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Integer Points on A^4+B^4+841*C^4=D^4

[2026.03.24]A^4+B^4+841*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように79個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(29,1,200);
**u= -196/95 ; tau(u)= -95/98 ; -318358*x^2 - 56466*y^2 - 40732*x*z + 37240*z^2
; C5a (55/194 : -25/582 : 1)  C5b (-2255/17142 : 508/25713 : 1)
**u= -192/107 ; tau(u)= -107/96 ; -343638*x^2 - 59762*y^2 - 27932*x*z + 41088*z^2
; C5a (-23590/64327 : 18824/64327 : 1)  C5b (-32659/217254 : 9040/108627 : 1)
**u= -192/155 ; tau(u)= -155/96 ; -492822*x^2 - 84914*y^2 + 22372*x*z + 59520*z^2
; C5a (-4916027/68690414 : 55480513/68690414 : 1)  C5b (8831/246402 : -4000/123201 : 1)
**u= -188/115 ; tau(u)= -115/94 ; -358342*x^2 - 61794*y^2 - 17788*x*z + 43240*z^2
; C5a (-3926/3075979 : -7721210/9227937 : 1)  C5b (1741/335 : 173/1005 : 1)
**u= -180/73 ; tau(u)= -73/90 ; -234294*x^2 - 43058*y^2 - 43484*x*z + 26280*z^2
; C5a (186985/1269398 : -743995/1269398 : 1)  C5b (-17663/61791 : -6865/61791 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (8125/527198 : -912/263599 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (96439/4976817 : -361375/4976817 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (41665/538789 : 35349/538789 : 1)
**u= -160/69 ; tau(u)= -69/80 ; -193686*x^2 - 35122*y^2 - 32156*x*z + 22080*z^2
; C5a (19141/82126 : 27937/82126 : 1)  C5b (-1504009/9237662 : -11580/4618831 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (-173719/850051 : -152355/850051 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (4395/30677 : -107/30677 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (-36677/47766 : -6880/23883 : 1)
**u= -140/71 ; tau(u)= -71/70 ; -168566*x^2 - 29682*y^2 - 19036*x*z + 19880*z^2
; C5a (-286/4423 : 11002/13269 : 1)  C5b (-4435/38473 : 1547/115419 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (-837/7906 : 5560/486219 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (9821/312670 : 12036/156335 : 1)
**u= -136/169 ; tau(u)= -169/68 ; -410726*x^2 - 75618*y^2 + 77252*x*z + 45968*z^2
; C5a (4827738/10951201 : -1702420/32853603 : 1)  C5b (-68939/1711306 : 370900/2566959 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-60539/175714 : 5640/87857 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-877/31138 : 169140/2164091 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (-142895/502209 : -4033/502209 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (1079/65010 : -164/32505 : 1)
**u= -120/107 ; tau(u)= -107/60 ; -214614*x^2 - 37298*y^2 + 16996*x*z + 25680*z^2
; C5a (-4/1597 : 1324/1597 : 1)  C5b (-11897/41279 : -1065/5897 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (120561/6417529 : 927815/6417529 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (-12851/19890 : 356/1755 : 1)
**u= -100/171 ; tau(u)= -171/50 ; -342246*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z + 34200*z^2
; C5a (-2894/66009 : 14390/22003 : 1)  C5b (24805/2002723 : 307299/2002723 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (192649/1059715 : -73251/1059715 : 1)
**u= -88/5 ; tau(u)= -5/44 ; -26902*x^2 - 7794*y^2 - 15388*x*z + 880*z^2
; C5a (-77/5154 : -5819/15462 : 1)  C5b (-7287/14290 : 2068/21435 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (-96057/61550 : -17884/30775 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (-27491/234462 : -11060/117231 : 1)
**u= -80/11 ; tau(u)= -11/40 ; -26966*x^2 - 6642*y^2 - 12316*x*z + 1760*z^2
; C5a (434674/4896719 : 11525008/44070471 : 1)  C5b (19645/7466 : 29236/33597 : 1)
**u= -80/27 ; tau(u)= -27/40 ; -40854*x^2 - 7858*y^2 - 9884*x*z + 4320*z^2
; C5a (2312/18213 : -3360/6071 : 1)  C5b (-177/130 : 32/65 : 1)
**u= -80/93 ; tau(u)= -93/40 ; -130614*x^2 - 23698*y^2 + 21796*x*z + 14880*z^2
; C5a (256/637 : 3548/10829 : 1)  C5b (935/23966 : 22668/203711 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-3491/44934 : 340/22467 : 1)
**u= -72/55 ; tau(u)= -55/36 ; -65382*x^2 - 11234*y^2 + 1732*x*z + 7920*z^2
; C5a (54541/507314 : -24139/29842 : 1)  C5b (-1520377/7413710 : -551724/3706855 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (-476407/4457566 : 973460/6686349 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (-717179/17565015 : 2680553/17565015 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (132827/1325586 : 77840/662793 : 1)
**u= -56/45 ; tau(u)= -45/28 ; -41718*x^2 - 7186*y^2 + 1828*x*z + 5040*z^2
; C5a (-1271/4606 : 2003/4606 : 1)  C5b (-1755/852409 : 57719/852409 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-1341/9553 : -1745/9553 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (21775/852038 : 42204/426019 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (-1301/2735 : 29/8205 : 1)
**u= -40/57 ; tau(u)= -57/20 ; -42534*x^2 - 8098*y^2 + 9796*x*z + 4560*z^2
; C5a (-23/2338 : -1735/2338 : 1)  C5b (5567/25805 : -381/25805 : 1)
**u= -40/177 ; tau(u)= -177/20 ; -249414*x^2 - 64258*y^2 + 122116*x*z + 14160*z^2
; C5a (92/30927 : 93112/195871 : 1)  C5b (907/34010 : 57672/323095 : 1)
**u= -36/55 ; tau(u)= -55/18 ; -37878*x^2 - 7346*y^2 + 9508*x*z + 3960*z^2
; C5a (-4527/25222 : 9459/25222 : 1)  C5b (-673/806 : -60/403 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (-17851/223282 : 20280/111641 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (2097275/6130242 : -234964/3065121 : 1)
**u= -36/181 ; tau(u)= -181/18 ; -252582*x^2 - 66818*y^2 + 128452*x*z + 13032*z^2
; C5a (-4234/99957 : 990/3029 : 1)  C5b (-2911/7631 : -1185/7631 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (4815/87703 : 2239/12529 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-1981/4178 : -420/2089 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (9/70 : -256/1785 : 1)
**u= -20/93 ; tau(u)= -93/10 ; -67974*x^2 - 17698*y^2 + 33796*x*z + 3720*z^2
; C5a (10121/176354 : 97735/176354 : 1)  C5b (-224305/1174537 : 30783/167791 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (61489/2998202 : -274020/1499101 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (5785/138006 : -12352/69003 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (-84607/747286 : 68520/373643 : 1)
**u= -4/87 ; tau(u)= -87/2 ; -48246*x^2 - 15154*y^2 + 30244*x*z + 696*z^2
; C5a (-438/22529 : 1734/22529 : 1)  C5b (198777/16908022 : -1566080/8454011 : 1)
**u= -4/195 ; tau(u)= -195/2 ; -234438*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z + 1560*z^2
; C5a (-39/13774 : 1677/13774 : 1)  C5b (-788005/7137143 : 1298487/7137143 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/195 ; tau(u)= 195/2 ; -221958*x^2 - 76066*y^2 + 152068*x*z - 1560*z^2
; C5a (3281/4994 : -83/454 : 1)  C5b (-121559/2456827 : -452955/2456827 : 1)
**u= 8/25 ; tau(u)= 25/4 ; -2342*x^2 - 1314*y^2 + 2372*x*z - 400*z^2
; C5a (4867/6166 : -1849/18498 : 1)  C5b (-2514297/9751085 : 3207209/29253255 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (-291013/623405 : -237/623405 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (45/77 : 551/3927 : 1)
**u= 20/87 ; tau(u)= 87/10 ; -32694*x^2 - 15538*y^2 + 29476*x*z - 3480*z^2
; C5a (4168/29211 : -606/9737 : 1)  C5b (-2765/7694 : 264/3847 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (-499/4178 : -360/2089 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (396693/4814530 : 446812/2407265 : 1)
**u= 24/115 ; tau(u)= 115/12 ; -58998*x^2 - 27026*y^2 + 51748*x*z - 5520*z^2
; C5a (1509/5294 : 2145/5294 : 1)  C5b (51137/157365 : 26437/157365 : 1)
**u= 24/197 ; tau(u)= 197/12 ; -196758*x^2 - 78194*y^2 + 154084*x*z - 9456*z^2
; C5a (15868/29489 : -13540/29489 : 1)  C5b (616777/1336878 : 75460/668439 : 1)
**u= 32/179 ; tau(u)= 179/16 ; -149494*x^2 - 65106*y^2 + 126116*x*z - 11456*z^2
; C5a (3112/28991 : 6460/86973 : 1)  C5b (81497557/401617957 : -218281535/1204853871 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (-29057/90954 : 2080/45477 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (40463/138957 : -24125/138957 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (34679/51906 : -580/25953 : 1)
**u= 52/131 ; tau(u)= 131/26 ; -56582*x^2 - 37026*y^2 + 63236*x*z - 13624*z^2
; C5a (1120/2847 : 24394/93951 : 1)  C5b (-43/478 : 1220/7887 : 1)
**u= 60/149 ; tau(u)= 149/30 ; -72486*x^2 - 48002*y^2 + 81604*x*z - 17880*z^2
; C5a (4808/7011 : -674/2337 : 1)  C5b (-953275/108953141 : 18506667/108953141 : 1)
**u= 68/125 ; tau(u)= 125/34 ; -39622*x^2 - 35874*y^2 + 53252*x*z - 17000*z^2
; C5a (772/1441 : 26/393 : 1)  C5b (25707/1021211 : -505025/3063633 : 1)
**u= 80/187 ; tau(u)= 187/40 ; -109334*x^2 - 76338*y^2 + 127076*x*z - 29920*z^2
; C5a (4511/7522 : -6817/22566 : 1)  C5b (35107/173930 : -48764/260895 : 1)
**u= 96/5 ; tau(u)= 5/48 ; -23958*x^2 - 9266*y^2 - 18332*x*z - 960*z^2
; C5a (-1128/16561 : 2292/16561 : 1)  C5b (-1444439/1700667 : 388475/1700667 : 1)
**u= 96/13 ; tau(u)= 13/48 ; -18678*x^2 - 9554*y^2 - 17756*x*z - 2496*z^2
; C5a (-2294/13307 : 428/13307 : 1)  C5b (35647/51518 : -6000/25759 : 1)
**u= 100/171 ; tau(u)= 171/50 ; -68646*x^2 - 68482*y^2 + 96964*x*z - 34200*z^2
; C5a (52600/76611 : 370/25537 : 1)  C5b (4233/544259 : -85955/544259 : 1)
**u= 136/33 ; tau(u)= 33/68 ; -26118*x^2 - 20674*y^2 - 32636*x*z - 8976*z^2
; C5a (-6596/13833 : 272/1537 : 1)  C5b (50421/136919 : 13415/136919 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (14593/48030 : 784/24015 : 1)
**u= 180/41 ; tau(u)= 41/90 ; -48246*x^2 - 35762*y^2 - 58076*x*z - 14760*z^2
; C5a (-5971/14898 : -727/4966 : 1)  C5b (10355/30969 : -1847/30969 : 1)
79
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.03.28
H.Nakao

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