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Integer Points on A^4+B^4+225*C^4=D^4

[2026.04.02]A^4+B^4+225*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように257個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(15,1,200);
**u= -196/177 ; tau(u)= -177/98 ; -580758*x^2 - 101074*y^2 + 48484*x*z + 69384*z^2
; C5a (365/3458 : 2837/3458 : 1)  C5b (84191/1010294 : -8612/505147 : 1)
**u= -192/121 ; tau(u)= -121/96 ; -384294*x^2 - 66146*y^2 - 15164*x*z + 46464*z^2
; C5a (-251659/684510 : -8683/228170 : 1)  C5b (-461/1034 : -148/517 : 1)
**u= -192/169 ; tau(u)= -169/96 ; -541542*x^2 - 93986*y^2 + 40516*x*z + 64896*z^2
; C5a (-1198360/3957621 : -234732/1319207 : 1)  C5b (-31547/21352 : 4283/10676 : 1)
**u= -188/39 ; tau(u)= -39/94 ; -173814*x^2 - 38386*y^2 - 64604*x*z + 14664*z^2
; C5a (-7042/141725 : 95542/141725 : 1)  C5b (1403/128 : -325/64 : 1)
**u= -176/9 ; tau(u)= -9/88 ; -106086*x^2 - 31138*y^2 - 61628*x*z + 3168*z^2
; C5a (-62639/300054 : -60545/100018 : 1)  C5b (-216497/5518 : 1796/89 : 1)
**u= -176/21 ; tau(u)= -21/88 ; -125142*x^2 - 31858*y^2 - 60188*x*z + 7392*z^2
; C5a (-1803/3634 : -1635/3634 : 1)  C5b (2887141/4526374 : 15060/2263187 : 1)
**u= -176/105 ; tau(u)= -105/88 ; -306918*x^2 - 53026*y^2 - 17852*x*z + 36960*z^2
; C5a (-52963/254466 : 20317/28274 : 1)  C5b (-11327/123694 : 4860/61847 : 1)
**u= -176/129 ; tau(u)= -129/88 ; -374406*x^2 - 64258*y^2 + 4612*x*z + 45408*z^2
; C5a (7627/36886 : 481681/700834 : 1)  C5b (-19811/1984 : 18175/18848 : 1)
**u= -176/135 ; tau(u)= -135/88 ; -392358*x^2 - 67426*y^2 + 10948*x*z + 47520*z^2
; C5a (21194/77307 : 14392/25769 : 1)  C5b (-613021/1234358 : 188628/617179 : 1)
**u= -172/21 ; tau(u)= -21/86 ; -120294*x^2 - 30466*y^2 - 57404*x*z + 7224*z^2
; C5a (-9487/16398 : 409/5466 : 1)  C5b (326761/103066 : 77504/51533 : 1)
**u= -168/41 ; tau(u)= -41/84 ; -149862*x^2 - 31586*y^2 - 49724*x*z + 13776*z^2
; C5a (78590/519043 : 154852/519043 : 1)  C5b (-53351/181096 : -217/90548 : 1)
**u= -168/149 ; tau(u)= -149/84 ; -418134*x^2 - 72626*y^2 + 32356*x*z + 50064*z^2
; C5a (-63763/375898 : -251629/375898 : 1)  C5b (-62941/34864 : 6821/17432 : 1)
**u= -168/179 ; tau(u)= -179/84 ; -517494*x^2 - 92306*y^2 + 71716*x*z + 60144*z^2
; C5a (51718/152939 : -79940/152939 : 1)  C5b (-132041/76744 : -5175/38372 : 1)
**u= -156/5 ; tau(u)= -5/78 ; -79398*x^2 - 24386*y^2 - 48572*x*z + 1560*z^2
; C5a (5629/229646 : -26377/229646 : 1)  C5b (154201/93832 : 37025/46916 : 1)
**u= -156/55 ; tau(u)= -55/78 ; -159798*x^2 - 30386*y^2 - 36572*x*z + 17160*z^2
; C5a (23437/1058018 : -774229/1058018 : 1)  C5b (-7831/31718 : 1312/15859 : 1)
**u= -156/95 ; tau(u)= -95/78 ; -245718*x^2 - 42386*y^2 - 12572*x*z + 29640*z^2
; C5a (-4570/3954249 : 1102490/1318083 : 1)  C5b (-36367/643976 : -8935/321988 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (34399/1062688 : 24929/531344 : 1)
**u= -156/175 ; tau(u)= -175/78 ; -475158*x^2 - 85586*y^2 + 73828*x*z + 54600*z^2
; C5a (2725/6422 : -425/6422 : 1)  C5b (569/3752 : 33/1876 : 1)
**u= -152/15 ; tau(u)= -15/76 ; -88902*x^2 - 23554*y^2 - 45308*x*z + 4560*z^2
; C5a (4388/135513 : 16120/45171 : 1)  C5b (-16759/20248 : -3977/10124 : 1)
**u= -152/45 ; tau(u)= -45/76 ; -136182*x^2 - 27154*y^2 - 38108*x*z + 13680*z^2
; C5a (-158804/919173 : -236648/306391 : 1)  C5b (-5791/3518 : -1452/1759 : 1)
**u= -152/93 ; tau(u)= -93/76 ; -234294*x^2 - 40402*y^2 - 11612*x*z + 28272*z^2
; C5a (1580/261197 : -218192/261197 : 1)  C5b (71237/7142 : -4976/3571 : 1)
**u= -152/123 ; tau(u)= -123/76 ; -309654*x^2 - 53362*y^2 + 14308*x*z + 37392*z^2
; C5a (-16138/359771 : 296024/359771 : 1)  C5b (-7301/33914 : -3696/16957 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (-12281/15752 : 2439/7876 : 1)
**u= -148/51 ; tau(u)= -51/74 ; -141702*x^2 - 27106*y^2 - 33404*x*z + 15096*z^2
; C5a (-1990/63353 : 48682/63353 : 1)  C5b (-122111/518776 : -14167/259388 : 1)
**u= -144/83 ; tau(u)= -83/72 ; -199158*x^2 - 34514*y^2 - 13916*x*z + 23904*z^2
; C5a (21797/71346 : -4175/23782 : 1)  C5b (-145177/412562 : -49768/206281 : 1)
**u= -144/97 ; tau(u)= -97/72 ; -230406*x^2 - 39554*y^2 - 3836*x*z + 27936*z^2
; C5a (4273/30626 : -23311/30626 : 1)  C5b (-493/22 : 36/11 : 1)
**u= -144/133 ; tau(u)= -133/72 ; -321558*x^2 - 56114*y^2 + 29284*x*z + 38304*z^2
; C5a (-95/554 : -361/554 : 1)  C5b (-51506911/31488146 : -5654084/15744073 : 1)
**u= -144/143 ; tau(u)= -143/72 ; -349638*x^2 - 61634*y^2 + 40324*x*z + 41184*z^2
; C5a (-420395/11731722 : -3122279/3910574 : 1)  C5b (-172769/115474 : 17620/57737 : 1)
**u= -144/157 ; tau(u)= -157/72 ; -390966*x^2 - 70034*y^2 + 57124*x*z + 45216*z^2
; C5a (-713/54986 : 831935/1044734 : 1)  C5b (-677/2128 : -5385/20216 : 1)
**u= -144/197 ; tau(u)= -197/72 ; -522006*x^2 - 98354*y^2 + 113764*x*z + 56736*z^2
; C5a (9173/25822 : 14561/25822 : 1)  C5b (8513/85328 : -6281/42664 : 1)
**u= -140/9 ; tau(u)= -9/70 ; -69366*x^2 - 19762*y^2 - 38876*x*z + 2520*z^2
; C5a (-91/158 : 49/158 : 1)  C5b (30877/26216 : 6661/13108 : 1)
**u= -140/33 ; tau(u)= -33/70 ; -102294*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z + 9240*z^2
; C5a (-26486/72189 : 4938/8021 : 1)  C5b (15479/15488 : 1673/7744 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (6917/1496 : -1197/748 : 1)
**u= -140/57 ; tau(u)= -57/70 ; -142134*x^2 - 26098*y^2 - 26204*x*z + 15960*z^2
; C5a (-299398/1453989 : 371446/484663 : 1)  C5b (-22987/19496 : 5725/9748 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (-276547/919154 : -99836/459577 : 1)
**u= -140/123 ; tau(u)= -123/70 ; -287334*x^2 - 49858*y^2 + 21316*x*z + 34440*z^2
; C5a (130416/2249591 : 1876998/2249591 : 1)  C5b (-9653/31426 : 4020/15713 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-550999/1150112 : 171241/575056 : 1)
**u= -140/159 ; tau(u)= -159/70 ; -388566*x^2 - 70162*y^2 + 61924*x*z + 44520*z^2
; C5a (-8678008/37592243 : 13846250/37592243 : 1)  C5b (-1656557/3562744 : 512139/1781372 : 1)
**u= -140/171 ; tau(u)= -171/70 ; -425766*x^2 - 78082*y^2 + 77764*x*z + 47880*z^2
; C5a (14560/35587 : 11690/35587 : 1)  C5b (-167881/543782 : -72460/271891 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (13199/408248 : -36071/204124 : 1)
**u= -136/15 ; tau(u)= -15/68 ; -73158*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z + 4080*z^2
; C5a (82253/1089894 : 909/4082 : 1)  C5b (-1043/2264 : -147/1132 : 1)
**u= -136/39 ; tau(u)= -39/68 ; -107046*x^2 - 21538*y^2 - 30908*x*z + 10608*z^2
; C5a (4039/22858 : 72775/251438 : 1)  C5b (-153589/18086 : -383536/99473 : 1)
**u= -136/69 ; tau(u)= -69/68 ; -159126*x^2 - 28018*y^2 - 17948*x*z + 18768*z^2
; C5a (-28731/379738 : 314475/379738 : 1)  C5b (-146117/32038 : -25680/16019 : 1)
**u= -136/165 ; tau(u)= -165/68 ; -398358*x^2 - 72946*y^2 + 71908*x*z + 44880*z^2
; C5a (-138932/521485209 : -45439372/57942801 : 1)  C5b (128321/819032 : -25665/409516 : 1)
**u= -136/189 ; tau(u)= -189/68 ; -475446*x^2 - 89938*y^2 + 105892*x*z + 51408*z^2
; C5a (-330111/7954706 : -5700975/7954706 : 1)  C5b (-53861/88054 : 11956/44027 : 1)
**u= -132/7 ; tau(u)= -7/66 ; -59958*x^2 - 17522*y^2 - 34652*x*z + 1848*z^2
; C5a (3410/542701 : -165418/542701 : 1)  C5b (-91013/122818 : 19392/61409 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (-62929/65048 : 16249/32524 : 1)
**u= -132/65 ; tau(u)= -65/66 ; -146262*x^2 - 25874*y^2 - 17948*x*z + 17160*z^2
; C5a (577/2498 : 1121/2498 : 1)  C5b (-9271/44632 : 423/3188 : 1)
**u= -132/107 ; tau(u)= -107/66 ; -233958*x^2 - 40322*y^2 + 10948*x*z + 28248*z^2
; C5a (-10910/49881 : -10026/16627 : 1)  C5b (-3379/140704 : -8179/70352 : 1)
**u= -132/113 ; tau(u)= -113/66 ; -248214*x^2 - 42962*y^2 + 16228*x*z + 29832*z^2
; C5a (-91/13138 : -10925/13138 : 1)  C5b (-27499/7616 : -597/3808 : 1)
**u= -132/137 ; tau(u)= -137/66 ; -309558*x^2 - 54962*y^2 + 40228*x*z + 36168*z^2
; C5a (345821/2967018 : -807631/989006 : 1)  C5b (-977/3242 : -424/1621 : 1)
**u= -128/45 ; tau(u)= -45/64 ; -107382*x^2 - 20434*y^2 - 24668*x*z + 11520*z^2
; C5a (-3599/8038 : 1811/8038 : 1)  C5b (-4571/19552 : -595/9776 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (-69397/33494 : 12800/16747 : 1)
**u= -128/87 ; tau(u)= -87/64 ; -183654*x^2 - 31522*y^2 - 2492*x*z + 22272*z^2
; C5a (-31047/106954 : 52239/106954 : 1)  C5b (-6391/2624 : -945/1312 : 1)
**u= -124/63 ; tau(u)= -63/62 ; -132438*x^2 - 23314*y^2 - 14876*x*z + 15624*z^2
; C5a (-71915/387282 : 99391/129094 : 1)  C5b (-4049/1814 : -812/907 : 1)
**u= -120/13 ; tau(u)= -13/60 ; -56694*x^2 - 14738*y^2 - 28124*x*z + 3120*z^2
; C5a (275353/3048798 : -90753/1016266 : 1)  C5b (-2669209/5887022 : -351908/2943511 : 1)
**u= -120/31 ; tau(u)= -31/60 ; -78726*x^2 - 16322*y^2 - 24956*x*z + 7440*z^2
; C5a (457/2982 : -327/994 : 1)  C5b (-32401/94072 : -5777/47036 : 1)
**u= -120/47 ; tau(u)= -47/60 ; -101574*x^2 - 18818*y^2 - 19964*x*z + 11280*z^2
; C5a (1718/9463 : -439172/917911 : 1)  C5b (-293/1334 : 228/2813 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-73841/139762 : 20984/69881 : 1)
**u= -120/79 ; tau(u)= -79/60 ; -156486*x^2 - 26882*y^2 - 3836*x*z + 18960*z^2
; C5a (-270964/10489237 : -800716/953567 : 1)  C5b (-132599/3568 : 10289/1784 : 1)
**u= -120/89 ; tau(u)= -89/60 ; -176166*x^2 - 30242*y^2 + 2884*x*z + 21360*z^2
; C5a (-1327/9738 : -2483/3246 : 1)  C5b (-25397/37504 : -6627/18752 : 1)
**u= -120/91 ; tau(u)= -91/60 ; -180246*x^2 - 30962*y^2 + 4324*x*z + 21840*z^2
; C5a (-107/9642 : 2695/3214 : 1)  C5b (-25549/37798 : 6636/18899 : 1)
**u= -120/107 ; tau(u)= -107/60 ; -214614*x^2 - 37298*y^2 + 16996*x*z + 25680*z^2
; C5a (-4/1597 : 1324/1597 : 1)  C5b (2321/29102 : 184/14551 : 1)
**u= -120/121 ; tau(u)= -121/60 ; -247206*x^2 - 43682*y^2 + 29764*x*z + 29040*z^2
; C5a (105/362 : -225/362 : 1)  C5b (-161/35422 : -2716/17711 : 1)
**u= -120/131 ; tau(u)= -131/60 ; -271926*x^2 - 48722*y^2 + 39844*x*z + 31440*z^2
; C5a (-108844/519157 : 248176/519157 : 1)  C5b (4579/31712 : -187/15856 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (112453/790454 : 15276/395227 : 1)
**u= -120/137 ; tau(u)= -137/60 ; -287334*x^2 - 51938*y^2 + 46276*x*z + 32880*z^2
; C5a (45609/318586 : 256305/318586 : 1)  C5b (2989/21848 : -723/10924 : 1)
**u= -120/163 ; tau(u)= -163/60 ; -359094*x^2 - 67538*y^2 + 77476*x*z + 39120*z^2
; C5a (-6347/119486 : -84767/119486 : 1)  C5b (-19219/15968 : -405/7984 : 1)
**u= -120/167 ; tau(u)= -167/60 ; -370854*x^2 - 70178*y^2 + 82756*x*z + 40080*z^2
; C5a (-45178/479763 : 102800/159921 : 1)  C5b (80389/1117318 : 92704/558659 : 1)
**u= -120/181 ; tau(u)= -181/60 ; -413526*x^2 - 79922*y^2 + 102244*x*z + 43440*z^2
; C5a (-96010/477871 : -133160/477871 : 1)  C5b (399299/12166352 : 1181179/6083176 : 1)
**u= -120/191 ; tau(u)= -191/60 ; -445446*x^2 - 87362*y^2 + 117124*x*z + 45840*z^2
; C5a (12/53 : 8340/11077 : 1)  C5b (-53/56 : 109/836 : 1)
**u= -120/199 ; tau(u)= -199/60 ; -471846*x^2 - 93602*y^2 + 129604*x*z + 47760*z^2
; C5a (10724/35941 : -24760/35941 : 1)  C5b (-88819/94208 : 4789/47104 : 1)
**u= -116/33 ; tau(u)= -33/58 ; -77526*x^2 - 15634*y^2 - 22556*x*z + 7656*z^2
; C5a (-3975/432358 : 306501/432358 : 1)  C5b (3539983/2776568 : -434841/1388284 : 1)
**u= -112/15 ; tau(u)= -15/56 ; -52422*x^2 - 12994*y^2 - 24188*x*z + 3360*z^2
; C5a (128/9917 : 4796/9917 : 1)  C5b (-66301/5792 : -16699/2896 : 1)
**u= -112/33 ; tau(u)= -33/56 ; -73734*x^2 - 14722*y^2 - 20732*x*z + 7392*z^2
; C5a (11497/57754 : -8815/57754 : 1)  C5b (151409/23144 : 30863/11572 : 1)
**u= -112/75 ; tau(u)= -75/56 ; -138582*x^2 - 23794*y^2 - 2588*x*z + 16800*z^2
; C5a (23837/70658 : -5701/70658 : 1)  C5b (-749/808 : 173/404 : 1)
**u= -112/117 ; tau(u)= -117/56 ; -224598*x^2 - 39922*y^2 + 29668*x*z + 26208*z^2
; C5a (-5974/1049783 : -847708/1049783 : 1)  C5b (-7949/20584 : 2867/10292 : 1)
**u= -108/53 ; tau(u)= -53/54 ; -97638*x^2 - 17282*y^2 - 12092*x*z + 11448*z^2
; C5a (2770/81941 : -65158/81941 : 1)  C5b (-116611/14576 : -19773/7288 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (-32699/16702 : -964/1193 : 1)
**u= -108/65 ; tau(u)= -65/54 ; -116502*x^2 - 20114*y^2 - 6428*x*z + 14040*z^2
; C5a (24444/353807 : 284874/353807 : 1)  C5b (194039/5002 : 18864/2501 : 1)
**u= -108/83 ; tau(u)= -83/54 ; -148038*x^2 - 25442*y^2 + 4228*x*z + 17928*z^2
; C5a (-47011/144862 : -28217/144862 : 1)  C5b (-9293/40888 : 4437/20444 : 1)
**u= -108/97 ; tau(u)= -97/54 ; -175254*x^2 - 30482*y^2 + 14308*x*z + 20952*z^2
; C5a (-19534/167593 : 124802/167593 : 1)  C5b (-539/107026 : -6888/53513 : 1)
**u= -108/155 ; tau(u)= -155/54 ; -313062*x^2 - 59714*y^2 + 72772*x*z + 33480*z^2
; C5a (562054/1310297 : 451574/1310297 : 1)  C5b (-6067/15416 : -2101/7708 : 1)
**u= -104/21 ; tau(u)= -21/52 ; -52566*x^2 - 11698*y^2 - 19868*x*z + 4368*z^2
; C5a (438/4711 : -1980/4711 : 1)  C5b (91453/44128 : 18587/22064 : 1)
**u= -104/105 ; tau(u)= -105/52 ; -185958*x^2 - 32866*y^2 + 22468*x*z + 21840*z^2
; C5a (845038/10805067 : -2977388/3601689 : 1)  C5b (20089/171118 : -2308/85559 : 1)
**u= -104/171 ; tau(u)= -171/52 ; -350166*x^2 - 69298*y^2 + 95332*x*z + 35568*z^2
; C5a (23669/49218 : -1295/16406 : 1)  C5b (-957923/2977222 : 396388/1488611 : 1)
**u= -100/39 ; tau(u)= -39/50 ; -70326*x^2 - 13042*y^2 - 13916*x*z + 7800*z^2
; C5a (116372/474059 : -50162/474059 : 1)  C5b (-169409/405232 : -47935/202616 : 1)
**u= -100/57 ; tau(u)= -57/50 ; -95094*x^2 - 16498*y^2 - 7004*x*z + 11400*z^2
; C5a (11897/38894 : -5747/38894 : 1)  C5b (-84347/128386 : -23264/64193 : 1)
**u= -100/63 ; tau(u)= -63/50 ; -104214*x^2 - 17938*y^2 - 4124*x*z + 12600*z^2
; C5a (-4351/221858 : 186241/221858 : 1)  C5b (-25201/222698 : 13140/111349 : 1)
**u= -100/123 ; tau(u)= -123/50 ; -219174*x^2 - 40258*y^2 + 40516*x*z + 24600*z^2
; C5a (252637/3928902 : 1058507/1309634 : 1)  C5b (215507/1384814 : -48660/692407 : 1)
**u= -96/77 ; tau(u)= -77/48 ; -122358*x^2 - 21074*y^2 + 5284*x*z + 14784*z^2
; C5a (-98103/929366 : -726075/929366 : 1)  C5b (-13471/10976 : 2377/5488 : 1)
**u= -96/113 ; tau(u)= -113/48 ; -191046*x^2 - 34754*y^2 + 32644*x*z + 21696*z^2
; C5a (6576/19133 : 10440/19133 : 1)  C5b (-34447/36728 : -5105/18364 : 1)
**u= -96/127 ; tau(u)= -127/48 ; -221958*x^2 - 41474*y^2 + 46084*x*z + 24384*z^2
; C5a (-28982/241403 : 148300/241403 : 1)  C5b (9703/48802 : -76/24401 : 1)
**u= -96/137 ; tau(u)= -137/48 ; -245478*x^2 - 46754*y^2 + 56644*x*z + 26304*z^2
; C5a (-287375/2300306 : 1320031/2300306 : 1)  C5b (37153/183712 : -5385/91856 : 1)
**u= -92/21 ; tau(u)= -21/46 ; -43494*x^2 - 9346*y^2 - 15164*x*z + 3864*z^2
; C5a (497/8174 : 4459/8174 : 1)  C5b (-5323/17122 : 284/8561 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (-1943/10432 : -745/5216 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (11501/12368 : -1589/6184 : 1)
**u= -88/45 ; tau(u)= -45/44 ; -67062*x^2 - 11794*y^2 - 7388*x*z + 7920*z^2
; C5a (-1834/53799 : 14856/17933 : 1)  C5b (-5713/9136 : 1607/4568 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (-79837/275624 : 34275/137812 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (-19349/15722 : -1604/7861 : 1)
**u= -88/183 ; tau(u)= -183/44 ; -352998*x^2 - 74722*y^2 + 118468*x*z + 32208*z^2
; C5a (3884/8417 : -3332/8417 : 1)  C5b (118121/430094 : 2244/30721 : 1)
**u= -84/19 ; tau(u)= -19/42 ; -36102*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z + 3192*z^2
; C5a (644/6151 : 2674/6151 : 1)  C5b (-1673/5368 : -81/2684 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (2009/1958 : -104/979 : 1)
**u= -84/41 ; tau(u)= -41/42 ; -58806*x^2 - 10418*y^2 - 7388*x*z + 6888*z^2
; C5a (1817/17046 : -4103/5682 : 1)  C5b (11339/3344 : 1141/1672 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (6563/206 : -396/103 : 1)
**u= -84/85 ; tau(u)= -85/42 ; -121638*x^2 - 21506*y^2 + 14788*x*z + 14280*z^2
; C5a (-43739/871634 : 683693/871634 : 1)  C5b (38843/343586 : -7148/171793 : 1)
**u= -84/89 ; tau(u)= -89/42 ; -128502*x^2 - 22898*y^2 + 17572*x*z + 14952*z^2
; C5a (-17/266 : 21695/28462 : 1)  C5b (23/2432 : -20125/130112 : 1)
**u= -84/95 ; tau(u)= -95/42 ; -139158*x^2 - 25106*y^2 + 21988*x*z + 15960*z^2
; C5a (905/2926 : -1795/2926 : 1)  C5b (17447/159274 : 7648/79637 : 1)
**u= -84/191 ; tau(u)= -191/42 ; -368406*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z + 32088*z^2
; C5a (34850/70857 : -2458/7873 : 1)  C5b (-109127/148838 : -9188/74419 : 1)
**u= -76/63 ; tau(u)= -63/38 ; -79446*x^2 - 13714*y^2 + 4324*x*z + 9576*z^2
; C5a (-568/1787 : -202/1787 : 1)  C5b (-31009/10216 : -2217/5108 : 1)
**u= -72/11 ; tau(u)= -11/36 ; -22614*x^2 - 5426*y^2 - 9884*x*z + 1584*z^2
; C5a (-551/1194 : 197/398 : 1)  C5b (38729/29954 : 7408/14977 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (-4657/8338 : -1360/4169 : 1)
**u= -72/89 ; tau(u)= -89/36 ; -114342*x^2 - 21026*y^2 + 21316*x*z + 12816*z^2
; C5a (-1692/38941 : -29016/38941 : 1)  C5b (3083/25222 : 1376/12611 : 1)
**u= -72/161 ; tau(u)= -161/36 ; -263814*x^2 - 57026*y^2 + 93316*x*z + 23184*z^2
; C5a (25508/94021 : -67144/94021 : 1)  C5b (-719743/1586642 : 192416/793321 : 1)
**u= -68/9 ; tau(u)= -9/34 ; -19254*x^2 - 4786*y^2 - 8924*x*z + 1224*z^2
; C5a (353/3206 : 131/3206 : 1)  C5b (-292333/22112 : -73581/11056 : 1)
**u= -68/99 ; tau(u)= -99/34 ; -126534*x^2 - 24226*y^2 + 29956*x*z + 13464*z^2
; C5a (-3231/15050 : 3351/15050 : 1)  C5b (-2443/30872 : -3517/15436 : 1)
**u= -64/45 ; tau(u)= -45/32 ; -47478*x^2 - 8146*y^2 - 92*x*z + 5760*z^2
; C5a (-39808/229281 : 55816/76427 : 1)  C5b (-3067/374 : -240/187 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (257/1256 : 63/628 : 1)
**u= -56/45 ; tau(u)= -45/28 ; -41718*x^2 - 7186*y^2 + 1828*x*z + 5040*z^2
; C5a (-1271/4606 : 2003/4606 : 1)  C5b (-11527/3056 : 735/1528 : 1)
**u= -56/69 ; tau(u)= -69/28 ; -68886*x^2 - 12658*y^2 + 12772*x*z + 7728*z^2
; C5a (326/13079 : -10400/13079 : 1)  C5b (-1187/1088 : -123/544 : 1)
**u= -56/99 ; tau(u)= -99/28 ; -112566*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z + 11088*z^2
; C5a (15193/53134 : -37459/53134 : 1)  C5b (5669/23144 : -805/11572 : 1)
**u= -56/135 ; tau(u)= -135/28 ; -179238*x^2 - 39586*y^2 + 66628*x*z + 15120*z^2
; C5a (-1612/50577 : -9592/16859 : 1)  C5b (17287/134014 : 13272/67007 : 1)
**u= -48 ; tau(u)= -1/24 ; -7302*x^2 - 2306*y^2 - 4604*x*z + 96*z^2
; C5a (1/246 : -15/82 : 1)  C5b (3641/4984 : -647/2492 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (-47297/62128 : 1015/31064 : 1)
**u= -48/149 ; tau(u)= -149/24 ; -197334*x^2 - 46706*y^2 + 84196*x*z + 14304*z^2
; C5a (-1/18 : -29/66 : 1)  C5b (4297/16352 : 1907/12848 : 1)
**u= -44/3 ; tau(u)= -3/22 ; -6918*x^2 - 1954*y^2 - 3836*x*z + 264*z^2
; C5a (-304/1763 : 1070/1763 : 1)  C5b (599/296 : -143/148 : 1)
**u= -44/117 ; tau(u)= -117/22 ; -129126*x^2 - 29314*y^2 + 50884*x*z + 10296*z^2
; C5a (-5420/2301843 : -452058/767281 : 1)  C5b (-334829/552466 : 47536/276233 : 1)
**u= -36/5 ; tau(u)= -5/18 ; -5478*x^2 - 1346*y^2 - 2492*x*z + 360*z^2
; C5a (712/6203 : 226/6203 : 1)  C5b (-2089/1808 : 535/904 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-107/728 : 5/52 : 1)
**u= -36/49 ; tau(u)= -49/18 ; -32406*x^2 - 6098*y^2 + 7012*x*z + 3528*z^2
; C5a (45/134 : -81/134 : 1)  C5b (-1987/105698 : 10724/52849 : 1)
**u= -36/55 ; tau(u)= -55/18 ; -37878*x^2 - 7346*y^2 + 9508*x*z + 3960*z^2
; C5a (-4527/25222 : 9459/25222 : 1)  C5b (20903/145354 : -9992/72677 : 1)
**u= -36/95 ; tau(u)= -95/18 ; -85398*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z + 6840*z^2
; C5a (-330431/2758394 : 793415/2758394 : 1)  C5b (11941/69298 : -6448/34649 : 1)
**u= -36/115 ; tau(u)= -115/18 ; -116358*x^2 - 27746*y^2 + 50308*x*z + 8280*z^2
; C5a (378/773 : -330/773 : 1)  C5b (-33367/366416 : -46953/183208 : 1)
**u= -36/145 ; tau(u)= -145/18 ; -171798*x^2 - 43346*y^2 + 81508*x*z + 10440*z^2
; C5a (641654/4280097 : 939542/1426699 : 1)  C5b (902687/3974714 : -372660/1987357 : 1)
**u= -36/181 ; tau(u)= -181/18 ; -252582*x^2 - 66818*y^2 + 128452*x*z + 13032*z^2
; C5a (-4234/99957 : 990/3029 : 1)  C5b (104977/263818 : 6980/131909 : 1)
**u= -32/75 ; tau(u)= -75/16 ; -56022*x^2 - 12274*y^2 + 20452*x*z + 4800*z^2
; C5a (14/29 : -200/551 : 1)  C5b (24221/78998 : -38876/750481 : 1)
**u= -32/195 ; tau(u)= -195/16 ; -281142*x^2 - 77074*y^2 + 150052*x*z + 12480*z^2
; C5a (1059962/8966547 : -581860/996283 : 1)  C5b (-323341/722762 : -64908/361381 : 1)
**u= -28/39 ; tau(u)= -39/14 ; -20214*x^2 - 3826*y^2 + 4516*x*z + 2184*z^2
; C5a (-15722/118753 : 67382/118753 : 1)  C5b (64873/501418 : -32704/250709 : 1)
**u= -28/171 ; tau(u)= -171/14 ; -216102*x^2 - 59266*y^2 + 115396*x*z + 9576*z^2
; C5a (909/7504558 : 3018777/7504558 : 1)  C5b (-48331/89456 : -4981/44728 : 1)
**u= -24/7 ; tau(u)= -7/12 ; -3366*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z + 336*z^2
; C5a (926/41155 : -28036/41155 : 1)  C5b (23557/24352 : -403/12176 : 1)
**u= -24/37 ; tau(u)= -37/12 ; -17046*x^2 - 3314*y^2 + 4324*x*z + 1776*z^2
; C5a (-2027/31922 : -20989/31922 : 1)  C5b (7/32 : -1/16 : 1)
**u= -24/43 ; tau(u)= -43/12 ; -21078*x^2 - 4274*y^2 + 6244*x*z + 2064*z^2
; C5a (-4250/916499 : -632344/916499 : 1)  C5b (-787/2752 : -363/1376 : 1)
**u= -24/193 ; tau(u)= -193/12 ; -262278*x^2 - 75074*y^2 + 147844*x*z + 9264*z^2
; C5a (117049/838082 : 481655/838082 : 1)  C5b (4829/59936 : 7419/29968 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (1523/914 : -12/457 : 1)
**u= -20/21 ; tau(u)= -21/10 ; -7206*x^2 - 1282*y^2 + 964*x*z + 840*z^2
; C5a (-651/2614 : -903/2614 : 1)  C5b (41/1718 : -124/859 : 1)
**u= -20/27 ; tau(u)= -27/10 ; -9894*x^2 - 1858*y^2 + 2116*x*z + 1080*z^2
; C5a (-1772/801511 : -6286/8263 : 1)  C5b (1319/6608 : 103/3304 : 1)
**u= -20/33 ; tau(u)= -33/10 ; -13014*x^2 - 2578*y^2 + 3556*x*z + 1320*z^2
; C5a (-34/24209 : 17290/24209 : 1)  C5b (1691/46402 : 4684/23201 : 1)
**u= -20/57 ; tau(u)= -57/10 ; -29814*x^2 - 6898*y^2 + 12196*x*z + 2280*z^2
; C5a (21901/79386 : -18511/26462 : 1)  C5b (30817/165994 : -15404/82997 : 1)
**u= -20/93 ; tau(u)= -93/10 ; -67974*x^2 - 17698*y^2 + 33796*x*z + 3720*z^2
; C5a (10121/176354 : 97735/176354 : 1)  C5b (1811321/12317312 : -196543/879808 : 1)
**u= -20/123 ; tau(u)= -123/10 ; -111654*x^2 - 30658*y^2 + 59716*x*z + 4920*z^2
; C5a (-6587/552826 : 204437/552826 : 1)  C5b (-37/10184 : 1299/5092 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (11183/25664 : 111/12832 : 1)
**u= -20/177 ; tau(u)= -177/10 ; -217494*x^2 - 63058*y^2 + 124516*x*z + 7080*z^2
; C5a (366/1289 : -810/1289 : 1)  C5b (225103/885686 : 89892/442843 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (15467/37456 : 1813/18728 : 1)
**u= -16/15 ; tau(u)= -15/8 ; -4038*x^2 - 706*y^2 + 388*x*z + 480*z^2
; C5a (-507/1738 : 315/1738 : 1)  C5b (1663/18016 : -279/9008 : 1)
**u= -16/45 ; tau(u)= -45/8 ; -18678*x^2 - 4306*y^2 + 7588*x*z + 1440*z^2
; C5a (-6590/140083 : -68900/140083 : 1)  C5b (24581/230822 : -24908/115411 : 1)
**u= -16/81 ; tau(u)= -81/8 ; -50502*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z + 2592*z^2
; C5a (-583/9258 : -741/3086 : 1)  C5b (19267/95008 : 9861/47504 : 1)
**u= -16/159 ; tau(u)= -159/8 ; -172806*x^2 - 50818*y^2 + 100612*x*z + 5088*z^2
; C5a (-2931/2202818 : 687765/2202818 : 1)  C5b (-5777/137678 : 17772/68839 : 1)
**u= -12/17 ; tau(u)= -17/6 ; -3798*x^2 - 722*y^2 + 868*x*z + 408*z^2
; C5a (6/19 : 234/361 : 1)  C5b (-19/34 : -88/323 : 1)
**u= -12/23 ; tau(u)= -23/6 ; -5814*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z + 552*z^2
; C5a (-1160/71667 : -5242/7963 : 1)  C5b (851/3056 : -45/1528 : 1)
**u= -12/25 ; tau(u)= -25/6 ; -6582*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z + 600*z^2
; C5a (18601/40134 : -5209/13378 : 1)  C5b (-193/4256 : 73/304 : 1)
**u= -12/35 ; tau(u)= -35/6 ; -11142*x^2 - 2594*y^2 + 4612*x*z + 840*z^2
; C5a (-352/106687 : -60154/106687 : 1)  C5b (-45191/88342 : 8988/44171 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (-1426441/2915402 : -236928/1457701 : 1)
**u= -12/85 ; tau(u)= -85/6 ; -51942*x^2 - 14594*y^2 + 28612*x*z + 2040*z^2
; C5a (641/6214 : -3427/6214 : 1)  C5b (67/226 : -20/113 : 1)
**u= -12/115 ; tau(u)= -115/6 ; -90822*x^2 - 26594*y^2 + 52612*x*z + 2760*z^2
; C5a (44693/71718 : -2435/23906 : 1)  C5b (26317/67144 : -579/4796 : 1)
**u= -12/155 ; tau(u)= -155/6 ; -159462*x^2 - 48194*y^2 + 95812*x*z + 3720*z^2
; C5a (15566/1897693 : 579566/1897693 : 1)  C5b (319021/849598 : 61800/424799 : 1)
**u= -12/163 ; tau(u)= -163/6 ; -175494*x^2 - 53282*y^2 + 105988*x*z + 3912*z^2
; C5a (16345/8031602 : 2235257/8031602 : 1)  C5b (-31673/59782 : 1412/29891 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (-4001447/8033224 : 393281/4016612 : 1)
**u= -12/185 ; tau(u)= -185/6 ; -223542*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z + 4440*z^2
; C5a (-22579/5513878 : -1310849/5513878 : 1)  C5b (17711/47498 : 212/1397 : 1)
**u= -8/3 ; tau(u)= -3/4 ; -438*x^2 - 82*y^2 - 92*x*z + 48*z^2
; C5a (-35/78 : 3/26 : 1)  C5b (131/104 : 3/52 : 1)
**u= -8/45 ; tau(u)= -45/4 ; -15222*x^2 - 4114*y^2 + 7972*x*z + 720*z^2
; C5a (-36/791 : -2448/8701 : 1)  C5b (1271/3758 : 2868/20669 : 1)
**u= -8/75 ; tau(u)= -75/4 ; -38742*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z + 1200*z^2
; C5a (100/853 : -460/853 : 1)  C5b (-208409/477208 : -39911/238604 : 1)
**u= -8/93 ; tau(u)= -93/4 ; -58038*x^2 - 17362*y^2 + 34468*x*z + 1488*z^2
; C5a (1789/25366 : 11599/25366 : 1)  C5b (19607/88178 : -9660/44089 : 1)
**u= -4/3 ; tau(u)= -3/2 ; -198*x^2 - 34*y^2 + 4*x*z + 24*z^2
; C5a (-4/47 : 38/47 : 1)  C5b (-167/22 : -8/11 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (41621/124184 : -10915/62092 : 1)
**u= -4/153 ; tau(u)= -153/2 ; -145398*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z + 1224*z^2
; C5a (310/1081 : -634/1081 : 1)  C5b (975707/2102288 : -81317/1051144 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/123 ; tau(u)= 123/2 ; -86886*x^2 - 30274*y^2 + 60484*x*z - 984*z^2
; C5a (2552/121599 : 3662/40533 : 1)  C5b (-39439/206096 : -24207/103048 : 1)
**u= 4/147 ; tau(u)= 147/2 ; -124998*x^2 - 43234*y^2 + 86404*x*z - 1176*z^2
; C5a (3950/54281 : 17414/54281 : 1)  C5b (-19063/599318 : 77052/299659 : 1)
**u= 4/153 ; tau(u)= 153/2 ; -135606*x^2 - 46834*y^2 + 93604*x*z - 1224*z^2
; C5a (5162/8889 : -1178/2963 : 1)  C5b (77503/162208 : 7743/81104 : 1)
**u= 8/15 ; tau(u)= 15/4 ; -582*x^2 - 514*y^2 + 772*x*z - 240*z^2
; C5a (77/102 : -5/34 : 1)  C5b (8059/25408 : 3347/12704 : 1)
**u= 8/75 ; tau(u)= 75/4 ; -29142*x^2 - 11314*y^2 + 22372*x*z - 1200*z^2
; C5a (3300/4817 : 960/4817 : 1)  C5b (-9389/22138 : -892/11069 : 1)
**u= 8/93 ; tau(u)= 93/4 ; -46134*x^2 - 17362*y^2 + 34468*x*z - 1488*z^2
; C5a (4425/94322 : -3753/94322 : 1)  C5b (9067/19642 : 200/1403 : 1)
**u= 8/105 ; tau(u)= 105/4 ; -59622*x^2 - 22114*y^2 + 43972*x*z - 1680*z^2
; C5a (3201/27538 : -9489/27538 : 1)  C5b (140501/2673392 : 344995/1336696 : 1)
**u= 8/117 ; tau(u)= 117/4 ; -74838*x^2 - 27442*y^2 + 54628*x*z - 1872*z^2
; C5a (558/15095 : 612/15095 : 1)  C5b (2039/12386 : -1544/6193 : 1)
**u= 8/183 ; tau(u)= 183/4 ; -189414*x^2 - 67042*y^2 + 133828*x*z - 2928*z^2
; C5a (28852/49033 : 19160/49033 : 1)  C5b (-157/23338 : 3008/11669 : 1)
**u= 12/23 ; tau(u)= 23/6 ; -1398*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z - 552*z^2
; C5a (1068/1391 : 210/1391 : 1)  C5b (28139/31976 : -605/15988 : 1)
**u= 12/25 ; tau(u)= 25/6 ; -1782*x^2 - 1394*y^2 + 2212*x*z - 600*z^2
; C5a (8/19 : 2/19 : 1)  C5b (7651/39538 : -5124/19769 : 1)
**u= 12/35 ; tau(u)= 35/6 ; -4422*x^2 - 2594*y^2 + 4612*x*z - 840*z^2
; C5a (274/341 : -2/31 : 1)  C5b (-347/1024 : 27/512 : 1)
**u= 12/67 ; tau(u)= 67/6 ; -20934*x^2 - 9122*y^2 + 17668*x*z - 1608*z^2
; C5a (154/353 : 170/353 : 1)  C5b (-1021/15104 : 1853/7552 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (-2447/5728 : -15/2864 : 1)
**u= 12/115 ; tau(u)= 115/6 ; -68742*x^2 - 26594*y^2 + 52612*x*z - 2760*z^2
; C5a (20217/121658 : 47679/121658 : 1)  C5b (780949/1607662 : -15036/114833 : 1)
**u= 12/167 ; tau(u)= 167/6 ; -151734*x^2 - 55922*y^2 + 111268*x*z - 4008*z^2
; C5a (29482/43149 : -110/757 : 1)  C5b (6071/125576 : 16207/62788 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (-9683/30136 : 2741/15068 : 1)
**u= 12/185 ; tau(u)= 185/6 ; -188022*x^2 - 68594*y^2 + 136612*x*z - 4440*z^2
; C5a (286/5513 : 974/5513 : 1)  C5b (-872477/1961944 : -77221/980972 : 1)
**u= 16/81 ; tau(u)= 81/8 ; -29766*x^2 - 13378*y^2 + 25732*x*z - 2592*z^2
; C5a (15066/20399 : -2340/20399 : 1)  C5b (41779/290344 : -37363/145172 : 1)
**u= 20/51 ; tau(u)= 51/10 ; -8646*x^2 - 5602*y^2 + 9604*x*z - 2040*z^2
; C5a (1942/2697 : 238/899 : 1)  C5b (1003/1504 : -107/752 : 1)
**u= 20/87 ; tau(u)= 87/10 ; -32694*x^2 - 15538*y^2 + 29476*x*z - 3480*z^2
; C5a (4168/29211 : -606/9737 : 1)  C5b (399367/1958794 : -249500/979397 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (3864131/26236952 : 3346117/13118476 : 1)
**u= 20/153 ; tau(u)= 153/10 ; -117174*x^2 - 47218*y^2 + 92836*x*z - 6120*z^2
; C5a (3161/30062 : -6701/30062 : 1)  C5b (-4243/9704 : 85/4852 : 1)
**u= 24/7 ; tau(u)= 7/12 ; -678*x^2 - 674*y^2 - 956*x*z - 336*z^2
; C5a (-379/562 : 13/562 : 1)  C5b (899/3296 : 91/1648 : 1)
**u= 24/43 ; tau(u)= 43/12 ; -4566*x^2 - 4274*y^2 + 6244*x*z - 2064*z^2
; C5a (381/610 : 69/610 : 1)  C5b (959/1154 : 84/577 : 1)
**u= 24/97 ; tau(u)= 97/12 ; -39558*x^2 - 19394*y^2 + 36484*x*z - 4656*z^2
; C5a (2777/3646 : -355/3646 : 1)  C5b (-14707/41792 : 1995/20896 : 1)
**u= 24/143 ; tau(u)= 143/12 ; -96966*x^2 - 41474*y^2 + 80644*x*z - 6864*z^2
; C5a (5701/12402 : 667/1378 : 1)  C5b (6111971/10641866 : -362584/5320933 : 1)
**u= 24/187 ; tau(u)= 187/12 ; -175638*x^2 - 70514*y^2 + 138724*x*z - 8976*z^2
; C5a (47369/239878 : 1331/3286 : 1)  C5b (396907/779878 : -47616/389939 : 1)
**u= 24/193 ; tau(u)= 193/12 ; -188166*x^2 - 75074*y^2 + 147844*x*z - 9264*z^2
; C5a (1830/24103 : 2604/24103 : 1)  C5b (9641/237986 : 30696/118993 : 1)
**u= 28/111 ; tau(u)= 111/14 ; -51414*x^2 - 25426*y^2 + 47716*x*z - 6216*z^2
; C5a (13877/18570 : 1049/6190 : 1)  C5b (13897/25162 : 1876/12581 : 1)
**u= 28/129 ; tau(u)= 129/14 ; -73302*x^2 - 34066*y^2 + 64996*x*z - 7224*z^2
; C5a (74629/447738 : 32071/149246 : 1)  C5b (33323/202112 : 25963/101056 : 1)
**u= 28/159 ; tau(u)= 159/14 ; -118422*x^2 - 51346*y^2 + 99556*x*z - 8904*z^2
; C5a (81181/795046 : -18175/795046 : 1)  C5b (1704181/2948434 : -104160/1474217 : 1)
**u= 32/57 ; tau(u)= 57/16 ; -7974*x^2 - 7522*y^2 + 10948*x*z - 3648*z^2
; C5a (26765/44946 : -381/4994 : 1)  C5b (-413/5482 : 532/2741 : 1)
**u= 32/165 ; tau(u)= 165/16 ; -124182*x^2 - 55474*y^2 + 106852*x*z - 10560*z^2
; C5a (39826/189523 : 64424/189523 : 1)  C5b (-192345451/497947562 : 19725288/248973781 : 1)
**u= 36/5 ; tau(u)= 5/18 ; -2598*x^2 - 1346*y^2 - 2492*x*z - 360*z^2
; C5a (-567/3158 : -165/3158 : 1)  C5b (7519/16408 : -177/1172 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (14353/20696 : 1479/10348 : 1)
**u= 36/95 ; tau(u)= 95/18 ; -30678*x^2 - 19346*y^2 + 33508*x*z - 6840*z^2
; C5a (52661/73258 : 19669/73258 : 1)  C5b (152417/1209674 : -155324/604837 : 1)
**u= 36/161 ; tau(u)= 161/18 ; -113046*x^2 - 53138*y^2 + 101092*x*z - 11592*z^2
; C5a (22/159 : 570/8639 : 1)  C5b (109/344 : 6657/28036 : 1)
**u= 36/169 ; tau(u)= 169/18 ; -126582*x^2 - 58418*y^2 + 111652*x*z - 12168*z^2
; C5a (8497/49514 : 11705/49514 : 1)  C5b (17183/43162 : 4600/21581 : 1)
**u= 44/117 ; tau(u)= 117/22 ; -46758*x^2 - 29314*y^2 + 50884*x*z - 10296*z^2
; C5a (752/1059 : -98/353 : 1)  C5b (82007/154058 : -15812/77029 : 1)
**u= 44/183 ; tau(u)= 183/22 ; -142326*x^2 - 68914*y^2 + 130084*x*z - 16104*z^2
; C5a (3500/6219 : 866/2073 : 1)  C5b (-4279/11306 : -324/5653 : 1)
**u= 48/101 ; tau(u)= 101/24 ; -29334*x^2 - 22706*y^2 + 36196*x*z - 9696*z^2
; C5a (99953/188590 : 44213/188590 : 1)  C5b (17947/21542 : 236/10771 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (209801/289954 : 14500/144977 : 1)
**u= 48/149 ; tau(u)= 149/24 ; -82902*x^2 - 46706*y^2 + 84196*x*z - 14304*z^2
; C5a (331/1326 : -885/4862 : 1)  C5b (-313/3758 : 4696/20669 : 1)
**u= 52/111 ; tau(u)= 111/26 ; -35862*x^2 - 27346*y^2 + 43876*x*z - 11544*z^2
; C5a (520/673 : 1378/7403 : 1)  C5b (18259/33106 : -40916/182083 : 1)
**u= 56/99 ; tau(u)= 99/28 ; -23862*x^2 - 22738*y^2 + 32932*x*z - 11088*z^2
; C5a (31689/54358 : 315/54358 : 1)  C5b (810413/940952 : 61395/470476 : 1)
**u= 56/135 ; tau(u)= 135/28 ; -58278*x^2 - 39586*y^2 + 66628*x*z - 15120*z^2
; C5a (36/49 : 12/49 : 1)  C5b (31/592 : -73/296 : 1)
**u= 72/11 ; tau(u)= 11/36 ; -9942*x^2 - 5426*y^2 - 9884*x*z - 1584*z^2
; C5a (-1108/5449 : 284/5449 : 1)  C5b (236567/642818 : 9224/321409 : 1)
**u= 72/161 ; tau(u)= 161/36 ; -78342*x^2 - 57026*y^2 + 93316*x*z - 23184*z^2
; C5a (22081/28518 : -1825/9506 : 1)  C5b (32723/41392 : 1291/20696 : 1)
**u= 76/3 ; tau(u)= 3/38 ; -15558*x^2 - 5794*y^2 - 11516*x*z - 456*z^2
; C5a (-431/1558 : 803/1558 : 1)  C5b (14777/9578 : 3700/4789 : 1)
**u= 84/19 ; tau(u)= 19/42 ; -10566*x^2 - 7778*y^2 - 12668*x*z - 3192*z^2
; C5a (-8032/22051 : -1130/22051 : 1)  C5b (-8323/8072 : -1019/4036 : 1)
**u= 84/169 ; tau(u)= 169/42 ; -78966*x^2 - 64178*y^2 + 100132*x*z - 28392*z^2
; C5a (1719330/2901601 : -649434/2901601 : 1)  C5b (657061/819586 : 46508/409793 : 1)
**u= 84/191 ; tau(u)= 191/42 ; -111702*x^2 - 80018*y^2 + 131812*x*z - 32088*z^2
; C5a (62278/84477 : 6586/28159 : 1)  C5b (-119077/501272 : 32787/250636 : 1)
**u= 88/177 ; tau(u)= 177/44 ; -86598*x^2 - 70402*y^2 + 109828*x*z - 31152*z^2
; C5a (15052/29329 : -5420/29329 : 1)  C5b (762443/1238102 : 132460/619051 : 1)
**u= 88/183 ; tau(u)= 183/44 ; -95334*x^2 - 74722*y^2 + 118468*x*z - 32208*z^2
; C5a (9757/11686 : 671/11686 : 1)  C5b (693031/1342256 : -158593/671128 : 1)
**u= 92/21 ; tau(u)= 21/46 ; -12582*x^2 - 9346*y^2 - 15164*x*z - 3864*z^2
; C5a (-6258/16769 : 1134/16769 : 1)  C5b (-11951/13366 : -952/6683 : 1)
**u= 96/13 ; tau(u)= 13/48 ; -18678*x^2 - 9554*y^2 - 17756*x*z - 2496*z^2
; C5a (-2294/13307 : 428/13307 : 1)  C5b (24541/40504 : -5405/20252 : 1)
**u= 100/3 ; tau(u)= 3/50 ; -27654*x^2 - 10018*y^2 - 19964*x*z - 600*z^2
; C5a (-2699/84862 : -2239/84862 : 1)  C5b (173/226 : 36/113 : 1)
**u= 100/9 ; tau(u)= 9/50 ; -23286*x^2 - 10162*y^2 - 19676*x*z - 1800*z^2
; C5a (-748/5327 : -1186/5327 : 1)  C5b (-827/434 : 192/217 : 1)
**u= 100/21 ; tau(u)= 21/50 ; -15846*x^2 - 10882*y^2 - 18236*x*z - 4200*z^2
; C5a (-9671/26358 : -1593/8786 : 1)  C5b (21881/68198 : 436/34099 : 1)
**u= 104/21 ; tau(u)= 21/52 ; -17622*x^2 - 11698*y^2 - 19868*x*z - 4368*z^2
; C5a (-119/286 : -7/26 : 1)  C5b (4909/11606 : 936/5803 : 1)
**u= 108/5 ; tau(u)= 5/54 ; -30822*x^2 - 11714*y^2 - 23228*x*z - 1080*z^2
; C5a (-1026/4309 : 2070/4309 : 1)  C5b (1014307/2129416 : -79685/1064708 : 1)
**u= 108/185 ; tau(u)= 185/54 ; -80502*x^2 - 80114*y^2 + 113572*x*z - 39960*z^2
; C5a (83465/113878 : -2405/113878 : 1)  C5b (43313/136714 : 18140/68357 : 1)
**u= 108/197 ; tau(u)= 197/54 ; -97638*x^2 - 89282*y^2 + 131908*x*z - 42552*z^2
; C5a (14958/27485 : 1638/27485 : 1)  C5b (215701/339424 : 38123/169712 : 1)
**u= 112/15 ; tau(u)= 15/56 ; -25542*x^2 - 12994*y^2 - 24188*x*z - 3360*z^2
; C5a (-7327/18522 : -283/686 : 1)  C5b (397867/97546 : 101704/48773 : 1)
**u= 120/19 ; tau(u)= 19/60 ; -27126*x^2 - 15122*y^2 - 27356*x*z - 4560*z^2
; C5a (-6634/20079 : -2120/6693 : 1)  C5b (5686997/126794 : 1401604/63397 : 1)
**u= 136/15 ; tau(u)= 15/68 ; -40518*x^2 - 18946*y^2 - 36092*x*z - 4080*z^2
; C5a (-2399/16318 : -2219/16318 : 1)  C5b (36313/45806 : -8620/22903 : 1)
**u= 140/9 ; tau(u)= 9/70 ; -49206*x^2 - 19762*y^2 - 38876*x*z - 2520*z^2
; C5a (-83/322 : -149/322 : 1)  C5b (1156577/1325306 : 268240/662653 : 1)
**u= 140/33 ; tau(u)= 33/70 ; -28374*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z - 9240*z^2
; C5a (-706/1049 : 262/1049 : 1)  C5b (-179/158 : -24/79 : 1)
**u= 152/27 ; tau(u)= 27/76 ; -40854*x^2 - 24562*y^2 - 43292*x*z - 8208*z^2
; C5a (-23978/70759 : 19000/70759 : 1)  C5b (-20543/18992 : 3287/9496 : 1)
**u= 164/27 ; tau(u)= 27/82 ; -49638*x^2 - 28354*y^2 - 50876*x*z - 8856*z^2
; C5a (-9064/11807 : 2158/11807 : 1)  C5b (-2641/3386 : 244/1693 : 1)
**u= 168/41 ; tau(u)= 41/84 ; -39654*x^2 - 31586*y^2 - 49724*x*z - 13776*z^2
; C5a (-34258/62359 : -13916/62359 : 1)  C5b (60239329/30607714 : 15222988/15303857 : 1)
**u= 172/21 ; tau(u)= 21/86 ; -62502*x^2 - 30466*y^2 - 57404*x*z - 7224*z^2
; C5a (-4898/19597 : 6370/19597 : 1)  C5b (748031/1284584 : -1383/5684 : 1)
**u= 176/9 ; tau(u)= 9/88 ; -80742*x^2 - 31138*y^2 - 61628*x*z - 3168*z^2
; C5a (-4103/39322 : 10879/39322 : 1)  C5b (9131/10694 : -2068/5347 : 1)
**u= 176/21 ; tau(u)= 21/88 ; -66006*x^2 - 31858*y^2 - 60188*x*z - 7392*z^2
; C5a (-99695/563458 : 108943/563458 : 1)  C5b (-27193/8302 : 6480/4151 : 1)
**u= 176/51 ; tau(u)= 51/88 ; -36726*x^2 - 36178*y^2 - 51548*x*z - 17952*z^2
; C5a (-17328/26941 : -444/26941 : 1)  C5b (-123431/9794 : -26124/4897 : 1)
**u= 184/9 ; tau(u)= 9/92 ; -88806*x^2 - 34018*y^2 - 67388*x*z - 3312*z^2
; C5a (-259/1014 : -165/338 : 1)  C5b (-394939/331016 : 87419/165508 : 1)
**u= 184/15 ; tau(u)= 15/92 ; -80838*x^2 - 34306*y^2 - 66812*x*z - 5520*z^2
; C5a (-49210/67691 : 6620/67691 : 1)  C5b (-18481/30088 : -1231/15044 : 1)
**u= 188/9 ; tau(u)= 9/94 ; -92982*x^2 - 35506*y^2 - 70364*x*z - 3384*z^2
; C5a (-1120/15863 : 2818/15863 : 1)  C5b (-145291/87416 : 4923/6244 : 1)
**u= 192 ; tau(u)= 1/96 ; -109062*x^2 - 36866*y^2 - 73724*x*z - 384*z^2
; C5a (-31755/5854666 : 108501/5854666 : 1)  C5b (520121/783794 : 89880/391897 : 1)
**u= 192/19 ; tau(u)= 19/96 ; -83574*x^2 - 37586*y^2 - 72284*x*z - 7296*z^2
; C5a (-16478/25875 : -1032/2875 : 1)  C5b (-6497/6248 : -1247/3124 : 1)
257
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.03
H.Nakao

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