Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+196*C^4=D^4

[2026.04.02]A^4+B^4+196*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように72個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(14,1,200);
**u= -196/9 ; tau(u)= -9/98 ; -129846*x^2 - 38578*y^2 - 76508*x*z + 3528*z^2
; C5a (-100314/481513 : -288318/481513 : 1)  C5b (785461/1090666 : 130530/545333 : 1)
**u= -196/13 ; tau(u)= -13/98 ; -136646*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z + 5096*z^2
; C5a (431/9670 : 5573/29010 : 1)  C5b (152113/180438 : 84580/270657 : 1)
**u= -196/95 ; tau(u)= -95/98 ; -318358*x^2 - 56466*y^2 - 40732*x*z + 37240*z^2
; C5a (55/194 : -25/582 : 1)  C5b (-10151/36090 : 10184/54135 : 1)
**u= -180/91 ; tau(u)= -91/90 ; -277926*x^2 - 48962*y^2 - 31676*x*z + 32760*z^2
; C5a (302989/2673014 : -1932767/2673014 : 1)  C5b (157901/14858 : -21510/7429 : 1)
**u= -180/133 ; tau(u)= -133/90 ; -394854*x^2 - 67778*y^2 + 5956*x*z + 47880*z^2
; C5a (-53872/638803 : 518014/638803 : 1)  C5b (-81073/8286 : 3650/4143 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (-249323/193738 : 42240/96869 : 1)
**u= -168/53 ; tau(u)= -53/84 ; -172758*x^2 - 33842*y^2 - 45212*x*z + 17808*z^2
; C5a (-707/49386 : -12145/16462 : 1)  C5b (-403/1098 : 100/549 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (96259421/4382898 : -11164850/2191449 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (-12905/29882 : 3798/14941 : 1)
**u= -156/175 ; tau(u)= -175/78 ; -475158*x^2 - 85586*y^2 + 73828*x*z + 54600*z^2
; C5a (2725/6422 : -425/6422 : 1)  C5b (-7507/9010 : 1404/4505 : 1)
**u= -144/35 ; tau(u)= -35/72 ; -109878*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z + 10080*z^2
; C5a (-979/61698 : -13927/20566 : 1)  C5b (73763/12090 : -16636/6045 : 1)
**u= -140 ; tau(u)= -1/70 ; -59926*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z + 280*z^2
; C5a (1819/257418 : -34501/25484382 : 1)  C5b (-775/1474 : -7186/72963 : 1)
**u= -140/37 ; tau(u)= -37/70 ; -108454*x^2 - 22338*y^2 - 33724*x*z + 10360*z^2
; C5a (23319/158758 : 176467/476274 : 1)  C5b (-15305/3718 : -11356/5577 : 1)
**u= -140/51 ; tau(u)= -51/70 ; -131526*x^2 - 24802*y^2 - 28796*x*z + 14280*z^2
; C5a (-3403/72122 : -56731/72122 : 1)  C5b (579613/15314 : 116460/7657 : 1)
**u= -140/69 ; tau(u)= -69/70 ; -164646*x^2 - 29122*y^2 - 20156*x*z + 19320*z^2
; C5a (-1015/14598 : -4025/4866 : 1)  C5b (-903771/82738 : -153920/41369 : 1)
**u= -140/71 ; tau(u)= -71/70 ; -168566*x^2 - 29682*y^2 - 19036*x*z + 19880*z^2
; C5a (-286/4423 : 11002/13269 : 1)  C5b (23983/10250 : 2704/15375 : 1)
**u= -140/73 ; tau(u)= -73/70 ; -172534*x^2 - 30258*y^2 - 17884*x*z + 20440*z^2
; C5a (-2/7 : 530/861 : 1)  C5b (177/74 : -80/4551 : 1)
**u= -140/81 ; tau(u)= -81/70 ; -188886*x^2 - 32722*y^2 - 12956*x*z + 22680*z^2
; C5a (7218/4259233 : 3544194/4259233 : 1)  C5b (1062687/13334 : 123560/6667 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-327717/169894 : 29410/84947 : 1)
**u= -140/171 ; tau(u)= -171/70 ; -425766*x^2 - 78082*y^2 + 77764*x*z + 47880*z^2
; C5a (14560/35587 : 11690/35587 : 1)  C5b (-6014355/4555802 : 313178/2277901 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (-647/546386 : 54150/273193 : 1)
**u= -136/133 ; tau(u)= -133/68 ; -306326*x^2 - 53874*y^2 + 33764*x*z + 36176*z^2
; C5a (-1438/9801 : -19880/29403 : 1)  C5b (-129121/71514 : -29750/107271 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-69547/26750 : -15738/13375 : 1)
**u= -120/133 ; tau(u)= -133/60 ; -277014*x^2 - 49778*y^2 + 41956*x*z + 31920*z^2
; C5a (18185/49182 : 7185/16394 : 1)  C5b (-7781/5382 : -560/2691 : 1)
**u= -112/39 ; tau(u)= -39/56 ; -81702*x^2 - 15586*y^2 - 19004*x*z + 8736*z^2
; C5a (-2920/102429 : -26248/34143 : 1)  C5b (53703/20102 : -8830/10051 : 1)
**u= -112/73 ; tau(u)= -73/56 ; -135014*x^2 - 23202*y^2 - 3772*x*z + 16352*z^2
; C5a (142/5709 : -1300/1557 : 1)  C5b (-6047/3978 : -3550/5967 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (-45235/32786 : 2178/16393 : 1)
**u= -84/25 ; tau(u)= -25/42 ; -41718*x^2 - 8306*y^2 - 11612*x*z + 4200*z^2
; C5a (329/54382 : 38339/54382 : 1)  C5b (-1949/1602 : 520/801 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (-449531/49242 : 47110/24621 : 1)
**u= -84/85 ; tau(u)= -85/42 ; -121638*x^2 - 21506*y^2 + 14788*x*z + 14280*z^2
; C5a (-43739/871634 : 683693/871634 : 1)  C5b (-338543/589270 : 93696/294635 : 1)
**u= -84/89 ; tau(u)= -89/42 ; -128502*x^2 - 22898*y^2 + 17572*x*z + 14952*z^2
; C5a (-17/266 : 21695/28462 : 1)  C5b (-11/6 : 10/321 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (899499/569126 : -143870/284563 : 1)
**u= -68/105 ; tau(u)= -105/34 ; -137142*x^2 - 26674*y^2 + 34852*x*z + 14280*z^2
; C5a (-24915/142706 : 55365/142706 : 1)  C5b (-12905/39514 : -5472/19757 : 1)
**u= -64/105 ; tau(u)= -105/32 ; -132198*x^2 - 26146*y^2 + 35908*x*z + 13440*z^2
; C5a (11202/23971 : 5448/23971 : 1)  C5b (7575/41554 : -2608/20777 : 1)
**u= -60/7 ; tau(u)= -7/30 ; -14454*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z + 840*z^2
; C5a (-13/274 : -6541/11782 : 1)  C5b (-41/58 : -420/1247 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (-170257/189246 : 18070/94623 : 1)
**u= -56/45 ; tau(u)= -45/28 ; -41718*x^2 - 7186*y^2 + 1828*x*z + 5040*z^2
; C5a (-1271/4606 : 2003/4606 : 1)  C5b (117/6170 : -224/3085 : 1)
**u= -56/85 ; tau(u)= -85/28 ; -90838*x^2 - 17586*y^2 + 22628*x*z + 9520*z^2
; C5a (-1717/10762 : -14603/32286 : 1)  C5b (-6163/6350 : 1442/9525 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-176607/290030 : -32354/145015 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (30797/95782 : -1740/47891 : 1)
**u= -40/91 ; tau(u)= -91/20 ; -83606*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z + 7280*z^2
; C5a (7023/13706 : 7849/41118 : 1)  C5b (663693/3251854 : -781430/4877781 : 1)
**u= -32/35 ; tau(u)= -35/16 ; -19382*x^2 - 3474*y^2 + 2852*x*z + 2240*z^2
; C5a (-1522/7517 : 11272/22551 : 1)  C5b (-23129/15790 : -5164/23685 : 1)
**u= -28/135 ; tau(u)= -135/14 ; -141942*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z + 7560*z^2
; C5a (-5296/61331 : 5878/61331 : 1)  C5b (-6905/24674 : -3102/12337 : 1)
**u= -20/49 ; tau(u)= -49/10 ; -23446*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z + 1960*z^2
; C5a (-41/1506 : 2585/4518 : 1)  C5b (-79/130 : 634/3315 : 1)
**u= -20/147 ; tau(u)= -147/10 ; -154374*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z + 5880*z^2
; C5a (-29155/1189526 : 345905/1189526 : 1)  C5b (-16725/84262 : -10882/42131 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (156295/384662 : 20868/192331 : 1)
**u= -16/77 ; tau(u)= -77/8 ; -46198*x^2 - 12114*y^2 + 23204*x*z + 2464*z^2
; C5a (-23677/263946 : 23603/791838 : 1)  C5b (2361/9874 : 2920/14811 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (112919/309390 : -24982/154695 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (-3/22 : 20/99 : 1)
**u= -4/35 ; tau(u)= -35/2 ; -8518*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z + 280*z^2
; C5a (-28/673 : -322/2019 : 1)  C5b (1943/5706 : 1400/8559 : 1)
**u= -4/63 ; tau(u)= -63/2 ; -25878*x^2 - 7954*y^2 + 15844*x*z + 504*z^2
; C5a (45/134 : 81/134 : 1)  C5b (12403/40822 : -4050/20411 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (-1/2 : 0 : 1)
**u= 4/35 ; tau(u)= 35/2 ; -6278*x^2 - 2466*y^2 + 4868*x*z - 280*z^2
; C5a (82/263 : -398/789 : 1)  C5b (-5933/22350 : -6872/33525 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (-40739/99066 : -3310/49533 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (7955/141434 : 18882/70717 : 1)
**u= 16/77 ; tau(u)= 77/8 ; -26486*x^2 - 12114*y^2 + 23204*x*z - 2464*z^2
; C5a (848/6539 : -1780/19617 : 1)  C5b (-723/2362 : 560/3543 : 1)
**u= 20/49 ; tau(u)= 49/10 ; -7766*x^2 - 5202*y^2 + 8804*x*z - 1960*z^2
; C5a (15/26 : -25/78 : 1)  C5b (15/26 : -8/39 : 1)
**u= 20/147 ; tau(u)= 147/10 ; -107334*x^2 - 43618*y^2 + 85636*x*z - 5880*z^2
; C5a (3373/4906 : 1117/4906 : 1)  C5b (56823/115886 : 8510/57943 : 1)
**u= 28/115 ; tau(u)= 115/14 ; -55942*x^2 - 27234*y^2 + 51332*x*z - 6440*z^2
; C5a (107/626 : 301/1878 : 1)  C5b (23985/38282 : -3608/57423 : 1)
**u= 28/135 ; tau(u)= 135/14 ; -81462*x^2 - 37234*y^2 + 71332*x*z - 7560*z^2
; C5a (3220/20599 : 4270/20599 : 1)  C5b (211735/394378 : 28356/197189 : 1)
**u= 40/91 ; tau(u)= 91/20 ; -25366*x^2 - 18162*y^2 + 29924*x*z - 7280*z^2
; C5a (466/1161 : 656/3483 : 1)  C5b (25959/33662 : 4280/50493 : 1)
**u= 44/7 ; tau(u)= 7/22 ; -3638*x^2 - 2034*y^2 - 3676*x*z - 616*z^2
; C5a (-65/306 : -1/54 : 1)  C5b (137/78 : 110/117 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (31499/85206 : -11020/42603 : 1)
**u= 56/185 ; tau(u)= 185/28 ; -131878*x^2 - 71586*y^2 + 130628*x*z - 20720*z^2
; C5a (351/1666 : 575/4998 : 1)  C5b (-1325/239158 : 91252/358737 : 1)
**u= 56/195 ; tau(u)= 195/28 ; -150198*x^2 - 79186*y^2 + 145828*x*z - 21840*z^2
; C5a (4822/25611 : -8812/145129 : 1)  C5b (62205/243886 : -543574/2073031 : 1)
**u= 60/7 ; tau(u)= 7/30 ; -7734*x^2 - 3698*y^2 - 7004*x*z - 840*z^2
; C5a (-421/1078 : -20393/46354 : 1)  C5b (461/1062 : 2450/22833 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (4973/5018 : 1350/2509 : 1)
**u= 140 ; tau(u)= 1/70 ; -57686*x^2 - 19602*y^2 - 39196*x*z - 280*z^2
; C5a (-72/9781 : 16078/968319 : 1)  C5b (-23/10 : -592/495 : 1)
**u= 140/37 ; tau(u)= 37/70 ; -25574*x^2 - 22338*y^2 - 33724*x*z - 10360*z^2
; C5a (-8581/14446 : -7385/43338 : 1)  C5b (23887/8294 : 18100/12441 : 1)
**u= 144/35 ; tau(u)= 35/72 ; -29238*x^2 - 23186*y^2 - 36572*x*z - 10080*z^2
; C5a (-14303/34286 : -2117/34286 : 1)  C5b (5065/2022 : 1306/1011 : 1)
**u= 196/9 ; tau(u)= 9/98 ; -101622*x^2 - 38578*y^2 - 76508*x*z - 3528*z^2
; C5a (-7246/132053 : -12830/132053 : 1)  C5b (893197/521998 : 233940/260999 : 1)
**u= 196/13 ; tau(u)= 13/98 ; -95878*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z - 5096*z^2
; C5a (-4769/9746 : -14255/29238 : 1)  C5b (52789/74806 : -34790/112209 : 1)
72
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.04.02
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]