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Integer Points on A^4+B^4+39601*C^4=D^4

[2026.04.27]A^4+B^4+39601*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=199とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように55個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(199,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (1515953/526400 : 93747/263200 : 1)
**u= -200/59 ; tau(u)= -59/100 ; -235286*x^2 - 46962*y^2 - 66076*x*z + 23600*z^2
; C5a (-2561/20798 : 48323/62394 : 1)  C5b (-83223/237554 : -14860/356331 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (-194193/1589930 : 35032/794965 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (30643/1544058 : 21080/772029 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (-88373/35890 : 6264/17945 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (-61315/380184 : -983/190092 : 1)
**u= -164/45 ; tau(u)= -45/82 ; -151878*x^2 - 30946*y^2 - 45692*x*z + 14760*z^2
; C5a (-139480/536199 : -129990/178733 : 1)  C5b (-205445/260856 : 14897/130428 : 1)
**u= -160/159 ; tau(u)= -159/80 ; -432006*x^2 - 76162*y^2 + 49924*x*z + 50880*z^2
; C5a (-1142/7723 : 5164/7723 : 1)  C5b (-6242591/208750770 : -4717316/104375385 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-5870465/64017096 : -1797877/32008548 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (-239/480 : 239/23760 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (-56215/153528 : 4123/76764 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (-8665/35984 : 102113/2213016 : 1)
**u= -140/171 ; tau(u)= -171/70 ; -425766*x^2 - 78082*y^2 + 77764*x*z + 47880*z^2
; C5a (14560/35587 : 11690/35587 : 1)  C5b (1315535/33717376 : -755109/16858688 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (-62605/153942 : -5896/76971 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-40717/130082 : 120/65041 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-143/26902 : 44580/1869689 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (31775/28984 : 981/14492 : 1)
**u= -120/47 ; tau(u)= -47/60 ; -101574*x^2 - 18818*y^2 - 19964*x*z + 11280*z^2
; C5a (1718/9463 : -439172/917911 : 1)  C5b (-33/56 : -35/388 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (-28239/310990 : -6064/155495 : 1)
**u= -116/27 ; tau(u)= -27/58 ; -69798*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z + 6264*z^2
; C5a (41/402 : 61/134 : 1)  C5b (-51883/57298 : 3720/28649 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (-252445/1760792 : -56247/880396 : 1)
**u= -92/157 ; tau(u)= -157/46 ; -288838*x^2 - 57762*y^2 + 81668*x*z + 28888*z^2
; C5a (-2461/142018 : -293365/426054 : 1)  C5b (-90669/1177054 : 115000/1765581 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (11465/214656 : 1403/107328 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (-16655/43854 : 1436/21927 : 1)
**u= -80/57 ; tau(u)= -57/40 ; -75174*x^2 - 12898*y^2 + 196*x*z + 9120*z^2
; C5a (-13723/73074 : -17201/24358 : 1)  C5b (-62249/1456482 : 18500/728241 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (60997/27518 : -3000/13759 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (605929/7107600 : -176603/3553800 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (13827/3119360 : 83873/1559680 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (30291/150302 : 1700/75151 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (-21437/18712 : 375/9356 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (725921/2823376 : 49155/1411688 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (-1101473/141669230 : 4809636/70834615 : 1)
**u= -40/183 ; tau(u)= -183/20 ; -264294*x^2 - 68578*y^2 + 130756*x*z + 14640*z^2
; C5a (62830/279063 : -20740/31007 : 1)  C5b (-2084501/11405688 : 400615/5702844 : 1)
**u= -24/125 ; tau(u)= -125/12 ; -119478*x^2 - 31826*y^2 + 61348*x*z + 6000*z^2
; C5a (-244/4069 : -992/4069 : 1)  C5b (-107845/2164166 : -76392/1082083 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (67405/411954 : -12964/205977 : 1)
**u= -16/77 ; tau(u)= -77/8 ; -46198*x^2 - 12114*y^2 + 23204*x*z + 2464*z^2
; C5a (-23677/263946 : 23603/791838 : 1)  C5b (6967/1338648 : 138985/2007972 : 1)
**u= -12/155 ; tau(u)= -155/6 ; -159462*x^2 - 48194*y^2 + 95812*x*z + 3720*z^2
; C5a (15566/1897693 : 579566/1897693 : 1)  C5b (307469/4266830 : 8676/125495 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (-48997/149082 : -4600/74541 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 12/61 ; tau(u)= 61/6 ; -16902*x^2 - 7586*y^2 + 14596*x*z - 1464*z^2
; C5a (4645/23058 : 827/2562 : 1)  C5b (-51817/126502 : -60/63251 : 1)
**u= 16/77 ; tau(u)= 77/8 ; -26486*x^2 - 12114*y^2 + 23204*x*z - 2464*z^2
; C5a (848/6539 : -1780/19617 : 1)  C5b (-25681/250584 : -24335/375876 : 1)
**u= 20/87 ; tau(u)= 87/10 ; -32694*x^2 - 15538*y^2 + 29476*x*z - 3480*z^2
; C5a (4168/29211 : -606/9737 : 1)  C5b (-9139/119160 : 3911/59580 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (164761/333788640 : -11723411/166894320 : 1)
**u= 24/5 ; tau(u)= 5/12 ; -918*x^2 - 626*y^2 - 1052*x*z - 240*z^2
; C5a (-91/214 : 55/214 : 1)  C5b (3925/9082 : -216/4541 : 1)
**u= 40/183 ; tau(u)= 183/20 ; -147174*x^2 - 68578*y^2 + 130756*x*z - 14640*z^2
; C5a (10012/17557 : -7364/17557 : 1)  C5b (261827/1537640 : -54177/768820 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (148233/1004432 : -35525/502216 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (-815337/2261662 : 16820/1130831 : 1)
**u= 64/183 ; tau(u)= 183/32 ; -119526*x^2 - 71074*y^2 + 125764*x*z - 23424*z^2
; C5a (2554/5883 : -684/1961 : 1)  C5b (-249673/6114072 : -196835/3057036 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (20599/69974 : -720/34987 : 1)
**u= 116/27 ; tau(u)= 27/58 ; -19686*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z - 6264*z^2
; C5a (-14544/36931 : -3486/36931 : 1)  C5b (215557/317362 : -15180/158681 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (-41/80 : -41/3960 : 1)
**u= 164/31 ; tau(u)= 31/82 ; -45782*x^2 - 28818*y^2 - 49948*x*z - 10168*z^2
; C5a (-334/1227 : 130/3681 : 1)  C5b (36969/55096 : -7505/82644 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (-3707215/4473142 : -168204/2236571 : 1)
**u= 180/31 ; tau(u)= 31/90 ; -58326*x^2 - 34322*y^2 - 60956*x*z - 11160*z^2
; C5a (-136/169 : 1318/22139 : 1)  C5b (1909/142 : -16920/9301 : 1)
**u= 184/15 ; tau(u)= 15/92 ; -80838*x^2 - 34306*y^2 - 66812*x*z - 5520*z^2
; C5a (-49210/67691 : 6620/67691 : 1)  C5b (-8123/1040 : 561/520 : 1)
55
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.27
H.Nakao

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