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Integer Points on A^4+B^4+38025*C^4=D^4

[2026.04.28]A^4+B^4+38025*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=195とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように105個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(195,1,200);
**u= -196/81 ; tau(u)= -81/98 ; -281622*x^2 - 51538*y^2 - 50588*x*z + 31752*z^2
; C5a (116865/460762 : 57561/460762 : 1)  C5b (-8347061/2015236 : 475339/1007618 : 1)
**u= -196/93 ; tau(u)= -93/98 ; -312966*x^2 - 55714*y^2 - 42236*x*z + 36456*z^2
; C5a (90552/340819 : -80934/340819 : 1)  C5b (37402357/9866092 : -1197371/4933046 : 1)
**u= -192/95 ; tau(u)= -95/96 ; -310662*x^2 - 54914*y^2 - 37628*x*z + 36480*z^2
; C5a (-152715/572866 : 382125/572866 : 1)  C5b (-955033/7771826 : -18912/3885913 : 1)
**u= -188/57 ; tau(u)= -57/94 ; -211254*x^2 - 41842*y^2 - 57692*x*z + 21432*z^2
; C5a (21973/184326 : 32285/61442 : 1)  C5b (3510287/797462 : 188808/398731 : 1)
**u= -188/195 ; tau(u)= -195/94 ; -627462*x^2 - 111394*y^2 + 81412*x*z + 73320*z^2
; C5a (-943/5606 : 3437/5606 : 1)  C5b (1069/120868 : -2531/60434 : 1)
**u= -180/91 ; tau(u)= -91/90 ; -277926*x^2 - 48962*y^2 - 31676*x*z + 32760*z^2
; C5a (302989/2673014 : -1932767/2673014 : 1)  C5b (-797267/1888724 : 68861/944362 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (14899/598882 : -9776/299441 : 1)
**u= -176/105 ; tau(u)= -105/88 ; -306918*x^2 - 53026*y^2 - 17852*x*z + 36960*z^2
; C5a (-52963/254466 : 20317/28274 : 1)  C5b (-80857/47186 : 4336/23593 : 1)
**u= -176/129 ; tau(u)= -129/88 ; -374406*x^2 - 64258*y^2 + 4612*x*z + 45408*z^2
; C5a (7627/36886 : 481681/700834 : 1)  C5b (-363841/26654 : -62480/253213 : 1)
**u= -164/15 ; tau(u)= -15/82 ; -101718*x^2 - 27346*y^2 - 52892*x*z + 4920*z^2
; C5a (-34/59 : -158/649 : 1)  C5b (-770389/787502 : 575192/4331261 : 1)
**u= -164/195 ; tau(u)= -195/82 ; -564678*x^2 - 102946*y^2 + 98308*x*z + 63960*z^2
; C5a (742649/2246906 : -1305727/2246906 : 1)  C5b (4185569/24756788 : -6601/1768342 : 1)
**u= -160/39 ; tau(u)= -39/80 ; -135846*x^2 - 28642*y^2 - 45116*x*z + 12480*z^2
; C5a (626/10199 : 5780/10199 : 1)  C5b (-95419/22748 : -6411/11374 : 1)
**u= -160/51 ; tau(u)= -51/80 ; -157686*x^2 - 30802*y^2 - 40796*x*z + 16320*z^2
; C5a (-2888/57049 : 68/89 : 1)  C5b (158393/103964 : -17/158 : 1)
**u= -160/183 ; tau(u)= -183/80 ; -511974*x^2 - 92578*y^2 + 82756*x*z + 58560*z^2
; C5a (-23695/215822 : -147605/215822 : 1)  C5b (248503/2288236 : -31847/1144118 : 1)
**u= -156/5 ; tau(u)= -5/78 ; -79398*x^2 - 24386*y^2 - 48572*x*z + 1560*z^2
; C5a (5629/229646 : -26377/229646 : 1)  C5b (274033/358006 : -13700/179003 : 1)
**u= -156/49 ; tau(u)= -49/78 ; -148566*x^2 - 29138*y^2 - 39068*x*z + 15288*z^2
; C5a (-2908/9303 : 2070/3101 : 1)  C5b (-961099/67166 : 57840/33583 : 1)
**u= -156/55 ; tau(u)= -55/78 ; -159798*x^2 - 30386*y^2 - 36572*x*z + 17160*z^2
; C5a (23437/1058018 : -774229/1058018 : 1)  C5b (-98083/414254 : 3868/207127 : 1)
**u= -156/59 ; tau(u)= -59/78 ; -167526*x^2 - 31298*y^2 - 34748*x*z + 18408*z^2
; C5a (-2386/53937 : 14234/17979 : 1)  C5b (-189247/3238 : 10188/1619 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (-16021/74708 : -1851/37354 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (-56639/4192972 : 60465/2096486 : 1)
**u= -156/161 ; tau(u)= -161/78 ; -429462*x^2 - 76178*y^2 + 55012*x*z + 50232*z^2
; C5a (426/4073 : -3342/4073 : 1)  C5b (-123179/63214 : 292/31607 : 1)
**u= -156/175 ; tau(u)= -175/78 ; -475158*x^2 - 85586*y^2 + 73828*x*z + 54600*z^2
; C5a (2725/6422 : -425/6422 : 1)  C5b (617471/4424492 : -32305/2212246 : 1)
**u= -156/185 ; tau(u)= -185/78 ; -509238*x^2 - 92786*y^2 + 88228*x*z + 57720*z^2
; C5a (103610/320521 : -191230/320521 : 1)  C5b (65753/389924 : 585/194962 : 1)
**u= -156/191 ; tau(u)= -191/78 ; -530262*x^2 - 97298*y^2 + 97252*x*z + 59592*z^2
; C5a (12014/1057797 : 92778/117533 : 1)  C5b (-104951/124406 : -4764/62203 : 1)
**u= -152/129 ; tau(u)= -129/76 ; -326022*x^2 - 56386*y^2 + 20356*x*z + 39216*z^2
; C5a (-1204/4071 : -4300/14927 : 1)  C5b (-3667/150452 : -29503/827486 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (-268393/45542 : -260/3253 : 1)
**u= -144/37 ; tau(u)= -37/72 ; -113046*x^2 - 23474*y^2 - 35996*x*z + 10656*z^2
; C5a (5819/31494 : -9107/115478 : 1)  C5b (19847/20162 : 5132/110891 : 1)
**u= -140/33 ; tau(u)= -33/70 ; -102294*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z + 9240*z^2
; C5a (-26486/72189 : 4938/8021 : 1)  C5b (-118127/32486 : 8032/16243 : 1)
**u= -132/169 ; tau(u)= -169/66 ; -402102*x^2 - 74546*y^2 + 79396*x*z + 44616*z^2
; C5a (590/4069 : 3254/4069 : 1)  C5b (-365263/284548 : 3151/142274 : 1)
**u= -132/173 ; tau(u)= -173/66 ; -414534*x^2 - 77282*y^2 + 84868*x*z + 45672*z^2
; C5a (-68600/725183 : 480538/725183 : 1)  C5b (-2107/21538 : -672/10769 : 1)
**u= -124/135 ; tau(u)= -135/62 ; -289398*x^2 - 51826*y^2 + 42148*x*z + 33480*z^2
; C5a (14789/346274 : -283555/346274 : 1)  C5b (-7859/151822 : -3980/75911 : 1)
**u= -124/183 ; tau(u)= -183/62 ; -428598*x^2 - 82354*y^2 + 103204*x*z + 45384*z^2
; C5a (-38075/732006 : 167603/244002 : 1)  C5b (3877259/17974516 : -119493/8987258 : 1)
**u= -120/149 ; tau(u)= -149/60 ; -319446*x^2 - 58802*y^2 + 60004*x*z + 35760*z^2
; C5a (-59626/2815339 : 2151652/2815339 : 1)  C5b (-344873/587716 : -23385/293858 : 1)
**u= -120/163 ; tau(u)= -163/60 ; -359094*x^2 - 67538*y^2 + 77476*x*z + 39120*z^2
; C5a (-6347/119486 : -84767/119486 : 1)  C5b (63139/568028 : 10909/284014 : 1)
**u= -112/75 ; tau(u)= -75/56 ; -138582*x^2 - 23794*y^2 - 2588*x*z + 16800*z^2
; C5a (23837/70658 : -5701/70658 : 1)  C5b (-4651/35702 : 720/17851 : 1)
**u= -112/171 ; tau(u)= -171/56 ; -366294*x^2 - 71026*y^2 + 91876*x*z + 38304*z^2
; C5a (-6363/54898 : -31059/54898 : 1)  C5b (-548983/614372 : -15689/307186 : 1)
**u= -104/51 ; tau(u)= -51/52 ; -90486*x^2 - 16018*y^2 - 11228*x*z + 10608*z^2
; C5a (509/3002 : -1853/3002 : 1)  C5b (81011/3676 : 3283/1838 : 1)
**u= -104/81 ; tau(u)= -81/52 ; -139206*x^2 - 23938*y^2 + 4612*x*z + 16848*z^2
; C5a (2540/29729 : -24476/29729 : 1)  C5b (-39679/24706 : -1684/12353 : 1)
**u= -96/65 ; tau(u)= -65/48 ; -102918*x^2 - 17666*y^2 - 1532*x*z + 12480*z^2
; C5a (-3856/21211 : -169808/233321 : 1)  C5b (-38017/71276 : -34533/392018 : 1)
**u= -96/107 ; tau(u)= -107/48 ; -178518*x^2 - 32114*y^2 + 27364*x*z + 20544*z^2
; C5a (-10795/97642 : 67477/97642 : 1)  C5b (57527/381908 : 601/190954 : 1)
**u= -96/119 ; tau(u)= -119/48 ; -204006*x^2 - 37538*y^2 + 38212*x*z + 22848*z^2
; C5a (-31/322 : -29929/44114 : 1)  C5b (233/2558 : -6524/175223 : 1)
**u= -96/169 ; tau(u)= -169/48 ; -328806*x^2 - 66338*y^2 + 95812*x*z + 32448*z^2
; C5a (-6204382/48101419 : -22580776/48101419 : 1)  C5b (-161557/298988 : 10357/149494 : 1)
**u= -92/75 ; tau(u)= -75/46 ; -114342*x^2 - 19714*y^2 + 5572*x*z + 13800*z^2
; C5a (31944/123551 : 76698/123551 : 1)  C5b (-40739/330958 : 8188/165479 : 1)
**u= -92/195 ; tau(u)= -195/46 ; -397062*x^2 - 84514*y^2 + 135172*x*z + 35880*z^2
; C5a (1945/6082 : 4105/6082 : 1)  C5b (523937/1750844 : -95/18626 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (877169/344642 : -18016/172321 : 1)
**u= -76/39 ; tau(u)= -39/38 ; -50166*x^2 - 8818*y^2 - 5468*x*z + 5928*z^2
; C5a (-16786/390393 : 35990/43377 : 1)  C5b (3461/46 : -136/23 : 1)
**u= -76/189 ; tau(u)= -189/38 ; -346566*x^2 - 77218*y^2 + 131332*x*z + 28728*z^2
; C5a (-875/277698 : 56049/92566 : 1)  C5b (-268261/597644 : -19531/298822 : 1)
**u= -72/125 ; tau(u)= -125/36 ; -181302*x^2 - 36434*y^2 + 52132*x*z + 18000*z^2
; C5a (13742/28731 : 1916/9577 : 1)  C5b (-577177/661964 : 12153/330982 : 1)
**u= -72/131 ; tau(u)= -131/36 ; -193974*x^2 - 39506*y^2 + 58276*x*z + 18864*z^2
; C5a (1721/32266 : 23759/32266 : 1)  C5b (-238621/260684 : 1101/130342 : 1)
**u= -72/181 ; tau(u)= -181/36 ; -316374*x^2 - 70706*y^2 + 120676*x*z + 26064*z^2
; C5a (61348/115553 : -13448/115553 : 1)  C5b (-453263/2119132 : 76353/1059566 : 1)
**u= -64/117 ; tau(u)= -117/32 ; -154326*x^2 - 31474*y^2 + 46564*x*z + 14976*z^2
; C5a (2493/5294 : -1545/5294 : 1)  C5b (-4430383/5505092 : -117455/2752546 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (142163/750994 : 10084/375497 : 1)
**u= -60/169 ; tau(u)= -169/30 ; -263286*x^2 - 60722*y^2 + 107044*x*z + 20280*z^2
; C5a (258706/5794997 : -3683534/5794997 : 1)  C5b (360731/1642562 : 38024/821281 : 1)
**u= -56/27 ; tau(u)= -27/28 ; -25878*x^2 - 4594*y^2 - 3356*x*z + 3024*z^2
; C5a (-883/4002 : 985/1334 : 1)  C5b (-77683/150668 : -6339/75334 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (48781/200956 : 2035/100478 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (-153743/135028 : -2815/67514 : 1)
**u= -52/81 ; tau(u)= -81/26 ; -81174*x^2 - 15826*y^2 + 20836*x*z + 8424*z^2
; C5a (-9611/230322 : 52545/76774 : 1)  C5b (-93583/126212 : 4015/63106 : 1)
**u= -52/141 ; tau(u)= -141/26 ; -186054*x^2 - 42466*y^2 + 74116*x*z + 14664*z^2
; C5a (1830/13169 : 9342/13169 : 1)  C5b (28877/118412 : -347/8458 : 1)
**u= -52/159 ; tau(u)= -159/26 ; -225942*x^2 - 53266*y^2 + 95716*x*z + 16536*z^2
; C5a (-2395/18182 : -217/18182 : 1)  C5b (-18121/57956 : 2007/28978 : 1)
**u= -48/25 ; tau(u)= -25/24 ; -20262*x^2 - 3554*y^2 - 2108*x*z + 2400*z^2
; C5a (1869/8426 : 393/766 : 1)  C5b (-23957/192004 : 1669/96002 : 1)
**u= -48/53 ; tau(u)= -53/24 ; -44118*x^2 - 7922*y^2 + 6628*x*z + 5088*z^2
; C5a (-1595/11718 : 283/434 : 1)  C5b (14629/110356 : 869/55178 : 1)
**u= -48/109 ; tau(u)= -109/24 ; -120054*x^2 - 26066*y^2 + 42916*x*z + 10464*z^2
; C5a (2986/8291 : 5224/8291 : 1)  C5b (59/1204 : -37/602 : 1)
**u= -48/155 ; tau(u)= -155/24 ; -210582*x^2 - 50354*y^2 + 91492*x*z + 14880*z^2
; C5a (24538/1314803 : 752960/1314803 : 1)  C5b (86653/269284 : 3757/134642 : 1)
**u= -44/195 ; tau(u)= -195/22 ; -302598*x^2 - 77986*y^2 + 148228*x*z + 17160*z^2
; C5a (512/26627 : 13450/26627 : 1)  C5b (-397399/632012 : -649/316006 : 1)
**u= -40/81 ; tau(u)= -81/20 ; -70086*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z + 6480*z^2
; C5a (1278/4051 : -2748/4051 : 1)  C5b (-105041/252418 : -8916/126209 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (1721/596 : 25/298 : 1)
**u= -32/21 ; tau(u)= -21/16 ; -11094*x^2 - 1906*y^2 - 284*x*z + 1344*z^2
; C5a (-2719/30338 : 24865/30338 : 1)  C5b (-21833/7012 : 855/3506 : 1)
**u= -32/27 ; tau(u)= -27/16 ; -14358*x^2 - 2482*y^2 + 868*x*z + 1728*z^2
; C5a (8784/86977 : 71328/86977 : 1)  C5b (-23573/65818 : 2452/32909 : 1)
**u= -28/45 ; tau(u)= -45/14 ; -24582*x^2 - 4834*y^2 + 6532*x*z + 2520*z^2
; C5a (-6388/32631 : 2706/10877 : 1)  C5b (-11821/22322 : 808/11161 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (624163/3237116 : -79971/1618558 : 1)
**u= -24/71 ; tau(u)= -71/12 ; -45606*x^2 - 10658*y^2 + 19012*x*z + 3408*z^2
; C5a (20/37 : -496/2701 : 1)  C5b (23/178 : -380/6497 : 1)
**u= -20/27 ; tau(u)= -27/10 ; -9894*x^2 - 1858*y^2 + 2116*x*z + 1080*z^2
; C5a (-1772/801511 : -6286/8263 : 1)  C5b (26431/134452 : 751/67226 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (-3491/4828 : 13/2414 : 1)
**u= -16/147 ; tau(u)= -147/8 ; -149238*x^2 - 43474*y^2 + 85924*x*z + 4704*z^2
; C5a (149928/321281 : -170904/321281 : 1)  C5b (-18091/495116 : -17717/247558 : 1)
**u= -12/49 ; tau(u)= -49/6 ; -19542*x^2 - 4946*y^2 + 9316*x*z + 1176*z^2
; C5a (-30020/441899 : 133726/441899 : 1)  C5b (706423/1824442 : -6108/912221 : 1)
**u= -12/101 ; tau(u)= -101/6 ; -71334*x^2 - 20546*y^2 + 40516*x*z + 2424*z^2
; C5a (-1547/82206 : -7733/27402 : 1)  C5b (16241/185626 : -908/13259 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (-5803/10454 : 28/5227 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/57 ; tau(u)= 57/2 ; -17718*x^2 - 6514*y^2 + 12964*x*z - 456*z^2
; C5a (797/1382 : -575/1382 : 1)  C5b (-2803/6268 : 61/3134 : 1)
**u= 8/39 ; tau(u)= 39/4 ; -6822*x^2 - 3106*y^2 + 5956*x*z - 624*z^2
; C5a (980/1377 : -104/459 : 1)  C5b (-60121/149986 : 768/74993 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (757/24826 : -888/12413 : 1)
**u= 12/49 ; tau(u)= 49/6 ; -10134*x^2 - 4946*y^2 + 9316*x*z - 1176*z^2
; C5a (393/1078 : 453/1078 : 1)  C5b (-35003/131932 : -3077/65966 : 1)
**u= 16/147 ; tau(u)= 147/8 ; -111606*x^2 - 43474*y^2 + 85924*x*z - 4704*z^2
; C5a (17537/127094 : -3929/11554 : 1)  C5b (38747/74342 : -996/37171 : 1)
**u= 24/71 ; tau(u)= 71/12 ; -18342*x^2 - 10658*y^2 + 19012*x*z - 3408*z^2
; C5a (13/54 : -131/1314 : 1)  C5b (2881/4834 : 7860/176441 : 1)
**u= 24/169 ; tau(u)= 169/12 ; -140646*x^2 - 57698*y^2 + 113092*x*z - 8112*z^2
; C5a (1153/2054 : -899/2054 : 1)  C5b (72869/565274 : 20112/282637 : 1)
**u= 28/69 ; tau(u)= 69/14 ; -15462*x^2 - 10306*y^2 + 17476*x*z - 3864*z^2
; C5a (10601/13482 : 263/1498 : 1)  C5b (433231/628324 : -11681/314162 : 1)
**u= 28/117 ; tau(u)= 117/14 ; -58278*x^2 - 28162*y^2 + 53188*x*z - 6552*z^2
; C5a (30510/73417 : -32406/73417 : 1)  C5b (809729/1520276 : -33041/760138 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (5881/106052 : -3625/53026 : 1)
**u= 36/113 ; tau(u)= 113/18 ; -47958*x^2 - 26834*y^2 + 48484*x*z - 8136*z^2
; C5a (365/498 : 41/166 : 1)  C5b (48571/134494 : -4492/67247 : 1)
**u= 40/81 ; tau(u)= 81/20 ; -18246*x^2 - 14722*y^2 + 23044*x*z - 6480*z^2
; C5a (29237/43098 : 3255/14366 : 1)  C5b (-2287/21044 : -561/10522 : 1)
**u= 48/13 ; tau(u)= 13/24 ; -2934*x^2 - 2642*y^2 - 3932*x*z - 1248*z^2
; C5a (-190/367 : 8/367 : 1)  C5b (60721/67006 : 4432/33503 : 1)
**u= 52/141 ; tau(u)= 141/26 ; -68742*x^2 - 42466*y^2 + 74116*x*z - 14664*z^2
; C5a (5489/20358 : 197/2262 : 1)  C5b (904633/1600972 : 42071/800486 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (-53681/240226 : 3260/120113 : 1)
**u= 60/11 ; tau(u)= 11/30 ; -6246*x^2 - 3842*y^2 - 6716*x*z - 1320*z^2
; C5a (-1252/2727 : -310/909 : 1)  C5b (31601/32948 : -2257/16474 : 1)
**u= 60/169 ; tau(u)= 169/30 ; -101046*x^2 - 60722*y^2 + 107044*x*z - 20280*z^2
; C5a (19392/76199 : -6318/76199 : 1)  C5b (46627/174754 : -6216/87377 : 1)
**u= 60/193 ; tau(u)= 193/30 ; -141654*x^2 - 78098*y^2 + 141796*x*z - 23160*z^2
; C5a (277294/1348973 : 6746/1348973 : 1)  C5b (2345353/4520746 : 119592/2260373 : 1)
**u= 64/117 ; tau(u)= 117/32 ; -34518*x^2 - 31474*y^2 + 46564*x*z - 14976*z^2
; C5a (4905/8074 : -99/734 : 1)  C5b (29881/242644 : -8375/121322 : 1)
**u= 68/117 ; tau(u)= 117/34 ; -32358*x^2 - 32002*y^2 + 45508*x*z - 15912*z^2
; C5a (1548/2135 : -102/2135 : 1)  C5b (89/21836 : 663/10918 : 1)
**u= 76/189 ; tau(u)= 189/38 ; -116742*x^2 - 77218*y^2 + 131332*x*z - 28728*z^2
; C5a (2277/5890 : -1437/5890 : 1)  C5b (55157711/255346604 : 9202719/127673302 : 1)
**u= 100/21 ; tau(u)= 21/50 ; -15846*x^2 - 10882*y^2 - 18236*x*z - 4200*z^2
; C5a (-9671/26358 : -1593/8786 : 1)  C5b (12691/7198 : -904/3599 : 1)
**u= 100/177 ; tau(u)= 177/50 ; -76374*x^2 - 72658*y^2 + 105316*x*z - 35400*z^2
; C5a (25562/37049 : -4138/37049 : 1)  C5b (10264391/70735348 : -2464041/35367674 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (-10253/13924 : 205/6962 : 1)
**u= 140/33 ; tau(u)= 33/70 ; -28374*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z - 9240*z^2
; C5a (-706/1049 : 262/1049 : 1)  C5b (172411/549742 : 4268/274871 : 1)
**u= 156/11 ; tau(u)= 11/78 ; -60006*x^2 - 24578*y^2 - 48188*x*z - 3432*z^2
; C5a (-1527/9166 : -3165/9166 : 1)  C5b (333821/100556 : 23907/50278 : 1)
**u= 164/15 ; tau(u)= 15/82 ; -62358*x^2 - 27346*y^2 - 52892*x*z - 4920*z^2
; C5a (-448/2021 : 8222/22231 : 1)  C5b (3989/4388 : 2935/24134 : 1)
105
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.28
H.Nakao

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