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Integer Points on A^4+B^4+441*C^4=D^4

[2026.04.04]A^4+B^4+441*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように121個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(21,1,200);
**u= -200/111 ; tau(u)= -111/100 ; -371526*x^2 - 64642*y^2 - 30716*x*z + 44400*z^2
; C5a (-311947/1059446 : 607207/1059446 : 1)  C5b (12972533/3564335 : 1192717/3564335 : 1)
**u= -196/15 ; tau(u)= -15/98 ; -140118*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z + 5880*z^2
; C5a (-42043/253226 : -155333/253226 : 1)  C5b (23981/6302 : -5020/3151 : 1)
**u= -196/45 ; tau(u)= -45/98 ; -197958*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z + 17640*z^2
; C5a (216/1499 : 438/1499 : 1)  C5b (-122867/147790 : 27028/73895 : 1)
**u= -192/7 ; tau(u)= -7/96 ; -121638*x^2 - 36962*y^2 - 73532*x*z + 2688*z^2
; C5a (-102/2327 : 912/2327 : 1)  C5b (2041/2939 : -545/2939 : 1)
**u= -192/175 ; tau(u)= -175/96 ; -563142*x^2 - 98114*y^2 + 48772*x*z + 67200*z^2
; C5a (46464/151637 : -82824/151637 : 1)  C5b (-325/503 : -139/503 : 1)
**u= -180/53 ; tau(u)= -53/90 ; -190374*x^2 - 38018*y^2 - 53564*x*z + 19080*z^2
; C5a (450230/8700649 : 5608730/8700649 : 1)  C5b (84245/26162 : 13404/13081 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (8029/2878 : -1020/1439 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (-509809/162785 : -30941/162785 : 1)
**u= -172/63 ; tau(u)= -63/86 ; -199254*x^2 - 37522*y^2 - 43292*x*z + 21672*z^2
; C5a (533205/8810942 : -6157023/8810942 : 1)  C5b (-379/61 : -135/61 : 1)
**u= -168/25 ; tau(u)= -25/84 ; -122022*x^2 - 29474*y^2 - 53948*x*z + 8400*z^2
; C5a (-179/1814 : 1183/1814 : 1)  C5b (1657/914 : -300/457 : 1)
**u= -168/53 ; tau(u)= -53/84 ; -172758*x^2 - 33842*y^2 - 45212*x*z + 17808*z^2
; C5a (-707/49386 : -12145/16462 : 1)  C5b (-18901/61171 : -6505/61171 : 1)
**u= -168/55 ; tau(u)= -55/84 ; -176742*x^2 - 34274*y^2 - 44348*x*z + 18480*z^2
; C5a (309230/1892683 : -825280/1892683 : 1)  C5b (-24445/67594 : 5064/33797 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (17845/4714 : -716/2357 : 1)
**u= -168/145 ; tau(u)= -145/84 ; -405702*x^2 - 70274*y^2 + 27652*x*z + 48720*z^2
; C5a (-6095/44462 : -2945/4042 : 1)  C5b (8005/118427 : 1951/118427 : 1)
**u= -168/179 ; tau(u)= -179/84 ; -517494*x^2 - 92306*y^2 + 71716*x*z + 60144*z^2
; C5a (51718/152939 : -79940/152939 : 1)  C5b (-64919/36626 : -1420/18313 : 1)
**u= -160/51 ; tau(u)= -51/80 ; -157686*x^2 - 30802*y^2 - 40796*x*z + 16320*z^2
; C5a (-2888/57049 : 68/89 : 1)  C5b (679/638 : -20/319 : 1)
**u= -160/93 ; tau(u)= -93/80 ; -247734*x^2 - 42898*y^2 - 16604*x*z + 29760*z^2
; C5a (9080/28877 : 940/28877 : 1)  C5b (-9541/40403 : 6265/40403 : 1)
**u= -160/117 ; tau(u)= -117/80 ; -308694*x^2 - 52978*y^2 + 3556*x*z + 37440*z^2
; C5a (-97614/333671 : 144828/333671 : 1)  C5b (-1669/16870 : -1028/8435 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (-25885/26719 : -7571/26719 : 1)
**u= -160/177 ; tau(u)= -177/80 ; -491334*x^2 - 88258*y^2 + 74116*x*z + 56640*z^2
; C5a (48/9257 : 7440/9257 : 1)  C5b (-76937/49481 : 6395/49481 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (66977/7910 : 3732/3955 : 1)
**u= -156/101 ; tau(u)= -101/78 ; -260262*x^2 - 44738*y^2 - 7868*x*z + 31512*z^2
; C5a (1453/83246 : 69625/83246 : 1)  C5b (-30443/27698 : -5600/13849 : 1)
**u= -156/185 ; tau(u)= -185/78 ; -509238*x^2 - 92786*y^2 + 88228*x*z + 57720*z^2
; C5a (103610/320521 : -191230/320521 : 1)  C5b (-133889/134065 : 30173/134065 : 1)
**u= -156/193 ; tau(u)= -193/78 ; -537366*x^2 - 98834*y^2 + 100324*x*z + 60216*z^2
; C5a (-334/2365 : -1414/2365 : 1)  C5b (161/5461 : -785/5461 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (55171/3216766 : 245220/1608383 : 1)
**u= -152/45 ; tau(u)= -45/76 ; -136182*x^2 - 27154*y^2 - 38108*x*z + 13680*z^2
; C5a (-158804/919173 : -236648/306391 : 1)  C5b (-15011/2170 : 2876/1085 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (81025/1200322 : -61732/600161 : 1)
**u= -148/105 ; tau(u)= -105/74 ; -256182*x^2 - 43954*y^2 + 292*x*z + 31080*z^2
; C5a (-5026/82001 : 67858/82001 : 1)  C5b (-10093/28450 : -3112/14225 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (-18727/38174 : 3780/19087 : 1)
**u= -144/49 ; tau(u)= -49/72 ; -133062*x^2 - 25538*y^2 - 31868*x*z + 14112*z^2
; C5a (178/791 : 7960/89383 : 1)  C5b (-67/197 : -3135/22261 : 1)
**u= -140/27 ; tau(u)= -27/70 ; -93414*x^2 - 21058*y^2 - 36284*x*z + 7560*z^2
; C5a (-15871/175574 : 121453/175574 : 1)  C5b (131233/151654 : -11420/75827 : 1)
**u= -140/33 ; tau(u)= -33/70 ; -102294*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z + 9240*z^2
; C5a (-26486/72189 : 4938/8021 : 1)  C5b (-66571/17873 : -27555/17873 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (-326413/608411 : -152735/608411 : 1)
**u= -140/69 ; tau(u)= -69/70 ; -164646*x^2 - 29122*y^2 - 20156*x*z + 19320*z^2
; C5a (-1015/14598 : -4025/4866 : 1)  C5b (-23215/139642 : -5564/69821 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (-12763/26261 : 6625/26261 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-1255/20801 : 2941/20801 : 1)
**u= -140/159 ; tau(u)= -159/70 ; -388566*x^2 - 70162*y^2 + 61924*x*z + 44520*z^2
; C5a (-8678008/37592243 : 13846250/37592243 : 1)  C5b (13417/228806 : -13360/114403 : 1)
**u= -140/171 ; tau(u)= -171/70 ; -425766*x^2 - 78082*y^2 + 77764*x*z + 47880*z^2
; C5a (14560/35587 : 11690/35587 : 1)  C5b (11555/270386 : 18412/135193 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (-73013/94450 : -10656/47225 : 1)
**u= -136/15 ; tau(u)= -15/68 ; -73158*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z + 4080*z^2
; C5a (82253/1089894 : 909/4082 : 1)  C5b (60361/94930 : 2076/47465 : 1)
**u= -132/5 ; tau(u)= -5/66 ; -57702*x^2 - 17474*y^2 - 34748*x*z + 1320*z^2
; C5a (-463/27942 : -3055/9314 : 1)  C5b (526904195/264554066 : 108696204/132277033 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (117551/43247 : -15485/43247 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-197/133 : -7445/18487 : 1)
**u= -128/45 ; tau(u)= -45/64 ; -107382*x^2 - 20434*y^2 - 24668*x*z + 11520*z^2
; C5a (-3599/8038 : 1811/8038 : 1)  C5b (17602235/13184054 : -1194376/6592027 : 1)
**u= -124/105 ; tau(u)= -105/62 ; -216438*x^2 - 37426*y^2 + 13348*x*z + 26040*z^2
; C5a (-190172/602347 : 49394/602347 : 1)  C5b (-911/36433 : 3955/36433 : 1)
**u= -120/91 ; tau(u)= -91/60 ; -180246*x^2 - 30962*y^2 + 4324*x*z + 21840*z^2
; C5a (-107/9642 : 2695/3214 : 1)  C5b (2647/127045 : 2897/127045 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (37607/276674 : -6160/138337 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (3973009/1763930 : -51656/881965 : 1)
**u= -108/155 ; tau(u)= -155/54 ; -313062*x^2 - 59714*y^2 + 72772*x*z + 33480*z^2
; C5a (562054/1310297 : 451574/1310297 : 1)  C5b (-19145/92506 : -432/2011 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (1603/16522 : -1160/8261 : 1)
**u= -100/63 ; tau(u)= -63/50 ; -104214*x^2 - 17938*y^2 - 4124*x*z + 12600*z^2
; C5a (-4351/221858 : 186241/221858 : 1)  C5b (-5237/127090 : -556/63545 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (17525/21707 : 2959/21707 : 1)
**u= -88/111 ; tau(u)= -111/44 ; -175302*x^2 - 32386*y^2 + 33796*x*z + 19536*z^2
; C5a (-19770/91783 : 32748/91783 : 1)  C5b (-67381/51191 : -45/721 : 1)
**u= -80/27 ; tau(u)= -27/40 ; -40854*x^2 - 7858*y^2 - 9884*x*z + 4320*z^2
; C5a (2312/18213 : -3360/6071 : 1)  C5b (14477/13139 : -135/13139 : 1)
**u= -80/141 ; tau(u)= -141/40 ; -228726*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z + 22560*z^2
; C5a (-53223/11052934 : 7670757/11052934 : 1)  C5b (-79835/84778 : 24/42389 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (1609/1111 : 395/1111 : 1)
**u= -76/105 ; tau(u)= -105/38 ; -147318*x^2 - 27826*y^2 + 32548*x*z + 15960*z^2
; C5a (-430/2489 : 1150/2489 : 1)  C5b (264847/1286485 : -32479/1286485 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (61739/490495 : 62627/490495 : 1)
**u= -64/33 ; tau(u)= -33/32 ; -35718*x^2 - 6274*y^2 - 3836*x*z + 4224*z^2
; C5a (-2638/10559 : -7244/10559 : 1)  C5b (237593/43442 : 22000/21721 : 1)
**u= -60 ; tau(u)= -1/30 ; -11286*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z + 120*z^2
; C5a (-5358/24877 : 14034/24877 : 1)  C5b (-283/581 : -15/581 : 1)
**u= -60/71 ; tau(u)= -71/30 ; -75126*x^2 - 13682*y^2 + 12964*x*z + 8520*z^2
; C5a (-19696/76591 : 9670/76591 : 1)  C5b (2815/17143 : 437/17143 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (-1813/13054 : 1320/6527 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (573883/2573746 : 6240/55951 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (11227/56159 : 6755/56159 : 1)
**u= -48/35 ; tau(u)= -35/24 ; -27702*x^2 - 4754*y^2 + 292*x*z + 3360*z^2
; C5a (-64/553 : -436/553 : 1)  C5b (-5/1046 : -24/523 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (4619/16889 : 1595/16889 : 1)
**u= -40/3 ; tau(u)= -3/20 ; -5814*x^2 - 1618*y^2 - 3164*x*z + 240*z^2
; C5a (-2/2251 : 872/2251 : 1)  C5b (3931/2947 : -1465/2947 : 1)
**u= -40/81 ; tau(u)= -81/20 ; -70086*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z + 6480*z^2
; C5a (1278/4051 : -2748/4051 : 1)  C5b (5075/64394 : -5552/32197 : 1)
**u= -40/87 ; tau(u)= -87/20 ; -78054*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z + 6960*z^2
; C5a (-4139/108802 : 64141/108802 : 1)  C5b (6685/21979 : -289/21979 : 1)
**u= -36/5 ; tau(u)= -5/18 ; -5478*x^2 - 1346*y^2 - 2492*x*z + 360*z^2
; C5a (712/6203 : 226/6203 : 1)  C5b (1309/1915 : 113/1915 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (2297/602 : 160/301 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (12871/33187 : 215/33187 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (184345/689662 : -54372/344831 : 1)
**u= -28/45 ; tau(u)= -45/14 ; -24582*x^2 - 4834*y^2 + 6532*x*z + 2520*z^2
; C5a (-6388/32631 : 2706/10877 : 1)  C5b (-3571/8318 : 940/4159 : 1)
**u= -28/165 ; tau(u)= -165/14 ; -202662*x^2 - 55234*y^2 + 107332*x*z + 9240*z^2
; C5a (30162/2260081 : 991782/2260081 : 1)  C5b (26389/72242 : -3600/36121 : 1)
**u= -20/21 ; tau(u)= -21/10 ; -7206*x^2 - 1282*y^2 + 964*x*z + 840*z^2
; C5a (-651/2614 : -903/2614 : 1)  C5b (31613/245765 : 6337/245765 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (242079751/1403308810 : -134512512/701654405 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (33335/94733 : -12247/94733 : 1)
**u= -16/39 ; tau(u)= -39/8 ; -14886*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z + 1248*z^2
; C5a (253/502 : -145/502 : 1)  C5b (-1213/3542 : 380/1771 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (2149/12778 : 1040/6389 : 1)
**u= -16/165 ; tau(u)= -165/8 ; -185238*x^2 - 54706*y^2 + 108388*x*z + 5280*z^2
; C5a (6005280/43504597 : -24045420/43504597 : 1)  C5b (76259/181895 : 14437/181895 : 1)
**u= -12/11 ; tau(u)= -11/6 ; -2214*x^2 - 386*y^2 + 196*x*z + 264*z^2
; C5a (-11/3662 : 3025/3662 : 1)  C5b (-109/161 : 45/161 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (-47495/162262 : 17928/81131 : 1)
**u= -12/115 ; tau(u)= -115/6 ; -90822*x^2 - 26594*y^2 + 52612*x*z + 2760*z^2
; C5a (44693/71718 : -2435/23906 : 1)  C5b (437587/984466 : 16260/492233 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (9989/22223 : -1325/22223 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (707/8903 : -1845/8903 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (-7/110 : -12/55 : 1)
**u= -8/93 ; tau(u)= -93/4 ; -58038*x^2 - 17362*y^2 + 34468*x*z + 1488*z^2
; C5a (1789/25366 : 11599/25366 : 1)  C5b (7483/16342 : 100/8171 : 1)
**u= -8/135 ; tau(u)= -135/4 ; -118182*x^2 - 36514*y^2 + 72772*x*z + 2160*z^2
; C5a (11286/430039 : 142128/430039 : 1)  C5b (-120935/228767 : 4371/228767 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (-18659/70414 : -400/2071 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (27235/50666 : -32/539 : 1)
**u= 8/93 ; tau(u)= 93/4 ; -46134*x^2 - 17362*y^2 + 34468*x*z - 1488*z^2
; C5a (4425/94322 : -3753/94322 : 1)  C5b (21083/45773 : 5545/45773 : 1)
**u= 8/135 ; tau(u)= 135/4 ; -100902*x^2 - 36514*y^2 + 72772*x*z - 2160*z^2
; C5a (2245/11694 : 1835/3898 : 1)  C5b (-20545/67502 : 5488/33751 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (1/35 : 1/5 : 1)
**u= 12/115 ; tau(u)= 115/6 ; -68742*x^2 - 26594*y^2 + 52612*x*z - 2760*z^2
; C5a (20217/121658 : 47679/121658 : 1)  C5b (77455/141739 : 5743/141739 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (1453/3185 : 53/455 : 1)
**u= 16/39 ; tau(u)= 39/8 ; -4902*x^2 - 3298*y^2 + 5572*x*z - 1248*z^2
; C5a (73/226 : 25/226 : 1)  C5b (6683/9002 : -320/4501 : 1)
**u= 16/165 ; tau(u)= 165/8 ; -142998*x^2 - 54706*y^2 + 108388*x*z - 5280*z^2
; C5a (569/7914 : 475/2638 : 1)  C5b (14749/26935 : -693/26935 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (1029461/1804850 : 21332/902425 : 1)
**u= 36/5 ; tau(u)= 5/18 ; -2598*x^2 - 1346*y^2 - 2492*x*z - 360*z^2
; C5a (-567/3158 : -165/3158 : 1)  C5b (1504541/481838 : 326280/240919 : 1)
**u= 40/3 ; tau(u)= 3/20 ; -3894*x^2 - 1618*y^2 - 3164*x*z - 240*z^2
; C5a (-226/431 : 200/431 : 1)  C5b (410137/156430 : -89444/78215 : 1)
**u= 40/81 ; tau(u)= 81/20 ; -18246*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z - 6480*z^2
; C5a (29237/43098 : 3255/14366 : 1)  C5b (9743/14210 : -1116/7105 : 1)
**u= 40/87 ; tau(u)= 87/20 ; -22374*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z - 6960*z^2
; C5a (28101/69382 : 87/614 : 1)  C5b (-215/1771 : -289/1771 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (-97609/383819 : -41905/383819 : 1)
**u= 60 ; tau(u)= 1/30 ; -10326*x^2 - 3602*y^2 - 7196*x*z - 120*z^2
; C5a (-16/559 : 82/559 : 1)  C5b (-8855/523 : 3857/523 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (-17521/106895 : 15379/106895 : 1)
**u= 60/139 ; tau(u)= 139/30 ; -60006*x^2 - 42242*y^2 + 70084*x*z - 16680*z^2
; C5a (12802/16049 : 2522/16049 : 1)  C5b (-4945/18949 : -1809/18949 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (-6497/2893 : 1975/2893 : 1)
**u= 80/141 ; tau(u)= 141/40 ; -48246*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z - 22560*z^2
; C5a (6218/7991 : 452/7991 : 1)  C5b (84515/533162 : 56996/266581 : 1)
**u= 100/21 ; tau(u)= 21/50 ; -15846*x^2 - 10882*y^2 - 18236*x*z - 4200*z^2
; C5a (-9671/26358 : -1593/8786 : 1)  C5b (38377/117046 : 2160/58523 : 1)
**u= 132/5 ; tau(u)= 5/66 ; -47142*x^2 - 17474*y^2 - 34748*x*z - 1320*z^2
; C5a (-4195/81178 : 11485/81178 : 1)  C5b (333599/485717 : -110625/485717 : 1)
**u= 136/15 ; tau(u)= 15/68 ; -40518*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z - 4080*z^2
; C5a (-2399/16318 : -2219/16318 : 1)  C5b (-155/154 : 24/77 : 1)
**u= 140/3 ; tau(u)= 3/70 ; -55494*x^2 - 19618*y^2 - 39164*x*z - 840*z^2
; C5a (-24342/154273 : -69294/154273 : 1)  C5b (-20653/37330 : 1464/18665 : 1)
**u= 140/27 ; tau(u)= 27/70 ; -32934*x^2 - 21058*y^2 - 36284*x*z - 7560*z^2
; C5a (-10499/27886 : -7273/27886 : 1)  C5b (-25885/4814 : 5012/2407 : 1)
**u= 140/33 ; tau(u)= 33/70 ; -28374*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z - 9240*z^2
; C5a (-706/1049 : 262/1049 : 1)  C5b (4855/1007 : 1987/1007 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (203551/591650 : -27616/295825 : 1)
**u= 168/25 ; tau(u)= 25/84 ; -54822*x^2 - 29474*y^2 - 53948*x*z - 8400*z^2
; C5a (-7924/27961 : 8120/27961 : 1)  C5b (-38945/54601 : 4363/54601 : 1)
**u= 192/7 ; tau(u)= 7/96 ; -100134*x^2 - 36962*y^2 - 73532*x*z - 2688*z^2
; C5a (-17944/128029 : 50060/128029 : 1)  C5b (997/97 : -435/97 : 1)
**u= 196/15 ; tau(u)= 15/98 ; -93078*x^2 - 38866*y^2 - 75932*x*z - 5880*z^2
; C5a (-18112/83303 : 33350/83303 : 1)  C5b (675389/1089793 : 225475/1089793 : 1)
**u= 196/45 ; tau(u)= 45/98 ; -56838*x^2 - 42466*y^2 - 68732*x*z - 17640*z^2
; C5a (-30020/58471 : -14650/58471 : 1)  C5b (319/1007 : 45/1007 : 1)
121
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.04
H.Nakao

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