b (-1001/2410 : 432/1205 : 1)
**u= -4/111 ; tau(u)= -111/2 ; -77526*x^2 - 24658*y^2 + 49252*x*z + 888*z^2
; C5a (74532/763699 : -342390/763699 : 1)  C5b (17107/35470 : -12/17735 : 1)
**u= -4/117 ; tau(u)= -117/2 ; -85926*x^2 - 27394*y^2 + 54724*x*z + 936*z^2
; C5a (2542/251257 : -58418/251257 : 1)  C5b (-25387/49730 : 2376/24865 : 1)
**u= -4/153 ; tau(u)= -153/2 ; -145398*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z + 1224*z^2
; C5a (310/1081 : -634/1081 : 1)  C5b (1196393/2579930 : 224964/1289965 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/9 ; tau(u)= 9/2 ; -246*x^2 - 178*y^2 + 292*x*z - 72*z^2
; C5a (4/7 : 2/7 : 1)  C5b (5/14 : 4/7 : 1)
**u= 4/15 ; tau(u)= 15/2 ; -918*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z - 120*z^2
; C5a (241/778 : 281/778 : 1)  C5b (-139/404 : -43/202 : 1)
**u= 4/33 ; tau(u)= 33/2 ; -5526*x^2 - 2194*y^2 + 4324*x*z - 264*z^2
; C5a (1058/15845 : -98/15845 : 1)  C5b (127/580 : 159/290 : 1)
**u= 4/111 ; tau(u)= 111/2 ; -70422*x^2 - 24658*y^2 + 49252*x*z - 888*z^2
; C5a (2158/4029 : -622/1343 : 1)  C5b (1451/4468 : 1019/2234 : 1)
**u= 4/123 ; tau(u)= 123/2 ; -86886*x^2 - 30274*y^2 + 60484*x*z - 984*z^2
; C5a (2552/121599 : 3662/40533 : 1)  C5b (6197/13810 : 2004/6905 : 1)
**u= 4/153 ; tau(u)= 153/2 ; -135606*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z - 1224*z^2
; C5a (5162/8889 : -1178/2963 : 1)  C5b (2389/4690 : 24/335 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (-10337/22058 : -1756/11029 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (34523/65486 : 7900/32743 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (48617/110522 : -21408/55261 : 1)
**u= 24 ; tau(u)= 1/12 ; -1542*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z - 48*z^2
; C5a (-42/67 : -384/1139 : 1)  C5b (53/44 : 491/374 : 1)
**u= 24/5 ; tau(u)= 5/12 ; -918*x^2 - 626*y^2 - 1052*x*z - 240*z^2
; C5a (-91/214 : 55/214 : 1)  C5b (997/3028 : 149/1514 : 1)
**u= 24/7 ; tau(u)= 7/12 ; -678*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z - 336*z^2
; C5a (-379/562 : 13/562 : 1)  C5b (35/116 : 13/58 : 1)
**u= 24/73 ; tau(u)= 73/12 ; -19686*x^2 - 11234*y^2 + 20164*x*z - 3504*z^2
; C5a (3284/5149 : 1784/5149 : 1)  C5b (19/442 : 124/221 : 1)
**u= 24/103 ; tau(u)= 103/12 ; -45606*x^2 - 21794*y^2 + 41284*x*z - 4944*z^2
; C5a (15316/20073 : -100/6691 : 1)  C5b (403/1348 : -365/674 : 1)
**u= 24/115 ; tau(u)= 115/12 ; -58998*x^2 - 27026*y^2 + 51748*x*z - 5520*z^2
; C5a (1509/5294 : 2145/5294 : 1)  C5b (3311/11204 : -3007/5602 : 1)
**u= 24/119 ; tau(u)= 119/12 ; -63846*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z - 5712*z^2
; C5a (1070/4507 : -1648/4507 : 1)  C5b (-37849/153548 : -32327/76774 : 1)
**u= 24/131 ; tau(u)= 131/12 ; -79542*x^2 - 34898*y^2 + 67492*x*z - 6288*z^2
; C5a (184364/316261 : -131416/316261 : 1)  C5b (13925/54506 : 14916/27253 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (71215/121426 : 8048/60713 : 1)
**u= 24/143 ; tau(u)= 143/12 ; -96966*x^2 - 41474*y^2 + 80644*x*z - 6864*z^2
; C5a (5701/12402 : 667/1378 : 1)  C5b (5855/14674 : -3328/7337 : 1)
**u= 24/169 ; tau(u)= 169/12 ; -140646*x^2 - 57698*y^2 + 113092*x*z - 8112*z^2
; C5a (1153/2054 : -899/2054 : 1)  C5b (41813/90332 : 16501/45166 : 1)
**u= 24/187 ; tau(u)= 187/12 ; -175638*x^2 - 70514*y^2 + 138724*x*z - 8976*z^2
; C5a (47369/239878 : 1331/3286 : 1)  C5b (-691/15290 : 4308/7645 : 1)
**u= 24/193 ; tau(u)= 193/12 ; -188166*x^2 - 75074*y^2 + 147844*x*z - 9264*z^2
; C5a (1830/24103 : 2604/24103 : 1)  C5b (-8653/20198 : -1308/10099 : 1)
**u= 24/197 ; tau(u)= 197/12 ; -196758*x^2 - 78194*y^2 + 154084*x*z - 9456*z^2
; C5a (15868/29489 : -13540/29489 : 1)  C5b (-2315/5476 : -437/2738 : 1)
**u= 28/3 ; tau(u)= 3/14 ; -1734*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z - 168*z^2
; C5a (-390/1453 : 558/1453 : 1)  C5b (-2363/1196 : -1211/598 : 1)
**u= 28/51 ; tau(u)= 51/14 ; -6534*x^2 - 5986*y^2 + 8836*x*z - 2856*z^2
; C5a (1708/2155 : -182/2155 : 1)  C5b (24337/26548 : -623/13274 : 1)
**u= 28/81 ; tau(u)= 81/14 ; -23574*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z - 4536*z^2
; C5a (16/67 : -2/67 : 1)  C5b (31121/43514 : 896/21757 : 1)
**u= 28/129 ; tau(u)= 129/14 ; -73302*x^2 - 34066*y^2 + 64996*x*z - 7224*z^2
; C5a (74629/447738 : 32071/149246 : 1)  C5b (15163303/35758924 : 8177239/17879462 : 1)
**u= 28/159 ; tau(u)= 159/14 ; -118422*x^2 - 51346*y^2 + 99556*x*z - 8904*z^2
; C5a (81181/795046 : -18175/795046 : 1)  C5b (-1207/11542 : 3080/5771 : 1)
**u= 28/177 ; tau(u)= 177/14 ; -150678*x^2 - 63442*y^2 + 123748*x*z - 9912*z^2
; C5a (13/142 : -7/142 : 1)  C5b (38993/78650 : 12968/39325 : 1)
**u= 28/183 ; tau(u)= 183/14 ; -162294*x^2 - 67762*y^2 + 132388*x*z - 10248*z^2
; C5a (27842/220829 : 52730/220829 : 1)  C5b (8639/14810 : -56/7405 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (261377/28646 : 141916/14323 : 1)
**u= 44/129 ; tau(u)= 129/22 ; -60246*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z - 11352*z^2
; C5a (28360/42727 : -13882/42727 : 1)  C5b (14905/23398 : -3488/11699 : 1)
**u= 44/183 ; tau(u)= 183/22 ; -142326*x^2 - 68914*y^2 + 130084*x*z - 16104*z^2
; C5a (3500/6219 : 866/2073 : 1)  C5b (-54743/140788 : -3977/70394 : 1)
**u= 48/7 ; tau(u)= 7/24 ; -4518*x^2 - 2402*y^2 - 4412*x*z - 672*z^2
; C5a (-1358/3215 : -1288/3215 : 1)  C5b (-599/172 : 313/86 : 1)
**u= 48/107 ; tau(u)= 107/24 ; -34518*x^2 - 25202*y^2 + 41188*x*z - 10272*z^2
; C5a (546/935 : -24/85 : 1)  C5b (44219/111212 : -31269/55606 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (1147/10708 : -3045/5354 : 1)
**u= 48/121 ; tau(u)= 121/24 ; -48294*x^2 - 31586*y^2 + 53956*x*z - 11616*z^2
; C5a (57/194 : -9/194 : 1)  C5b (42481/55922 : 132/27961 : 1)
**u= 48/143 ; tau(u)= 143/24 ; -74694*x^2 - 43202*y^2 + 77188*x*z - 13728*z^2
; C5a (19205/79026 : -3153/26342 : 1)  C5b (13/22 : -4/11 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (-3599/27884 : -6815/13942 : 1)
**u= 48/173 ; tau(u)= 173/24 ; -120054*x^2 - 62162*y^2 + 115108*x*z - 16608*z^2
; C5a (48056/97449 : -1240/2953 : 1)  C5b (-30455/127756 : 25031/63878 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (7763/22546 : 71708/124003 : 1)
**u= 52/135 ; tau(u)= 135/26 ; -61302*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z - 14040*z^2
; C5a (3176/4619 : -1358/4619 : 1)  C5b (-1411/4414 : -288/2207 : 1)
**u= 52/141 ; tau(u)= 141/26 ; -68742*x^2 - 42466*y^2 + 74116*x*z - 14664*z^2
; C5a (5489/20358 : 197/2262 : 1)  C5b (-25/586 : -152/293 : 1)
**u= 52/147 ; tau(u)= 147/26 ; -76614*x^2 - 45922*y^2 + 81028*x*z - 15288*z^2
; C5a (3653/4514 : -221/4514 : 1)  C5b (78043/116350 : 14552/58175 : 1)
**u= 52/165 ; tau(u)= 165/26 ; -102822*x^2 - 57154*y^2 + 103492*x*z - 17160*z^2
; C5a (61/78 : 133/1066 : 1)  C5b (-127/842 : 7984/17261 : 1)
**u= 52/171 ; tau(u)= 171/26 ; -112422*x^2 - 61186*y^2 + 111556*x*z - 17784*z^2
; C5a (4480/6607 : 2098/6607 : 1)  C5b (21328225/31503436 : 1504897/15751718 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (51761/80036 : -6767/40018 : 1)
**u= 68/117 ; tau(u)= 117/34 ; -32358*x^2 - 32002*y^2 + 45508*x*z - 15912*z^2
; C5a (1548/2135 : -102/2135 : 1)  C5b (1704643/1776676 : 17229/888338 : 1)
**u= 68/189 ; tau(u)= 189/34 ; -125382*x^2 - 76066*y^2 + 133636*x*z - 25704*z^2
; C5a (29797/66126 : 7605/22042 : 1)  C5b (69097/98806 : 9256/49403 : 1)
**u= 72/133 ; tau(u)= 133/36 ; -45078*x^2 - 40562*y^2 + 60388*x*z - 19152*z^2
; C5a (24601/47354 : 1729/47354 : 1)  C5b (-24149/131962 : -20832/65981 : 1)
**u= 72/169 ; tau(u)= 169/36 ; -89574*x^2 - 62306*y^2 + 103876*x*z - 24336*z^2
; C5a (2684/3241 : -208/3241 : 1)  C5b (5317/21028 : 6117/10514 : 1)
**u= 72/199 ; tau(u)= 199/36 ; -138534*x^2 - 84386*y^2 + 148036*x*z - 28656*z^2
; C5a (3601/4430 : 181/4430 : 1)  C5b (174487/262204 : 36089/131102 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (1585/298 : 828/149 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (118357/153796 : 21397/76898 : 1)
**u= 92/21 ; tau(u)= 21/46 ; -12582*x^2 - 9346*y^2 - 15164*x*z - 3864*z^2
; C5a (-6258/16769 : 1134/16769 : 1)  C5b (72827/30836 : 40981/15418 : 1)
**u= 96/5 ; tau(u)= 5/48 ; -23958*x^2 - 9266*y^2 - 18332*x*z - 960*z^2
; C5a (-1128/16561 : 2292/16561 : 1)  C5b (189883/114298 : 107524/57149 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (-4771/3706 : 2336/1853 : 1)
**u= 96/13 ; tau(u)= 13/48 ; -18678*x^2 - 9554*y^2 - 17756*x*z - 2496*z^2
; C5a (-2294/13307 : 428/13307 : 1)  C5b (181/364 : 75/182 : 1)
**u= 96/173 ; tau(u)= 173/48 ; -74358*x^2 - 69074*y^2 + 101284*x*z - 33216*z^2
; C5a (27410/49783 : 548/49783 : 1)  C5b (981607/1802782 : 496732/901391 : 1)
**u= 96/181 ; tau(u)= 181/48 ; -85206*x^2 - 74738*y^2 + 112612*x*z - 34752*z^2
; C5a (66872/85893 : -3740/28631 : 1)  C5b (447593/562484 : -92601/281242 : 1)
**u= 116/27 ; tau(u)= 27/58 ; -19686*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z - 6264*z^2
; C5a (-14544/36931 : -3486/36931 : 1)  C5b (-81667/86318 : 17380/43159 : 1)
**u= 124/9 ; tau(u)= 9/62 ; -37686*x^2 - 15538*y^2 - 30428*x*z - 2232*z^2
; C5a (-3970/28613 : 8162/28613 : 1)  C5b (-4669/8068 : 3/4034 : 1)
**u= 140/39 ; tau(u)= 39/70 ; -24246*x^2 - 22642*y^2 - 33116*x*z - 10920*z^2
; C5a (-20516/28303 : -3494/28303 : 1)  C5b (1057759/900202 : -613540/450101 : 1)
**u= 144 ; tau(u)= 1/72 ; -61062*x^2 - 20738*y^2 - 41468*x*z - 288*z^2
; C5a (-7096/327153 : 18280/109051 : 1)  C5b (451/716 : 163/358 : 1)
**u= 144/13 ; tau(u)= 13/72 ; -48246*x^2 - 21074*y^2 - 40796*x*z - 3744*z^2
; C5a (-4159/21226 : -7159/21226 : 1)  C5b (40969/45052 : -3153/3218 : 1)
**u= 144/25 ; tau(u)= 25/72 ; -37158*x^2 - 21986*y^2 - 38972*x*z - 7200*z^2
; C5a (-3275/7098 : -855/2366 : 1)  C5b (4781/13724 : -67/6862 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (78733/57046 : 45460/28523 : 1)
**u= 148/15 ; tau(u)= 15/74 ; -49302*x^2 - 22354*y^2 - 42908*x*z - 4440*z^2
; C5a (-1759/13734 : -481/4578 : 1)  C5b (28259/39854 : 14248/19927 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (8209/18460 : 3233/9230 : 1)
**u= 168/17 ; tau(u)= 17/84 ; -63558*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z - 5712*z^2
; C5a (-2212/5269 : -224/479 : 1)  C5b (5839/3262 : 3364/1631 : 1)
**u= 168/19 ; tau(u)= 19/84 ; -61302*x^2 - 28946*y^2 - 55004*x*z - 6384*z^2
; C5a (-6650/9039 : 532/3013 : 1)  C5b (-4259/6748 : 163/3374 : 1)
**u= 172/3 ; tau(u)= 3/86 ; -84678*x^2 - 29602*y^2 - 59132*x*z - 1032*z^2
; C5a (-4/93 : -126/589 : 1)  C5b (355/494 : -2924/4693 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (220961/172076 : 124783/86038 : 1)
**u= 172/21 ; tau(u)= 21/86 ; -62502*x^2 - 30466*y^2 - 57404*x*z - 7224*z^2
; C5a (-4898/19597 : 6370/19597 : 1)  C5b (9083/11708 : 4853/5854 : 1)
**u= 188/9 ; tau(u)= 9/94 ; -92982*x^2 - 35506*y^2 - 70364*x*z - 3384*z^2
; C5a (-1120/15863 : 2818/15863 : 1)  C5b (18575/25148 : 8751/12574 : 1)
**u= 188/33 ; tau(u)= 33/94 ; -62934*x^2 - 37522*y^2 - 66332*x*z - 12408*z^2
; C5a (-1475/5118 : -339/1706 : 1)  C5b (-13237/12014 : 4844/6007 : 1)
**u= 192/41 ; tau(u)= 41/96 ; -57702*x^2 - 40226*y^2 - 67004*x*z - 15744*z^2
; C5a (-2720/4341 : -432/1447 : 1)  C5b (32633/101564 : 3481/50782 : 1)
**u= 196/33 ; tau(u)= 33/98 ; -70038*x^2 - 40594*y^2 - 72476*x*z - 12936*z^2
; C5a (-23102/65781 : -6778/21927 : 1)  C5b (103529/45782 : -59472/22891 : 1)
240
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■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.06
H.Nakao

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