Integer Points on A^4+B^4+38809*C^4=D^4

[2026.05.05]A^4+B^4+38809*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム"syzygy3.gp"(Pari/GP)
A^4+B^4+n^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム"x100.gp"(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム"conics2.magma"(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム"rp4.magma"(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=197とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように166個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(197,1,200);
**u= -200/189 ; tau(u)= -189/100 ; -636726*x^2 - 111442*y^2 + 62884*x*z + 75600*z^2
; C5a (-24399/189862 : -135789/189862 : 1)  C5b (-77619/227171 : 16801/227171 : 1)
**u= -196/13 ; tau(u)= -13/98 ; -136646*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z + 5096*z^2
; C5a (431/9670 : 5573/29010 : 1)  C5b (-4777/7251 : 1603/21753 : 1)
**u= -192/95 ; tau(u)= -95/96 ; -310662*x^2 - 54914*y^2 - 37628*x*z + 36480*z^2
; C5a (-152715/572866 : 382125/572866 : 1)  C5b (-27913/12894 : -1580/6447 : 1)
**u= -192/113 ; tau(u)= -113/96 ; -360774*x^2 - 62402*y^2 - 22652*x*z + 43392*z^2
; C5a (-75/1354 : -1131/1354 : 1)  C5b (-368663/227358 : 20228/113679 : 1)
**u= -192/121 ; tau(u)= -121/96 ; -384294*x^2 - 66146*y^2 - 15164*x*z + 46464*z^2
; C5a (-251659/684510 : -8683/228170 : 1)  C5b (-220807/52482 : 8324/26241 : 1)
**u= -192/181 ; tau(u)= -181/96 ; -585174*x^2 - 102386*y^2 + 57316*x*z + 69504*z^2
; C5a (10337/47002 : 34073/47002 : 1)  C5b (-802177/39157522 : -807444/19578761 : 1)
**u= -188/115 ; tau(u)= -115/94 ; -358342*x^2 - 61794*y^2 - 17788*x*z + 43240*z^2
; C5a (-3926/3075979 : -7721210/9227937 : 1)  C5b (-212077/2916094 : 78020/4374141 : 1)
**u= -184/147 ; tau(u)= -147/92 ; -447606*x^2 - 77074*y^2 + 18724*x*z + 54096*z^2
; C5a (-492420/1755869 : 738708/1755869 : 1)  C5b (-24893/102221 : 6417/102221 : 1)
**u= -184/179 ; tau(u)= -179/92 ; -557302*x^2 - 97938*y^2 + 60452*x*z + 65872*z^2
; C5a (294996/2373871 : -5791844/7121613 : 1)  C5b (-125711/538270 : 53644/807405 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (13369/1649793 : 17045/1649793 : 1)
**u= -172/21 ; tau(u)= -21/86 ; -120294*x^2 - 30466*y^2 - 57404*x*z + 7224*z^2
; C5a (-9487/16398 : 409/5466 : 1)  C5b (-292833/38783 : -41083/38783 : 1)
**u= -168/127 ; tau(u)= -127/84 ; -352134*x^2 - 60482*y^2 + 8068*x*z + 42672*z^2
; C5a (1125885/4202366 : 2389671/4202366 : 1)  C5b (-1060601/36166722 : 497704/18083361 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-3214347/135499997 : -6114049/135499997 : 1)
**u= -160/177 ; tau(u)= -177/80 ; -491334*x^2 - 88258*y^2 + 74116*x*z + 56640*z^2
; C5a (48/9257 : 7440/9257 : 1)  C5b (-24917/1776746 : -42720/888373 : 1)
**u= -156/49 ; tau(u)= -49/78 ; -148566*x^2 - 29138*y^2 - 39068*x*z + 15288*z^2
; C5a (-2908/9303 : 2070/3101 : 1)  C5b (67931/50766 : -2080/25383 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (-79747/1264654 : 7860/632327 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (-61593/118318 : -2932/59159 : 1)
**u= -152/93 ; tau(u)= -93/76 ; -234294*x^2 - 40402*y^2 - 11612*x*z + 28272*z^2
; C5a (1580/261197 : -218192/261197 : 1)  C5b (-86057/242159 : 16581/242159 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-7627/302389 : 14745/302389 : 1)
**u= -148/87 ; tau(u)= -87/74 ; -214134*x^2 - 37042*y^2 - 13532*x*z + 25752*z^2
; C5a (-38014/394937 : 324910/394937 : 1)  C5b (-688315/6800018 : 78984/3400009 : 1)
**u= -148/93 ; tau(u)= -93/74 ; -227718*x^2 - 39202*y^2 - 9212*x*z + 27528*z^2
; C5a (11157/36290 : -10323/36290 : 1)  C5b (-9947/45263 : 2331/45263 : 1)
**u= -148/177 ; tau(u)= -177/74 ; -463254*x^2 - 84562*y^2 + 81508*x*z + 52392*z^2
; C5a (-227699/1274218 : 60457/115838 : 1)  C5b (-97707/5337845 : -275993/5337845 : 1)
**u= -144/187 ; tau(u)= -187/72 ; -487446*x^2 - 90674*y^2 + 98404*x*z + 53856*z^2
; C5a (99248/347401 : -236956/347401 : 1)  C5b (395177/7726078 : -177396/3863039 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (-119/239 : 1/99 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (-102171/437186 : 4528/218593 : 1)
**u= -136/21 ; tau(u)= -21/68 ; -80982*x^2 - 19378*y^2 - 35228*x*z + 5712*z^2
; C5a (-117263/209286 : 79/2114 : 1)  C5b (-1473723/1918634 : -100028/959317 : 1)
**u= -136/39 ; tau(u)= -39/68 ; -107046*x^2 - 21538*y^2 - 30908*x*z + 10608*z^2
; C5a (4039/22858 : 72775/251438 : 1)  C5b (-3203/3041 : -5079/33451 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-389117/46180778 : 2860400/69271167 : 1)
**u= -136/177 ; tau(u)= -177/68 ; -436038*x^2 - 81154*y^2 + 88324*x*z + 48144*z^2
; C5a (4799509/12611458 : 6038477/12611458 : 1)  C5b (286791/9527731 : 465761/9527731 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-3737/91098 : -29740/904473 : 1)
**u= -132/119 ; tau(u)= -119/66 ; -262902*x^2 - 45746*y^2 + 21796*x*z + 31416*z^2
; C5a (103625/747438 : 199681/249146 : 1)  C5b (-92809/184767 : 15451/184767 : 1)
**u= -132/139 ; tau(u)= -139/66 ; -314982*x^2 - 56066*y^2 + 42436*x*z + 36696*z^2
; C5a (-1139/38702 : 521129/657934 : 1)  C5b (10105/135366 : 34252/1150611 : 1)
**u= -128/59 ; tau(u)= -59/64 ; -130454*x^2 - 23346*y^2 - 18844*x*z + 15104*z^2
; C5a (-5802/47329 : 6080/7473 : 1)  C5b (-42243/4102 : 880/879 : 1)
**u= -128/111 ; tau(u)= -111/64 ; -236742*x^2 - 41026*y^2 + 16516*x*z + 28416*z^2
; C5a (66586/682183 : 561280/682183 : 1)  C5b (-27353/307186 : -7272/153593 : 1)
**u= -124/9 ; tau(u)= -9/62 ; -55542*x^2 - 15538*y^2 - 30428*x*z + 2232*z^2
; C5a (2225/36722 : 4001/36722 : 1)  C5b (-252101/319109 : 31497/319109 : 1)
**u= -124/99 ; tau(u)= -99/62 ; -203142*x^2 - 34978*y^2 + 8452*x*z + 24552*z^2
; C5a (37448/112967 : 42842/112967 : 1)  C5b (-16029/56578 : -1888/28289 : 1)
**u= -124/153 ; tau(u)= -153/62 ; -338358*x^2 - 62194*y^2 + 62884*x*z + 37944*z^2
; C5a (-3469/49922 : -393533/549142 : 1)  C5b (538715/7476494 : 1655256/41120717 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (-122527/420341 : -4905/420341 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (217673/29925687 : 351133/29925687 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (24971/1371219 : -59759/1371219 : 1)
**u= -120/191 ; tau(u)= -191/60 ; -445446*x^2 - 87362*y^2 + 117124*x*z + 45840*z^2
; C5a (12/53 : 8340/11077 : 1)  C5b (319/4254 : 22348/444543 : 1)
**u= -116/187 ; tau(u)= -187/58 ; -423718*x^2 - 83394*y^2 + 112964*x*z + 43384*z^2
; C5a (11911/27046 : 29405/81138 : 1)  C5b (90047/365494 : 512/548241 : 1)
**u= -112/27 ; tau(u)= -27/56 ; -66198*x^2 - 14002*y^2 - 22172*x*z + 6048*z^2
; C5a (530/3083 : 436/3083 : 1)  C5b (-43411/115991 : -4515/115991 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (-971/2294 : -72/1147 : 1)
**u= -112/75 ; tau(u)= -75/56 ; -138582*x^2 - 23794*y^2 - 2588*x*z + 16800*z^2
; C5a (23837/70658 : -5701/70658 : 1)  C5b (-22777/1164553 : 2541/1164553 : 1)
**u= -112/171 ; tau(u)= -171/56 ; -366294*x^2 - 71026*y^2 + 91876*x*z + 38304*z^2
; C5a (-6363/54898 : -31059/54898 : 1)  C5b (21963/909535 : 49909/909535 : 1)
**u= -108/79 ; tau(u)= -79/54 ; -140694*x^2 - 24146*y^2 + 1636*x*z + 17064*z^2
; C5a (-31/138 : 29/46 : 1)  C5b (-283517/744855 : -55411/744855 : 1)
**u= -104/51 ; tau(u)= -51/52 ; -90486*x^2 - 16018*y^2 - 11228*x*z + 10608*z^2
; C5a (509/3002 : -1853/3002 : 1)  C5b (-594181/4771126 : -5796/2385563 : 1)
**u= -104/89 ; tau(u)= -89/52 ; -154022*x^2 - 26658*y^2 + 10052*x*z + 18512*z^2
; C5a (12866/43629 : 72068/130887 : 1)  C5b (653/350409 : 32071/1051227 : 1)
**u= -104/109 ; tau(u)= -109/52 ; -194422*x^2 - 34578*y^2 + 25892*x*z + 22672*z^2
; C5a (131/422 : -745/1266 : 1)  C5b (3197803/86568407 : -9711545/259705221 : 1)
**u= -100/33 ; tau(u)= -33/50 ; -62934*x^2 - 12178*y^2 - 15644*x*z + 6600*z^2
; C5a (55424/3184103 : 2291746/3184103 : 1)  C5b (-60147/60178 : -4336/30089 : 1)
**u= -100/47 ; tau(u)= -47/50 ; -80854*x^2 - 14418*y^2 - 11164*x*z + 9400*z^2
; C5a (-275/3974 : -29465/35766 : 1)  C5b (2861/578 : -920/2601 : 1)
**u= -96/61 ; tau(u)= -61/48 ; -96822*x^2 - 16658*y^2 - 3548*x*z + 11712*z^2
; C5a (-6536/60689 : -49252/60689 : 1)  C5b (-20875/53193 : 3907/53193 : 1)
**u= -96/113 ; tau(u)= -113/48 ; -191046*x^2 - 34754*y^2 + 32644*x*z + 21696*z^2
; C5a (6576/19133 : 10440/19133 : 1)  C5b (-4193/2015997 : 98975/2015997 : 1)
**u= -96/143 ; tau(u)= -143/48 ; -260166*x^2 - 50114*y^2 + 63364*x*z + 27456*z^2
; C5a (-83387/383942 : -64679/383942 : 1)  C5b (510857/132418389 : 7450841/132418389 : 1)
**u= -92/75 ; tau(u)= -75/46 ; -114342*x^2 - 19714*y^2 + 5572*x*z + 13800*z^2
; C5a (31944/123551 : 76698/123551 : 1)  C5b (-216359/17486182 : 37320/1249013 : 1)
**u= -92/131 ; tau(u)= -131/46 ; -224774*x^2 - 42786*y^2 + 51716*x*z + 24104*z^2
; C5a (11239/35050 : 67393/105150 : 1)  C5b (6239/49625 : 5641/148875 : 1)
**u= -88/45 ; tau(u)= -45/44 ; -67062*x^2 - 11794*y^2 - 7388*x*z + 7920*z^2
; C5a (-1834/53799 : 14856/17933 : 1)  C5b (-6537/14603 : -1111/14603 : 1)
**u= -88/111 ; tau(u)= -111/44 ; -175302*x^2 - 32386*y^2 + 33796*x*z + 19536*z^2
; C5a (-19770/91783 : 32748/91783 : 1)  C5b (766169/5140751 : 17805/734393 : 1)
**u= -84/19 ; tau(u)= -19/42 ; -36102*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z + 3192*z^2
; C5a (644/6151 : 2674/6151 : 1)  C5b (413729/508874 : 1176/254437 : 1)
**u= -84/101 ; tau(u)= -101/42 ; -150246*x^2 - 27458*y^2 + 26692*x*z + 16968*z^2
; C5a (-2399/9378 : -331/3126 : 1)  C5b (-1375633/1358790 : 48304/679395 : 1)
**u= -80/9 ; tau(u)= -9/40 ; -25446*x^2 - 6562*y^2 - 12476*x*z + 1440*z^2
; C5a (2080/27597 : -2140/9199 : 1)  C5b (9121/9971 : 849/9971 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (-15367/9518 : -936/4759 : 1)
**u= -80/141 ; tau(u)= -141/40 ; -228726*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z + 22560*z^2
; C5a (-53223/11052934 : 7670757/11052934 : 1)  C5b (33507/180143 : 6533/180143 : 1)
**u= -76/35 ; tau(u)= -35/38 ; -45958*x^2 - 8226*y^2 - 6652*x*z + 5320*z^2
; C5a (1367/25146 : 5251/6858 : 1)  C5b (-1923/1399 : -745/4197 : 1)
**u= -76/189 ; tau(u)= -189/38 ; -346566*x^2 - 77218*y^2 + 131332*x*z + 28728*z^2
; C5a (-875/277698 : 56049/92566 : 1)  C5b (-250905/1257206 : 45052/628603 : 1)
**u= -72/73 ; tau(u)= -73/36 ; -89574*x^2 - 15842*y^2 + 10948*x*z + 10512*z^2
; C5a (9/22 : 3/1958 : 1)  C5b (-1865/43934 : -94032/1955063 : 1)
**u= -72/115 ; tau(u)= -115/36 ; -161142*x^2 - 31634*y^2 + 42532*x*z + 16560*z^2
; C5a (-13355/183746 : 116045/183746 : 1)  C5b (206539/2446074 : -60136/1223037 : 1)
**u= -68/9 ; tau(u)= -9/34 ; -19254*x^2 - 4786*y^2 - 8924*x*z + 1224*z^2
; C5a (353/3206 : 131/3206 : 1)  C5b (-695/742 : -48/371 : 1)
**u= -68/45 ; tau(u)= -45/34 ; -50502*x^2 - 8674*y^2 - 1148*x*z + 6120*z^2
; C5a (-25767/153854 : 115587/153854 : 1)  C5b (-603/25337 : -61/25337 : 1)
**u= -68/183 ; tau(u)= -183/34 ; -314358*x^2 - 71602*y^2 + 124708*x*z + 24888*z^2
; C5a (-5395/2229218 : -1306229/2229218 : 1)  C5b (-80419/138137 : -6957/138137 : 1)
**u= -64/9 ; tau(u)= -9/32 ; -17382*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z + 1152*z^2
; C5a (117/2162 : -861/2162 : 1)  C5b (-521/34 : 36/17 : 1)
**u= -64/51 ; tau(u)= -51/32 ; -54006*x^2 - 9298*y^2 + 2212*x*z + 6528*z^2
; C5a (-454291/4116662 : -3202273/4116662 : 1)  C5b (131/84947 : 2049/84947 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (2359293/23141863 : -1104211/23141863 : 1)
**u= -64/115 ; tau(u)= -115/32 ; -150518*x^2 - 30546*y^2 + 44708*x*z + 14720*z^2
; C5a (-557/2858 : -835/8574 : 1)  C5b (-14063/180146 : -17900/270219 : 1)
**u= -60/7 ; tau(u)= -7/30 ; -14454*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z + 840*z^2
; C5a (-13/274 : -6541/11782 : 1)  C5b (151/21 : 883/903 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (-62587/644038 : 21600/322019 : 1)
**u= -56/121 ; tau(u)= -121/28 ; -151462*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z + 13552*z^2
; C5a (-1/4530 : 8783/13590 : 1)  C5b (4897/75149 : 13283/225447 : 1)
**u= -52/85 ; tau(u)= -85/26 ; -86822*x^2 - 17154*y^2 + 23492*x*z + 8840*z^2
; C5a (16/269 : 614/807 : 1)  C5b (-3221953/55904091 : -10650325/167712273 : 1)
**u= -48/29 ; tau(u)= -29/24 ; -23094*x^2 - 3986*y^2 - 1244*x*z + 2784*z^2
; C5a (6864/27073 : -13452/27073 : 1)  C5b (-785/14181 : -23/14181 : 1)
**u= -48/37 ; tau(u)= -37/24 ; -29334*x^2 - 5042*y^2 + 868*x*z + 3552*z^2
; C5a (4393/116306 : -97495/116306 : 1)  C5b (-19039/119218 : -3084/59609 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (-22081/133986 : -4784/66993 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (-8805/19954 : 104/9977 : 1)
**u= -44/21 ; tau(u)= -21/22 ; -15846*x^2 - 2818*y^2 - 2108*x*z + 1848*z^2
; C5a (-1100/29463 : -8074/9821 : 1)  C5b (-312203/945170 : -27264/472585 : 1)
**u= -40/81 ; tau(u)= -81/20 ; -70086*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z + 6480*z^2
; C5a (1278/4051 : -2748/4051 : 1)  C5b (1967/12277 : -567/12277 : 1)
**u= -40/87 ; tau(u)= -87/20 ; -78054*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z + 6960*z^2
; C5a (-4139/108802 : 64141/108802 : 1)  C5b (-145127/1606958 : -55284/803479 : 1)
**u= -40/199 ; tau(u)= -199/20 ; -306086*x^2 - 80802*y^2 + 155204*x*z + 15920*z^2
; C5a (-371/4366 : 70495/877566 : 1)  C5b (97/238 : -8/3417 : 1)
**u= -36/17 ; tau(u)= -17/18 ; -10518*x^2 - 1874*y^2 - 1436*x*z + 1224*z^2
; C5a (-26/209 : 170/209 : 1)  C5b (-7189/33822 : 592/16911 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (3505/26 : -132/13 : 1)
**u= -36/47 ; tau(u)= -47/18 ; -30678*x^2 - 5714*y^2 + 6244*x*z + 3384*z^2
; C5a (180/671 : -474/671 : 1)  C5b (5717/313186 : -7908/156593 : 1)
**u= -36/83 ; tau(u)= -83/18 ; -69126*x^2 - 15074*y^2 + 24964*x*z + 5976*z^2
; C5a (-343/8986 : -5135/8986 : 1)  C5b (114679/887889 : 47675/887889 : 1)
**u= -36/115 ; tau(u)= -115/18 ; -116358*x^2 - 27746*y^2 + 50308*x*z + 8280*z^2
; C5a (378/773 : -330/773 : 1)  C5b (-60293/87917 : 879/87917 : 1)
**u= -32/17 ; tau(u)= -17/16 ; -9158*x^2 - 1602*y^2 - 892*x*z + 1088*z^2
; C5a (14/57 : -4/9 : 1)  C5b (-4103/1470 : 628/2205 : 1)
**u= -32/183 ; tau(u)= -183/16 ; -250854*x^2 - 68002*y^2 + 131908*x*z + 11712*z^2
; C5a (78/649 : 4236/7139 : 1)  C5b (-1557/7105 : -769/11165 : 1)
**u= -28/3 ; tau(u)= -3/14 ; -3078*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z + 168*z^2
; C5a (-283/3402 : -221/378 : 1)  C5b (9849/15839 : -37/15839 : 1)
**u= -28/29 ; tau(u)= -29/14 ; -13894*x^2 - 2466*y^2 + 1796*x*z + 1624*z^2
; C5a (-156/1969 : 4442/5907 : 1)  C5b (142985/23375526 : 1473668/35063289 : 1)
**u= -28/51 ; tau(u)= -51/14 ; -29382*x^2 - 5986*y^2 + 8836*x*z + 2856*z^2
; C5a (20481/208978 : 2685/3542 : 1)  C5b (13857/132682 : 3364/66341 : 1)
**u= -24/37 ; tau(u)= -37/12 ; -17046*x^2 - 3314*y^2 + 4324*x*z + 1776*z^2
; C5a (-2027/31922 : -20989/31922 : 1)  C5b (-20923/630118 : -19056/315059 : 1)
**u= -24/133 ; tau(u)= -133/12 ; -133398*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z + 6384*z^2
; C5a (3713/7294 : -3275/7294 : 1)  C5b (-429557/2972218 : -105336/1486109 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (16261/398646 : -13804/199323 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (3/43 : -133/2193 : 1)
**u= -16/49 ; tau(u)= -49/8 ; -21446*x^2 - 5058*y^2 + 9092*x*z + 1568*z^2
; C5a (-5/38 : -1/114 : 1)  C5b (-67/29115 : 5909/87345 : 1)
**u= -16/153 ; tau(u)= -153/8 ; -160806*x^2 - 47074*y^2 + 93124*x*z + 4896*z^2
; C5a (-7/46910 : -15107/46910 : 1)  C5b (-642609/1163138 : 4408/581569 : 1)
**u= -12/23 ; tau(u)= -23/6 ; -5814*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z + 552*z^2
; C5a (-1160/71667 : -5242/7963 : 1)  C5b (15299/547389 : 32785/547389 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (-401/486 : -4/243 : 1)
**u= -12/127 ; tau(u)= -127/6 ; -109398*x^2 - 32402*y^2 + 64228*x*z + 3048*z^2
; C5a (-427/9726 : 75/3242 : 1)  C5b (35339/99111 : -4195/99111 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (635753/1415706 : -13300/707853 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (-3/7 : 5/63 : 1)
**u= -8/45 ; tau(u)= -45/4 ; -15222*x^2 - 4114*y^2 + 7972*x*z + 720*z^2
; C5a (-36/791 : -2448/8701 : 1)  C5b (35891/280006 : 99084/1540033 : 1)
**u= -8/69 ; tau(u)= -69/4 ; -33174*x^2 - 9586*y^2 + 18916*x*z + 1104*z^2
; C5a (8348/17861 : 9476/17861 : 1)  C5b (39499/826625 : -57573/826625 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (-26217/777262 : -27668/388631 : 1)
**u= -4 ; tau(u)= -1/2 ; -86*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z + 8*z^2
; C5a (-1/26 : -55/78 : 1)  C5b (-23/58 : -4/87 : 1)
**u= -4/89 ; tau(u)= -89/2 ; -50422*x^2 - 15858*y^2 + 31652*x*z + 712*z^2
; C5a (1056/1765 : 1682/5295 : 1)  C5b (-21169/227258 : 24044/340887 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4 ; tau(u)= 1/2 ; -22*x^2 - 18*y^2 - 28*x*z - 8*z^2
; C5a (-2/3 : -2/9 : 1)  C5b (39/74 : 8/111 : 1)
**u= 4/53 ; tau(u)= 53/2 ; -15206*x^2 - 5634*y^2 + 11204*x*z - 424*z^2
; C5a (516/4025 : -4442/12075 : 1)  C5b (-3075/7534 : 368/11301 : 1)
**u= 4/73 ; tau(u)= 73/2 ; -29686*x^2 - 10674*y^2 + 21284*x*z - 584*z^2
; C5a (62/1579 : -658/4737 : 1)  C5b (98015/983642 : 104024/1475463 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (-18453/507553 : -757/10799 : 1)
**u= 8/183 ; tau(u)= 183/4 ; -189414*x^2 - 67042*y^2 + 133828*x*z - 2928*z^2
; C5a (28852/49033 : 19160/49033 : 1)  C5b (-56415/10547429 : -750361/10547429 : 1)
**u= 12/23 ; tau(u)= 23/6 ; -1398*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z - 552*z^2
; C5a (1068/1391 : 210/1391 : 1)  C5b (215/374 : -12/187 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (-34079/340758 : -9320/170379 : 1)
**u= 12/41 ; tau(u)= 41/6 ; -6582*x^2 - 3506*y^2 + 6436*x*z - 984*z^2
; C5a (78/161 : 66/161 : 1)  C5b (2467/3901 : 111/3901 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (92461/2418786 : -85900/1209393 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (-1166621/151717583 : 10771365/151717583 : 1)
**u= 12/179 ; tau(u)= 179/6 ; -175494*x^2 - 64226*y^2 + 127876*x*z - 4296*z^2
; C5a (5773/14270 : 7703/14270 : 1)  C5b (145/4337 : -309/4337 : 1)
**u= 16/49 ; tau(u)= 49/8 ; -8902*x^2 - 5058*y^2 + 9092*x*z - 1568*z^2
; C5a (251/334 : -217/1002 : 1)  C5b (-9739/32087 : -2999/96261 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (-1929/7754 : 424/11631 : 1)
**u= 20/51 ; tau(u)= 51/10 ; -8646*x^2 - 5602*y^2 + 9604*x*z - 2040*z^2
; C5a (1942/2697 : 238/899 : 1)  C5b (-13871/71639 : -3411/71639 : 1)
**u= 24/5 ; tau(u)= 5/12 ; -918*x^2 - 626*y^2 - 1052*x*z - 240*z^2
; C5a (-91/214 : 55/214 : 1)  C5b (1003/902 : 72/451 : 1)
**u= 24/131 ; tau(u)= 131/12 ; -79542*x^2 - 34898*y^2 + 67492*x*z - 6288*z^2
; C5a (184364/316261 : -131416/316261 : 1)  C5b (93961/488478 : 17072/244239 : 1)
**u= 24/133 ; tau(u)= 133/12 ; -82326*x^2 - 35954*y^2 + 69604*x*z - 6384*z^2
; C5a (5125/32558 : 8641/32558 : 1)  C5b (114767/13762855 : 967539/13762855 : 1)
**u= 24/169 ; tau(u)= 169/12 ; -140646*x^2 - 57698*y^2 + 113092*x*z - 8112*z^2
; C5a (1153/2054 : -899/2054 : 1)  C5b (-16039/70610 : 2028/35305 : 1)
**u= 28/3 ; tau(u)= 3/14 ; -1734*x^2 - 802*y^2 - 1532*x*z - 168*z^2
; C5a (-390/1453 : 558/1453 : 1)  C5b (-5709/8194 : 164/4097 : 1)
**u= 28/51 ; tau(u)= 51/14 ; -6534*x^2 - 5986*y^2 + 8836*x*z - 2856*z^2
; C5a (1708/2155 : -182/2155 : 1)  C5b (185/2299 : -153/2299 : 1)
**u= 32/109 ; tau(u)= 109/16 ; -46454*x^2 - 24786*y^2 + 45476*x*z - 6976*z^2
; C5a (10151/14074 : -98279/379998 : 1)  C5b (46091/381462 : -366872/5149737 : 1)
**u= 36/193 ; tau(u)= 193/18 ; -171798*x^2 - 75794*y^2 + 146404*x*z - 13896*z^2
; C5a (63490/321893 : 9682/29263 : 1)  C5b (-625373/1527810 : -7372/763905 : 1)
**u= 40/81 ; tau(u)= 81/20 ; -18246*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z - 6480*z^2
; C5a (29237/43098 : 3255/14366 : 1)  C5b (361791/2854286 : 99392/1427143 : 1)
**u= 40/87 ; tau(u)= 87/20 ; -22374*x^2 - 16738*y^2 + 27076*x*z - 6960*z^2
; C5a (28101/69382 : 87/614 : 1)  C5b (-119199/450494 : 6052/225247 : 1)
**u= 40/199 ; tau(u)= 199/20 ; -178726*x^2 - 80802*y^2 + 155204*x*z - 15920*z^2
; C5a (13/18 : -691/3618 : 1)  C5b (-483/5702 : 37996/573051 : 1)
**u= 44/101 ; tau(u)= 101/22 ; -31462*x^2 - 22338*y^2 + 36932*x*z - 8888*z^2
; C5a (87/134 : -115/402 : 1)  C5b (-8681/57114 : 4352/85671 : 1)
**u= 44/171 ; tau(u)= 171/22 ; -121062*x^2 - 60418*y^2 + 113092*x*z - 15048*z^2
; C5a (135940/261111 : 37166/87037 : 1)  C5b (-491703/1712755 : -71297/1712755 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (8029/16574 : -6048/91157 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (-48163/224038 : -3300/112019 : 1)
**u= 56/121 ; tau(u)= 121/28 ; -43046*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z - 13552*z^2
; C5a (348675/726742 : 488569/2180226 : 1)  C5b (5563/14221 : 2989/42663 : 1)
**u= 56/131 ; tau(u)= 131/28 ; -53686*x^2 - 37458*y^2 + 62372*x*z - 14672*z^2
; C5a (559/1598 : -35/282 : 1)  C5b (1999/73602 : 7348/110403 : 1)
**u= 60/7 ; tau(u)= 7/30 ; -7734*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z - 840*z^2
; C5a (-421/1078 : -20393/46354 : 1)  C5b (79/199 : 63/8557 : 1)
**u= 60/193 ; tau(u)= 193/30 ; -141654*x^2 - 78098*y^2 + 141796*x*z - 23160*z^2
; C5a (277294/1348973 : 6746/1348973 : 1)  C5b (804913/4701381 : 335705/4701381 : 1)
**u= 64/9 ; tau(u)= 9/32 ; -8166*x^2 - 4258*y^2 - 7868*x*z - 1152*z^2
; C5a (-11363/41254 : 12575/41254 : 1)  C5b (-112183/165550 : 168/11825 : 1)
**u= 68/117 ; tau(u)= 117/34 ; -32358*x^2 - 32002*y^2 + 45508*x*z - 15912*z^2
; C5a (1548/2135 : -102/2135 : 1)  C5b (-17699/595711 : 34203/595711 : 1)
**u= 76/189 ; tau(u)= 189/38 ; -116742*x^2 - 77218*y^2 + 131332*x*z - 28728*z^2
; C5a (2277/5890 : -1437/5890 : 1)  C5b (-875425/3611717 : -138537/3611717 : 1)
**u= 80/141 ; tau(u)= 141/40 ; -48246*x^2 - 46162*y^2 + 66724*x*z - 22560*z^2
; C5a (6218/7991 : 452/7991 : 1)  C5b (-201457/846647 : -18483/846647 : 1)
**u= 80/187 ; tau(u)= 187/40 ; -109334*x^2 - 76338*y^2 + 127076*x*z - 29920*z^2
; C5a (4511/7522 : -6817/22566 : 1)  C5b (250453/30305354 : -2977280/45458031 : 1)
**u= 80/189 ; tau(u)= 189/40 ; -112566*x^2 - 77842*y^2 + 130084*x*z - 30240*z^2
; C5a (28769/39746 : 10015/39746 : 1)  C5b (2204393/6414094 : 225600/3207047 : 1)
**u= 84/19 ; tau(u)= 19/42 ; -10566*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z - 3192*z^2
; C5a (-8032/22051 : -1130/22051 : 1)  C5b (-63839/71387 : 2889/71387 : 1)
**u= 96/5 ; tau(u)= 5/48 ; -23958*x^2 - 9266*y^2 - 18332*x*z - 960*z^2
; C5a (-1128/16561 : 2292/16561 : 1)  C5b (40723/90342 : -128/45171 : 1)
**u= 112/27 ; tau(u)= 27/56 ; -17814*x^2 - 14002*y^2 - 22172*x*z - 6048*z^2
; C5a (-70/143 : -28/143 : 1)  C5b (12939/19274 : 40/419 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (-6487/10643 : 275/31929 : 1)
**u= 124/9 ; tau(u)= 9/62 ; -37686*x^2 - 15538*y^2 - 30428*x*z - 2232*z^2
; C5a (-3970/28613 : 8162/28613 : 1)  C5b (4219/5953 : 501/5953 : 1)
**u= 136/21 ; tau(u)= 21/68 ; -35286*x^2 - 19378*y^2 - 35228*x*z - 5712*z^2
; C5a (-61675/291518 : 26623/291518 : 1)  C5b (465081/412619 : 65993/412619 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (-21/41 : -1/99 : 1)
**u= 144/25 ; tau(u)= 25/72 ; -37158*x^2 - 21986*y^2 - 38972*x*z - 7200*z^2
; C5a (-3275/7098 : -855/2366 : 1)  C5b (127/222 : -8/111 : 1)
**u= 156/37 ; tau(u)= 37/78 ; -35046*x^2 - 27074*y^2 - 43196*x*z - 11544*z^2
; C5a (-47623/118530 : -331/4390 : 1)  C5b (-50123/60046 : 96/30023 : 1)
**u= 172/21 ; tau(u)= 21/86 ; -62502*x^2 - 30466*y^2 - 57404*x*z - 7224*z^2
; C5a (-4898/19597 : 6370/19597 : 1)  C5b (222273/217498 : -15424/108749 : 1)
**u= 176/51 ; tau(u)= 51/88 ; -36726*x^2 - 36178*y^2 - 51548*x*z - 17952*z^2
; C5a (-17328/26941 : -444/26941 : 1)  C5b (137833/102014 : -9732/51007 : 1)
**u= 180/47 ; tau(u)= 47/90 ; -42774*x^2 - 36818*y^2 - 55964*x*z - 16920*z^2
; C5a (-13023/15754 : 873/15754 : 1)  C5b (540509/1353579 : -65321/1353579 : 1)
**u= 196/13 ; tau(u)= 13/98 ; -95878*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z - 5096*z^2
; C5a (-4769/9746 : -14255/29238 : 1)  C5b (-27809/32454 : -4180/48681 : 1)
166
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0のとき

1813759153864^4+13236759876713^4+38809*515909048452^4=13524750952617^4
12757203188829611103280764678415498189915200870381728^4+27555983462307691985914359849433958649422879698159137^4+38809*2536384692714585673788379706907678582011384697269448^4=38553256899278250618691048822480783282076407083297313^4
3189581218530648533586767438624594847803782895252445856811348312149324106522473199174780482374484930679232690894947848^4+3608725217204909640743142993415627638895396464815451533583307226601647931235720849620742008239472088303290696383326889^4+38809*1986189026327496397822023356915764702699224182627738264775601933019986466203762340540479469489111629133189074570042508^4=27880642223726966728225417135105598965811010746589554738411947578710715314396911980429783341088713309330240934545728233^4
1478152112613213352535673135802577538076905876351402167792974898575675631290992117286984726174282269805468369783397305115272568050910203035590845026139138682673683326527475998801029683888507973846930389653806975^4+2305426806292876422062608589098336072155377564178440540205890338207459373827500342630144409291753915309993595459719286426175452653779055570239122754808870046619767950160810284766297423617938558361148506413499776^4+38809*347463360058759059493292191351771551944262449420357465038296347760670739504941907822941060853001674762785924875950962591660802542671916289213330305271360401358453394635058193336593349494276007802516245770882960^4=4946549138108038641285494608180361292953685136070322858732423090171894479148739295376478202208650663872495383136866867571836515682930973419906083991945433229975413009982152475607976053102273156894497137844150401^4
54588607602967389088059670680893829309593219841257025642750209767044257562674587877458455566231168266537360851224554002244893528901205634555102596156053715829674759108133015572298640642482679766104385271022297667446665446982915234100328075855007379553462543950875870563643893272806893523667281368642514054945420580181541746333911^4+202186367571684779703818067452405171976094050622602865917612628373496979120893940766323211389682578465683654776552810888964171679074448986404680890049134270390238520700510331654093122398963339655178330652711087685378163741315859066780723416237191727870268358261840446126689236231253016881297875296291323488627117658204145536478072^4+38809*11850571518673665993693579526281078285037153480396805826246013126754064947934896081962090706873704871261292543241724863275348695924311224539894602610694103089051076177522427385903557954565989979307044853970196901240930163750300556318842598382471558587022481431740013662934311483727393444353586833931973921400377559194151591877012^4=222375807307506836854281836104177703741410080097073013404497029014205759950200608599592192358457014408217400562362877680413932047819187050985604858333684386788537050661531519437568503206011375830160013664594586926270467408286999916674014298352393642548318173475326617828155559684595823882993053627772327658790819812175712034064233^4
69699447375258949211902982312599417010316990708839652768621049693428337560586576333943723446548174953489035705659797465573401632048929009729626850483882507943677890201238113845651871127327986188611855123024764484850309621052788255469245086701518851571471743595941037755739108766263313151860898347356133084971983642749763101594950857669880222901901971028810118875613307389790825186549332289936407624331902681324491756888669981432720627756619279480217453927948651464664094943^4+2344041192773392567583747256196291182078418864601536341891911294060511330627797391780222465984056592796134353044656299524238366398570244730977291577707262914162628846487908179118528079228044671059868338366053911449591274798049988921114977567636696567712672132351295521826750515619379978926301166283459984647321452233674085806575767007851892707446680062331452837878323727551545118944174137261115049553921411458453145839537606176297958417921430227050331277086245519673394541152^4+38809*41047025416498032447117922834917198365114537227827896122018126867487017878083804429750371984084840800388857602522515815153932554790577526150006699908665631388648772452846384633089685900670425353834225587632487490255392290521626845006432555976001195485769095782550103200105451322559229099027505528203348081778678591578695439659661390864221278346739501231971263680724414376331687342018143111372368899863976291865201853102801521652577785724096807241245059452190731569010302552^4=2346177201125807553876997247229689825356678819570917796453130374038670659474851828897740005055297711390428733892093629900079093664405697514955969079880979104788546469193771336439458965662101358829089595755873599045200086447070445360835401478846767041618064408064464261901637534314967513393766202715109376385653827825606168300492368730485001384380645793509618589497105499517050145566600270977075838499593926219150209028911208101714347950848840973164718669780616001356273191713^4
...

u=-128/111のとき

5478035000578482140279982928026690119190498002^4+18276163994082514145821911775618014132507257023^4+38809*1277684686542784350595447193821320255898151456^4=21555603117316747872473347500920682533490222483^4
629017648448403841724418496730075450909926115922395858634062539999393294404205000942786374003098208175331373109668764649876930344121951556175785310874873826820140205618910965487793546179911875783807760111936722041173631377135022973668527544615722964557405320521086139361400398044651127546554916350783669181679964931272402670782460714600473038451689267478607721691143324826928239453059283355287616466083200337966869616745484741242017^4+753149967695073270624620188100613714515074247942981134811732448646038625316637091403595621067316062206725816812734637456529756616761499067154138263737213815047286125016596121033355442368877136230376695975219169435299798465008357744183529101940812605352068909598484595440850481509779035146628853041454932377423571952419898131665881739194672204200494891067130782286106198738551501382109452940268014408104089592719045027229797338344558^4+38809*5914743643849740884637806424598118501833080293048000666908121598551491493130643238095992285644140032578350475199871726673828875458296269663393648714020489871277876597172962397442797618827695087127921238992413788971737361325937892877853047299116436861759162276982497509017966113258517160314837989182084626733631421177749564240438931296015223484736092751639900282593744853405732620897401485256128355761168951762737627344317238902176^4=831643044705218708503708688510958225191993132737025332028463940230116655032935435185550648986083062409402321379608852010100372403587445995642475743412451504334346036291637005714104390610947642084309735965117999096629192060929215988083420369925922064006054378536141043911315275143487364115470205031885258673343262890171096467703168038480763001459278327919376833836027855665563712464438078769591260426498053397348885779105483677803443^4
...

u=-132/119のとき

79595412923156291755566^4+106940645265841499084987^4+38809*2620571118651929003604^4=114645991689072068729951^4
28266703621907483283927564299994160410453332^4+363001253491303575608281301905788161291385849^4+38809*36070752436033797989434603324222967198072244^4=536847267750836396729275427810920214396055161^4
5286915192889097827379641746279068826365891208956177915822120210121200775818535497838907599004^4+7549172271585899313598178570246464835653830889403815813352000183474832125387665067509227813021^4+38809*234281819206006548489810045300373987311308521037563438300703822285393873345244828459220481196^4=8024334344362268095667613623865198977878261427553853585906412592425559453690152338091338662173^4
691444973093660572868797242991226397644635094675479254234035196136229741872953072762397035956101175908986703987676071637321781963166474109123854216931241075049^4+1493073070825671145246274914781104307666965406897259720094753223238543268278926306626782257043357216297819912356431124538739560095862558533364289832856309896826^4+38809*81613915887647934925251720258475541584282433631199300090406361788029793577064304415403484696092344744102272448679212748358562001841572464917736674825149959924^4=1621911163138153761157360529938703210279777210916908834421846657077111424991453305921329529197167906767483928254353113653131176782974447594430781174118557796363^4
26196686599159991337726966508059515674023861532421928094667837342454280000121091316456496875598477317697566086298343746122948515082263537906518816520512914537243140950549990531324572591^4+72284090617045743322292955550084630385209911400260310755138185068104330272198335400976793470425949992546848864267544526409210074123760862176134358537947920833569621437710581062849407412^4+38809*4554590414326902232736724747858846456750253419654969056817311356951809923070420567047354330027546141831806060729433788500004855456317791319649820764255076425463059105654046561230997196^4=81662306556063622937468907223667086741547303100595962639773531549611299754696581234257926785757176871078935509320236194515131253835507522973939069870749693860430196610331077260138005201^4
13941093048242477513998497776486150622982751908293068599479649924629380965554332523806135539971976401452459467456213279957726740614173231878129291427286986202798913828101052313259275082909874631466171228852910774^4+114752536949919874054316884174381762216958028648384238769013859827743333822168345770469669015546497018901271947368406429147875302981308107147512486369053483059279262454122490456440593895805431865792085008703665551^4+38809*9489206734382409256320935792702190526209960293864669434840519671202289543067179913663108251005764928020452373148877158507824507585313221159026034893354141290112720834563380383636322711127279372414079943866264076^4=148637507671446959836013924816463580098371164296959230141365673326920130852283503217185639556358814281418652024027696085140369092483337504668749677119816767076684713809331702822997336363286326660504375636808403363^4
17421999961190100284802836668115415128249029877734205527373185241027609762882557679267423834189151556099204362518233936021286490950379181043237618336100393089099766145390367401654885643160357223799734935676908485767504135237025666565649562483498149453^4+21472687102719352815363068738310563753878060708040437466257342414806315313183889377551594176830550535331673921462071405793346488373399959762106298267895360610938272952529328556255402788237200345265797638607676568654485697805791834930741834409390408354^4+38809*125831035453157646213904374498128254806214176115504995707411195900423005638581156440549977849781130315968498315719686070209760272079425933791384063454802189154314460787129751089954603676296594872973287317707194507882147704157430692882060716236924076^4=23495165209045690077892179654283173775722735565909000025748970635535651309487001929716253473205221048399370491499581488154191323697828741526976799501578218785839268373792214299176503682643133180899258750283405085062773433843655365466722668660003696631^4
40340280367535089264966301183874252721193768062203669053061443939562269618306434662708128266030761456517043371340761055982339215373237060254391888151442282092536336462307314648438158503224140557685707585948423451973862312808509086786930542069709024181892202^4+109907106137150483159475931779514726008912070631454101955367345944242508364314813527331418371290362182692905588023738429378263837598728607870871733218699805142798552018234285437456525147869474427936054897055822767182718614041080810744517061082247281519173439^4+38809*13660906453145361546130468533573292544245506824290321238267863716946066668381413076795598024230682952796913000788910640468300363568080793918413920929318985767960795785055771233706800227714534698343969962934668528970942845378568002492184152709161313165610316^4=196804594274450666884635863347084200528510700996435870794997293536263819049308430192042118348354291137814139533825634490874772953671026316409300271890732598088307713498921478767214470793337367407234824393649742099463137420123215719912353305667679421583623571^4
117921359000935265090555986250527285719047984694623868588851171639880066672958081739587162230338447132631900561982423377815099581738010073810960825226162168089667712841371094590396272938489570190026989588936020993397419120004853226299296417639842529572369198801171867091681509177801565979694045757312635605993361832457811026331877596^4+151582908314277303176142258120769973596127654632518338548047153727189226404807679984256102365121262755833918679955996130150137310031263544587018731595896614813833428487230891300910470009987870368812866388715754346110995157946399735483673972666279958010453872485505481137954986036372809613217286470424448640413973756976620167422965197^4+38809*2708231946912151381515387788001773871403216638572759384528662746260503866981657622867335533320398948891799579548003246333574473663248109322480554047612816475593514841777323948512484462099284464232779327709760628549625893817748779252756014301031737071736063361517025268393199053790267145444971829208332427298735590612941648871552876^4=164000809299111484592909977600135096936726835700669808706562117714637927895323424992956105033152546152215682413358226097772310449747551770798406170186132430193777382329201202213604125177040201119092744325311460339989355446512574578640393209987617512448348319579281163226551149862547730645439494122885818680597795658942037559100347981^4
1737028386852862342235553059461480987393180764590659859321863819646062253257115920937093396856229851152572330508439225960435591445316834457136183561022122913657904569755238333291587892010101013668197671972055688461639941294167615978142606236673036083944008419876971049784950642281819811922270422076806535178173442902400405529543516586443559868290272385681350342106123^4+2130787498860427528636399988397515859836965767444850237112514884053852942409311367618986737194877110814631063857314307872041265414766414810364284252186312041633385042381837662408448014032238978232366477568902980853836129746950662701037657896046901976611849345736902286362199498645640951715972328789909072122500583098877764504245382329338692239154558952660375016596164^4+38809*2244605016764943266253824817148999611133723464965539136111905899417780776318444994978926063584153314745486858214724590204085928589743412317479255349578049417054105444285130512990947728222018794245466977352462693392903023162784316760085989705309187814264171176773156857671557634109163887979300761319142298510584238576326614983300426146855669180608717765714514043116^4=2334824545249263443433256844467460994196819485847368840458580201743964713343411750880803084637561758969474104408664663936744830241116392823174324820937944815550008179223835202167368612320680027683126980355250634058388916178738537495946579494654353739910348947410056820857330447492183145881019276834438466967959664098909379455995964315619795091670060023308901272264821^4
976112205447907864853944972962379294956303648804505045327418647530287465330628143742245257442837791898284778314306931482547640782486666559803189470655600765519067205057803483542997971191135774385546837004666357074861040951813622206282004035883568053126372662989412288421794761940617256219729819562774348764670467224430104739279300756980644165666211849505631169118786013818548935726376784067225584111397176459^4+1866523660057228168998909141606231836642069712715598279636127161023822140860320656889573352559939589015339738575886478101635261568785537646309049716720279103557320375436724220967058069683587504796014012105533219995491232801621252402283004583413322935841238191028810228461401289034492909535218662486852853059637408098135240459403828246610190977673468285500359240392200215109185179658166543321541044722041957316^4+38809*92369188848315249203028026345030512410464264509000253662384509285782111236024487422414572145889944858739427331544610537413951107678081118780234902340848805082615379527624959820241766940811587433979525595553082516211010634429538020805682206078639516734420123217964829600760762024903718456073901587696979753816509043310351794029361156355433178276605023889260905276391529599024076115330204227749282081221532884^4=1995943857355172813227605068868142632207644955799435554478016454751951291456475693104281943178279121498504576025859719207378603052752631731053166525308434683219045238535618147778627509253210646126714960410437971221684492513529846585444817951285561406553596333397739489944997853053737606516125888603152490865032872552194181404136197855368615983924540778893468258191927882354246870496146766193056991246279174133^4
1668250716681682035315338004757228094799275304524808106589914899959945759455634542996076006748707041705396870432043594851701514996297439379891961464374790978091832815930189440880796474899345923469232231518439584223475417168322665219417764051710314543061212528277811723270568481707324000693253706136560899290949564871574271941887644147695516682417599548680982875388979626246747872243398307057465347515089187528946958222774358886165862306660009221236536073860703401569578296803324019548681199042592772716658073452063^4+3050073220469671995331016409086911385154043472329047826705584988075510750910443837676287405729549312612805322431387978620923425672853668184898658281631580922592803750005798888249319226013007537642142003377922832058811961635375105150340098035276964839476708733330829969828155972741248621237923979609805362971056688628609488149897339668323021538533503630247864593705971955787116193156920556527001111458996580184919624896402847908769841854833596135928811971170320792929663659090079651927455356466954584410738260516084^4+38809*144366182092867348543588522301622058810719919877218613113951398954057747689672733733139688844656072575107146110889563342476141532660893866614749192624917485753308506758812161438575171168292490108923709598562509023616100376294445268322947815728635623962706171314090969223481684751247634915251032793393894844738235711511055114374201740964897460224064872143771399392019975064865766885402894559772055978414967802036360870361819537639549484275318103663207690879273558152071599533013359458419900081137070414328580176396^4=3246947041781702492024385459683943387267344001546037947620089611830337667804791370832193737081205373305946828814204690354410410841865180312711805180278225391085683258880883804085222762168817706044962584075677502135641399361057311282739240740086351136896391471027140207042781369355647938939562598976353468254766791050976321238507928851576013433040170315927660112500655050971489561015827671037351424336899202172857722859559710065083463458235995722388009359368214065429211820190954582189635778995521902838503821410401^4
...

[2026.05.06追記]u=-132/119のときの整数解を追加した。
[2026.05.07追記]u=-128/111のときの整数解を追加した。

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.05.07

H.Nakao