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Integer Points on A^4+B^4+676*C^4=D^4

[2026.04.06]A^4+B^4+676*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=26とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように68個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(26,1,200);
**u= -200/159 ; tau(u)= -159/100 ; -526086*x^2 - 90562*y^2 + 21124*x*z + 63600*z^2
; C5a (-245964/989981 : -529188/989981 : 1)  C5b (-326289/581522 : 70900/290761 : 1)
**u= -192/7 ; tau(u)= -7/96 ; -121638*x^2 - 36962*y^2 - 73532*x*z + 2688*z^2
; C5a (-102/2327 : 912/2327 : 1)  C5b (-223/358 : 30/179 : 1)
**u= -184/35 ; tau(u)= -35/92 ; -160438*x^2 - 36306*y^2 - 62812*x*z + 12880*z^2
; C5a (194/7229 : 11980/21687 : 1)  C5b (28805/32782 : 7214/49173 : 1)
**u= -176/105 ; tau(u)= -105/88 ; -306918*x^2 - 53026*y^2 - 17852*x*z + 36960*z^2
; C5a (-52963/254466 : 20317/28274 : 1)  C5b (-47135/751006 : 7104/375503 : 1)
**u= -176/129 ; tau(u)= -129/88 ; -374406*x^2 - 64258*y^2 + 4612*x*z + 45408*z^2
; C5a (7627/36886 : 481681/700834 : 1)  C5b (-2211/12314 : 16840/116983 : 1)
**u= -168/145 ; tau(u)= -145/84 ; -405702*x^2 - 70274*y^2 + 27652*x*z + 48720*z^2
; C5a (-6095/44462 : -2945/4042 : 1)  C5b (5153/74410 : -222/37205 : 1)
**u= -160/177 ; tau(u)= -177/80 ; -491334*x^2 - 88258*y^2 + 74116*x*z + 56640*z^2
; C5a (48/9257 : 7440/9257 : 1)  C5b (68177/489530 : -8286/244765 : 1)
**u= -156/5 ; tau(u)= -5/78 ; -79398*x^2 - 24386*y^2 - 48572*x*z + 1560*z^2
; C5a (5629/229646 : -26377/229646 : 1)  C5b (-5483797/1496130 : 1072672/748065 : 1)
**u= -156/55 ; tau(u)= -55/78 ; -159798*x^2 - 30386*y^2 - 36572*x*z + 17160*z^2
; C5a (23437/1058018 : -774229/1058018 : 1)  C5b (664717/35826 : 98500/17913 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (278855171/377878 : -20993070/188939 : 1)
**u= -156/101 ; tau(u)= -101/78 ; -260262*x^2 - 44738*y^2 - 7868*x*z + 31512*z^2
; C5a (1453/83246 : 69625/83246 : 1)  C5b (-16529/59294 : -4950/29647 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (-792305/156506 : -19296/78253 : 1)
**u= -156/175 ; tau(u)= -175/78 ; -475158*x^2 - 85586*y^2 + 73828*x*z + 54600*z^2
; C5a (2725/6422 : -425/6422 : 1)  C5b (132893/899614 : -11400/449807 : 1)
**u= -156/193 ; tau(u)= -193/78 ; -537366*x^2 - 98834*y^2 + 100324*x*z + 60216*z^2
; C5a (-334/2365 : -1414/2365 : 1)  C5b (-40013/1718342 : 126450/859171 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (31921/3579666 : 250270/1789833 : 1)
**u= -148/75 ; tau(u)= -75/74 ; -188262*x^2 - 33154*y^2 - 21308*x*z + 22200*z^2
; C5a (475/14206 : 125185/156266 : 1)  C5b (-3505/1874 : 6126/10307 : 1)
**u= -140/33 ; tau(u)= -33/70 ; -102294*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z + 9240*z^2
; C5a (-26486/72189 : 4938/8021 : 1)  C5b (-106549/70990 : 672/1145 : 1)
**u= -140/71 ; tau(u)= -71/70 ; -168566*x^2 - 29682*y^2 - 19036*x*z + 19880*z^2
; C5a (-286/4423 : 11002/13269 : 1)  C5b (63463/26750 : 5798/40125 : 1)
**u= -140/163 ; tau(u)= -163/70 ; -400774*x^2 - 72738*y^2 + 67076*x*z + 45640*z^2
; C5a (-8763/35954 : -88853/323586 : 1)  C5b (18847/152650 : 47264/686925 : 1)
**u= -128/95 ; tau(u)= -95/64 ; -200582*x^2 - 34434*y^2 + 3332*x*z + 24320*z^2
; C5a (-2389/18714 : 43451/56142 : 1)  C5b (-5831/5130 : 2618/7695 : 1)
**u= -124/105 ; tau(u)= -105/62 ; -216438*x^2 - 37426*y^2 + 13348*x*z + 26040*z^2
; C5a (-190172/602347 : 49394/602347 : 1)  C5b (633/23570 : 742/11785 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (53607/1219558 : 59740/609779 : 1)
**u= -120/163 ; tau(u)= -163/60 ; -359094*x^2 - 67538*y^2 + 77476*x*z + 39120*z^2
; C5a (-6347/119486 : -84767/119486 : 1)  C5b (-254911/235698 : -14540/117849 : 1)
**u= -112/75 ; tau(u)= -75/56 ; -138582*x^2 - 23794*y^2 - 2588*x*z + 16800*z^2
; C5a (23837/70658 : -5701/70658 : 1)  C5b (-3923/124154 : -2280/62077 : 1)
**u= -104/63 ; tau(u)= -63/52 ; -108678*x^2 - 18754*y^2 - 5756*x*z + 13104*z^2
; C5a (-41995/112082 : -1597/112082 : 1)  C5b (396931/18334 : 27090/9167 : 1)
**u= -104/135 ; tau(u)= -135/52 ; -254118*x^2 - 47266*y^2 + 51268*x*z + 28080*z^2
; C5a (42677/410978 : -331021/410978 : 1)  C5b (-195073/161834 : -8010/80917 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (337137/3426218 : -215230/1713109 : 1)
**u= -96/185 ; tau(u)= -185/48 ; -375078*x^2 - 77666*y^2 + 118468*x*z + 35520*z^2
; C5a (2665321/733777658 : 499195279/733777658 : 1)  C5b (-143755/321974 : -31116/160987 : 1)
**u= -88/189 ; tau(u)= -189/44 ; -370614*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z + 33264*z^2
; C5a (17766/113083 : -84420/113083 : 1)  C5b (501/19846 : -28840/168691 : 1)
**u= -80/173 ; tau(u)= -173/40 ; -309494*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z + 27680*z^2
; C5a (-3958/27407 : -72884/246663 : 1)  C5b (65265/236186 : -65462/1062837 : 1)
**u= -76/35 ; tau(u)= -35/38 ; -45958*x^2 - 8226*y^2 - 6652*x*z + 5320*z^2
; C5a (1367/25146 : 5251/6858 : 1)  C5b (7903/4430 : 466/6645 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-531/18622 : -220/9311 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (-37225/180926 : -17862/90463 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (-52431/74354 : 5920/37177 : 1)
**u= -52/31 ; tau(u)= -31/26 ; -26774*x^2 - 4626*y^2 - 1564*x*z + 3224*z^2
; C5a (227/786 : 805/2358 : 1)  C5b (-1637/1718 : -890/2577 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-19075/55814 : 5526/27907 : 1)
**u= -52/135 ; tau(u)= -135/26 ; -173622*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z + 14040*z^2
; C5a (7714/116661081 : -23289986/38887027 : 1)  C5b (28279/4350562 : 393870/2175281 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (5637/20062 : 160/1433 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-1517/7398 : 410/3699 : 1)
**u= -32/129 ; tau(u)= -129/16 ; -135942*x^2 - 34306*y^2 + 64516*x*z + 8256*z^2
; C5a (-4592/45001 : -3896/45001 : 1)  C5b (869/5506 : -450/2753 : 1)
**u= -28/165 ; tau(u)= -165/14 ; -202662*x^2 - 55234*y^2 + 107332*x*z + 9240*z^2
; C5a (30162/2260081 : 991782/2260081 : 1)  C5b (-13725/44542 : -3928/22271 : 1)
**u= -20/27 ; tau(u)= -27/10 ; -9894*x^2 - 1858*y^2 + 2116*x*z + 1080*z^2
; C5a (-1772/801511 : -6286/8263 : 1)  C5b (2709/28498 : -1600/14249 : 1)
**u= -20/103 ; tau(u)= -103/10 ; -81334*x^2 - 21618*y^2 + 41636*x*z + 4120*z^2
; C5a (427/1174 : 2209/3522 : 1)  C5b (-11435/24542 : -716/5259 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (101939/297458 : -390/21247 : 1)
**u= -12/11 ; tau(u)= -11/6 ; -2214*x^2 - 386*y^2 + 196*x*z + 264*z^2
; C5a (-11/3662 : 3025/3662 : 1)  C5b (-67/358 : -30/179 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (105135/238642 : 4328/119321 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/135 ; tau(u)= 135/2 ; -105078*x^2 - 36466*y^2 + 72868*x*z - 1080*z^2
; C5a (9184/420211 : 47318/420211 : 1)  C5b (151575/310334 : 9794/155167 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (9109/17018 : -480/8509 : 1)
**u= 20/103 ; tau(u)= 103/10 ; -48374*x^2 - 21618*y^2 + 41636*x*z - 4120*z^2
; C5a (2151/13654 : 9805/40962 : 1)  C5b (134325/463802 : -126578/695703 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (18323333/24322890 : -791758/12161445 : 1)
**u= 52/5 ; tau(u)= 5/26 ; -6182*x^2 - 2754*y^2 - 5308*x*z - 520*z^2
; C5a (-163/1422 : -655/12798 : 1)  C5b (1063/110 : -1858/495 : 1)
**u= 52/131 ; tau(u)= 131/26 ; -56582*x^2 - 37026*y^2 + 63236*x*z - 13624*z^2
; C5a (1120/2847 : 24394/93951 : 1)  C5b (45817/75618 : -171590/1247697 : 1)
**u= 52/135 ; tau(u)= 135/26 ; -61302*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z - 14040*z^2
; C5a (3176/4619 : -1358/4619 : 1)  C5b (255205/691994 : 65154/345997 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (2667/91498 : 8750/45749 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (195907/219358 : -8490/109679 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (559321/799098 : 50960/399549 : 1)
**u= 64/15 ; tau(u)= 15/32 ; -5958*x^2 - 4546*y^2 - 7292*x*z - 1920*z^2
; C5a (-623/1606 : 83/1606 : 1)  C5b (51723/87530 : 9848/43765 : 1)
**u= 80/173 ; tau(u)= 173/40 ; -88054*x^2 - 66258*y^2 + 106916*x*z - 27680*z^2
; C5a (6601/16522 : -18089/148698 : 1)  C5b (151353/185450 : -23714/834525 : 1)
**u= 88/189 ; tau(u)= 189/44 ; -104502*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z - 33264*z^2
; C5a (145/382 : 139/6494 : 1)  C5b (-18767/65102 : -24900/553367 : 1)
**u= 96/185 ; tau(u)= 185/48 ; -90918*x^2 - 77666*y^2 + 118468*x*z - 35520*z^2
; C5a (16269/22426 : -4083/22426 : 1)  C5b (9065215/10951066 : 66258/782219 : 1)
**u= 100/21 ; tau(u)= 21/50 ; -15846*x^2 - 10882*y^2 - 18236*x*z - 4200*z^2
; C5a (-9671/26358 : -1593/8786 : 1)  C5b (570019/1232138 : 93090/616069 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (50719/120934 : -5800/181401 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (51589/138682 : 2880/69341 : 1)
**u= 140/33 ; tau(u)= 33/70 ; -28374*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z - 9240*z^2
; C5a (-706/1049 : 262/1049 : 1)  C5b (30081/64210 : -5258/32105 : 1)
**u= 184/35 ; tau(u)= 35/92 ; -57398*x^2 - 36306*y^2 - 62812*x*z - 12880*z^2
; C5a (-4326/15769 : -1400/47307 : 1)  C5b (766983/2127646 : 194080/3191469 : 1)
**u= 192/7 ; tau(u)= 7/96 ; -100134*x^2 - 36962*y^2 - 73532*x*z - 2688*z^2
; C5a (-17944/128029 : 50060/128029 : 1)  C5b (9063413/17437578 : 822500/8718789 : 1)
**u= 200/23 ; tau(u)= 23/100 ; -86374*x^2 - 41058*y^2 - 77884*x*z - 9200*z^2
; C5a (-19604/132447 : -40928/397341 : 1)  C5b (86059/207782 : 16580/311673 : 1)
68
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[2026.04.08追記] u=-12/11のときの整数解を追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.06
H.Nakao

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