Homeに戻る  一覧に戻る 

Integer Points on A^4+B^4+1002001*C^4=D^4

[2026.03.28]A^4+B^4+1002001*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように17個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(1001,1,200);
**u= -176/135 ; tau(u)= -135/88 ; -392358*x^2 - 67426*y^2 + 10948*x*z + 47520*z^2
; C5a (21194/77307 : 14392/25769 : 1)  C5b (-1535450/1970587 : -89841/1970587 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (-19716662/210938473 : 5718195/210938473 : 1)
**u= -140/19 ; tau(u)= -19/70 ; -82246*x^2 - 20322*y^2 - 37756*x*z + 5320*z^2
; C5a (1399/19174 : -18611/57522 : 1)  C5b (368215/134762 : -31268/202143 : 1)
**u= -104/63 ; tau(u)= -63/52 ; -108678*x^2 - 18754*y^2 - 5756*x*z + 13104*z^2
; C5a (-41995/112082 : -1597/112082 : 1)  C5b (-47976/838631 : -2435/838631 : 1)
**u= -104/159 ; tau(u)= -159/52 ; -316422*x^2 - 61378*y^2 + 79492*x*z + 33072*z^2
; C5a (-20634/673747 : -473700/673747 : 1)  C5b (-94983/54676658 : -41020/1608137 : 1)
**u= -64/65 ; tau(u)= -65/32 ; -70918*x^2 - 12546*y^2 + 8708*x*z + 8320*z^2
; C5a (-41056/148307 : -86528/444921 : 1)  C5b (-10080/16559 : 1889/49677 : 1)
**u= -60/49 ; tau(u)= -49/30 ; -48726*x^2 - 8402*y^2 + 2404*x*z + 5880*z^2
; C5a (5010/16357 : 8070/16357 : 1)  C5b (-19186/4167 : 125/4167 : 1)
**u= -60/91 ; tau(u)= -91/30 ; -104166*x^2 - 20162*y^2 + 25924*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9627/56726 : 23703/56726 : 1)  C5b (-21680/22573 : -423/22573 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (-28028756/172927369 : -5472645/172927369 : 1)
**u= -20/21 ; tau(u)= -21/10 ; -7206*x^2 - 1282*y^2 + 964*x*z + 840*z^2
; C5a (-651/2614 : -903/2614 : 1)  C5b (-11831/23098 : -420/11549 : 1)
**u= -12/115 ; tau(u)= -115/6 ; -90822*x^2 - 26594*y^2 + 52612*x*z + 2760*z^2
; C5a (44693/71718 : -2435/23906 : 1)  C5b (-996415/3408666 : -47344/1704333 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 12/115 ; tau(u)= 115/6 ; -68742*x^2 - 26594*y^2 + 52612*x*z - 2760*z^2
; C5a (20217/121658 : 47679/121658 : 1)  C5b (-153650/615507 : 15551/615507 : 1)
**u= 44/101 ; tau(u)= 101/22 ; -31462*x^2 - 22338*y^2 + 36932*x*z - 8888*z^2
; C5a (87/134 : -115/402 : 1)  C5b (11641/64774 : 3080/97161 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-1560041/6016586 : 59460/3008293 : 1)
**u= 80/147 ; tau(u)= 147/40 ; -54774*x^2 - 49618*y^2 + 73636*x*z - 23520*z^2
; C5a (11581/21402 : 181/2378 : 1)  C5b (99303/637870 : -9904/318935 : 1)
**u= 80/169 ; tau(u)= 169/40 ; -82406*x^2 - 63522*y^2 + 101444*x*z - 27040*z^2
; C5a (5070/9937 : -6760/29811 : 1)  C5b (-640759/2442878 : 42100/3664317 : 1)
17
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.03.28
H.Nakao

Homeに戻る[Homeに戻る]  一覧に戻る[一覧に戻る]