Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+121*C^4=D^4

[2026.03.26]A^4+B^4+121*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように124個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(11,1,200);
**u= -200/111 ; tau(u)= -111/100 ; -371526*x^2 - 64642*y^2 - 30716*x*z + 44400*z^2
; C5a (-311947/1059446 : 607207/1059446 : 1)  C5b (-109583/66700 : 26301/33350 : 1)
**u= -200/131 ; tau(u)= -131/100 ; -432566*x^2 - 74322*y^2 - 11356*x*z + 52400*z^2
; C5a (13975/54898 : 88535/164694 : 1)  C5b (8715/692 : -1123/1038 : 1)
**u= -196/13 ; tau(u)= -13/98 ; -136646*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z + 5096*z^2
; C5a (431/9670 : 5573/29010 : 1)  C5b (-66059/91086 : -49880/136629 : 1)
**u= -192/85 ; tau(u)= -85/96 ; -284502*x^2 - 51314*y^2 - 44828*x*z + 32640*z^2
; C5a (-19318/45343 : -1984/45343 : 1)  C5b (8425/5012 : 51/358 : 1)
**u= -192/107 ; tau(u)= -107/96 ; -343638*x^2 - 59762*y^2 - 27932*x*z + 41088*z^2
; C5a (-23590/64327 : 18824/64327 : 1)  C5b (-53917/604602 : 12560/302301 : 1)
**u= -188/155 ; tau(u)= -155/94 ; -483302*x^2 - 83394*y^2 + 25412*x*z + 58280*z^2
; C5a (2826/19739 : -46766/59217 : 1)  C5b (-813/3730 : -1444/5595 : 1)
**u= -184/73 ; tau(u)= -73/92 ; -240998*x^2 - 44514*y^2 - 46396*x*z + 26864*z^2
; C5a (-6509/70318 : 170545/210954 : 1)  C5b (-79239/280604 : 72545/420906 : 1)
**u= -180/7 ; tau(u)= -7/90 ; -107574*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z + 2520*z^2
; C5a (469/24506 : 4795/24506 : 1)  C5b (-239105/516876 : 1427/258438 : 1)
**u= -180/29 ; tau(u)= -29/90 ; -144006*x^2 - 34082*y^2 - 61436*x*z + 10440*z^2
; C5a (-3887/22778 : 15959/22778 : 1)  C5b (62545/55722 : 12644/27861 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (157/243444 : 19225/121722 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (1077/1802 : -160/901 : 1)
**u= -176/71 ; tau(u)= -71/88 ; -223142*x^2 - 41058*y^2 - 41788*x*z + 24992*z^2
; C5a (215/1058 : 1337/3174 : 1)  C5b (18621/12874 : -2780/19311 : 1)
**u= -176/105 ; tau(u)= -105/88 ; -306918*x^2 - 53026*y^2 - 17852*x*z + 36960*z^2
; C5a (-52963/254466 : 20317/28274 : 1)  C5b (-4549/18380 : -2079/9190 : 1)
**u= -176/129 ; tau(u)= -129/88 ; -374406*x^2 - 64258*y^2 + 4612*x*z + 45408*z^2
; C5a (7627/36886 : 481681/700834 : 1)  C5b (-621/112804 : 73285/1071638 : 1)
**u= -176/147 ; tau(u)= -147/88 ; -429558*x^2 - 74194*y^2 + 24484*x*z + 51744*z^2
; C5a (-37534/209843 : -141260/209843 : 1)  C5b (45321/951454 : 25100/475727 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (-2557/758 : -60/379 : 1)
**u= -172/15 ; tau(u)= -15/86 ; -110742*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z + 5160*z^2
; C5a (-1603/13418 : 7949/13418 : 1)  C5b (134371/224578 : 3000/112289 : 1)
**u= -168/95 ; tau(u)= -95/84 ; -266502*x^2 - 46274*y^2 - 20348*x*z + 31920*z^2
; C5a (-110515/557394 : -137865/185798 : 1)  C5b (-52889/165810 : -21644/82905 : 1)
**u= -164/45 ; tau(u)= -45/82 ; -151878*x^2 - 30946*y^2 - 45692*x*z + 14760*z^2
; C5a (-139480/536199 : -129990/178733 : 1)  C5b (-47343/170900 : -3347/85450 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-3139/2450 : 456/1225 : 1)
**u= -160/3 ; tau(u)= -3/80 ; -80694*x^2 - 25618*y^2 - 51164*x*z + 960*z^2
; C5a (-8752/2618237 : 549920/2618237 : 1)  C5b (-90447/181876 : 6925/90938 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (161507/99500 : 15879/49750 : 1)
**u= -156/185 ; tau(u)= -185/78 ; -509238*x^2 - 92786*y^2 + 88228*x*z + 57720*z^2
; C5a (103610/320521 : -191230/320521 : 1)  C5b (17761/107300 : -1731/53650 : 1)
**u= -152/65 ; tau(u)= -65/76 ; -173702*x^2 - 31554*y^2 - 29308*x*z + 19760*z^2
; C5a (9219/1071586 : 2526869/3214758 : 1)  C5b (-2085717/7000570 : -2116304/10500855 : 1)
**u= -148/17 ; tau(u)= -17/74 ; -87574*x^2 - 22482*y^2 - 42652*x*z + 5032*z^2
; C5a (2296/27889 : 16990/83667 : 1)  C5b (-2359/5956 : -95/8934 : 1)
**u= -144/49 ; tau(u)= -49/72 ; -133062*x^2 - 25538*y^2 - 31868*x*z + 14112*z^2
; C5a (178/791 : 7960/89383 : 1)  C5b (-223/338 : 7980/19097 : 1)
**u= -144/115 ; tau(u)= -115/72 ; -274038*x^2 - 47186*y^2 + 11428*x*z + 33120*z^2
; C5a (-6224/79593 : 21348/26531 : 1)  C5b (-21839/376020 : -30131/188010 : 1)
**u= -140/19 ; tau(u)= -19/70 ; -82246*x^2 - 20322*y^2 - 37756*x*z + 5320*z^2
; C5a (1399/19174 : -18611/57522 : 1)  C5b (13773/17860 : 5557/26790 : 1)
**u= -140/33 ; tau(u)= -33/70 ; -102294*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z + 9240*z^2
; C5a (-26486/72189 : 4938/8021 : 1)  C5b (445463/56570 : -115764/28285 : 1)
**u= -140/129 ; tau(u)= -129/70 ; -303126*x^2 - 52882*y^2 + 27364*x*z + 36120*z^2
; C5a (-234347/960358 : 445751/960358 : 1)  C5b (-234999/193660 : -41803/96830 : 1)
**u= -140/179 ; tau(u)= -179/70 ; -451526*x^2 - 83682*y^2 + 88964*x*z + 50120*z^2
; C5a (-80/9761 : 22490/29283 : 1)  C5b (6541/173652 : -51995/260478 : 1)
**u= -128/75 ; tau(u)= -75/64 ; -159702*x^2 - 27634*y^2 - 10268*x*z + 19200*z^2
; C5a (19424/97517 : -61016/97517 : 1)  C5b (-11301/15098 : 3460/7549 : 1)
**u= -124/85 ; tau(u)= -85/62 ; -173798*x^2 - 29826*y^2 - 1852*x*z + 21080*z^2
; C5a (-6314/680059 : 1715254/2040177 : 1)  C5b (-1533/380 : 629/570 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (-8997349/189330754 : 19972800/94665377 : 1)
**u= -124/165 ; tau(u)= -165/62 ; -373158*x^2 - 69826*y^2 + 78148*x*z + 40920*z^2
; C5a (13521/101494 : -81213/101494 : 1)  C5b (-533803/450110 : 29688/225055 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-121469/506940 : -34343/253470 : 1)
**u= -120/137 ; tau(u)= -137/60 ; -287334*x^2 - 51938*y^2 + 46276*x*z + 32880*z^2
; C5a (45609/318586 : 256305/318586 : 1)  C5b (24763/158100 : -1711/79050 : 1)
**u= -116/27 ; tau(u)= -27/58 ; -69798*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z + 6264*z^2
; C5a (41/402 : 61/134 : 1)  C5b (-1033/1148 : -45/82 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (-3818497/3634710 : -1082188/1817355 : 1)
**u= -100/11 ; tau(u)= -11/50 ; -39526*x^2 - 10242*y^2 - 19516*x*z + 2200*z^2
; C5a (-2124/590057 : -833318/1770171 : 1)  C5b (113075/179618 : -10492/269427 : 1)
**u= -100/111 ; tau(u)= -111/50 ; -192726*x^2 - 34642*y^2 + 29284*x*z + 22200*z^2
; C5a (61125/322346 : -249915/322346 : 1)  C5b (84255/561556 : -163/280778 : 1)
**u= -100/153 ; tau(u)= -153/50 ; -292854*x^2 - 56818*y^2 + 73636*x*z + 30600*z^2
; C5a (-4642/184101 : -43506/61367 : 1)  C5b (-6425385/20430986 : 3184772/10215493 : 1)
**u= -100/187 ; tau(u)= -187/50 ; -389414*x^2 - 79938*y^2 + 119876*x*z + 37400*z^2
; C5a (6699/122086 : -268015/366258 : 1)  C5b (-64775/81238 : -21272/121857 : 1)
**u= -96/95 ; tau(u)= -95/48 ; -154758*x^2 - 27266*y^2 + 17668*x*z + 18240*z^2
; C5a (5029/80382 : 22213/26794 : 1)  C5b (4087/89810 : -864/6415 : 1)
**u= -96/191 ; tau(u)= -191/48 ; -393222*x^2 - 82178*y^2 + 127492*x*z + 36672*z^2
; C5a (3376/11537 : 8080/11537 : 1)  C5b (32183/111682 : -1020/55841 : 1)
**u= -92/51 ; tau(u)= -51/46 ; -78534*x^2 - 13666*y^2 - 6524*x*z + 9384*z^2
; C5a (-1799/159678 : 44255/53226 : 1)  C5b (-992809/2125756 : -358635/1062878 : 1)
**u= -88/5 ; tau(u)= -5/44 ; -26902*x^2 - 7794*y^2 - 15388*x*z + 880*z^2
; C5a (-77/5154 : -5819/15462 : 1)  C5b (-1033/460 : -929/690 : 1)
**u= -88/15 ; tau(u)= -15/44 ; -35142*x^2 - 8194*y^2 - 14588*x*z + 2640*z^2
; C5a (26468/194297 : 1696/194297 : 1)  C5b (16407/18974 : -2320/9487 : 1)
**u= -88/45 ; tau(u)= -45/44 ; -67062*x^2 - 11794*y^2 - 7388*x*z + 7920*z^2
; C5a (-1834/53799 : 14856/17933 : 1)  C5b (-21111/15932 : -5605/7966 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (-11035/4118 : 948/2059 : 1)
**u= -88/105 ; tau(u)= -105/44 ; -163302*x^2 - 29794*y^2 + 28612*x*z + 18480*z^2
; C5a (3382/9231 : -88/181 : 1)  C5b (-6821/8582 : 1440/4291 : 1)
**u= -88/111 ; tau(u)= -111/44 ; -175302*x^2 - 32386*y^2 + 33796*x*z + 19536*z^2
; C5a (-19770/91783 : 32748/91783 : 1)  C5b (352937/11147858 : 1118940/5573929 : 1)
**u= -88/189 ; tau(u)= -189/44 ; -370614*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z + 33264*z^2
; C5a (17766/113083 : -84420/113083 : 1)  C5b (-3833/14002 : -36300/119017 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (-1709/2802 : -560/1401 : 1)
**u= -84/73 ; tau(u)= -73/42 ; -102198*x^2 - 17714*y^2 + 7204*x*z + 12264*z^2
; C5a (25/66 : 3/22 : 1)  C5b (137/1908 : -5/954 : 1)
**u= -80/7 ; tau(u)= -7/40 ; -23974*x^2 - 6498*y^2 - 12604*x*z + 1120*z^2
; C5a (10/147 : 1280/8379 : 1)  C5b (-141/250 : 1736/7125 : 1)
**u= -80/29 ; tau(u)= -29/40 ; -42806*x^2 - 8082*y^2 - 9436*x*z + 4640*z^2
; C5a (494/90949 : 205564/272847 : 1)  C5b (-1865/8754 : 424/13131 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (-7187/2372 : 2025/1186 : 1)
**u= -72/25 ; tau(u)= -25/36 ; -33702*x^2 - 6434*y^2 - 7868*x*z + 3600*z^2
; C5a (11557/50858 : 5371/50858 : 1)  C5b (-7417/2716 : 285/194 : 1)
**u= -72/41 ; tau(u)= -41/36 ; -49254*x^2 - 8546*y^2 - 3644*x*z + 5904*z^2
; C5a (260/853 : -136/853 : 1)  C5b (7127/1902 : 340/951 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (4155/33802 : 16/50703 : 1)
**u= -64/155 ; tau(u)= -155/32 ; -235798*x^2 - 52146*y^2 + 87908*x*z + 19840*z^2
; C5a (9007/3981482 : -7404215/11944446 : 1)  C5b (113693/797574 : 269320/1196361 : 1)
**u= -60/17 ; tau(u)= -17/30 ; -20694*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z + 2040*z^2
; C5a (-1743/3814 : 1293/3814 : 1)  C5b (-40459/151620 : -1423/75810 : 1)
**u= -60/61 ; tau(u)= -61/30 ; -62406*x^2 - 11042*y^2 + 7684*x*z + 7320*z^2
; C5a (171898/17664917 : -14450290/17664917 : 1)  C5b (-21077/24350 : 4644/12175 : 1)
**u= -60/83 ; tau(u)= -83/30 ; -91974*x^2 - 17378*y^2 + 20356*x*z + 9960*z^2
; C5a (1633/38118 : 9953/12706 : 1)  C5b (-3415/155542 : 18684/77771 : 1)
**u= -60/127 ; tau(u)= -127/30 ; -168534*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z + 15240*z^2
; C5a (-8435/76094 : 33175/76094 : 1)  C5b (-56065/87348 : 9971/43674 : 1)
**u= -52/69 ; tau(u)= -69/26 ; -65382*x^2 - 12226*y^2 + 13636*x*z + 7176*z^2
; C5a (-4778/20481 : -1290/6827 : 1)  C5b (-529/1514 : 240/757 : 1)
**u= -52/135 ; tau(u)= -135/26 ; -173622*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z + 14040*z^2
; C5a (7714/116661081 : -23289986/38887027 : 1)  C5b (-8793/37340 : -5653/18670 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (36053/145668 : -11455/72834 : 1)
**u= -40/57 ; tau(u)= -57/20 ; -42534*x^2 - 8098*y^2 + 9796*x*z + 4560*z^2
; C5a (-23/2338 : -1735/2338 : 1)  C5b (-31/740 : -93/370 : 1)
**u= -40/123 ; tau(u)= -123/20 ; -134934*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z + 9840*z^2
; C5a (-1892/22921 : -8312/22921 : 1)  C5b (204785/1075468 : -118461/537734 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (-1025/2148 : -713/3222 : 1)
**u= -36/19 ; tau(u)= -19/18 ; -11526*x^2 - 2018*y^2 - 1148*x*z + 1368*z^2
; C5a (601/6302 : -4765/6302 : 1)  C5b (-53/52 : 15/26 : 1)
**u= -36/55 ; tau(u)= -55/18 ; -37878*x^2 - 7346*y^2 + 9508*x*z + 3960*z^2
; C5a (-4527/25222 : 9459/25222 : 1)  C5b (-7303/23340 : -3637/11670 : 1)
**u= -32/171 ; tau(u)= -171/16 ; -222294*x^2 - 59506*y^2 + 114916*x*z + 10944*z^2
; C5a (152017/9405346 : -4352465/9405346 : 1)  C5b (3891/210086 : 30880/105043 : 1)
**u= -28/137 ; tau(u)= -137/14 ; -145654*x^2 - 38322*y^2 + 73508*x*z + 7672*z^2
; C5a (-745/12946 : 10793/38838 : 1)  C5b (403/12478 : -320/1101 : 1)
**u= -28/165 ; tau(u)= -165/14 ; -202662*x^2 - 55234*y^2 + 107332*x*z + 9240*z^2
; C5a (30162/2260081 : 991782/2260081 : 1)  C5b (-37149/74980 : 6679/37490 : 1)
**u= -24/65 ; tau(u)= -65/12 ; -39558*x^2 - 9026*y^2 + 15748*x*z + 3120*z^2
; C5a (673/2054 : -1373/2054 : 1)  C5b (-27517/66060 : 9143/33030 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (-22723/429100 : -9231/30650 : 1)
**u= -20/9 ; tau(u)= -9/10 ; -3126*x^2 - 562*y^2 - 476*x*z + 360*z^2
; C5a (6318/23281 : 762/23281 : 1)  C5b (-45/142 : -16/71 : 1)
**u= -20/57 ; tau(u)= -57/10 ; -29814*x^2 - 6898*y^2 + 12196*x*z + 2280*z^2
; C5a (21901/79386 : -18511/26462 : 1)  C5b (-232701471/777724588 : -115059475/388862294 : 1)
**u= -20/189 ; tau(u)= -189/10 ; -245766*x^2 - 71842*y^2 + 142084*x*z + 7560*z^2
; C5a (-1138/23549 : 962/23549 : 1)  C5b (108385/719276 : 99123/359638 : 1)
**u= -12/11 ; tau(u)= -11/6 ; -2214*x^2 - 386*y^2 + 196*x*z + 264*z^2
; C5a (-11/3662 : 3025/3662 : 1)  C5b (49/804 : 35/402 : 1)
**u= -12/23 ; tau(u)= -23/6 ; -5814*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z + 552*z^2
; C5a (-1160/71667 : -5242/7963 : 1)  C5b (-1399/8006 : -1200/4003 : 1)
**u= -12/65 ; tau(u)= -65/6 ; -32022*x^2 - 8594*y^2 + 16612*x*z + 1560*z^2
; C5a (-14/1313 : -526/1313 : 1)  C5b (-334133/991090 : 131268/495545 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (-129043/742514 : 107520/371257 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (17/292 : 85/1314 : 1)
**u= -8/51 ; tau(u)= -51/4 ; -19062*x^2 - 5266*y^2 + 10276*x*z + 816*z^2
; C5a (542/29891 : -13000/29891 : 1)  C5b (11699/28166 : -900/14083 : 1)
**u= -4/15 ; tau(u)= -15/2 ; -1878*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z + 120*z^2
; C5a (5/38 : -25/38 : 1)  C5b (63/580 : -77/290 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/15 ; tau(u)= 15/2 ; -918*x^2 - 466*y^2 + 868*x*z - 120*z^2
; C5a (241/778 : 281/778 : 1)  C5b (-755/2942 : -288/1471 : 1)
**u= 4/55 ; tau(u)= 55/2 ; -16438*x^2 - 6066*y^2 + 12068*x*z - 440*z^2
; C5a (28640/423173 : -283010/1269519 : 1)  C5b (15167/30100 : -703/6450 : 1)
**u= 4/165 ; tau(u)= 165/2 ; -158118*x^2 - 54466*y^2 + 108868*x*z - 1320*z^2
; C5a (22277/528038 : 123751/528038 : 1)  C5b (-86475/329458 : -41512/164729 : 1)
**u= 8/15 ; tau(u)= 15/4 ; -582*x^2 - 514*y^2 + 772*x*z - 240*z^2
; C5a (77/102 : -5/34 : 1)  C5b (1325/3404 : 519/1702 : 1)
**u= 12/23 ; tau(u)= 23/6 ; -1398*x^2 - 1202*y^2 + 1828*x*z - 552*z^2
; C5a (1068/1391 : 210/1391 : 1)  C5b (-1/876 : 115/438 : 1)
**u= 12/77 ; tau(u)= 77/6 ; -28614*x^2 - 12002*y^2 + 23428*x*z - 1848*z^2
; C5a (7981/25662 : 4035/8554 : 1)  C5b (-67381/3432804 : 507695/1716402 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (86549/164770 : 5004/82385 : 1)
**u= 24/197 ; tau(u)= 197/12 ; -196758*x^2 - 78194*y^2 + 154084*x*z - 9456*z^2
; C5a (15868/29489 : -13540/29489 : 1)  C5b (-21421/75356 : -8265/37678 : 1)
**u= 28/137 ; tau(u)= 137/14 ; -84278*x^2 - 38322*y^2 + 73508*x*z - 7672*z^2
; C5a (928/5361 : -4130/16083 : 1)  C5b (909619/3112556 : -1309595/4668834 : 1)
**u= 36/85 ; tau(u)= 85/18 ; -22758*x^2 - 15746*y^2 + 26308*x*z - 6120*z^2
; C5a (6769/9654 : 865/3218 : 1)  C5b (130187/951810 : 142448/475905 : 1)
**u= 40/123 ; tau(u)= 123/20 ; -56214*x^2 - 31858*y^2 + 57316*x*z - 9840*z^2
; C5a (4333/15478 : 3679/15478 : 1)  C5b (-777015/2176868 : 3589/1088434 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (-9943/31068 : 725/15534 : 1)
**u= 48/167 ; tau(u)= 167/24 ; -110118*x^2 - 58082*y^2 + 106948*x*z - 16032*z^2
; C5a (28336/67577 : 27260/67577 : 1)  C5b (235093/1248732 : -188065/624366 : 1)
**u= 52/135 ; tau(u)= 135/26 ; -61302*x^2 - 39154*y^2 + 67492*x*z - 14040*z^2
; C5a (3176/4619 : -1358/4619 : 1)  C5b (-5457/285196 : 835/3034 : 1)
**u= 60/11 ; tau(u)= 11/30 ; -6246*x^2 - 3842*y^2 - 6716*x*z - 1320*z^2
; C5a (-1252/2727 : -310/909 : 1)  C5b (1537/3734 : 300/1867 : 1)
**u= 60/17 ; tau(u)= 17/30 ; -4374*x^2 - 4178*y^2 - 6044*x*z - 2040*z^2
; C5a (-1047/1318 : 21/1318 : 1)  C5b (5923/20190 : -956/10095 : 1)
**u= 60/121 ; tau(u)= 121/30 ; -40566*x^2 - 32882*y^2 + 51364*x*z - 14520*z^2
; C5a (14753/32422 : -3805/32422 : 1)  C5b (7091/12862 : -1740/6431 : 1)
**u= 60/127 ; tau(u)= 127/30 ; -46614*x^2 - 35858*y^2 + 57316*x*z - 15240*z^2
; C5a (1762/2253 : -130/751 : 1)  C5b (10369/59460 : 8957/29730 : 1)
**u= 60/149 ; tau(u)= 149/30 ; -72486*x^2 - 48002*y^2 + 81604*x*z - 17880*z^2
; C5a (4808/7011 : -674/2337 : 1)  C5b (-8015/28956 : 1837/14478 : 1)
**u= 60/193 ; tau(u)= 193/30 ; -141654*x^2 - 78098*y^2 + 141796*x*z - 23160*z^2
; C5a (277294/1348973 : 6746/1348973 : 1)  C5b (121643/484610 : 72204/242305 : 1)
**u= 68/145 ; tau(u)= 145/34 ; -61142*x^2 - 46674*y^2 + 74852*x*z - 19720*z^2
; C5a (1603/1954 : 629/5862 : 1)  C5b (-284413/943460 : -12869/1415190 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (-3449/3716 : 75/1858 : 1)
**u= 80/7 ; tau(u)= 7/40 ; -15014*x^2 - 6498*y^2 - 12604*x*z - 1120*z^2
; C5a (-87/302 : -7595/17214 : 1)  C5b (9/20 : 61/570 : 1)
**u= 80/147 ; tau(u)= 147/40 ; -54774*x^2 - 49618*y^2 + 73636*x*z - 23520*z^2
; C5a (11581/21402 : 181/2378 : 1)  C5b (-10025/37538 : 876/18769 : 1)
**u= 88/189 ; tau(u)= 189/44 ; -104502*x^2 - 79186*y^2 + 127396*x*z - 33264*z^2
; C5a (145/382 : 139/6494 : 1)  C5b (1539/118186 : 275240/1004581 : 1)
**u= 100/21 ; tau(u)= 21/50 ; -15846*x^2 - 10882*y^2 - 18236*x*z - 4200*z^2
; C5a (-9671/26358 : -1593/8786 : 1)  C5b (135867/424034 : -40/4511 : 1)
**u= 100/177 ; tau(u)= 177/50 ; -76374*x^2 - 72658*y^2 + 105316*x*z - 35400*z^2
; C5a (25562/37049 : -4138/37049 : 1)  C5b (-7661/268930 : 33108/134465 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (4421/1806 : -4000/2709 : 1)
**u= 116/27 ; tau(u)= 27/58 ; -19686*x^2 - 14914*y^2 - 23996*x*z - 6264*z^2
; C5a (-14544/36931 : -3486/36931 : 1)  C5b (56189/147874 : -12180/73937 : 1)
**u= 140/33 ; tau(u)= 33/70 ; -28374*x^2 - 21778*y^2 - 34844*x*z - 9240*z^2
; C5a (-706/1049 : 262/1049 : 1)  C5b (-12519/8252 : 2485/4126 : 1)
**u= 160/3 ; tau(u)= 3/80 ; -73014*x^2 - 25618*y^2 - 51164*x*z - 960*z^2
; C5a (-1463/52774 : 6613/52774 : 1)  C5b (26671/31918 : -6660/15959 : 1)
**u= 172/15 ; tau(u)= 15/86 ; -69462*x^2 - 30034*y^2 - 58268*x*z - 5160*z^2
; C5a (-9211/80582 : -11321/80582 : 1)  C5b (-18391/30460 : 789/15230 : 1)
**u= 180/7 ; tau(u)= 7/90 ; -87414*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z - 2520*z^2
; C5a (-315/2878 : -945/2878 : 1)  C5b (1017433/1776026 : 187140/888013 : 1)
**u= 196/13 ; tau(u)= 13/98 ; -95878*x^2 - 38754*y^2 - 76156*x*z - 5096*z^2
; C5a (-4769/9746 : -14255/29238 : 1)  C5b (-12061/6606 : -9980/9909 : 1)
124
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.03.28
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]