Integer Points on A^4+B^4+484*C^4=D^4

[2026.04.04]A^4+B^4+484*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように163個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(22,1,200);
**u= -200/131 ; tau(u)= -131/100 ; -432566*x^2 - 74322*y^2 - 11356*x*z + 52400*z^2
; C5a (13975/54898 : 88535/164694 : 1)  C5b (-631/19554 : 764/29331 : 1)
**u= -196/131 ; tau(u)= -131/98 ; -423622*x^2 - 72738*y^2 - 8188*x*z + 51352*z^2
; C5a (-5243/14726 : -11711/132534 : 1)  C5b (-15545/12422 : 23324/55899 : 1)
**u= -196/177 ; tau(u)= -177/98 ; -580758*x^2 - 101074*y^2 + 48484*x*z + 69384*z^2
; C5a (365/3458 : 2837/3458 : 1)  C5b (-395557/561366 : 77986/280683 : 1)
**u= -192/91 ; tau(u)= -91/96 ; -300054*x^2 - 53426*y^2 - 40604*x*z + 34944*z^2
; C5a (-40534/103039 : 29848/103039 : 1)  C5b (52809/26222 : -2008/13111 : 1)
**u= -192/107 ; tau(u)= -107/96 ; -343638*x^2 - 59762*y^2 - 27932*x*z + 41088*z^2
; C5a (-23590/64327 : 18824/64327 : 1)  C5b (-32319/19510 : -5458/9755 : 1)
**u= -192/113 ; tau(u)= -113/96 ; -360774*x^2 - 62402*y^2 - 22652*x*z + 43392*z^2
; C5a (-75/1354 : -1131/1354 : 1)  C5b (-2437/14734 : -858/7367 : 1)
**u= -188/115 ; tau(u)= -115/94 ; -358342*x^2 - 61794*y^2 - 17788*x*z + 43240*z^2
; C5a (-3926/3075979 : -7721210/9227937 : 1)  C5b (5083/562 : -836/843 : 1)
**u= -188/137 ; tau(u)= -137/94 ; -424694*x^2 - 72882*y^2 + 4388*x*z + 51512*z^2
; C5a (220/12329 : -31078/36987 : 1)  C5b (105/10082 : 82/15123 : 1)
**u= -184/73 ; tau(u)= -73/92 ; -240998*x^2 - 44514*y^2 - 46396*x*z + 26864*z^2
; C5a (-6509/70318 : 170545/210954 : 1)  C5b (9047/5802 : 1642/8703 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (46703/59658 : -7370/29829 : 1)
**u= -176/37 ; tau(u)= -37/88 ; -153238*x^2 - 33714*y^2 - 56476*x*z + 13024*z^2
; C5a (-3437/7006 : -7103/21018 : 1)  C5b (802225/607102 : -334624/910653 : 1)
**u= -176/107 ; tau(u)= -107/88 ; -312278*x^2 - 53874*y^2 - 16156*x*z + 37664*z^2
; C5a (-61013/607514 : 1492667/1822542 : 1)  C5b (9219/1850 : 532/2775 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (-63533/57382 : 9564/28691 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (41/786 : -20/393 : 1)
**u= -176/199 ; tau(u)= -199/88 ; -610726*x^2 - 110178*y^2 + 96452*x*z + 70048*z^2
; C5a (-17281/106202 : 187561/318606 : 1)  C5b (-553/6726 : -1714/10089 : 1)
**u= -172/57 ; tau(u)= -57/86 ; -186678*x^2 - 36082*y^2 - 46172*x*z + 19608*z^2
; C5a (-3423/27950 : 22053/27950 : 1)  C5b (29399/27078 : 376/13539 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (33691/8726 : 3786/4363 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (777/226 : -20/113 : 1)
**u= -168/191 ; tau(u)= -191/84 ; -560262*x^2 - 101186*y^2 + 89476*x*z + 64176*z^2
; C5a (-37163/178014 : 27083/59338 : 1)  C5b (22117/1700926 : 115938/850463 : 1)
**u= -160/3 ; tau(u)= -3/80 ; -80694*x^2 - 25618*y^2 - 51164*x*z + 960*z^2
; C5a (-8752/2618237 : 549920/2618237 : 1)  C5b (695399/851206 : 112782/425603 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (271609/161554 : -20268/80777 : 1)
**u= -160/69 ; tau(u)= -69/80 ; -193686*x^2 - 35122*y^2 - 32156*x*z + 22080*z^2
; C5a (19141/82126 : 27937/82126 : 1)  C5b (-23867/14774 : -4560/7387 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (409/6026 : 384/3013 : 1)
**u= -152/65 ; tau(u)= -65/76 ; -173702*x^2 - 31554*y^2 - 29308*x*z + 19760*z^2
; C5a (9219/1071586 : 2526869/3214758 : 1)  C5b (34369/6642 : -12800/9963 : 1)
**u= -152/87 ; tau(u)= -87/76 ; -220518*x^2 - 38242*y^2 - 15932*x*z + 26448*z^2
; C5a (-2042/13915 : -11032/13915 : 1)  C5b (-2881/19342 : 972/9671 : 1)
**u= -148/91 ; tau(u)= -91/74 ; -223142*x^2 - 38466*y^2 - 10684*x*z + 26936*z^2
; C5a (-4/17 : -2/3 : 1)  C5b (-8983/246 : -2284/369 : 1)
**u= -148/129 ; tau(u)= -129/74 ; -318294*x^2 - 55186*y^2 + 22756*x*z + 38184*z^2
; C5a (1102/3105 : -346/1035 : 1)  C5b (-369511/762150 : 94544/381075 : 1)
**u= -144/61 ; tau(u)= -61/72 ; -154806*x^2 - 28178*y^2 - 26588*x*z + 17568*z^2
; C5a (1665/383282 : 301617/383282 : 1)  C5b (31967/2050 : -4476/1025 : 1)
**u= -144/83 ; tau(u)= -83/72 ; -199158*x^2 - 34514*y^2 - 13916*x*z + 23904*z^2
; C5a (21797/71346 : -4175/23782 : 1)  C5b (6421299/1827934 : -25898/913967 : 1)
**u= -144/127 ; tau(u)= -127/72 ; -305286*x^2 - 52994*y^2 + 23044*x*z + 36576*z^2
; C5a (-23219/75174 : 117/1474 : 1)  C5b (-27399/170662 : -14534/85331 : 1)
**u= -140/37 ; tau(u)= -37/70 ; -108454*x^2 - 22338*y^2 - 33724*x*z + 10360*z^2
; C5a (23319/158758 : 176467/476274 : 1)  C5b (-46049/94742 : -28100/142113 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (95179/50486 : -9822/25243 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (-959/1714 : -28306/105411 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (-206881/168834 : -37702/84417 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (-96229/493118 : 50580/246559 : 1)
**u= -136/141 ; tau(u)= -141/68 ; -328182*x^2 - 58258*y^2 + 42532*x*z + 38352*z^2
; C5a (61701/326506 : 251877/326506 : 1)  C5b (-859/862 : 114/431 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (-16169/28514 : 3114/14257 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-93/98 : -20/49 : 1)
**u= -132/49 ; tau(u)= -49/66 ; -118422*x^2 - 22226*y^2 - 25244*x*z + 12936*z^2
; C5a (-1648/4684959 : -132422/173517 : 1)  C5b (-123/590 : -8/295 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (6167/3022 : 42/1511 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-69/38 : -1114/2641 : 1)
**u= -132/107 ; tau(u)= -107/66 ; -233958*x^2 - 40322*y^2 + 10948*x*z + 28248*z^2
; C5a (-10910/49881 : -10026/16627 : 1)  C5b (-2171/109882 : 5118/54941 : 1)
**u= -132/131 ; tau(u)= -131/66 ; -293574*x^2 - 51746*y^2 + 33796*x*z + 34584*z^2
; C5a (-58404/201599 : 10998/201599 : 1)  C5b (-97435/159418 : 2946/11387 : 1)
**u= -132/151 ; tau(u)= -151/66 ; -348534*x^2 - 63026*y^2 + 56356*x*z + 39864*z^2
; C5a (-193427/1190502 : -77271/132278 : 1)  C5b (10653/1095434 : -75886/547717 : 1)
**u= -128/13 ; tau(u)= -13/64 ; -63478*x^2 - 16722*y^2 - 32092*x*z + 3328*z^2
; C5a (-90/59909 : 80756/179727 : 1)  C5b (1453/1574 : 632/2361 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (5849/494 : -444/247 : 1)
**u= -124/59 ; tau(u)= -59/62 ; -125542*x^2 - 22338*y^2 - 16828*x*z + 14632*z^2
; C5a (-11121/114526 : 282317/343578 : 1)  C5b (17517/7606 : -3058/11409 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-14547/27722 : 3416/13861 : 1)
**u= -116/173 ; tau(u)= -173/58 ; -380486*x^2 - 73314*y^2 + 92804*x*z + 40136*z^2
; C5a (2554/1148687 : -2556230/3446061 : 1)  C5b (-9921/38534 : 12500/57801 : 1)
**u= -108/65 ; tau(u)= -65/54 ; -116502*x^2 - 20114*y^2 - 6428*x*z + 14040*z^2
; C5a (24444/353807 : 284874/353807 : 1)  C5b (-31279/60454 : 7776/30227 : 1)
**u= -108/67 ; tau(u)= -67/54 ; -119814*x^2 - 20642*y^2 - 5372*x*z + 14472*z^2
; C5a (14437/56598 : -9565/18866 : 1)  C5b (-159813/21214 : -16076/10607 : 1)
**u= -104/19 ; tau(u)= -19/52 ; -50422*x^2 - 11538*y^2 - 20188*x*z + 3952*z^2
; C5a (-30937/1124110 : 2098891/3372330 : 1)  C5b (10443/9850 : 3992/14775 : 1)
**u= -96/7 ; tau(u)= -7/48 ; -33318*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z + 1344*z^2
; C5a (-424/51817 : -20732/51817 : 1)  C5b (1311853/758630 : -252288/379315 : 1)
**u= -96/169 ; tau(u)= -169/48 ; -328806*x^2 - 66338*y^2 + 95812*x*z + 32448*z^2
; C5a (-6204382/48101419 : -22580776/48101419 : 1)  C5b (21365/80554 : 48/40277 : 1)
**u= -92/31 ; tau(u)= -31/46 ; -53974*x^2 - 10386*y^2 - 13084*x*z + 5704*z^2
; C5a (-374/3391 : -8042/10173 : 1)  C5b (8141/6458 : -1606/9687 : 1)
**u= -88/3 ; tau(u)= -3/44 ; -25398*x^2 - 7762*y^2 - 15452*x*z + 528*z^2
; C5a (-1986/128347 : 40188/128347 : 1)  C5b (2209/942 : -452/471 : 1)
**u= -88/5 ; tau(u)= -5/44 ; -26902*x^2 - 7794*y^2 - 15388*x*z + 880*z^2
; C5a (-77/5154 : -5819/15462 : 1)  C5b (9973/5382 : 5896/8073 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (1486229/1023962 : -237660/511981 : 1)
**u= -88/41 ; tau(u)= -41/44 ; -62182*x^2 - 11106*y^2 - 8764*x*z + 7216*z^2
; C5a (66/4157 : 9944/12471 : 1)  C5b (-387/1426 : -298/2139 : 1)
**u= -88/57 ; tau(u)= -57/44 ; -82854*x^2 - 14242*y^2 - 2492*x*z + 10032*z^2
; C5a (-26491/122942 : 84463/122942 : 1)  C5b (-23591/48386 : -6036/24193 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (169/3638 : 90/1819 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (-20299/14814 : -826/7407 : 1)
**u= -88/117 ; tau(u)= -117/44 ; -187734*x^2 - 35122*y^2 + 39268*x*z + 20592*z^2
; C5a (6444/15517 : 5568/15517 : 1)  C5b (-105037/102414 : 8542/51207 : 1)
**u= -88/141 ; tau(u)= -141/44 ; -241782*x^2 - 47506*y^2 + 64036*x*z + 24816*z^2
; C5a (105/5674 : -4191/5674 : 1)  C5b (-40127/414130 : 40728/207065 : 1)
**u= -88/159 ; tau(u)= -159/44 ; -286854*x^2 - 58306*y^2 + 85636*x*z + 27984*z^2
; C5a (3046/7735 : -4204/7735 : 1)  C5b (-27581/92810 : -10116/46405 : 1)
**u= -88/167 ; tau(u)= -167/44 ; -308134*x^2 - 63522*y^2 + 96068*x*z + 29392*z^2
; C5a (-2942/414537 : -835840/1243611 : 1)  C5b (4859/20322 : -2438/30483 : 1)
**u= -84/13 ; tau(u)= -13/42 ; -30918*x^2 - 7394*y^2 - 13436*x*z + 2184*z^2
; C5a (-50/1349 : 806/1349 : 1)  C5b (95793/68546 : -15566/34273 : 1)
**u= -84/101 ; tau(u)= -101/42 ; -150246*x^2 - 27458*y^2 + 26692*x*z + 16968*z^2
; C5a (-2399/9378 : -331/3126 : 1)  C5b (-39/38 : -4/19 : 1)
**u= -80/29 ; tau(u)= -29/40 ; -42806*x^2 - 8082*y^2 - 9436*x*z + 4640*z^2
; C5a (494/90949 : 205564/272847 : 1)  C5b (-16993/14594 : -10700/21891 : 1)
**u= -76/127 ; tau(u)= -127/38 ; -191318*x^2 - 38034*y^2 + 52964*x*z + 19304*z^2
; C5a (10738/28663 : -48890/85989 : 1)  C5b (-1997/20454 : -6094/30681 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-2037/13318 : -680/6659 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (-10399/55094 : -15742/82641 : 1)
**u= -60/19 ; tau(u)= -19/30 ; -22086*x^2 - 4322*y^2 - 5756*x*z + 2280*z^2
; C5a (-127/33226 : 24247/33226 : 1)  C5b (20807/13774 : -2190/6887 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (-7723/127786 : 11910/63893 : 1)
**u= -60/157 ; tau(u)= -157/30 ; -234054*x^2 - 52898*y^2 + 91396*x*z + 18840*z^2
; C5a (-10388/138987 : -6946/15443 : 1)  C5b (-66701/142838 : 13410/71419 : 1)
**u= -56/39 ; tau(u)= -39/28 ; -36006*x^2 - 6178*y^2 - 188*x*z + 4368*z^2
; C5a (205/726 : -117/242 : 1)  C5b (-3185/16498 : -1284/8249 : 1)
**u= -56/159 ; tau(u)= -159/28 ; -232326*x^2 - 53698*y^2 + 94852*x*z + 17808*z^2
; C5a (1893/13054 : 9201/13054 : 1)  C5b (-130637/180982 : -108/90491 : 1)
**u= -52/81 ; tau(u)= -81/26 ; -81174*x^2 - 15826*y^2 + 20836*x*z + 8424*z^2
; C5a (-9611/230322 : 52545/76774 : 1)  C5b (30953/179978 : 8880/89989 : 1)
**u= -52/139 ; tau(u)= -139/26 ; -181862*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z + 14456*z^2
; C5a (4303/8046 : -3523/24138 : 1)  C5b (19321/65686 : 8324/98529 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (9553/155358 : 2170/11097 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (69299/216314 : 3480/108157 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (4435/4778 : 702/2389 : 1)
**u= -44/21 ; tau(u)= -21/22 ; -15846*x^2 - 2818*y^2 - 2108*x*z + 1848*z^2
; C5a (-1100/29463 : -8074/9821 : 1)  C5b (23183/10902 : -1048/5451 : 1)
**u= -44/27 ; tau(u)= -27/22 ; -19686*x^2 - 3394*y^2 - 956*x*z + 2376*z^2
; C5a (-6491/461938 : 387277/461938 : 1)  C5b (-197/3742 : 36/1871 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (-67/174 : -20/87 : 1)
**u= -44/69 ; tau(u)= -69/22 ; -58662*x^2 - 11458*y^2 + 15172*x*z + 6072*z^2
; C5a (8769/48370 : 37521/48370 : 1)  C5b (-2303/6366 : 706/3183 : 1)
**u= -44/79 ; tau(u)= -79/22 ; -71062*x^2 - 14418*y^2 + 21092*x*z + 6952*z^2
; C5a (-25863/342446 : -1806539/3082014 : 1)  C5b (4537/16862 : -422/75879 : 1)
**u= -44/123 ; tau(u)= -123/22 ; -139878*x^2 - 32194*y^2 + 56644*x*z + 10824*z^2
; C5a (-7935/57406 : -5739/57406 : 1)  C5b (-105491/145594 : -1278/72797 : 1)
**u= -44/129 ; tau(u)= -129/22 ; -151062*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z + 11352*z^2
; C5a (27050/114789 : 27154/38263 : 1)  C5b (78667/262186 : 11946/131093 : 1)
**u= -44/173 ; tau(u)= -173/22 ; -246278*x^2 - 61794*y^2 + 115844*x*z + 15224*z^2
; C5a (-2842/53831 : 59618/161493 : 1)  C5b (39377/110962 : -12058/166443 : 1)
**u= -44/177 ; tau(u)= -177/22 ; -256086*x^2 - 64594*y^2 + 121444*x*z + 15576*z^2
; C5a (3873/259846 : 134589/259846 : 1)  C5b (-29429/523174 : 55278/261587 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (193337/502946 : -22000/754419 : 1)
**u= -36/59 ; tau(u)= -59/18 ; -41766*x^2 - 8258*y^2 + 11332*x*z + 4248*z^2
; C5a (-110/537 : 26/179 : 1)  C5b (-1141/2830 : -312/1415 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (-11241/25414 : 2444/12707 : 1)
**u= -32/17 ; tau(u)= -17/16 ; -9158*x^2 - 1602*y^2 - 892*x*z + 1088*z^2
; C5a (14/57 : -4/9 : 1)  C5b (40941/13958 : -5156/20937 : 1)
**u= -32/171 ; tau(u)= -171/16 ; -222294*x^2 - 59506*y^2 + 114916*x*z + 10944*z^2
; C5a (152017/9405346 : -4352465/9405346 : 1)  C5b (860273/2081878 : -10170/1040939 : 1)
**u= -28/3 ; tau(u)= -3/14 ; -3078*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z + 168*z^2
; C5a (-283/3402 : -221/378 : 1)  C5b (10013/16094 : -84/8047 : 1)
**u= -28/47 ; tau(u)= -47/14 ; -26134*x^2 - 5202*y^2 + 7268*x*z + 2632*z^2
; C5a (-70/431 : 8414/21981 : 1)  C5b (-41/78 : -422/1989 : 1)
**u= -28/135 ; tau(u)= -135/14 ; -141942*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z + 7560*z^2
; C5a (-5296/61331 : 5878/61331 : 1)  C5b (-1427/3642 : -322/1821 : 1)
**u= -24 ; tau(u)= -1/12 ; -1926*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z + 48*z^2
; C5a (1/38 : 109/646 : 1)  C5b (71/130 : 24/1105 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (6669/26678 : 1580/13339 : 1)
**u= -24/67 ; tau(u)= -67/12 ; -41526*x^2 - 9554*y^2 + 16804*x*z + 3216*z^2
; C5a (-50291/357830 : -21359/357830 : 1)  C5b (1187/3626 : 96/1813 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (4541223/13253590 : 734182/6626795 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (5283/111926 : -11560/55963 : 1)
**u= -16/3 ; tau(u)= -3/8 ; -1206*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z + 96*z^2
; C5a (2/27 : -4/9 : 1)  C5b (29407/39318 : 686/19659 : 1)
**u= -16/63 ; tau(u)= -63/8 ; -32646*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z + 2016*z^2
; C5a (22565/40466 : -9293/40466 : 1)  C5b (1319/95058 : -9736/47529 : 1)
**u= -12/17 ; tau(u)= -17/6 ; -3798*x^2 - 722*y^2 + 868*x*z + 408*z^2
; C5a (6/19 : 234/361 : 1)  C5b (1/10 : 12/95 : 1)
**u= -12/71 ; tau(u)= -71/6 ; -37494*x^2 - 10226*y^2 + 19876*x*z + 1704*z^2
; C5a (-79928/1084427 : 63758/1084427 : 1)  C5b (-40549/70430 : -1944/35215 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (-13/42 : 40/189 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (41639/115746 : 6140/57873 : 1)
**u= -4/35 ; tau(u)= -35/2 ; -8518*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z + 280*z^2
; C5a (-28/673 : -322/2019 : 1)  C5b (-1563/2806 : -110/4209 : 1)
**u= -4/141 ; tau(u)= -141/2 ; -123846*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z + 1128*z^2
; C5a (1673/111674 : 26801/111674 : 1)  C5b (261817/581862 : -23120/290931 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/9 ; tau(u)= 9/2 ; -246*x^2 - 178*y^2 + 292*x*z - 72*z^2
; C5a (4/7 : 2/7 : 1)  C5b (-19/78 : -4/39 : 1)
**u= 4/35 ; tau(u)= 35/2 ; -6278*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z - 280*z^2
; C5a (82/263 : -398/789 : 1)  C5b (909/1822 : -280/2733 : 1)
**u= 4/141 ; tau(u)= 141/2 ; -114822*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z - 1128*z^2
; C5a (3209/30878 : 11885/30878 : 1)  C5b (25051/48814 : 360/24407 : 1)
**u= 8/117 ; tau(u)= 117/4 ; -74838*x^2 - 27442*y^2 + 54628*x*z - 1872*z^2
; C5a (558/15095 : 612/15095 : 1)  C5b (593431/1113322 : 1662/79523 : 1)
**u= 8/169 ; tau(u)= 169/4 ; -160742*x^2 - 57186*y^2 + 114116*x*z - 2704*z^2
; C5a (70/351 : -1544/3159 : 1)  C5b (3/10 : 8/45 : 1)
**u= 8/183 ; tau(u)= 183/4 ; -189414*x^2 - 67042*y^2 + 133828*x*z - 2928*z^2
; C5a (28852/49033 : 19160/49033 : 1)  C5b (600437/1449214 : 95874/724607 : 1)
**u= 12/61 ; tau(u)= 61/6 ; -16902*x^2 - 7586*y^2 + 14596*x*z - 1464*z^2
; C5a (4645/23058 : 827/2562 : 1)  C5b (78597/145258 : -7790/72629 : 1)
**u= 16/3 ; tau(u)= 3/8 ; -438*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z - 96*z^2
; C5a (-70/167 : -52/167 : 1)  C5b (71041/35498 : 15066/17749 : 1)
**u= 16/63 ; tau(u)= 63/8 ; -16518*x^2 - 8194*y^2 + 15364*x*z - 2016*z^2
; C5a (7909/11338 : 3227/11338 : 1)  C5b (887/1646 : -108/823 : 1)
**u= 20/87 ; tau(u)= 87/10 ; -32694*x^2 - 15538*y^2 + 29476*x*z - 3480*z^2
; C5a (4168/29211 : -606/9737 : 1)  C5b (347/754 : 60/377 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (-1919/6826 : -528/3413 : 1)
**u= 24 ; tau(u)= 1/12 ; -1542*x^2 - 578*y^2 - 1148*x*z - 48*z^2
; C5a (-42/67 : -384/1139 : 1)  C5b (15/26 : 2/13 : 1)
**u= 24/131 ; tau(u)= 131/12 ; -79542*x^2 - 34898*y^2 + 67492*x*z - 6288*z^2
; C5a (184364/316261 : -131416/316261 : 1)  C5b (10337/17746 : 516/8873 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (169879/406742 : -33282/203371 : 1)
**u= 24/197 ; tau(u)= 197/12 ; -196758*x^2 - 78194*y^2 + 154084*x*z - 9456*z^2
; C5a (15868/29489 : -13540/29489 : 1)  C5b (58232871/104084854 : -1656670/52042427 : 1)
**u= 28/3 ; tau(u)= 3/14 ; -1734*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z - 168*z^2
; C5a (-390/1453 : 558/1453 : 1)  C5b (1769/4398 : -2/2199 : 1)
**u= 28/129 ; tau(u)= 129/14 ; -73302*x^2 - 34066*y^2 + 64996*x*z - 7224*z^2
; C5a (74629/447738 : 32071/149246 : 1)  C5b (1789621/3361966 : 204072/1680983 : 1)
**u= 28/135 ; tau(u)= 135/14 ; -81462*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z - 7560*z^2
; C5a (3220/20599 : 4270/20599 : 1)  C5b (166681/331054 : 22194/165527 : 1)
**u= 32/93 ; tau(u)= 93/16 ; -31158*x^2 - 18322*y^2 + 32548*x*z - 5952*z^2
; C5a (805/2358 : 227/786 : 1)  C5b (297683/528958 : -39642/264479 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (909/2746 : -286/1373 : 1)
**u= 36/161 ; tau(u)= 161/18 ; -113046*x^2 - 53138*y^2 + 101092*x*z - 11592*z^2
; C5a (22/159 : 570/8639 : 1)  C5b (65/274 : 4626/22331 : 1)
**u= 44/7 ; tau(u)= 7/22 ; -3638*x^2 - 2034*y^2 - 3676*x*z - 616*z^2
; C5a (-65/306 : -1/54 : 1)  C5b (867/1558 : -470/2337 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (52903/56482 : 11322/28241 : 1)
**u= 44/79 ; tau(u)= 79/22 ; -15446*x^2 - 14418*y^2 + 21092*x*z - 6952*z^2
; C5a (221/378 : 283/3402 : 1)  C5b (3693/4042 : -878/18189 : 1)
**u= 44/123 ; tau(u)= 123/22 ; -53286*x^2 - 32194*y^2 + 56644*x*z - 10824*z^2
; C5a (1074/1325 : -66/1325 : 1)  C5b (558637/774250 : 11118/387125 : 1)
**u= 44/129 ; tau(u)= 129/22 ; -60246*x^2 - 35218*y^2 + 62692*x*z - 11352*z^2
; C5a (28360/42727 : -13882/42727 : 1)  C5b (-9773/28106 : -318/14053 : 1)
**u= 44/169 ; tau(u)= 169/22 ; -117686*x^2 - 59058*y^2 + 110372*x*z - 14872*z^2
; C5a (5003/11062 : -14305/33186 : 1)  C5b (3241/46654 : 14818/69981 : 1)
**u= 44/183 ; tau(u)= 183/22 ; -142326*x^2 - 68914*y^2 + 130084*x*z - 16104*z^2
; C5a (3500/6219 : 866/2073 : 1)  C5b (237701/511482 : 40906/255741 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (19077419/27048266 : -1325880/13524133 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (6185/9646 : -348/4823 : 1)
**u= 52/139 ; tau(u)= 139/26 ; -66214*x^2 - 41346*y^2 + 71876*x*z - 14456*z^2
; C5a (522/1759 : 838/5277 : 1)  C5b (50149335/71326286 : 8342602/106989429 : 1)
**u= 52/147 ; tau(u)= 147/26 ; -76614*x^2 - 45922*y^2 + 81028*x*z - 15288*z^2
; C5a (3653/4514 : -221/4514 : 1)  C5b (2687/4326 : 272/2163 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (549443/908462 : -46800/454231 : 1)
**u= 56/159 ; tau(u)= 159/28 ; -89862*x^2 - 53698*y^2 + 94852*x*z - 17808*z^2
; C5a (2621/6654 : 717/2218 : 1)  C5b (50267/71642 : 2088/35821 : 1)
**u= 60/113 ; tau(u)= 113/30 ; -33174*x^2 - 29138*y^2 + 43876*x*z - 13560*z^2
; C5a (37838/46717 : 4010/46717 : 1)  C5b (2075873/3361082 : -311076/1680541 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (1616015/2208662 : 138924/1104331 : 1)
**u= 84/13 ; tau(u)= 13/42 ; -13446*x^2 - 7394*y^2 - 13436*x*z - 2184*z^2
; C5a (-1039/4950 : -127/1650 : 1)  C5b (1213/3202 : 84/1601 : 1)
**u= 88/177 ; tau(u)= 177/44 ; -86598*x^2 - 70402*y^2 + 109828*x*z - 31152*z^2
; C5a (15052/29329 : -5420/29329 : 1)  C5b (-55883/297478 : 18420/148739 : 1)
**u= 96/7 ; tau(u)= 7/48 ; -22566*x^2 - 9314*y^2 - 18236*x*z - 1344*z^2
; C5a (-1051/5326 : -2047/5326 : 1)  C5b (52911/46402 : 10804/23201 : 1)
**u= 132/31 ; tau(u)= 31/66 ; -25302*x^2 - 19346*y^2 - 31004*x*z - 8184*z^2
; C5a (-15360/21667 : 5118/21667 : 1)  C5b (958787/1579874 : -199704/789937 : 1)
**u= 140/37 ; tau(u)= 37/70 ; -25574*x^2 - 22338*y^2 - 33724*x*z - 10360*z^2
; C5a (-8581/14446 : -7385/43338 : 1)  C5b (21797/10214 : -13450/15321 : 1)
**u= 156/23 ; tau(u)= 23/78 ; -47478*x^2 - 25394*y^2 - 46556*x*z - 7176*z^2
; C5a (-4006/5089 : 230/5089 : 1)  C5b (300107/406466 : -59988/203233 : 1)
**u= 160/3 ; tau(u)= 3/80 ; -73014*x^2 - 25618*y^2 - 51164*x*z - 960*z^2
; C5a (-1463/52774 : 6613/52774 : 1)  C5b (-94717/110114 : -15870/55057 : 1)
**u= 160/41 ; tau(u)= 41/80 ; -34406*x^2 - 28962*y^2 - 44476*x*z - 13120*z^2
; C5a (-3154/4637 : -2848/13911 : 1)  C5b (7933/9182 : -5162/13773 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (48703/127430 : 4392/63715 : 1)
**u= 176/37 ; tau(u)= 37/88 ; -49046*x^2 - 33714*y^2 - 56476*x*z - 13024*z^2
; C5a (-4313/6382 : -5461/19146 : 1)  C5b (-106937/65702 : -7054/14079 : 1)
**u= 176/39 ; tau(u)= 39/88 ; -47142*x^2 - 34018*y^2 - 55868*x*z - 13728*z^2
; C5a (-156239/363646 : -78203/363646 : 1)  C5b (245/754 : 18/377 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (361761/577834 : -58892/288917 : 1)
**u= 180/31 ; tau(u)= 31/90 ; -58326*x^2 - 34322*y^2 - 60956*x*z - 11160*z^2
; C5a (-136/169 : 1318/22139 : 1)  C5b (-653/622 : -36/131 : 1)
**u= 184/15 ; tau(u)= 15/92 ; -80838*x^2 - 34306*y^2 - 66812*x*z - 5520*z^2
; C5a (-49210/67691 : 6620/67691 : 1)  C5b (41/74 : -6/37 : 1)
163
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0,(5b+)のとき

3^4+12^4+484*2^4=13^4
8624^4+11025^4+484*8940^4=42001^4
12894336468^4+22576306077^4+484*8219238598^4=39748836013^4
1208654772137111999^4+11009030626123041600^4+484*1137293934476652120^4=11158090864217448001^4
23332588355466044957533564308^4+641154479553498447149760273117^4+484*37237501539802140681226015798^4=642035655321339810870982188013^4
2156865207779501142182978912025019623665775^4+5095663555456478187231904735322441907207376^4+484*1278631774409012260389845275824604428453180^4=6678646453281712178986754439841462040058001^4
611673383074910781269393656807264715105692174293911768643^4+631158160741424018829170585985856904086470268766243586252^4+484*4228415519615770127301916155045519585143517727932609068402^4=19833036363607207024170910329530696841155741469107827416013^4
5256356417629351646416373009009619178881808364054328036035926861794858873600^4+13786834408229160687298313251029557150410939615383404446999853678413521312001^4+484*3141411441413619108467318366951973129750552922773508615450370330915962535760^4=17025724751724502770623095268491237633358796546302490891448754580432634272001^4
88492365411465192412609346360008062703432938053015510775644624521312780719425769762651865114563^4+4074020096293355716850965000810718712625475489297222865391469239848867160872632837208442348810572^4+484*182061659754927422633946357398217069756372986753579637616435113510902474823893620670417954885998^4=4075984929877485242662319783886043874962766324884377366043751287010490023369976648815198515560013^4
23216893158355505695248309935008862490180692158483069734128886749229566205886592943222779947334339534410243789562840624^4+168020945551153312625375036680482922315884383757800090899558537369538636959798344609024837483748661503041845891738900625^4+484*19687993865012034970259391886203446986330557437963582851667565486285400176241180603260972362598753923526638118388844700^4=171743383694419698218944740682748305465395401281571300541175369867407990769116536597919937124471447348227120320625050001^4
479433387288707313720773215666160078057706955444522776337406405476880959223804080884222839241919877940770159584568107704579624703739402765984163^4+776292132236797162868440778293311764931843286022318293012605663387876594506038838417336453320979659904045121462650557431380836351328211131528172^4+484*324471367833218583641627588497486249221468991338660885571027123265349633940600125584776969769608592908015463183174631856863585288514575131078998^4=1550587573280036137586276613858134535900530134096434161679437685750583045927062478171691505093136231807419070306970045325821255466217438949340013^4
1017078235754898728945944679919974584455758502319997461432695540195888184329574545772664330703599265540184943196467019019076345482511863206370692580115624762847089711447999^4+1390974290469452776517260787844280218211736217617099285671647757816196278142050650182071677907845987931959614344902119812984506237124155413543216768566151817352663449134400^4+484*882821745065590801861155711196445408236033027908112129754092287960748665967726645809785620066169673691273419285542763112977632821868494952842442317328104103802216944196360^4=4157647339309278012798227493007638119705817893691637138183351425193276211723552929477168604303741896246651501277852503107457628630270515745002527082486295338495154847912001^4
664450557143152553533789748745741688427899068821760113549265254708990405406632066730847313073888725527701587491202337357591699988325672995902775233628297250798267256780631107928007549900798604886635348^4+3102903592387727197876495936054221618102398414175763179220717627158199703189814406759307758271944740344089268816831283091453974402722248195247591416639189489280195933658876490830767692610023563087996957^4+484*468960745877397069530935379909553222850970292207223801463124042182782120953644490561508051380857698982548936782783724133129099587404711891378044583219655284066286955222212230578967987405394760958989402^4=3283958768151472974372316864162362025909158144274741336270108064682196618519801760962871100222480278159330786742200615037671851962806043048403341648314033549676929847809149422334992544506411999327156013^4
1212771493833193316949996113394406955393013464911896430458872594314564547990047448329914823997239795334411486036879410481827118067471843772376331752450375462854049894227380593232122379080030980856933714541580636566571349046996449775^4+617678433974740814146819770647069364277945672769712047328105057681850460665323219627166272303288440525099132535440566207735378716439386693006839508712935191018049134298328938516151991779471865425583389174661232390739542824948428887376^4+484*8256353480831601978499965552539941231153759801855808406097428327461543793560335259668488443866572945170251202444089055516794343776803405341970452518718723072822451264492173447663007715741554264168735451986262746950473108999240257420^4=617680819857338614064720010484729424290835837796381557290451248837853489779194460575683315596715624710595475520343031598754720799939240509702775066632023058979581290419771581124708494220627006584335118291119906063241812467130972938001^4
5078021075767042882275881417009664349715912601733424689807148189522479289043891534565323061076202179284147686871916084676209841871330745924254780401410033160172707601940093877710980917104465859760303298265766301706692053754533646320907051215140763434869511659309550708^4+17657573033994757576993525589421805291893301950632969002173652899109706765532991499042396400741587340032714998425139309241064009604792759061448242206418295096938037871680166011501757644428015768760014514938543863286329297863288621074006776996352046331045404525745499517^4+484*3234316840543870287368452850308911918189292307637066060351756586744670234345554321760624341778515907616935274902298780719992802994701367239216385993873806455369179997004390955421028330699681982837657427995669984184549699164105152595891753968692061629871823324115519202^4=19707431258799705962339173489026022970997586565587114204442833276749726056713177747617523566374756577396617708506279195295939806051640698774007415326149944136765961700279713402658830539596886739030778124062710974420235270569563520426489451587178676952079582765423088013^4
25954143147641060819689105657259178059679552227427569434763817567950216147321719121507865398355577960198442354703246399262293613076043526277846289900712796313956583602583865637647564183802431040031882018770157668677828045040835323207689362176207118582385422687450103764938900379609576201046043299166591999^4+31076319346556281303987807097530221229471536226110245949842076854599155100958162126287142804183378070680135163820100624536935768619719064577872116915488375767565373954635913834494876160677927830514691292098272246331955490300719400472609966755972750901604412359614282340731197354898163234733221941731865600^4+484*34646319734196370838362173060185365827625807220015346184234016371474962530761889550217104018958839464466316880893634388152580762068160281884902982610994478504758032387808070521243993269740209434383111902477798560418483477798253469731165151987614336262149546038486370293969758295863188479168636214266191520^4=162586349530778139783358881945779709957901691181609147222151650633459093375450652126060431629594707769287374855486250382463460509707017918155833941884613586440428342664500621990968037482250520863953169281049564788382479673423988989449150471481975127927084256947694483182498622880817342582106913207600768001^4
129793734109137515859638186466562958150879654908198928169297636166503299929227700995974528156608870068695022671563902597934406948435347763018152319209908632725964351593263876418582225747615784165379737386254603242970344614045637745280054459871666227051106238275243662323762720477334648228699940287239313847665455350273452491749249207865768232323^4+246877272739132372519849675274661016089496210393009439177534732471511518228480351275808105059456863176693760338046892089448579625117061932237492736913186359727988505162820575107181416451214113764942967427169830839169542385200144751865019402030667994230393703233925557602398785475654742973146281417561598588306693115566274861159846353905519137932^4+484*79482870438413983126229626916917065508120283040687845117512033441670885830072366067571027479035592042104183703638611696022756234832704354978199261708137828313902709689944552042507955141448024038597276039507211273678152112622395961445580250401690201350680232383633625614559308900373350655405815901901193203988016207918503139533282567970343589598^4=390760978434355665759605237873773407533130957027609345388698664254208175007516789277992796591616696264868121096421139005499395903954345970459032746058224271471589600708267001035637274072814958220740756910508329611441489608228773195720331385911781409416809062151980631350328700750965770656779197089887642315482706497459391854041147269346522896013^4
23142681460383044860936537988907212296533395510391204454480618471342675037150398631016342635245874851858502934915589513524849126300315498790591477941885699255338995445150484806138303780236907197317382103522196879753116733224373492583661991200788142299627164969218740647617903975210744312858211553945182898677440794793055113634217541076620966500856520911509121438345898706858642739048624^4+274938209051524940380581531310143960763606091822420866413363972607922621455427874254757483639948677759314870130270404672546316137177002876647918985954095401176256570200543166523952152100549841479373986717662112876767718542070479893903462857215569995507674847446250704249682420014331347227138493188446262664906969141256216181725382646309519784118214144412681985612156620646995477184043025^4+484*24646753909362448507064305653321037527953829764506789225278977263244978570506031890016433315064226612879490720379549202047455052416676726053777633784104325000287112602133585290614925021285146797943083819928561913587180464788976450613881385396103769773898332037055855923309633842686542645062080433343314372587044298987456747883892375947209464761815711722476404326400733674981371151919540^4=277065267106529086548308152792331815190660157089668630459038730702397259456432347740046026571200578649978872845747565924972644431560725248499085481447550057299384918106745052508251316557809200963250651627558261847307903265868364983493367330762877142222679195480081536603545643843523470641372871848019863249287800428970507103762975323125967854162026714317965398673698488952740294230602001^4
2100405509138726421238688486389173680067427490360057732307463857670371187907700576877674562925346126979032049554933638853548916131311262858504783853402708941259495849295574794788286624172829608362863200353704127741929945436321303537866955224430035808806182934582636459167711638093117924578654998948243287940993085450931390697818548192324818936326767251564778160427503926400503784974069572213003136529967999707592000382970485477603^4+38485567874072120419507056390939258630261071006352603701769602860788341396146017610854729684910975953461646619678852776300349907995905262012455818259437067484785107476832211458283978830770478030531282019509161478585169958087801014019086471671216225976544757305451370493631973925896100494521314545627856917079350755514102538823992007569427915841336747448495846438991468855329293321336236290342901734356443596901694745211929502109612^4+484*2751911328020244375264145533367831748017743893875761099172814606332460077188016047104550107782467933286820065681411335536480650522294095894097784756539361109029750442235550324206460977224418699009121920291373508600744005355781557456219796254612977004378995048182950046146700161888614339700301386385671522096907085854318117337061954703124393545157742945495722756117177563782895624702702917024101663525087791420609542782565820736998^4=38606817939100609637350558650612780453519659332212377982662212553214361004466421771046840432843770596861493961654536250316234503713870648649685514736053321278780655265604873715219642579615182372907436758218587152766047406206802699888471367521811852569464031782128599354778482116674677334372210922433063850315884898619092057107665922235375351908722321290090747417998402728780010774659115031169285593640386869367290159714552416020013^4
332861291760378854686549743177517946386709923478879827666520470158782360597814633546677568777991715465700426838643057807137682971114684010405889753298537335413080546976584404307919089800294858753913006376547602660877427686448279613573504266570827807553432405889164905694332958801446224890706344758489173284819559297953018565592796363175371773989905086276464122330011301066183934586664414020130759188779532136672431058387241337638200188357042139082396899598439609447066795960000^4+713765152055281398367169907914427652359578683975532861647468862730434972657366468180595862197910466687047608568925929902449879369652340794045395098217036957613610723732924220069803159586533933248112739517094024494611331162080987666223380308720226711173040357421913147658284377848144658490348406482782192964786909178564073558358468059130530456889077187471139952467513891960885762919697802866311574034889948872306256452691844542135789471754863272853171026464415867966136700200001^4+484*198198771709478091784976055458371104385291322568234955736349088871404529005748838517627823389258835717390587666965917320745934380149123281920256228032686524696953056005442081889768506094923098045535790312554545716772529789766161204727190487268012161073350480991450944897809672744947361793756330997721940217023577616034642712599854774253629672770600096795021810164020865305749710919921032172735152144711564801393799470790147802813491591545393095067929629595432275748702156060600^4=1004643379087707184141925259222930599171213718740037327043796610439762069590232882562057895797779636325682529233899394353659713532390022610964194716110223760381079479135862484914571376161387820362138947058849636403309785601179327415779823477361826388164846665268138048689601682518715437560826811245838268103178079693611693250767902528747779605218188364375172616395249083076101793314237577491163956918965498934673902442480249432163496495041760228886361362864907484654458300200001^4
...

u=0,(5b-)のとき

19^4+342^4+484*24^4=343^4
3286432512^4+13528654417^4+484*1929798384^4=14170972753^4
38934602617885101591283^4+59961024368928924134166^4+484*13671238019670035944776^4=75289338948649867385527^4
28194228522235222710101203875572818108225^4+44040111209241572852231055468637414173696^4+484*9972399946996175360757304257824996206560^4=55044773602765613631618537058625746624321^4
1262480468848011687254868624624911723622604677742805249251739286^4+5290874702782966971202846385908119253961872780001678705146471603^4+484*748341938727462886808690940574899272110560690209502923359275384^4=5534087056223291990299083046474265985146773282742248247701307767^4
3831254273081084947359168916313484015961344816617531620104015804420079306655657139901872337^4+71265379012247192373264170333474668786506693738435144519957522635394738568770670445783569152^4+484*4921440049241929427059914387358200298559434760120389831725699684140334113875905713974735056^4=71460840628338973031783512492498519544987133057946915529077433137809410613724123007489521873^4
1509016130401230332244150993025385631308294329198167426241665983259447292305284962319673354503649830948584206287142872022^4+111066212851673344048660849833334350110209009446733703835533210848421077413324361977856138844719882258385174285714540042245459^4+484*123435506974234230760254919717393584625544440925016244284226265624384382636490122977532724651050952669054276370603214960984^4=111066212872175517349031712850714008912580556025371698128075670743482302623260103942522814848111071786746619292830591046819223^4
1161761865129657993993842468332691495735688191880291831749935788762235360770656751200806698401759077942343022546407583447510913629799655475261338083153820786023681^4+20245863099928446686980165567049037711589521696506613696492453247003423344367982723116596452376125475182315114562038218134888037954621952143634847683697403016294400^4+484*1443395136132974470846091684222865949687522250347426324077944851439902550592069402989936767877821227082998950052077076107124608957578697861311009028490055096672320^4=20308910291453547206877835051265410848691002662466680504168325751489720566637972729017651771928754768492915303547973454218983537492692912707762327163756556852583681^4
105520844597840243377166425366071127771291818816351862763678375007928988683236723777141222241524613383741890424917794100329020187718317686129595949359398755643401185661872073251576421293741738563323927648982^4+426717971567855296311457132490386994424678854830048451641793917043479416185240894378944857184899439878357597992065062984046641312012684496138215787514509135074966107058708744304161187903509940605403965892819^4+484*61384794613034329586933034304541715907833113296185311656716812733827109678375402356002917285714763177822543229662630746796296074542289889170334463447260186142948598921381231061342186006965051056576412723496^4=447638371032247486741827630788940777312311759765417496521946906539836202967667016615692522890816076195900965404556194454274184574570219307856417778451656178791728771075786750587931679428349414125769456945943^4
663214805855627160283790001961345229385962147133546654866008009485717175531696894956051242621871328513871631483149842237897373213053948598116138782952298183228612715562096051917572551677556606919048222169795670769426052927521301096514849092597105455998417^4+1007031667139694327593659758860776197108545192295907342774085446834137594124119101452919586790418407883538142021889174103278327325746952423846334755705562609807684253608315442326412351765335576669248363859197032856645222920316031521131454863927565012763392^4+484*231188835887360410569770674551502223027788293815045946807759517339423269586790156218935716952342696543486995913656494932285045651940572103601329150550631231031580917930288977396824263751527344362062817334458448012837019142468151825502375330983768895334736^4=1270378356276722846216548032637094204619249466144271502690194217008157162974772636695626957639853014041804695700069755046765564684177224900460382530490478757905896538790912464344671328416851882683278229981995795263639525340005698409730265244067708692866513^4
251841541688673532259683919997764200761123477916278624834747330511135908921383867196067238295660742064400048838691716596398715500661538165325851669850078336283839901428477681217886942576795058504026460304001067780908388080069711380706133832621095263272865026668280503544019813171286007594634302156662805966643^4+399007752526778857917295640137696418911659478348533946710525221279450310120765133980904260428261351036867027605201684414499942701001930507182095089131635874567591091292481221789518472544842997440323551620851964254753162319897565483519323206895052744883483249941730285515988681185890976470931706169311964531606^4+484*89730957539883525713810826188010479697820262642539468933594956403115362856400961074750515939846174601215691281553452795995702341710650254504701587528205412123032774573459519386805282108633645561936900610170499394498456245975100214449992408022832615214335481063277119731014594602583292892965337738939327552504^4=496456059967260491040035642696854367330551686384120781495442416727096330353513775713234435934717558724021631567945450555964387230587471260482937348452248213879646752822949098820912696658362688518341227759851771831410337575518724488309679126013436960511239343114305729359850032025932906621598614466834290940407^4
5981873861198174364580526264739871767211319548544569747028212404463874535359731293095311645793705792242512951321704296436898663829891850561680591123931518711353219689955661727825412831029272829957548900237207842126367104616100878588887747471703677107255787001102413364873098105018544914215559412728383792919290315979325189054339056505366236234466867994756056701766656^4+25524640036597177594058846208534110168595453884785506476007250974549792819418583395990845327455921890899814972893990029980634084696350660733581017504548132402425207923103485525043975773452856876071601668910641178647360141013075911365483477330804272352712911910302194915514310400629717520388806610467012323306046695903324277424069313324628777545533704477305022043593025^4+484*3579520154116609384760003262951067760983645124541835649709182555491915169547445035962139909053073473254702911879333692702622849628098758290733203635626536689142719274899953132727698647987360986088725557328733867331434752790915508587951127856624640943875526134122332815117806784404853643420888691702405578193570602535017715628935422402848199903410087443697568848103520^4=26660367556543135019587176708302062195885578937244367412809347076798539844635611934339764797958850713059658270372086161363778987813552903507561954699087034052914927282307813638686842596842165543763998006351672246883003401874290590903714698777373078768567357464559621532898860963045523565941139315345159843445078776917105038356783118452564272144227886984699016952617281^4
9525157479940437707066579467499158792710175356663567019920798170108579107333504129498161143022707780243407329071480307408504230427420719753047631065720809695866945697401210930737432720101329701089824412990312199080282256734325922326027700972788248909864468909437296318459131166148122245825561003301493924611284030584696876209400601025968908981606884157067889153272568182388972583333165702783995165012809694150354651694668776537203^4+183186647019340205475708443594260547020641165134534097562481004663292214215904548949933999986496041940860247490445652287779469271064576124045638934804842471694480372879335233206499058897308550150243205158052644613493132868361086648334030963818201369826608154286018108407171433818128486380862432823074561513895036225076070138753739498758532432680917236745196089122191600396264381836386920531608872350288263798603654715747259223596566^4+484*12445849845142902034461886231249428352075554258383892621530311280469071618611765405306460522708869289840402479413308466695698165425451698115348578433096142179614599254989167796530413589797780375711985597189576831483262809393083399288206202253799446299806525651681418288415857651471345867683105751731340489113818972280752057438024775588283057751605193757120673100997575999524910845024147624071474747603584770732674332676644030646216^4=183657446539138194512773347592519048107096838711910229819740987551560255376433685862536173006256574705740299776419027968997141444157219747988431940967658614295283743906296940335694856575176784005988187817172234839850276480700349854683472704246414643311584584876760937402814203603149104474214926564306779803456626890788164479154327271217615451985457117504970974426027487336849326062614913448381662888762321261098692592421918449782327^4
8270059129173756506335470326920431380163296830293737247491678327778905247286546283275652312545765420060344636170802183145507577718762386374542969722209421893216668807587398522451476477737633780814865264281847687999077634425695298696496764483227529874079126601518638306007603453307012621314092423064537958503051554315635131002990703765194166590140342315111588901491479799414339205960123257071389505051536259500212846894744774535018800594427005702284128316217057071326832945175673891959079587744512^4+152169584112798261705133595993677474312323760397439604290981914919634938521529411598801453850274786848896219990248115888876143628264357641128040925579960461028103885873299813006474565019639909671409956711940313535046710901683469288360989175646922885983640911115651495030536751266485569379539943776818510300893027710111942158866384502540365797669038703728600272435197209046890334400371036292464443074975412923950270581993022964175466326213371846954983789986343921610732262805232687541224225360962365777^4+484*338233010734042572777267962447180923948762302167642745449431838018918203257645730313356599662952429889670579236779481984134545587986568502572590788424874974591752248350780411754705288488865507807160415691787047004435276426559138034282913845269029870817228171469070265549213957011190430318414670772933650648455758761769723707157616105601033147771886929600339719136790339784179484724315821655162406443312579587388862980856861643323329434286604244480038526329804359199492663006519466853197271044826256^4=152169584562232105888270674295772334965484296929244858587116085561295678849592241835011663414461226963746981143815655210714926747316502091691058709086578204603333637968089857820221578465393986139146071539122855635138872966671345020027980590385891482224023062279304513045603056089914568959695172880024250340500579379056377595501365889314439003371117768676555287215962473083153638029517147127311028027880926124783372941540200475572885566451195029104535686762050066120612411629396654866851248697602779473^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.04.04

H.Nakao