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Integer Points on A^4+B^4+289*C^4=D^4

[2026.04.03]A^4+B^4+289*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように156個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(17,1,200);
**u= -196/131 ; tau(u)= -131/98 ; -423622*x^2 - 72738*y^2 - 8188*x*z + 51352*z^2
; C5a (-5243/14726 : -11711/132534 : 1)  C5b (-104/171 : -493/1539 : 1)
**u= -192/83 ; tau(u)= -83/96 ; -279414*x^2 - 50642*y^2 - 46172*x*z + 31872*z^2
; C5a (-6555/19006 : 237/442 : 1)  C5b (-17476/81261 : -8123/81261 : 1)
**u= -192/155 ; tau(u)= -155/96 ; -492822*x^2 - 84914*y^2 + 22372*x*z + 59520*z^2
; C5a (-4916027/68690414 : 55480513/68690414 : 1)  C5b (3536/82521 : 2063/82521 : 1)
**u= -188/39 ; tau(u)= -39/94 ; -173814*x^2 - 38386*y^2 - 64604*x*z + 14664*z^2
; C5a (-7042/141725 : 95542/141725 : 1)  C5b (1557/1502 : -3380/12767 : 1)
**u= -188/61 ; tau(u)= -61/94 ; -220102*x^2 - 42786*y^2 - 55804*x*z + 22936*z^2
; C5a (-37756/246473 : 579934/739419 : 1)  C5b (-144771/610462 : 12332/915693 : 1)
**u= -184/179 ; tau(u)= -179/92 ; -557302*x^2 - 97938*y^2 + 60452*x*z + 65872*z^2
; C5a (294996/2373871 : -5791844/7121613 : 1)  C5b (-32266/101775 : -75427/305325 : 1)
**u= -180 ; tau(u)= -1/90 ; -98646*x^2 - 32402*y^2 - 64796*x*z + 360*z^2
; C5a (-40/91 : 50/91 : 1)  C5b (-1717/3118 : -3132/26503 : 1)
**u= -180/67 ; tau(u)= -67/90 ; -220614*x^2 - 41378*y^2 - 46844*x*z + 24120*z^2
; C5a (157972/1401539 : -872542/1401539 : 1)  C5b (-1964/9633 : -2335/163761 : 1)
**u= -180/101 ; tau(u)= -101/90 ; -303846*x^2 - 52802*y^2 - 23996*x*z + 36360*z^2
; C5a (2554361/17748406 : 12600277/17748406 : 1)  C5b (-4079/10518 : 21440/89403 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (-13763/52654 : -103620/447559 : 1)
**u= -176/69 ; tau(u)= -69/88 ; -218646*x^2 - 40498*y^2 - 42908*x*z + 24288*z^2
; C5a (-421003/5942306 : -4782349/5942306 : 1)  C5b (-1126403/4899878 : 217272/2449939 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (-45198/16517 : 5195/16517 : 1)
**u= -172/29 ; tau(u)= -29/86 ; -133702*x^2 - 31266*y^2 - 55804*x*z + 9976*z^2
; C5a (157/5914 : -27589/53226 : 1)  C5b (-12611/24674 : 22408/111033 : 1)
**u= -172/63 ; tau(u)= -63/86 ; -199254*x^2 - 37522*y^2 - 43292*x*z + 21672*z^2
; C5a (533205/8810942 : -6157023/8810942 : 1)  C5b (-11466/8759 : 5375/8759 : 1)
**u= -172/75 ; tau(u)= -75/86 ; -225702*x^2 - 40834*y^2 - 36668*x*z + 25800*z^2
; C5a (-27975/84194 : -47625/84194 : 1)  C5b (-654/749 : -5461/12733 : 1)
**u= -168/17 ; tau(u)= -17/84 ; -109254*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z + 5712*z^2
; C5a (3225/46006 : 9771/46006 : 1)  C5b (-9356/14693 : -3741/14693 : 1)
**u= -164/13 ; tau(u)= -13/82 ; -98758*x^2 - 27234*y^2 - 53116*x*z + 4264*z^2
; C5a (-456550/3165051 : -5716442/9495153 : 1)  C5b (2346/2347 : -43991/119697 : 1)
**u= -164/77 ; tau(u)= -77/82 ; -217286*x^2 - 38754*y^2 - 30076*x*z + 25256*z^2
; C5a (-365/11646 : 28609/34938 : 1)  C5b (3385/1002 : 1064/1503 : 1)
**u= -164/111 ; tau(u)= -111/82 ; -300246*x^2 - 51538*y^2 - 4508*x*z + 36408*z^2
; C5a (226372/2629051 : -2128894/2629051 : 1)  C5b (-105473/2447926 : 83088/1223963 : 1)
**u= -164/149 ; tau(u)= -149/82 ; -409382*x^2 - 71298*y^2 + 35012*x*z + 48872*z^2
; C5a (868959/6481246 : 15652957/19443738 : 1)  C5b (-1067/2818 : 1096/4227 : 1)
**u= -160/149 ; tau(u)= -149/80 ; -400726*x^2 - 70002*y^2 + 37604*x*z + 47680*z^2
; C5a (-2818/86277 : 209872/258831 : 1)  C5b (35479/822626 : 16508/176277 : 1)
**u= -156/53 ; tau(u)= -53/78 ; -156006*x^2 - 29954*y^2 - 37436*x*z + 16536*z^2
; C5a (236/1471 : -686/1471 : 1)  C5b (-1399973/5391470 : 543192/6546785 : 1)
**u= -156/103 ; tau(u)= -103/78 ; -265206*x^2 - 45554*y^2 - 6236*x*z + 32136*z^2
; C5a (-37920/7945343 : -6675834/7945343 : 1)  C5b (-1535/36646 : 996/18323 : 1)
**u= -156/137 ; tau(u)= -137/78 ; -356598*x^2 - 61874*y^2 + 26404*x*z + 42744*z^2
; C5a (362/525337 : 436730/525337 : 1)  C5b (576850/8842513 : 368169/8842513 : 1)
**u= -156/185 ; tau(u)= -185/78 ; -509238*x^2 - 92786*y^2 + 88228*x*z + 57720*z^2
; C5a (103610/320521 : -191230/320521 : 1)  C5b (86971/5008446 : -49516/310743 : 1)
**u= -152/65 ; tau(u)= -65/76 ; -173702*x^2 - 31554*y^2 - 29308*x*z + 19760*z^2
; C5a (9219/1071586 : 2526869/3214758 : 1)  C5b (-33711/71186 : 27632/106779 : 1)
**u= -148/21 ; tau(u)= -21/74 ; -93222*x^2 - 22786*y^2 - 42044*x*z + 6216*z^2
; C5a (-151/2618 : -1583/2618 : 1)  C5b (11047/14902 : 984/7451 : 1)
**u= -144/61 ; tau(u)= -61/72 ; -154806*x^2 - 28178*y^2 - 26588*x*z + 17568*z^2
; C5a (1665/383282 : 301617/383282 : 1)  C5b (-34852/156927 : -937/9231 : 1)
**u= -140/71 ; tau(u)= -71/70 ; -168566*x^2 - 29682*y^2 - 19036*x*z + 19880*z^2
; C5a (-286/4423 : 11002/13269 : 1)  C5b (1663/42 : 11336/1071 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-64727/26618 : -2856/13309 : 1)
**u= -140/159 ; tau(u)= -159/70 ; -388566*x^2 - 70162*y^2 + 61924*x*z + 44520*z^2
; C5a (-8678008/37592243 : 13846250/37592243 : 1)  C5b (10188/228559 : -31585/228559 : 1)
**u= -140/181 ; tau(u)= -181/70 ; -458086*x^2 - 85122*y^2 + 91844*x*z + 50680*z^2
; C5a (143/66038 : -153163/198114 : 1)  C5b (-437502/567727 : 431909/1703181 : 1)
**u= -136/15 ; tau(u)= -15/68 ; -73158*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z + 4080*z^2
; C5a (82253/1089894 : 909/4082 : 1)  C5b (39096/1181 : -18443/1181 : 1)
**u= -136/39 ; tau(u)= -39/68 ; -107046*x^2 - 21538*y^2 - 30908*x*z + 10608*z^2
; C5a (4039/22858 : 72775/251438 : 1)  C5b (-29/10 : -72/55 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-202/21195 : -8977/63585 : 1)
**u= -136/141 ; tau(u)= -141/68 ; -328182*x^2 - 58258*y^2 + 42532*x*z + 38352*z^2
; C5a (61701/326506 : 251877/326506 : 1)  C5b (-628/325 : 3/325 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (-185913/392498 : 52492/196249 : 1)
**u= -136/169 ; tau(u)= -169/68 ; -410726*x^2 - 75618*y^2 + 77252*x*z + 45968*z^2
; C5a (4827738/10951201 : -1702420/32853603 : 1)  C5b (-2557/237878 : 63400/356817 : 1)
**u= -136/189 ; tau(u)= -189/68 ; -475446*x^2 - 89938*y^2 + 105892*x*z + 51408*z^2
; C5a (-330111/7954706 : -5700975/7954706 : 1)  C5b (-372971/552586 : 68964/276293 : 1)
**u= -136/195 ; tau(u)= -195/68 ; -495798*x^2 - 94546*y^2 + 115108*x*z + 53040*z^2
; C5a (153260/625593 : 153880/208531 : 1)  C5b (-18414/90599 : -21577/90599 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (-3439/13974 : -17992/118779 : 1)
**u= -132/197 ; tau(u)= -197/66 ; -493158*x^2 - 95042*y^2 + 120388*x*z + 52008*z^2
; C5a (-465343/2474974 : -877195/2474974 : 1)  C5b (-6958/38057 : -8991/38057 : 1)
**u= -128/41 ; tau(u)= -41/64 ; -101222*x^2 - 19746*y^2 - 26044*x*z + 10496*z^2
; C5a (-24938/80301 : 161020/240903 : 1)  C5b (-6358/25753 : -3035/77259 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (-131172/13157 : -32131/13157 : 1)
**u= -128/153 ; tau(u)= -153/64 ; -346278*x^2 - 63202*y^2 + 60868*x*z + 39168*z^2
; C5a (-1870/8747 : -3536/8747 : 1)  C5b (-296015/208034 : -8328/104017 : 1)
**u= -124/9 ; tau(u)= -9/62 ; -55542*x^2 - 15538*y^2 - 30428*x*z + 2232*z^2
; C5a (2225/36722 : 4001/36722 : 1)  C5b (-928/2095 : -1809/35615 : 1)
**u= -124/59 ; tau(u)= -59/62 ; -125542*x^2 - 22338*y^2 - 16828*x*z + 14632*z^2
; C5a (-11121/114526 : 282317/343578 : 1)  C5b (220/117 : -223/5967 : 1)
**u= -124/171 ; tau(u)= -171/62 ; -391206*x^2 - 73858*y^2 + 86212*x*z + 42408*z^2
; C5a (351845/2130126 : 560203/710042 : 1)  C5b (52841/16802806 : -1546980/8401403 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (716533/750358 : -48396/375179 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (-89216/85031 : -23121/85031 : 1)
**u= -120/187 ; tau(u)= -187/60 ; -432534*x^2 - 84338*y^2 + 111076*x*z + 44880*z^2
; C5a (-8324/60429 : -10140/20143 : 1)  C5b (-7964/73779 : -16571/73779 : 1)
**u= -116/33 ; tau(u)= -33/58 ; -77526*x^2 - 15634*y^2 - 22556*x*z + 7656*z^2
; C5a (-3975/432358 : 306501/432358 : 1)  C5b (5203/382 : -1044/191 : 1)
**u= -112/17 ; tau(u)= -17/56 ; -54598*x^2 - 13122*y^2 - 23932*x*z + 3808*z^2
; C5a (-47/138 : 7319/11178 : 1)  C5b (89/94 : -1036/3807 : 1)
**u= -112/123 ; tau(u)= -123/56 ; -238614*x^2 - 42802*y^2 + 35428*x*z + 27552*z^2
; C5a (458/2559 : 668/853 : 1)  C5b (-1853/18010 : -1776/9005 : 1)
**u= -108/53 ; tau(u)= -53/54 ; -97638*x^2 - 17282*y^2 - 12092*x*z + 11448*z^2
; C5a (2770/81941 : -65158/81941 : 1)  C5b (-15914/1293 : -4901/1293 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (796/243 : 125/243 : 1)
**u= -108/149 ; tau(u)= -149/54 ; -296934*x^2 - 56066*y^2 + 65476*x*z + 32184*z^2
; C5a (1241/5178 : 21755/29342 : 1)  C5b (5249/28454 : 16680/241859 : 1)
**u= -104/51 ; tau(u)= -51/52 ; -90486*x^2 - 16018*y^2 - 11228*x*z + 10608*z^2
; C5a (509/3002 : -1853/3002 : 1)  C5b (-5003026/28170287 : 2768577/28170287 : 1)
**u= -104/147 ; tau(u)= -147/52 ; -284406*x^2 - 54034*y^2 + 64804*x*z + 30576*z^2
; C5a (-15746/153175 : -95284/153175 : 1)  C5b (192185/1118578 : -50748/559289 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (8874/38069 : 613/38069 : 1)
**u= -100/97 ; tau(u)= -97/50 ; -164054*x^2 - 28818*y^2 + 17636*x*z + 19400*z^2
; C5a (151/1662 : 4117/4986 : 1)  C5b (103/2406 : -380/3609 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (27217/169438 : -8760/84719 : 1)
**u= -96/169 ; tau(u)= -169/48 ; -328806*x^2 - 66338*y^2 + 95812*x*z + 32448*z^2
; C5a (-6204382/48101419 : -22580776/48101419 : 1)  C5b (-624104/3131879 : 758577/3131879 : 1)
**u= -92/33 ; tau(u)= -33/46 ; -56214*x^2 - 10642*y^2 - 12572*x*z + 6072*z^2
; C5a (345/5146 : -3519/5146 : 1)  C5b (-1555/5534 : -5556/47039 : 1)
**u= -92/77 ; tau(u)= -77/46 ; -117638*x^2 - 20322*y^2 + 6788*x*z + 14168*z^2
; C5a (2036/5861 : 5954/17583 : 1)  C5b (-108/1051 : -511/3153 : 1)
**u= -92/135 ; tau(u)= -135/46 ; -234102*x^2 - 44914*y^2 + 55972*x*z + 24840*z^2
; C5a (-9215/66862 : -35525/66862 : 1)  C5b (4647/505466 : 808880/4296461 : 1)
**u= -92/189 ; tau(u)= -189/46 ; -378822*x^2 - 79906*y^2 + 125956*x*z + 34776*z^2
; C5a (-6638/95529 : 17522/31843 : 1)  C5b (-6433/31370 : -3828/15685 : 1)
**u= -92/195 ; tau(u)= -195/46 ; -397062*x^2 - 84514*y^2 + 135172*x*z + 35880*z^2
; C5a (1945/6082 : 4105/6082 : 1)  C5b (-788249/1302086 : -127836/651043 : 1)
**u= -84/29 ; tau(u)= -29/42 ; -45702*x^2 - 8738*y^2 - 10748*x*z + 4872*z^2
; C5a (17504/123907 : -65498/123907 : 1)  C5b (-611/2318 : -1812/19703 : 1)
**u= -84/95 ; tau(u)= -95/42 ; -139158*x^2 - 25106*y^2 + 21988*x*z + 15960*z^2
; C5a (905/2926 : -1795/2926 : 1)  C5b (43984/294327 : 9785/294327 : 1)
**u= -76/63 ; tau(u)= -63/38 ; -79446*x^2 - 13714*y^2 + 4324*x*z + 9576*z^2
; C5a (-568/1787 : -202/1787 : 1)  C5b (-2837/170222 : 9324/85111 : 1)
**u= -76/141 ; tau(u)= -141/38 ; -222342*x^2 - 45538*y^2 + 67972*x*z + 21432*z^2
; C5a (9707653/19672930 : -2661923/19672930 : 1)  C5b (111430/1058941 : -184341/1058941 : 1)
**u= -72/199 ; tau(u)= -199/36 ; -367782*x^2 - 84386*y^2 + 148036*x*z + 28656*z^2
; C5a (7753/102318 : -22815/34106 : 1)  C5b (21386/91461 : -13451/91461 : 1)
**u= -60/71 ; tau(u)= -71/30 ; -75126*x^2 - 13682*y^2 + 12964*x*z + 8520*z^2
; C5a (-19696/76591 : 9670/76591 : 1)  C5b (-6792097/73264918 : 7371564/36632459 : 1)
**u= -60/73 ; tau(u)= -73/30 ; -77814*x^2 - 14258*y^2 + 14116*x*z + 8760*z^2
; C5a (212/819 : 194/273 : 1)  C5b (13054/370361 : 57231/370361 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (379/4194 : -332/2097 : 1)
**u= -60/173 ; tau(u)= -173/30 ; -273414*x^2 - 63458*y^2 + 112516*x*z + 20760*z^2
; C5a (3274/384413 : 224786/384413 : 1)  C5b (-3278/5073 : -617/5073 : 1)
**u= -56/85 ; tau(u)= -85/28 ; -90838*x^2 - 17586*y^2 + 22628*x*z + 9520*z^2
; C5a (-1717/10762 : -14603/32286 : 1)  C5b (-3433/3198 : 56/4797 : 1)
**u= -56/121 ; tau(u)= -121/28 ; -151462*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z + 13552*z^2
; C5a (-1/4530 : 8783/13590 : 1)  C5b (3309016/11616305 : 2210747/34848915 : 1)
**u= -52/141 ; tau(u)= -141/26 ; -186054*x^2 - 42466*y^2 + 74116*x*z + 14664*z^2
; C5a (1830/13169 : 9342/13169 : 1)  C5b (-1449/2822 : -4732/23987 : 1)
**u= -48/43 ; tau(u)= -43/24 ; -34518*x^2 - 6002*y^2 + 2788*x*z + 4128*z^2
; C5a (-3880/67501 : -54088/67501 : 1)  C5b (-272/345 : -113/345 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-13981/31334 : -3480/15667 : 1)
**u= -44/69 ; tau(u)= -69/22 ; -58662*x^2 - 11458*y^2 + 15172*x*z + 6072*z^2
; C5a (8769/48370 : 37521/48370 : 1)  C5b (10653/127358 : -179276/1082543 : 1)
**u= -44/83 ; tau(u)= -83/22 ; -76358*x^2 - 15714*y^2 + 23684*x*z + 7304*z^2
; C5a (-615/3254 : 2339/29286 : 1)  C5b (-1721/2038 : 928/9171 : 1)
**u= -44/87 ; tau(u)= -87/22 ; -81846*x^2 - 17074*y^2 + 26404*x*z + 7656*z^2
; C5a (-331/27794 : -18211/27794 : 1)  C5b (-1150/163367 : 35121/163367 : 1)
**u= -40 ; tau(u)= -1/20 ; -5126*x^2 - 1602*y^2 - 3196*x*z + 80*z^2
; C5a (-14/6821 : -4756/20463 : 1)  C5b (-7214596/14308161 : -3571147/42924483 : 1)
**u= -36/5 ; tau(u)= -5/18 ; -5478*x^2 - 1346*y^2 - 2492*x*z + 360*z^2
; C5a (712/6203 : 226/6203 : 1)  C5b (-184001/388666 : -30204/194333 : 1)
**u= -36/41 ; tau(u)= -41/18 ; -25782*x^2 - 4658*y^2 + 4132*x*z + 2952*z^2
; C5a (6544/44915 : 36086/44915 : 1)  C5b (641/7078 : 6516/60163 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (-3179/2591906 : -4977492/22031201 : 1)
**u= -32/17 ; tau(u)= -17/16 ; -9158*x^2 - 1602*y^2 - 892*x*z + 1088*z^2
; C5a (14/57 : -4/9 : 1)  C5b (-916/123 : -809/369 : 1)
**u= -28/47 ; tau(u)= -47/14 ; -26134*x^2 - 5202*y^2 + 7268*x*z + 2632*z^2
; C5a (-70/431 : 8414/21981 : 1)  C5b (14226/110095 : -850891/5614845 : 1)
**u= -28/81 ; tau(u)= -81/14 ; -59862*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z + 4536*z^2
; C5a (-121518/889789 : 53094/889789 : 1)  C5b (3117/13294 : 17032/112999 : 1)
**u= -24/119 ; tau(u)= -119/12 ; -109542*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z + 5712*z^2
; C5a (1144781/3104206 : -1939303/3104206 : 1)  C5b (-3533/5910 : 176/2955 : 1)
**u= -20/33 ; tau(u)= -33/10 ; -13014*x^2 - 2578*y^2 + 3556*x*z + 1320*z^2
; C5a (-34/24209 : 17290/24209 : 1)  C5b (-657/1754 : -220/877 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (-168/1073 : -13267/54723 : 1)
**u= -20/67 ; tau(u)= -67/10 ; -38854*x^2 - 9378*y^2 + 17156*x*z + 2680*z^2
; C5a (-849/31186 : 45151/93558 : 1)  C5b (24967/74202 : -9188/111303 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (3039/266534 : -544936/2265539 : 1)
**u= -16/3 ; tau(u)= -3/8 ; -1206*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z + 96*z^2
; C5a (2/27 : -4/9 : 1)  C5b (-34/89 : -9/89 : 1)
**u= -16/31 ; tau(u)= -31/8 ; -10502*x^2 - 2178*y^2 + 3332*x*z + 992*z^2
; C5a (2/71 : 1648/2343 : 1)  C5b (-306/3505 : 26623/115665 : 1)
**u= -16/51 ; tau(u)= -51/8 ; -22902*x^2 - 5458*y^2 + 9892*x*z + 1632*z^2
; C5a (-39/310 : -21/310 : 1)  C5b (3818/10883 : -531/10883 : 1)
**u= -16/153 ; tau(u)= -153/8 ; -160806*x^2 - 47074*y^2 + 93124*x*z + 4896*z^2
; C5a (-7/46910 : -15107/46910 : 1)  C5b (-244241/452162 : -13368/226081 : 1)
**u= -12 ; tau(u)= -1/6 ; -534*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z + 24*z^2
; C5a (-3716/7535 : -3646/7535 : 1)  C5b (2773/1854 : -584/927 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (-46/99 : 389/1683 : 1)
**u= -12/43 ; tau(u)= -43/6 ; -15654*x^2 - 3842*y^2 + 7108*x*z + 1032*z^2
; C5a (2128/12311 : 8410/12311 : 1)  C5b (-3952/6177 : -7967/105009 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (17/802 : -340/3609 : 1)
**u= -8/27 ; tau(u)= -27/4 ; -6294*x^2 - 1522*y^2 + 2788*x*z + 432*z^2
; C5a (-515/7546 : -2819/7546 : 1)  C5b (-7650/38957 : 9437/38957 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (15022/63643 : -12075/63643 : 1)
**u= -8/129 ; tau(u)= -129/4 ; -108294*x^2 - 33346*y^2 + 66436*x*z + 2064*z^2
; C5a (473276/1041545 : -567284/1041545 : 1)  C5b (-22338/50611 : 7043/50611 : 1)
**u= -8/187 ; tau(u)= -187/4 ; -221974*x^2 - 70002*y^2 + 139748*x*z + 2992*z^2
; C5a (1786/3133 : 3644/9399 : 1)  C5b (1274/4405 : -2513/13215 : 1)
**u= -4/3 ; tau(u)= -3/2 ; -198*x^2 - 34*y^2 + 4*x*z + 24*z^2
; C5a (-4/47 : 38/47 : 1)  C5b (-3/2 : -8/17 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 8/187 ; tau(u)= 187/4 ; -198038*x^2 - 70002*y^2 + 139748*x*z - 2992*z^2
; C5a (1207/36826 : 15487/110478 : 1)  C5b (-6507/152074 : 54868/228111 : 1)
**u= 12 ; tau(u)= 1/6 ; -342*x^2 - 146*y^2 - 284*x*z - 24*z^2
; C5a (-19/106 : 35/106 : 1)  C5b (178/421 : 3/421 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (-1/6 : 8/51 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (80/963 : 3971/16371 : 1)
**u= 16/3 ; tau(u)= 3/8 ; -438*x^2 - 274*y^2 - 476*x*z - 96*z^2
; C5a (-70/167 : -52/167 : 1)  C5b (2635/7306 : 264/3653 : 1)
**u= 16/31 ; tau(u)= 31/8 ; -2566*x^2 - 2178*y^2 + 3332*x*z - 992*z^2
; C5a (248/461 : 2480/15213 : 1)  C5b (0 : 7/33 : 1)
**u= 16/51 ; tau(u)= 51/8 ; -9846*x^2 - 5458*y^2 + 9892*x*z - 1632*z^2
; C5a (2005/2782 : -737/2782 : 1)  C5b (-22425/105566 : -8948/52783 : 1)
**u= 16/99 ; tau(u)= 99/8 ; -46902*x^2 - 19858*y^2 + 38692*x*z - 3168*z^2
; C5a (237321/325966 : -27453/325966 : 1)  C5b (3978/33509 : -8107/33509 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (754/1129 : 8179/57579 : 1)
**u= 20/67 ; tau(u)= 67/10 ; -17414*x^2 - 9378*y^2 + 17156*x*z - 2680*z^2
; C5a (1360/6497 : 2450/19491 : 1)  C5b (135071/2665546 : 951736/3998319 : 1)
**u= 20/87 ; tau(u)= 87/10 ; -32694*x^2 - 15538*y^2 + 29476*x*z - 3480*z^2
; C5a (4168/29211 : -606/9737 : 1)  C5b (1867/7618 : 15228/64753 : 1)
**u= 24/115 ; tau(u)= 115/12 ; -58998*x^2 - 27026*y^2 + 51748*x*z - 5520*z^2
; C5a (1509/5294 : 2145/5294 : 1)  C5b (25636/73193 : -15615/73193 : 1)
**u= 24/119 ; tau(u)= 119/12 ; -63846*x^2 - 28898*y^2 + 55492*x*z - 5712*z^2
; C5a (1070/4507 : -1648/4507 : 1)  C5b (-9191/27630 : -1748/13815 : 1)
**u= 24/187 ; tau(u)= 187/12 ; -175638*x^2 - 70514*y^2 + 138724*x*z - 8976*z^2
; C5a (47369/239878 : 1331/3286 : 1)  C5b (-271174/781555 : -109437/781555 : 1)
**u= 28/81 ; tau(u)= 81/14 ; -23574*x^2 - 13906*y^2 + 24676*x*z - 4536*z^2
; C5a (16/67 : -2/67 : 1)  C5b (1098/2195 : -7307/37315 : 1)
**u= 32/91 ; tau(u)= 91/16 ; -29462*x^2 - 17586*y^2 + 31076*x*z - 5824*z^2
; C5a (15152/29359 : -32312/88077 : 1)  C5b (1105/2462 : 784/3693 : 1)
**u= 36/5 ; tau(u)= 5/18 ; -2598*x^2 - 1346*y^2 - 2492*x*z - 360*z^2
; C5a (-567/3158 : -165/3158 : 1)  C5b (88/177 : 31/177 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (278/1857 : 7657/31569 : 1)
**u= 44/9 ; tau(u)= 9/22 ; -3126*x^2 - 2098*y^2 - 3548*x*z - 792*z^2
; C5a (-1071/1402 : -297/1402 : 1)  C5b (42/89 : 17/89 : 1)
**u= 44/87 ; tau(u)= 87/22 ; -20598*x^2 - 17074*y^2 + 26404*x*z - 7656*z^2
; C5a (23905/52918 : 3347/52918 : 1)  C5b (-40569/175462 : 1336/12533 : 1)
**u= 44/169 ; tau(u)= 169/22 ; -117686*x^2 - 59058*y^2 + 110372*x*z - 14872*z^2
; C5a (5003/11062 : -14305/33186 : 1)  C5b (-2/21 : -233/1071 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (27313/886062 : -101500/443031 : 1)
**u= 52/5 ; tau(u)= 5/26 ; -6182*x^2 - 2754*y^2 - 5308*x*z - 520*z^2
; C5a (-163/1422 : -655/12798 : 1)  C5b (-11/18 : 40/1377 : 1)
**u= 52/131 ; tau(u)= 131/26 ; -56582*x^2 - 37026*y^2 + 63236*x*z - 13624*z^2
; C5a (1120/2847 : 24394/93951 : 1)  C5b (-58/1573 : 190835/882453 : 1)
**u= 52/141 ; tau(u)= 141/26 ; -68742*x^2 - 42466*y^2 + 74116*x*z - 14664*z^2
; C5a (5489/20358 : 197/2262 : 1)  C5b (43484/152347 : 622629/2589899 : 1)
**u= 56/121 ; tau(u)= 121/28 ; -43046*x^2 - 32418*y^2 + 52292*x*z - 13552*z^2
; C5a (348675/726742 : 488569/2180226 : 1)  C5b (-731/2410 : 44/3615 : 1)
**u= 56/153 ; tau(u)= 153/28 ; -81318*x^2 - 49954*y^2 + 87364*x*z - 17136*z^2
; C5a (14309/39038 : 10993/39038 : 1)  C5b (55620/201509 : 48547/201509 : 1)
**u= 56/185 ; tau(u)= 185/28 ; -131878*x^2 - 71586*y^2 + 130628*x*z - 20720*z^2
; C5a (351/1666 : 575/4998 : 1)  C5b (4352/15093 : -10663/45279 : 1)
**u= 60/113 ; tau(u)= 113/30 ; -33174*x^2 - 29138*y^2 + 43876*x*z - 13560*z^2
; C5a (37838/46717 : 4010/46717 : 1)  C5b (754/8031 : 1849/8031 : 1)
**u= 72/199 ; tau(u)= 199/36 ; -138534*x^2 - 84386*y^2 + 148036*x*z - 28656*z^2
; C5a (3601/4430 : 181/4430 : 1)  C5b (-434962/1670481 : 216511/1670481 : 1)
**u= 76/159 ; tau(u)= 159/38 ; -72342*x^2 - 56338*y^2 + 89572*x*z - 24168*z^2
; C5a (2629/6606 : -43/2202 : 1)  C5b (5984/45109 : 182859/766853 : 1)
**u= 80/187 ; tau(u)= 187/40 ; -109334*x^2 - 76338*y^2 + 127076*x*z - 29920*z^2
; C5a (4511/7522 : -6817/22566 : 1)  C5b (13301/55434 : 20336/83151 : 1)
**u= 84/11 ; tau(u)= 11/42 ; -14502*x^2 - 7298*y^2 - 13628*x*z - 1848*z^2
; C5a (-327/1586 : -345/1586 : 1)  C5b (-7898/6693 : -2845/6693 : 1)
**u= 84/193 ; tau(u)= 193/42 ; -114966*x^2 - 81554*y^2 + 134884*x*z - 32424*z^2
; C5a (708/877 : 1326/9647 : 1)  C5b (-3657299/14439870 : 8868356/79419285 : 1)
**u= 100/3 ; tau(u)= 3/50 ; -27654*x^2 - 10018*y^2 - 19964*x*z - 600*z^2
; C5a (-2699/84862 : -2239/84862 : 1)  C5b (73803/145982 : -6704/72991 : 1)
**u= 112/17 ; tau(u)= 17/56 ; -24134*x^2 - 13122*y^2 - 23932*x*z - 3808*z^2
; C5a (-75/166 : -5351/13446 : 1)  C5b (24/65 : 151/5265 : 1)
**u= 124/9 ; tau(u)= 9/62 ; -37686*x^2 - 15538*y^2 - 30428*x*z - 2232*z^2
; C5a (-3970/28613 : 8162/28613 : 1)  C5b (280/299 : -2133/5083 : 1)
**u= 132/31 ; tau(u)= 31/66 ; -25302*x^2 - 19346*y^2 - 31004*x*z - 8184*z^2
; C5a (-15360/21667 : 5118/21667 : 1)  C5b (1952/2021 : -16293/34357 : 1)
**u= 136/7 ; tau(u)= 7/68 ; -48166*x^2 - 18594*y^2 - 36796*x*z - 1904*z^2
; C5a (-76/1043 : 524/3129 : 1)  C5b (5565/5962 : -3656/8943 : 1)
**u= 136/15 ; tau(u)= 15/68 ; -40518*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z - 4080*z^2
; C5a (-2399/16318 : -2219/16318 : 1)  C5b (-143681/153266 : 23424/76633 : 1)
**u= 136/33 ; tau(u)= 33/68 ; -26118*x^2 - 20674*y^2 - 32636*x*z - 8976*z^2
; C5a (-6596/13833 : 272/1537 : 1)  C5b (50171/33754 : 12120/16877 : 1)
**u= 148 ; tau(u)= 1/74 ; -64534*x^2 - 21906*y^2 - 43804*x*z - 296*z^2
; C5a (-92001/13182214 : -685003/39546642 : 1)  C5b (-12419/12610 : 7712/18915 : 1)
**u= 168/17 ; tau(u)= 17/84 ; -63558*x^2 - 28802*y^2 - 55292*x*z - 5712*z^2
; C5a (-2212/5269 : -224/479 : 1)  C5b (-13420/1907 : -6267/1907 : 1)
**u= 172/29 ; tau(u)= 29/86 ; -53894*x^2 - 31266*y^2 - 55804*x*z - 9976*z^2
; C5a (-4642/17861 : -27074/160749 : 1)  C5b (37919/21722 : -82852/97749 : 1)
**u= 196/57 ; tau(u)= 57/98 ; -45366*x^2 - 44914*y^2 - 63836*x*z - 22344*z^2
; C5a (-35678/54397 : 782/54397 : 1)  C5b (249/182 : 1016/1547 : 1)
156
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.03
H.Nakao

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