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Integer Points on A^4+B^4+100020001*C^4=D^4

[2026.03.31]A^4+B^4+100020001*C^4=D^4の整点

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
    4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
    (8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]
gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1
τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、 以下のように20個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]
> PP(10001,1,200);
**u= -200/123 ; tau(u)= -123/100 ; -407574*x^2 - 70258*y^2 - 19484*x*z + 49200*z^2
; C5a (64293/2832698 : -2354709/2832698 : 1)  C5b (-232645/1088966 : -3792/544483 : 1)
**u= -180/157 ; tau(u)= -157/90 ; -471174*x^2 - 81698*y^2 + 33796*x*z + 56520*z^2
; C5a (-3195/677426 : -562605/677426 : 1)  C5b (1756721/24218490 : -5072/12109245 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (-39076812/51088373 : 613645/51088373 : 1)
**u= -156/125 ; tau(u)= -125/78 ; -322758*x^2 - 55586*y^2 + 13828*x*z + 39000*z^2
; C5a (-10100/31247 : -3770/31247 : 1)  C5b (2760323/106671650 : -120948/53335825 : 1)
**u= -156/199 ; tau(u)= -199/78 ; -558966*x^2 - 103538*y^2 + 109732*x*z + 62088*z^2
; C5a (16448/1397971 : 1093090/1397971 : 1)  C5b (13390543/71529578 : 29040/35764789 : 1)
**u= -112/73 ; tau(u)= -73/56 ; -135014*x^2 - 23202*y^2 - 3772*x*z + 16352*z^2
; C5a (142/5709 : -1300/1557 : 1)  C5b (-5996/204639 : -245/613917 : 1)
**u= -76/179 ; tau(u)= -179/38 ; -318406*x^2 - 69858*y^2 + 116612*x*z + 27208*z^2
; C5a (-33865/1580026 : 2810687/4740078 : 1)  C5b (623191/6274566 : 75700/9411849 : 1)
**u= -72/137 ; tau(u)= -137/36 ; -207078*x^2 - 42722*y^2 + 64708*x*z + 19728*z^2
; C5a (414/10075 : 7236/10075 : 1)  C5b (-1950364/8597499 : -86845/8597499 : 1)
**u= -60/19 ; tau(u)= -19/30 ; -22086*x^2 - 4322*y^2 - 5756*x*z + 2280*z^2
; C5a (-127/33226 : 24247/33226 : 1)  C5b (-142207/216954 : 1480/108477 : 1)
**u= -52/105 ; tau(u)= -105/26 ; -117942*x^2 - 24754*y^2 + 38692*x*z + 10920*z^2
; C5a (-9903/312466 : 17667/28406 : 1)  C5b (-2990051/22981870 : 112476/11490935 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (18853922/1448361287 : 13797135/1448361287 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (198919/2481454 : -10440/1240727 : 1)
**u= -44/45 ; tau(u)= -45/22 ; -33798*x^2 - 5986*y^2 + 4228*x*z + 3960*z^2
; C5a (1829/4934 : -1895/4934 : 1)  C5b (93/754 : 20/27521 : 1)
**u= -36/115 ; tau(u)= -115/18 ; -116358*x^2 - 27746*y^2 + 50308*x*z + 8280*z^2
; C5a (378/773 : -330/773 : 1)  C5b (-42592720/76198391 : -505863/76198391 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (-417/718 : 40/3231 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (1442122/1912123 : -3915/1912123 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (-251736/1191211 : -1235/170173 : 1)
**u= 68/125 ; tau(u)= 125/34 ; -39622*x^2 - 35874*y^2 + 53252*x*z - 17000*z^2
; C5a (772/1441 : 26/393 : 1)  C5b (-462905/1738646 : 4292/2607969 : 1)
**u= 144/25 ; tau(u)= 25/72 ; -37158*x^2 - 21986*y^2 - 38972*x*z - 7200*z^2
; C5a (-3275/7098 : -855/2366 : 1)  C5b (510425/43614 : -4876/21807 : 1)
20
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

[参考文献]

Last Update: 2026.03.31
H.Nakao

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