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Integer Points on A^4+B^4+37636*C^4=D^4

[2026.05.05]A^4+B^4+37636*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularである。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■以下では、n=194とする。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが400以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように171個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(194,1,400);
**u= -400/129 ; tau(u)= -129/200 ; -992646*x^2 - 193282*y^2 - 253436*x*z + 103200*z^2
; C5a (-455275/4140494 : -3249745/4140494 : 1)  C5b (-493917/1463566 : -31690/731783 : 1)
**u= -396/145 ; tau(u)= -145/198 ; -1055958*x^2 - 198866*y^2 - 229532*x*z + 114840*z^2
; C5a (-107604/794999 : -634218/794999 : 1)  C5b (2417785/1134518 : -90924/567259 : 1)
**u= -396/241 ; tau(u)= -241/198 ; -1582422*x^2 - 272978*y^2 - 81308*x*z + 190872*z^2
; C5a (25578/145381 : 99390/145381 : 1)  C5b (-788207/1386222 : -63610/693111 : 1)
**u= -396/335 ; tau(u)= -335/198 ; -2205078*x^2 - 381266*y^2 + 135268*x*z + 265320*z^2
; C5a (-124535/487574 : -232795/487574 : 1)  C5b (-3138727/35678510 : -118122/2548465 : 1)
**u= -388/25 ; tau(u)= -25/194 ; -532982*x^2 - 151794*y^2 - 298588*x*z + 19400*z^2
; C5a (-207/9742 : -35939/87678 : 1)  C5b (197287/302230 : 58516/1360035 : 1)
**u= -388/27 ; tau(u)= -27/194 ; -539814*x^2 - 152002*y^2 - 298172*x*z + 20952*z^2
; C5a (15337/2450986 : 868031/2450986 : 1)  C5b (4678507/4132982 : -39210/295213 : 1)
**u= -388/39 ; tau(u)= -39/194 ; -581814*x^2 - 153586*y^2 - 295004*x*z + 30264*z^2
; C5a (-1390/11333 : -6946/11333 : 1)  C5b (6565803/8937058 : 234440/4468529 : 1)
**u= -388/65 ; tau(u)= -65/194 ; -678742*x^2 - 158994*y^2 - 284188*x*z + 50440*z^2
; C5a (80/651 : 3910/21483 : 1)  C5b (-99843/45650 : -235612/753225 : 1)
**u= -388/105 ; tau(u)= -105/194 ; -843702*x^2 - 172594*y^2 - 256988*x*z + 81480*z^2
; C5a (7088/46659 : 5674/15553 : 1)  C5b (5052417/2871350 : 233984/1435675 : 1)
**u= -384/65 ; tau(u)= -65/192 ; -667398*x^2 - 155906*y^2 - 278012*x*z + 49920*z^2
; C5a (10793/368034 : -63059/122678 : 1)  C5b (783325/667462 : -38016/333731 : 1)
**u= -384/115 ; tau(u)= -115/192 ; -874998*x^2 - 173906*y^2 - 242012*x*z + 88320*z^2
; C5a (-59555/4280742 : 1035125/1426914 : 1)  C5b (-1804577/2932834 : -133500/1466417 : 1)
**u= -372/391 ; tau(u)= -391/186 ; -2496054*x^2 - 444146*y^2 + 334756*x*z + 290904*z^2
; C5a (282268/981219 : 208590/327073 : 1)  C5b (2507207/24936162 : 280510/12468081 : 1)
**u= -368/171 ; tau(u)= -171/184 ; -1085142*x^2 - 193906*y^2 - 153884*x*z + 125856*z^2
; C5a (-284263/846014 : -450781/846014 : 1)  C5b (4019613/1593422 : 101590/796711 : 1)
**u= -360/19 ; tau(u)= -19/180 ; -445686*x^2 - 130322*y^2 - 257756*x*z + 13680*z^2
; C5a (11477/252142 : 22351/252142 : 1)  C5b (6014983/10373606 : -116310/5186803 : 1)
**u= -356/285 ; tau(u)= -285/178 ; -1679238*x^2 - 289186*y^2 + 71428*x*z + 202920*z^2
; C5a (-497703/7586738 : 6165831/7586738 : 1)  C5b (186823/4622426 : 15960/2311213 : 1)
**u= -352/195 ; tau(u)= -195/176 ; -1148982*x^2 - 199954*y^2 - 95708*x*z + 137280*z^2
; C5a (1048/19777 : 15884/19777 : 1)  C5b (-50539/465730 : 4422/232865 : 1)
**u= -348/245 ; tau(u)= -245/174 ; -1405542*x^2 - 241154*y^2 - 2108*x*z + 170520*z^2
; C5a (-93491/920102 : 740561/920102 : 1)  C5b (-132517/11193750 : 68566/5596875 : 1)
**u= -348/317 ; tau(u)= -317/174 ; -1848774*x^2 - 322082*y^2 + 159748*x*z + 220632*z^2
; C5a (-730894/5129593 : -3619222/5129593 : 1)  C5b (-5887/52578 : 1390/26289 : 1)
**u= -344/93 ; tau(u)= -93/172 ; -662838*x^2 - 135634*y^2 - 202076*x*z + 63984*z^2
; C5a (-42172/671873 : 496460/671873 : 1)  C5b (-420597/1082002 : 25730/541001 : 1)
**u= -344/275 ; tau(u)= -275/172 ; -1565558*x^2 - 269586*y^2 + 65828*x*z + 189200*z^2
; C5a (22575/729962 : -1837175/2189886 : 1)  C5b (-1406327/1110754 : 203480/1666131 : 1)
**u= -340/3 ; tau(u)= -3/170 ; -355014*x^2 - 115618*y^2 - 231164*x*z + 2040*z^2
; C5a (-8831/412678 : 100259/412678 : 1)  C5b (66817/55754 : -4320/27877 : 1)
**u= -332/295 ; tau(u)= -295/166 ; -1636342*x^2 - 284274*y^2 + 127652*x*z + 195880*z^2
; C5a (-2891342/20454999 : 43847854/61364997 : 1)  C5b (-105/11446 : -616/17169 : 1)
**u= -316/105 ; tau(u)= -105/158 ; -631158*x^2 - 121906*y^2 - 155612*x*z + 66360*z^2
; C5a (29994/136801 : 17082/136801 : 1)  C5b (-751707/1024970 : -56186/512485 : 1)
**u= -312/73 ; tau(u)= -73/156 ; -506214*x^2 - 108002*y^2 - 173372*x*z + 45552*z^2
; C5a (19190/224887 : -112592/224887 : 1)  C5b (-1462723/1935362 : 105510/967681 : 1)
**u= -312/245 ; tau(u)= -245/156 ; -1263702*x^2 - 217394*y^2 + 45412*x*z + 152880*z^2
; C5a (72246/521551 : 410880/521551 : 1)  C5b (-704647/536986 : 33810/268493 : 1)
**u= -308/15 ; tau(u)= -15/154 ; -322902*x^2 - 95314*y^2 - 188828*x*z + 9240*z^2
; C5a (-22164/163543 : 90054/163543 : 1)  C5b (1835763/3099590 : -45826/1549795 : 1)
**u= -304/365 ; tau(u)= -365/152 ; -1964278*x^2 - 358866*y^2 + 348068*x*z + 221920*z^2
; C5a (-71061/536926 : -1011271/1610778 : 1)  C5b (-226795/267486 : 31394/401229 : 1)
**u= -300/73 ; tau(u)= -73/150 ; -477174*x^2 - 100658*y^2 - 158684*x*z + 43800*z^2
; C5a (-66919/162726 : -28791/54242 : 1)  C5b (4230721/3969030 : 138056/1984515 : 1)
**u= -300/299 ; tau(u)= -299/150 ; -1524006*x^2 - 268802*y^2 + 177604*x*z + 179400*z^2
; C5a (212326/922289 : -664450/922289 : 1)  C5b (-887575/835626 : 38824/417813 : 1)
**u= -296/187 ; tau(u)= -187/148 ; -915478*x^2 - 157554*y^2 - 35356*x*z + 110704*z^2
; C5a (84/6619 : -16600/19857 : 1)  C5b (-1327/28502 : 430/42753 : 1)
**u= -284/105 ; tau(u)= -105/142 ; -546678*x^2 - 102706*y^2 - 117212*x*z + 59640*z^2
; C5a (34442/1751633 : -1306334/1751633 : 1)  C5b (1052387/832114 : -11280/416057 : 1)
**u= -284/145 ; tau(u)= -145/142 ; -697558*x^2 - 122706*y^2 - 77212*x*z + 82360*z^2
; C5a (14542/76507 : -135050/229521 : 1)  C5b (-77631/249290 : 21536/373935 : 1)
**u= -280/223 ; tau(u)= -223/140 ; -1033094*x^2 - 177858*y^2 + 42116*x*z + 124880*z^2
; C5a (2339/11878 : -25783/35634 : 1)  C5b (-577883/379506 : 74210/569259 : 1)
**u= -280/279 ; tau(u)= -279/140 ; -1327206*x^2 - 234082*y^2 + 154564*x*z + 156240*z^2
; C5a (13318/80571 : -21176/26857 : 1)  C5b (1119345/60344978 : 1146628/30172489 : 1)
**u= -272/337 ; tau(u)= -337/136 ; -1636678*x^2 - 301122*y^2 + 306308*x*z + 183328*z^2
; C5a (-39601/9165198 : 21374525/27495594 : 1)  C5b (-527667/911762 : 109190/1367643 : 1)
**u= -264/119 ; tau(u)= -119/132 ; -545382*x^2 - 98018*y^2 - 82748*x*z + 62832*z^2
; C5a (13297/80714 : -47815/80714 : 1)  C5b (-1139983/4961098 : -90150/2480549 : 1)
**u= -256/15 ; tau(u)= -15/128 ; -228678*x^2 - 65986*y^2 - 130172*x*z + 7680*z^2
; C5a (-6/971 : 348/971 : 1)  C5b (7300551/11207950 : -249448/5603975 : 1)
**u= -252/215 ; tau(u)= -215/126 ; -901302*x^2 - 155954*y^2 + 57892*x*z + 108360*z^2
; C5a (-596930/5241941 : -3983890/5241941 : 1)  C5b (-6913/94214 : 2100/47107 : 1)
**u= -252/365 ; tau(u)= -365/126 ; -1725702*x^2 - 329954*y^2 + 405892*x*z + 183960*z^2
; C5a (4390/11387 : 109130/216353 : 1)  C5b (8567/113474 : -50910/1078003 : 1)
**u= -240/89 ; tau(u)= -89/120 ; -391206*x^2 - 73442*y^2 - 83516*x*z + 42720*z^2
; C5a (-29303/292022 : -234011/292022 : 1)  C5b (-146561/150270 : -10604/75135 : 1)
**u= -240/299 ; tau(u)= -299/120 ; -1283286*x^2 - 236402*y^2 + 242404*x*z + 143520*z^2
; C5a (10546/37767 : -8632/12589 : 1)  C5b (56245/1054346 : -395232/8961941 : 1)
**u= -232/171 ; tau(u)= -171/116 ; -654294*x^2 - 112306*y^2 + 9316*x*z + 79344*z^2
; C5a (11381/48066 : -10127/16022 : 1)  C5b (-3004091/753914 : -79680/376957 : 1)
**u= -228/41 ; tau(u)= -41/114 ; -240822*x^2 - 55346*y^2 - 97244*x*z + 18696*z^2
; C5a (-6906/2127313 : 1246722/2127313 : 1)  C5b (-55823/143478 : 2180/71739 : 1)
**u= -228/187 ; tau(u)= -187/114 ; -706854*x^2 - 121922*y^2 + 35908*x*z + 85272*z^2
; C5a (-8791/75606 : -19305/25202 : 1)  C5b (100907/7795382 : -93210/3897691 : 1)
**u= -224/195 ; tau(u)= -195/112 ; -728118*x^2 - 126226*y^2 + 51748*x*z + 87360*z^2
; C5a (-11179/97058 : 73171/97058 : 1)  C5b (-5469479/29627122 : 882240/14813561 : 1)
**u= -220/51 ; tau(u)= -51/110 ; -250566*x^2 - 53602*y^2 - 86396*x*z + 22440*z^2
; C5a (1958/11333 : 286/11333 : 1)  C5b (351533037/11590154 : 22459250/5795077 : 1)
**u= -212/165 ; tau(u)= -165/106 ; -578022*x^2 - 99394*y^2 + 19012*x*z + 69960*z^2
; C5a (123833/368234 : 122417/368234 : 1)  C5b (-938115/2633162 : 13838/188083 : 1)
**u= -212/215 ; tau(u)= -215/106 ; -776822*x^2 - 137394*y^2 + 95012*x*z + 91160*z^2
; C5a (-30031194/212138099 : 428004166/636414297 : 1)  C5b (-276067/331790 : 45148/497685 : 1)
**u= -212/377 ; tau(u)= -377/106 ; -1626998*x^2 - 329202*y^2 + 478628*x*z + 159848*z^2
; C5a (-36312/182941 : 26090/548823 : 1)  C5b (225041/1057814 : -48620/1586721 : 1)
**u= -208/207 ; tau(u)= -207/104 ; -731334*x^2 - 128962*y^2 + 84868*x*z + 86112*z^2
; C5a (1849194/13812247 : -11171628/13812247 : 1)  C5b (231459/8099314 : -145850/4049657 : 1)
**u= -208/375 ; tau(u)= -375/104 ; -1597542*x^2 - 324514*y^2 + 475972*x*z + 156000*z^2
; C5a (781/51178 : -36259/51178 : 1)  C5b (116019/3597062 : 15080/256933 : 1)
**u= -204/55 ; tau(u)= -55/102 ; -232758*x^2 - 47666*y^2 - 71132*x*z + 22440*z^2
; C5a (-17283/35338 : -6381/35338 : 1)  C5b (-396343/377550 : -28814/188775 : 1)
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (-1072819/1858550 : 67416/929275 : 1)
**u= -200/339 ; tau(u)= -339/100 ; -1351926*x^2 - 269842*y^2 + 379684*x*z + 135600*z^2
; C5a (-24675/879058 : 595605/879058 : 1)  C5b (-7309411/42035030 : 64548/913805 : 1)
**u= -200/399 ; tau(u)= -399/100 ; -1713606*x^2 - 358402*y^2 + 556804*x*z + 159600*z^2
; C5a (-550/15557 : 106100/171127 : 1)  C5b (-153111/206722 : -51080/1136971 : 1)
**u= -196/13 ; tau(u)= -13/98 ; -136646*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z + 5096*z^2
; C5a (431/9670 : 5573/29010 : 1)  C5b (212879/363334 : 9460/545001 : 1)
**u= -192/205 ; tau(u)= -205/96 ; -677622*x^2 - 120914*y^2 + 94372*x*z + 78720*z^2
; C5a (47505/71075482 : -57371625/71075482 : 1)  C5b (417295/7548954 : -133178/3774477 : 1)
**u= -192/275 ; tau(u)= -275/96 ; -986742*x^2 - 188114*y^2 + 228772*x*z + 105600*z^2
; C5a (-125600/10134197 : 7484800/10134197 : 1)  C5b (63563/1255030 : 31476/627515 : 1)
**u= -188/327 ; tau(u)= -327/94 ; -1239414*x^2 - 249202*y^2 + 357028*x*z + 122952*z^2
; C5a (58624/808827 : -203746/269609 : 1)  C5b (1464117/7223162 : 115550/3611581 : 1)
**u= -180/233 ; tau(u)= -233/90 ; -758454*x^2 - 140978*y^2 + 152356*x*z + 83880*z^2
; C5a (1341/10346 : 8307/10346 : 1)  C5b (199517/1337874 : 17800/668937 : 1)
**u= -180/311 ; tau(u)= -311/90 ; -1125366*x^2 - 225842*y^2 + 322084*x*z + 111960*z^2
; C5a (-85643/207405554 : 145945597/207405554 : 1)  C5b (-2585215/25365134 : -856866/12682567 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (-282917/67202 : 1110/33601 : 1)
**u= -176/215 ; tau(u)= -215/88 ; -672998*x^2 - 123426*y^2 + 122948*x*z + 75680*z^2
; C5a (-44593/1933066 : 4444169/5799198 : 1)  C5b (226621/2680370 : -21682/574365 : 1)
**u= -172/285 ; tau(u)= -285/86 ; -968262*x^2 - 192034*y^2 + 265732*x*z + 98040*z^2
; C5a (1010922/48594961 : -35615142/48594961 : 1)  C5b (-635049/730478 : -16070/365239 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (-65287/229830 : -6574/114915 : 1)
**u= -168/253 ; tau(u)= -253/84 ; -808758*x^2 - 156242*y^2 + 199588*x*z + 85008*z^2
; C5a (2129/184078 : -137525/184078 : 1)  C5b (-331097/3248642 : -106500/1624321 : 1)
**u= -168/305 ; tau(u)= -305/84 ; -1052742*x^2 - 214274*y^2 + 315652*x*z + 102480*z^2
; C5a (619246/7098303 : 1785408/2366101 : 1)  C5b (553129/2076230 : -9942/1038115 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-47521/27782 : -960/13891 : 1)
**u= -160/219 ; tau(u)= -219/80 ; -644886*x^2 - 121522*y^2 + 140644*x*z + 70080*z^2
; C5a (-9544/1176041 : -885508/1176041 : 1)  C5b (-656207/1156454 : -44370/578227 : 1)
**u= -156/5 ; tau(u)= -5/78 ; -79398*x^2 - 24386*y^2 - 48572*x*z + 1560*z^2
; C5a (5629/229646 : -26377/229646 : 1)  C5b (398923/710286 : -8720/355143 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (4531/552370 : 6312/276185 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (-192047/255858 : 9790/127929 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (97459/19262 : 6690/9631 : 1)
**u= -148/117 ; tau(u)= -117/74 ; -286374*x^2 - 49282*y^2 + 10948*x*z + 34632*z^2
; C5a (-667211/9305782 : -7542457/9305782 : 1)  C5b (161017/26764942 : -294810/13382471 : 1)
**u= -144/85 ; tau(u)= -85/72 ; -203478*x^2 - 35186*y^2 - 12572*x*z + 24480*z^2
; C5a (784665/10023686 : 7970715/10023686 : 1)  C5b (-481/422 : -30/211 : 1)
**u= -144/295 ; tau(u)= -295/72 ; -924198*x^2 - 194786*y^2 + 306628*x*z + 84960*z^2
; C5a (-1863/156118 : 100779/156118 : 1)  C5b (-18809/22410 : -2506/190485 : 1)
**u= -144/307 ; tau(u)= -307/72 ; -981366*x^2 - 209234*y^2 + 335524*x*z + 88416*z^2
; C5a (-29835/188926 : 43233/188926 : 1)  C5b (1726249/11430294 : -282310/5715147 : 1)
**u= -140/37 ; tau(u)= -37/70 ; -108454*x^2 - 22338*y^2 - 33724*x*z + 10360*z^2
; C5a (23319/158758 : 176467/476274 : 1)  C5b (99517/93946 : 8270/140919 : 1)
**u= -140/289 ; tau(u)= -289/70 ; -883606*x^2 - 186642*y^2 + 294884*x*z + 80920*z^2
; C5a (-136922/1879371 : 3053554/5638113 : 1)  C5b (-111575/137522 : -5066/206283 : 1)
**u= -140/297 ; tau(u)= -297/70 ; -920694*x^2 - 196018*y^2 + 313636*x*z + 83160*z^2
; C5a (302684/590243 : 57734/590243 : 1)  C5b (1903509/6844990 : -784/38455 : 1)
**u= -140/341 ; tau(u)= -341/70 ; -1138406*x^2 - 252162*y^2 + 425924*x*z + 95480*z^2
; C5a (5366/12607 : 20002/37821 : 1)  C5b (151051/1221882 : 102410/1832823 : 1)
**u= -120/101 ; tau(u)= -101/60 ; -201366*x^2 - 34802*y^2 + 12004*x*z + 24240*z^2
; C5a (-3290/332019 : -30700/36891 : 1)  C5b (-497095/427006 : -24144/213503 : 1)
**u= -120/223 ; tau(u)= -223/60 ; -555654*x^2 - 113858*y^2 + 170116*x*z + 53520*z^2
; C5a (-2636/15393 : 1368/5131 : 1)  C5b (5431/33918 : -740/16959 : 1)
**u= -104/291 ; tau(u)= -291/52 ; -782646*x^2 - 180178*y^2 + 317092*x*z + 60528*z^2
; C5a (9817/151834 : 99745/151834 : 1)  C5b (-239621/346034 : 4350/173017 : 1)
**u= -100/299 ; tau(u)= -299/50 ; -805606*x^2 - 188802*y^2 + 337604*x*z + 59800*z^2
; C5a (-63500/497289 : -204710/1491867 : 1)  C5b (70323/242630 : 12434/363945 : 1)
**u= -92/201 ; tau(u)= -201/46 ; -415734*x^2 - 89266*y^2 + 144676*x*z + 36984*z^2
; C5a (13682/446021 : 302390/446021 : 1)  C5b (-164307/201698 : -100/14407 : 1)
**u= -92/265 ; tau(u)= -265/46 ; -641782*x^2 - 148914*y^2 + 263972*x*z + 48760*z^2
; C5a (-15930/223391 : 283630/670173 : 1)  C5b (564655/3667102 : 306058/5500653 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (-77397/1864070 : 50956/932035 : 1)
**u= -80/39 ; tau(u)= -39/40 ; -53286*x^2 - 9442*y^2 - 6716*x*z + 6240*z^2
; C5a (834/15271 : 11880/15271 : 1)  C5b (112203/35626 : 2980/17813 : 1)
**u= -80/291 ; tau(u)= -291/40 ; -713526*x^2 - 175762*y^2 + 325924*x*z + 46560*z^2
; C5a (771106/33685927 : -1691864/3062357 : 1)  C5b (65671/174410 : 306/87205 : 1)
**u= -68/379 ; tau(u)= -379/34 ; -1081894*x^2 - 291906*y^2 + 565316*x*z + 51544*z^2
; C5a (4980/8537 : 5438/25611 : 1)  C5b (1019131/2444206 : 5480/3666309 : 1)
**u= -64/255 ; tau(u)= -255/32 ; -532998*x^2 - 134146*y^2 + 251908*x*z + 32640*z^2
; C5a (-22328/1912393 : 898724/1912393 : 1)  C5b (24723/114190 : -3046/57095 : 1)
**u= -56/355 ; tau(u)= -355/28 ; -924598*x^2 - 255186*y^2 + 497828*x*z + 39760*z^2
; C5a (44495/880354 : -1307665/2641062 : 1)  C5b (574265/2310014 : 189356/3465021 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (91919/467146 : 1620/233573 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-66341/337354 : 12180/168677 : 1)
**u= -48/295 ; tau(u)= -295/24 ; -642342*x^2 - 176354*y^2 + 343492*x*z + 28320*z^2
; C5a (100133/1625314 : 839453/1625314 : 1)  C5b (211291/1609858 : 52410/804929 : 1)
**u= -44/243 ; tau(u)= -243/22 ; -445638*x^2 - 120034*y^2 + 232324*x*z + 21384*z^2
; C5a (-6923/2698474 : -1122901/2698474 : 1)  C5b (-322521/846526 : 25010/423263 : 1)
**u= -40/123 ; tau(u)= -123/20 ; -134934*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z + 9840*z^2
; C5a (-1892/22921 : -8312/22921 : 1)  C5b (1495531/4284622 : 26610/2142311 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (509249/1315242 : -12650/1972863 : 1)
**u= -36/55 ; tau(u)= -55/18 ; -37878*x^2 - 7346*y^2 + 9508*x*z + 3960*z^2
; C5a (-4527/25222 : 9459/25222 : 1)  C5b (-13801/12970 : 48/6485 : 1)
**u= -32/35 ; tau(u)= -35/16 ; -19382*x^2 - 3474*y^2 + 2852*x*z + 2240*z^2
; C5a (-1522/7517 : 11272/22551 : 1)  C5b (-3465/22226 : 2104/33339 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-3525/11498 : -298/5749 : 1)
**u= -16/15 ; tau(u)= -15/8 ; -4038*x^2 - 706*y^2 + 388*x*z + 480*z^2
; C5a (-507/1738 : 315/1738 : 1)  C5b (-756891/1981310 : 76382/990655 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (643/6514 : 180/3257 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (174611/426642 : -2260/213321 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (4660397/9986706 : 8860/4993353 : 1)
**u= -8/45 ; tau(u)= -45/4 ; -15222*x^2 - 4114*y^2 + 7972*x*z + 720*z^2
; C5a (-36/791 : -2448/8701 : 1)  C5b (3165/7594 : 188/41767 : 1)
**u= -8/399 ; tau(u)= -399/4 ; -980934*x^2 - 318466*y^2 + 636676*x*z + 6384*z^2
; C5a (-124/218873 : 30100/218873 : 1)  C5b (130255297/265824682 : -158430/132912341 : 1)
**u= -4/309 ; tau(u)= -309/2 ; -582822*x^2 - 190978*y^2 + 381892*x*z + 2472*z^2
; C5a (57509089/402684298 : 195739735/402684298 : 1)  C5b (1255629/4179646 : -118460/2089823 : 1)
**u= -4/315 ; tau(u)= -315/2 ; -605478*x^2 - 198466*y^2 + 396868*x*z + 2520*z^2
; C5a (-331/65282 : -3251/65282 : 1)  C5b (798265/1785814 : 27048/892907 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/315 ; tau(u)= 315/2 ; -585318*x^2 - 198466*y^2 + 396868*x*z - 2520*z^2
; C5a (328/48523 : 1270/48523 : 1)  C5b (6300369/14457298 : 265870/7228649 : 1)
**u= 8/399 ; tau(u)= 399/4 ; -929862*x^2 - 318466*y^2 + 636676*x*z - 6384*z^2
; C5a (29382/2259839 : -166884/2259839 : 1)  C5b (1836295809/3713184206 : 33026560/1856592103 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (215527/308954 : 7440/154477 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (37048823/70757454 : -551210/35378727 : 1)
**u= 20/257 ; tau(u)= 257/10 ; -356374*x^2 - 132498*y^2 + 263396*x*z - 10280*z^2
; C5a (3/22 : -25/66 : 1)  C5b (1807609/3362038 : 38860/5043057 : 1)
**u= 24/353 ; tau(u)= 353/12 ; -681606*x^2 - 249794*y^2 + 497284*x*z - 16944*z^2
; C5a (5581254/55045547 : 17918760/55045547 : 1)  C5b (9944209/18579434 : -3270/9289717 : 1)
**u= 40/123 ; tau(u)= 123/20 ; -56214*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z - 9840*z^2
; C5a (4333/15478 : 3679/15478 : 1)  C5b (10462888185/15745836262 : 205170038/7872918131 : 1)
**u= 44/255 ; tau(u)= 255/22 ; -306198*x^2 - 131986*y^2 + 256228*x*z - 22440*z^2
; C5a (376172/3641031 : 92326/1213677 : 1)  C5b (92438729/160499062 : 1571760/80249531 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (5576011/10083294 : -288550/5041647 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (110689/314786 : 10440/157393 : 1)
**u= 48/367 ; tau(u)= 367/24 ; -674118*x^2 - 271682*y^2 + 534148*x*z - 35232*z^2
; C5a (10024/137993 : 920/137993 : 1)  C5b (-27253/137118 : -4190/68559 : 1)
**u= 52/5 ; tau(u)= 5/26 ; -6182*x^2 - 2754*y^2 - 5308*x*z - 520*z^2
; C5a (-163/1422 : -655/12798 : 1)  C5b (3659/8890 : -38/40005 : 1)
**u= 52/131 ; tau(u)= 131/26 ; -56582*x^2 - 37026*y^2 + 63236*x*z - 13624*z^2
; C5a (1120/2847 : 24394/93951 : 1)  C5b (28841/38214 : 6260/630531 : 1)
**u= 56/355 ; tau(u)= 355/28 ; -606518*x^2 - 255186*y^2 + 497828*x*z - 39760*z^2
; C5a (1919/21202 : 2287/63606 : 1)  C5b (1310951/2599870 : -152756/3899805 : 1)
**u= 60/319 ; tau(u)= 319/30 ; -468246*x^2 - 207122*y^2 + 399844*x*z - 38280*z^2
; C5a (4676/30367 : -7366/30367 : 1)  C5b (5918731/12198350 : -282084/6099175 : 1)
**u= 64/281 ; tau(u)= 281/32 ; -342182*x^2 - 162018*y^2 + 307652*x*z - 35968*z^2
; C5a (45751/330382 : 21115/991146 : 1)  C5b (3090381/5881754 : -384040/8822631 : 1)
**u= 80/209 ; tau(u)= 209/40 ; -147526*x^2 - 93762*y^2 + 161924*x*z - 33440*z^2
; C5a (9547/15222 : -14977/45666 : 1)  C5b (90424359/229659758 : -23329480/344489637 : 1)
**u= 92/201 ; tau(u)= 201/46 ; -119862*x^2 - 89266*y^2 + 144676*x*z - 36984*z^2
; C5a (25174/37953 : 3346/12651 : 1)  C5b (24783/30862 : 250/15431 : 1)
**u= 100/237 ; tau(u)= 237/50 ; -177414*x^2 - 122338*y^2 + 204676*x*z - 47400*z^2
; C5a (53196/110647 : -31626/110647 : 1)  C5b (2881989/5451910 : -166154/2725955 : 1)
**u= 120/281 ; tau(u)= 281/60 ; -247206*x^2 - 172322*y^2 + 287044*x*z - 67440*z^2
; C5a (10733/31606 : 2977/31606 : 1)  C5b (260137/333090 : 1832/166545 : 1)
**u= 120/317 ; tau(u)= 317/60 ; -341814*x^2 - 215378*y^2 + 373156*x*z - 76080*z^2
; C5a (23692/56433 : -5780/18811 : 1)  C5b (373829995/742299758 : -22278942/371149879 : 1)
**u= 124/321 ; tau(u)= 321/62 ; -345942*x^2 - 221458*y^2 + 381412*x*z - 79608*z^2
; C5a (5881/9022 : 2845/9022 : 1)  C5b (6591381/13998094 : 442220/6999047 : 1)
**u= 136/381 ; tau(u)= 381/68 ; -511926*x^2 - 308818*y^2 + 543652*x*z - 103632*z^2
; C5a (86385/288554 : 59751/288554 : 1)  C5b (2121931/5323406 : -176790/2661703 : 1)
**u= 140/37 ; tau(u)= 37/70 ; -25574*x^2 - 22338*y^2 - 33724*x*z - 10360*z^2
; C5a (-8581/14446 : -7385/43338 : 1)  C5b (6284995/16707522 : 1094884/25061283 : 1)
**u= 140/289 ; tau(u)= 289/70 ; -236246*x^2 - 186642*y^2 + 294884*x*z - 80920*z^2
; C5a (10488666/18996131 : -13109006/56988393 : 1)  C5b (202683/477610 : 50314/716415 : 1)
**u= 140/339 ; tau(u)= 339/70 ; -368646*x^2 - 249442*y^2 + 420484*x*z - 94920*z^2
; C5a (12641/40586 : 1367/40586 : 1)  C5b (-8371397/4459965730 : -146735508/2229982865 : 1)
**u= 144/295 ; tau(u)= 295/72 ; -244518*x^2 - 194786*y^2 + 306628*x*z - 84960*z^2
; C5a (2/3 : 4/17 : 1)  C5b (-25331/88210 : 8754/749785 : 1)
**u= 144/307 ; tau(u)= 307/72 ; -274038*x^2 - 209234*y^2 + 335524*x*z - 88416*z^2
; C5a (91253/114298 : -17285/114298 : 1)  C5b (33047599/50560386 : 1329320/25280193 : 1)
**u= 148/15 ; tau(u)= 15/74 ; -49302*x^2 - 22354*y^2 - 42908*x*z - 4440*z^2
; C5a (-1759/13734 : -481/4578 : 1)  C5b (30619/74218 : -390/37109 : 1)
**u= 160/41 ; tau(u)= 41/80 ; -34406*x^2 - 28962*y^2 - 44476*x*z - 13120*z^2
; C5a (-3154/4637 : -2848/13911 : 1)  C5b (106893/203726 : 22250/305589 : 1)
**u= 168/305 ; tau(u)= 305/84 ; -232902*x^2 - 214274*y^2 + 315652*x*z - 102480*z^2
; C5a (2726/4579 : -28/241 : 1)  C5b (10730513/22945494 : -17410/244101 : 1)
**u= 172/315 ; tau(u)= 315/86 ; -250662*x^2 - 228034*y^2 + 337732*x*z - 108360*z^2
; C5a (78821/98618 : -7861/98618 : 1)  C5b (-53261/767090 : 21228/383545 : 1)
**u= 180/13 ; tau(u)= 13/90 ; -79494*x^2 - 32738*y^2 - 64124*x*z - 4680*z^2
; C5a (-6534/49777 : -13386/49777 : 1)  C5b (4569199/8844090 : -190936/4422045 : 1)
**u= 180/311 ; tau(u)= 311/90 ; -229686*x^2 - 225842*y^2 + 322084*x*z - 111960*z^2
; C5a (15374/22273 : 1426/22273 : 1)  C5b (3683461/11661462 : 429950/5830731 : 1)
**u= 188/327 ; tau(u)= 327/94 ; -255798*x^2 - 249202*y^2 + 357028*x*z - 122952*z^2
; C5a (4084/6523 : 230/6523 : 1)  C5b (-7527/42422 : -800/21211 : 1)
**u= 196/13 ; tau(u)= 13/98 ; -95878*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z - 5096*z^2
; C5a (-4769/9746 : -14255/29238 : 1)  C5b (4209679/8122906 : 514280/12184359 : 1)
**u= 200/399 ; tau(u)= 399/100 ; -436806*x^2 - 358402*y^2 + 556804*x*z - 159600*z^2
; C5a (7346/16569 : 3800/60753 : 1)  C5b (778100193/1651329970 : -627560972/9082314835 : 1)
**u= 208/375 ; tau(u)= 375/104 ; -349542*x^2 - 324514*y^2 + 475972*x*z - 156000*z^2
; C5a (20993/28598 : 3565/28598 : 1)  C5b (8444185/34829902 : 1267164/17414951 : 1)
**u= 212/377 ; tau(u)= 377/106 ; -348214*x^2 - 329202*y^2 + 478628*x*z - 159848*z^2
; C5a (15775/27162 : 3689/81486 : 1)  C5b (74703/3019478 : -285940/4529217 : 1)
**u= 220/51 ; tau(u)= 51/110 ; -71046*x^2 - 53602*y^2 - 86396*x*z - 22440*z^2
; C5a (-31559/65326 : -14707/65326 : 1)  C5b (66155/101686 : -4686/50843 : 1)
**u= 256/15 ; tau(u)= 15/128 ; -167238*x^2 - 65986*y^2 - 130172*x*z - 7680*z^2
; C5a (-31/482 : 1/482 : 1)  C5b (2086297/4063826 : 78900/2031913 : 1)
**u= 260/43 ; tau(u)= 43/130 ; -124454*x^2 - 71298*y^2 - 127804*x*z - 22360*z^2
; C5a (-2529/10646 : -3739/31938 : 1)  C5b (869557/2446306 : 13460/3669459 : 1)
**u= 300/73 ; tau(u)= 73/150 ; -126774*x^2 - 100658*y^2 - 158684*x*z - 43800*z^2
; C5a (-20378/25589 : 3758/25589 : 1)  C5b (93838697/244420010 : 5151708/122210005 : 1)
**u= 304/87 ; tau(u)= 87/152 ; -111078*x^2 - 107554*y^2 - 154556*x*z - 52896*z^2
; C5a (-9839/12582 : 9/466 : 1)  C5b (-245679/239774 : -4580/119887 : 1)
**u= 308/15 ; tau(u)= 15/154 ; -248982*x^2 - 95314*y^2 - 188828*x*z - 9240*z^2
; C5a (-35831/186162 : 26877/62054 : 1)  C5b (-411/470 : 22/235 : 1)
**u= 308/45 ; tau(u)= 45/154 ; -185862*x^2 - 98914*y^2 - 181628*x*z - 27720*z^2
; C5a (-2068/10853 : -7766/206207 : 1)  C5b (2687935/2339002 : -3644916/22220519 : 1)
**u= 332/45 ; tau(u)= 45/166 ; -223302*x^2 - 114274*y^2 - 212348*x*z - 29880*z^2
; C5a (-76319/415354 : -49127/415354 : 1)  C5b (175175/392762 : 7416/196381 : 1)
**u= 344/49 ; tau(u)= 49/172 ; -234566*x^2 - 123138*y^2 - 227068*x*z - 33712*z^2
; C5a (-8793/29038 : 28885/87114 : 1)  C5b (21078573/43126858 : 3265180/64690287 : 1)
**u= 344/93 ; tau(u)= 93/172 ; -150966*x^2 - 135634*y^2 - 202076*x*z - 63984*z^2
; C5a (-26807/51274 : -2785/51274 : 1)  C5b (961347/560642 : 67510/280321 : 1)
**u= 360/19 ; tau(u)= 19/180 ; -336246*x^2 - 130322*y^2 - 257756*x*z - 13680*z^2
; C5a (-2242/11263 : 4864/11263 : 1)  C5b (1382407/2817054 : -41660/1408527 : 1)
**u= 360/29 ; tau(u)= 29/180 ; -310326*x^2 - 131282*y^2 - 255836*x*z - 20880*z^2
; C5a (-25803/55102 : -26721/55102 : 1)  C5b (50411371/117088530 : -623306/58544265 : 1)
**u= 360/97 ; tau(u)= 97/180 ; -165894*x^2 - 148418*y^2 - 221564*x*z - 69840*z^2
; C5a (-30979/40882 : -5611/40882 : 1)  C5b (451061/865262 : 31770/432631 : 1)
**u= 364/33 ; tau(u)= 33/182 ; -307926*x^2 - 134674*y^2 - 260636*x*z - 24024*z^2
; C5a (-818/1105 : -674/18785 : 1)  C5b (-23229/24026 : 20530/204221 : 1)
**u= 372/25 ; tau(u)= 25/186 ; -344502*x^2 - 139634*y^2 - 274268*x*z - 18600*z^2
; C5a (-1138/8407 : 27350/92477 : 1)  C5b (154033/348334 : 20250/1915837 : 1)
**u= 384/65 ; tau(u)= 65/192 ; -268038*x^2 - 155906*y^2 - 278012*x*z - 49920*z^2
; C5a (-517664/1688609 : 430168/1688609 : 1)  C5b (8991269/13972830 : 595462/6986415 : 1)
**u= 388/25 ; tau(u)= 25/194 ; -377782*x^2 - 151794*y^2 - 298588*x*z - 19400*z^2
; C5a (-4183/24558 : -81221/221022 : 1)  C5b (3300409/7250330 : -34964/1919205 : 1)
**u= 388/27 ; tau(u)= 27/194 ; -372198*x^2 - 152002*y^2 - 298172*x*z - 20952*z^2
; C5a (-99058/228569 : -114830/228569 : 1)  C5b (-3279873/1465258 : -219680/732629 : 1)
**u= 388/65 ; tau(u)= 65/194 ; -275222*x^2 - 158994*y^2 - 284188*x*z - 50440*z^2
; C5a (-270/509 : 6370/16797 : 1)  C5b (6992479/11908222 : -14687650/196485663 : 1)
**u= 388/105 ; tau(u)= 105/194 ; -191862*x^2 - 172594*y^2 - 256988*x*z - 81480*z^2
; C5a (-84867/106954 : -10413/106954 : 1)  C5b (-442017/86354 : -25490/43177 : 1)
**u= 396/41 ; tau(u)= 41/198 ; -350646*x^2 - 160178*y^2 - 306908*x*z - 32472*z^2
; C5a (-341/2306 : 118085/652598 : 1)  C5b (61013/117238 : 843750/16589177 : 1)
171
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 <= A <= B, 0 < C, 0 < Dを満たすように、A,B,C,Dの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.05.06
H.Nakao

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