Integer Points on A^4+B^4+10000200001*C^4=D^4

[2026.03.31]A^4+B^4+10000200001*C^4=D^4の整点

syzygyによる変換を計算するプログラム(Pari/GP)
A^4+B^4+m^2*C^4=D^4の整点を計算するプログラム(Pari/GP)
2次曲線(5a),(5b)共に有理点を持つ有理数uを抽出するプログラム(MAGMA)
楕円曲線の4-descentから有理点を計算するプログラム(MAGMA)

■Diophantine Equation
       A^4+B^4+n^2*C^4=D^4 ----------(1)
を満たす自明でない整数の組(A,B,C,D) (ただし A*B*C*D!=0かつgcd(A,B,C,D)=1)を探す。

以下では、Elkiesの論文(参考文献[1])の方法によって、(1)を満たす整数の組(A,B,C,D)を探す。

■(1)およびD!=0より、r=A/D,s=B/D.t=C/Dとすると、
       r^4+s^4+n^2*t^4=1 ----------(2)
つまり、(2)を満たす有理数の組(r,s,t)を見つければ良い。

(3)で、r=x+y,s=x-yとすると、
       2*(x^4+6*x^2*y^2+y^4)+n^2*t^4=1 ----------(3)
となる。

ここで、ある有理数uに対して、
       r=x+y, s=x-y ----------(4)
       ±(u^2+2)*y^2=-(3*u^2-8*u+6)*x^2-2*(u^2-2)*x-2*u ----------(5a±)
       ±n*(u^2+2)*t^2=4*(u^2-2)*x^2+8*u*x+(2-u^2) ----------(5b±)
を満たす有理数の組(x,y,t,r,s)が存在すれば、(r,s,t)が(2)を満たすことが分かる。

[pari/gpによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
%3 = 1

■２次曲線(5a±),(5b±)は、常にnon-singularある。
２次曲線(5a±)の右辺の判別式は
4*(u^2-2)^2-4*3*u^2-8*u+6)*(2*u)=4*(u^2-4*u+2)*(u^2-2*u+2)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

同様に、２次曲線(5b±)の右辺の判別式は
(8*u)^2-4*4*(u^2-2)*(2-u-2)=16*u^4+64=16*(u^2-2*u+2)*(u^2+2*u+1)
となり、有理数の根を持たないので、任意の有理数uについて、non-singularである。

■方程式系(4),(5a±),(5b±)は、involution τ:(u,x,y,t)→(2/u,-x,y,-t)で不変であることが分かる。
[Pari/GPによる計算]

gp > YY2(u,x)
%1 = ((-3*u^2 + 8*u - 6)/(u^2 + 2))*x^2 + ((-2*u^2 + 4)/(u^2 + 2))*x - 2*u/(u^2 + 2)
gp > TT2(n,u,x)
%2 = ((4*u^2 - 8)/(n*u^2 + 2*n))*x^2 + 8*u/(n*u^2 + 2*n)*x + ((-u^2 + 2)/(n*u^2 + 2*n))
gp > 2*(x^4+6*x^2*YY2(u,x)+YY2(u,x)^2)+n^2*TT2(n,u,x)^2
time = 1 ms.
%3 = 1

τ:(u,x,t)→(2/u.-x,-t)の変換で方程式系(5a±),(5b±)の有理数解(x,y,t)の集合は不変であるので、uの分子は0でない偶数,uの分母は正の奇数として良い。

■有理数uの高さが小さいものから、順に調べる。
例えば、有理数uの高さが200以下の範囲で、uの分子が偶数、uの分母が奇数であり、２つの２次曲線(5a+)と(5b±)が共に有理点を持つようなuを選択すると、以下のように56個のuが抽出される。
[pari/gpによる計算]

> PP(100001,1,200);
**u= -200/33 ; tau(u)= -33/100 ; -179334*x^2 - 42178*y^2 - 75644*x*z + 13200*z^2
; C5a (1098625/8664814 : -1136795/8664814 : 1)  C5b (2430355/2061914 : -5268/1030957 : 1)
**u= -188/115 ; tau(u)= -115/94 ; -358342*x^2 - 61794*y^2 - 17788*x*z + 43240*z^2
; C5a (-3926/3075979 : -7721210/9227937 : 1)  C5b (-2473637/22008590 : 44036/33012885 : 1)
**u= -180/7 ; tau(u)= -7/90 ; -107574*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z + 2520*z^2
; C5a (469/24506 : 4795/24506 : 1)  C5b (-919166/1256363 : 4635/1256363 : 1)
**u= -180/29 ; tau(u)= -29/90 ; -144006*x^2 - 34082*y^2 - 61436*x*z + 10440*z^2
; C5a (-3887/22778 : 15959/22778 : 1)  C5b (-2055082/5730081 : 785/5730081 : 1)
**u= -180/169 ; tau(u)= -169/90 ; -511926*x^2 - 89522*y^2 + 49444*x*z + 60840*z^2
; C5a (7945598/56989153 : -45785206/56989153 : 1)  C5b (-1122223/3296026 : -5400/1648013 : 1)
**u= -176/3 ; tau(u)= -3/88 ; -97206*x^2 - 30994*y^2 - 61916*x*z + 1056*z^2
; C5a (-654/9527 : -3768/9527 : 1)  C5b (1494461/2038826 : -3300/1019413 : 1)
**u= -176/153 ; tau(u)= -153/88 ; -448806*x^2 - 77794*y^2 + 31684*x*z + 53856*z^2
; C5a (1256/6053 : -4400/6053 : 1)  C5b (-535584591/32642475454 : 25746920/16321237727 : 1)
**u= -164/165 ; tau(u)= -165/82 ; -460518*x^2 - 81346*y^2 + 55108*x*z + 54120*z^2
; C5a (-711442/18700409 : -14858758/18700409 : 1)  C5b (-22576331/60763202 : -102600/30381601 : 1)
**u= -160/3 ; tau(u)= -3/80 ; -80694*x^2 - 25618*y^2 - 51164*x*z + 960*z^2
; C5a (-8752/2618237 : 549920/2618237 : 1)  C5b (-4059695/3996622 : -11436/1998311 : 1)
**u= -160/63 ; tau(u)= -63/80 ; -181254*x^2 - 33538*y^2 - 35324*x*z + 20160*z^2
; C5a (-7051/31434 : -7879/10478 : 1)  C5b (-735357/3703990 : -1076/1851995 : 1)
**u= -152/165 ; tau(u)= -165/76 ; -433302*x^2 - 77554*y^2 + 62692*x*z + 50160*z^2
; C5a (10820/29361 : 4220/9787 : 1)  C5b (7428991/53653538 : -10380/26826769 : 1)
**u= -148/105 ; tau(u)= -105/74 ; -256182*x^2 - 43954*y^2 + 292*x*z + 31080*z^2
; C5a (-5026/82001 : 67858/82001 : 1)  C5b (-926661355/3325172626 : 4674516/1662586313 : 1)
**u= -144 ; tau(u)= -1/72 ; -63366*x^2 - 20738*y^2 - 41468*x*z + 288*z^2
; C5a (23689/3456078 : 7105/1152026 : 1)  C5b (-953366/915039 : 5335/915039 : 1)
**u= -140/183 ; tau(u)= -183/70 ; -464694*x^2 - 86578*y^2 + 94756*x*z + 51240*z^2
; C5a (20473/95998 : 73181/95998 : 1)  C5b (24022227/127752590 : 31736/63876295 : 1)
**u= -132/5 ; tau(u)= -5/66 ; -57702*x^2 - 17474*y^2 - 34748*x*z + 1320*z^2
; C5a (-463/27942 : -3055/9314 : 1)  C5b (316903/84714 : 140/6051 : 1)
**u= -132/25 ; tau(u)= -25/66 ; -82422*x^2 - 18674*y^2 - 32348*x*z + 6600*z^2
; C5a (-11/182 : 121/182 : 1)  C5b (-14848030/4415453 : 91629/4415453 : 1)
**u= -132/29 ; tau(u)= -29/66 ; -87942*x^2 - 19106*y^2 - 31484*x*z + 7656*z^2
; C5a (-5898/40421 : -29790/40421 : 1)  C5b (-1807912/5038597 : -6675/5038597 : 1)
**u= -132/103 ; tau(u)= -103/66 ; -224694*x^2 - 38642*y^2 + 7588*x*z + 27192*z^2
; C5a (-145/874 : -4571/6394 : 1)  C5b (-544/89341 : -1905/1774057 : 1)
**u= -128/59 ; tau(u)= -59/64 ; -130454*x^2 - 23346*y^2 - 18844*x*z + 15104*z^2
; C5a (-5802/47329 : 6080/7473 : 1)  C5b (-172564/1076531 : -2345/3229593 : 1)
**u= -124/129 ; tau(u)= -129/62 ; -273942*x^2 - 48658*y^2 + 35812*x*z + 31992*z^2
; C5a (-2663/17254 : -11045/17254 : 1)  C5b (-926530393/22971448138 : 24944760/11485724069 : 1)
**u= -120/49 ; tau(u)= -49/60 ; -104646*x^2 - 19202*y^2 - 19196*x*z + 11760*z^2
; C5a (-14666/45479 : -27592/45479 : 1)  C5b (-255545237/1282776806 : -527040/641388403 : 1)
**u= -120/199 ; tau(u)= -199/60 ; -471846*x^2 - 93602*y^2 + 129604*x*z + 47760*z^2
; C5a (10724/35941 : -24760/35941 : 1)  C5b (-1380856/3375345 : -11009/3375345 : 1)
**u= -108/55 ; tau(u)= -55/54 ; -100662*x^2 - 17714*y^2 - 11228*x*z + 11880*z^2
; C5a (13006/53129 : -22222/53129 : 1)  C5b (-31741376/36533115 : 199123/36533115 : 1)
**u= -108/65 ; tau(u)= -65/54 ; -116502*x^2 - 20114*y^2 - 6428*x*z + 14040*z^2
; C5a (24444/353807 : 284874/353807 : 1)  C5b (-5999722/19480845 : -53731/19480845 : 1)
**u= -108/175 ; tau(u)= -175/54 ; -369942*x^2 - 72914*y^2 + 99172*x*z + 37800*z^2
; C5a (-994/167449 : -119602/167449 : 1)  C5b (-83679842/261067109 : 852075/261067109 : 1)
**u= -100/187 ; tau(u)= -187/50 ; -389414*x^2 - 79938*y^2 + 119876*x*z + 37400*z^2
; C5a (6699/122086 : -268015/366258 : 1)  C5b (142074/789023 : 4205/2367069 : 1)
**u= -92/75 ; tau(u)= -75/46 ; -114342*x^2 - 19714*y^2 + 5572*x*z + 13800*z^2
; C5a (31944/123551 : 76698/123551 : 1)  C5b (-631176/2368777 : 6895/2368777 : 1)
**u= -88/75 ; tau(u)= -75/44 ; -109782*x^2 - 18994*y^2 + 7012*x*z + 13200*z^2
; C5a (6796/4094181 : 1138180/1364727 : 1)  C5b (-394431/1045630 : -1756/522815 : 1)
**u= -84/55 ; tau(u)= -55/42 ; -76278*x^2 - 13106*y^2 - 2012*x*z + 9240*z^2
; C5a (55649/505486 : -397243/505486 : 1)  C5b (-4479961/740502 : -6220/370251 : 1)
**u= -76/21 ; tau(u)= -21/38 ; -32742*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z + 3192*z^2
; C5a (197/4214 : 2665/4214 : 1)  C5b (-1733793/1187818 : 5420/593909 : 1)
**u= -72/137 ; tau(u)= -137/36 ; -207078*x^2 - 42722*y^2 + 64708*x*z + 19728*z^2
; C5a (414/10075 : 7236/10075 : 1)  C5b (53826713/213280542 : -105680/106640271 : 1)
**u= -56/165 ; tau(u)= -165/28 ; -246678*x^2 - 57586*y^2 + 102628*x*z + 18480*z^2
; C5a (3201/283738 : 165561/283738 : 1)  C5b (-9998760/14238151 : 8393/14238151 : 1)
**u= -52/183 ; tau(u)= -183/26 ; -285174*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z + 19032*z^2
; C5a (47085/617906 : 385851/617906 : 1)  C5b (56504/1111679 : -3255/1111679 : 1)
**u= -48/119 ; tau(u)= -119/24 ; -137574*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z + 11424*z^2
; C5a (-11083/320626 : -178205/320626 : 1)  C5b (271222/1706227 : 3915/1706227 : 1)
**u= -40/163 ; tau(u)= -163/20 ; -216374*x^2 - 54738*y^2 + 103076*x*z + 13040*z^2
; C5a (-886/11401 : 8920/34203 : 1)  C5b (-930329/4395870 : -20584/6593805 : 1)
**u= -24/55 ; tau(u)= -55/12 ; -30438*x^2 - 6626*y^2 + 10948*x*z + 2640*z^2
; C5a (-467/2862 : -77/954 : 1)  C5b (-431195/580394 : -396/290197 : 1)
**u= -24/155 ; tau(u)= -155/12 ; -175638*x^2 - 48626*y^2 + 94948*x*z + 7440*z^2
; C5a (11085/160238 : -83385/160238 : 1)  C5b (-84512579/293844310 : 423096/146922155 : 1)
**u= -20/177 ; tau(u)= -177/10 ; -217494*x^2 - 63058*y^2 + 124516*x*z + 7080*z^2
; C5a (366/1289 : -810/1289 : 1)  C5b (-1883925/8452082 : 12616/4226041 : 1)
**u= -12/127 ; tau(u)= -127/6 ; -109398*x^2 - 32402*y^2 + 64228*x*z + 3048*z^2
; C5a (-427/9726 : 75/3242 : 1)  C5b (-96078326/2423948911 : 7664385/2423948911 : 1)
**u= -12/175 ; tau(u)= -175/6 ; -200982*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z + 4200*z^2
; C5a (-1464979/105039874 : -21010837/105039874 : 1)  C5b (373883/1146766 : -1260/573383 : 1)
**u= -8/7 ; tau(u)= -7/4 ; -934*x^2 - 162*y^2 + 68*x*z + 112*z^2
; C5a (-4/17 : -80/153 : 1)  C5b (42/757 : 5/6813 : 1)
**u= -4/141 ; tau(u)= -141/2 ; -123846*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z + 1128*z^2
; C5a (1673/111674 : 26801/111674 : 1)  C5b (-5929822/17636413 : -42675/17636413 : 1)
**u= 0 ; tau(u)= 0 ; -6*x^2 - 2*y^2 + 4*x*z
; C5a (1/2 : 1/2 : 1)  C5b (1/2 : 0 : 1)
**u= 4/141 ; tau(u)= 141/2 ; -114822*x^2 - 39778*y^2 + 79492*x*z - 1128*z^2
; C5a (3209/30878 : 11885/30878 : 1)  C5b (-469602/44404037 : -140245/44404037 : 1)
**u= 12/175 ; tau(u)= 175/6 ; -167382*x^2 - 61394*y^2 + 122212*x*z - 4200*z^2
; C5a (45354/71069 : -21510/71069 : 1)  C5b (11527331/47414370 : -68156/23707185 : 1)
**u= 24/55 ; tau(u)= 55/12 ; -9318*x^2 - 6626*y^2 + 10948*x*z - 2640*z^2
; C5a (965/2278 : -505/2278 : 1)  C5b (-33511/360942 : -460/180471 : 1)
**u= 48/119 ; tau(u)= 119/24 ; -46182*x^2 - 30626*y^2 + 52036*x*z - 11424*z^2
; C5a (15490/47271 : -2328/15757 : 1)  C5b (-3321479/16887854 : -17400/8443927 : 1)
**u= 52/183 ; tau(u)= 183/26 ; -132918*x^2 - 69682*y^2 + 128548*x*z - 19032*z^2
; C5a (51941/234642 : 15985/78214 : 1)  C5b (24545229/428879966 : -668840/214439983 : 1)
**u= 56/165 ; tau(u)= 165/28 ; -98838*x^2 - 57586*y^2 + 102628*x*z - 18480*z^2
; C5a (25705/31918 : -1085/31918 : 1)  C5b (51968599/73695070 : -17976/36847535 : 1)
**u= 76/21 ; tau(u)= 21/38 ; -7206*x^2 - 6658*y^2 - 9788*x*z - 3192*z^2
; C5a (-4922/9049 : 14/9049 : 1)  C5b (-1097934/1175771 : 725/1175771 : 1)
**u= 100/177 ; tau(u)= 177/50 ; -76374*x^2 - 72658*y^2 + 105316*x*z - 35400*z^2
; C5a (25562/37049 : -4138/37049 : 1)  C5b (16911825/19735942 : 16096/9867971 : 1)
**u= 116/11 ; tau(u)= 11/58 ; -30886*x^2 - 13698*y^2 - 26428*x*z - 2552*z^2
; C5a (-345/1358 : 1621/4074 : 1)  C5b (-1967459/3224626 : 2000/4836939 : 1)
**u= 132/5 ; tau(u)= 5/66 ; -47142*x^2 - 17474*y^2 - 34748*x*z - 1320*z^2
; C5a (-4195/81178 : 11485/81178 : 1)  C5b (-2226617/1892346 : -6100/946173 : 1)
**u= 144 ; tau(u)= 1/72 ; -61062*x^2 - 20738*y^2 - 41468*x*z - 288*z^2
; C5a (-7096/327153 : 18280/109051 : 1)  C5b (-16668566/3849761 : -104535/3849761 : 1)
**u= 160/3 ; tau(u)= 3/80 ; -73014*x^2 - 25618*y^2 - 51164*x*z - 960*z^2
; C5a (-1463/52774 : 6613/52774 : 1)  C5b (809520/1239961 : 3511/1239961 : 1)
**u= 180/7 ; tau(u)= 7/90 ; -87414*x^2 - 32498*y^2 - 64604*x*z - 2520*z^2
; C5a (-315/2878 : -945/2878 : 1)  C5b (2101624/3817085 : -7461/3817085 : 1)
56
>

■これらのuについて、(3),(5a),(5b)を満たす有理数解(x,y,t)を持たないものもあれば、有理数解(x,y,t)を持つものもある。
これらのuを順に調べれば良い。

ここからは、A^4+B^4+100*C^4=D^4(n=10のとき)と同様なので、最終的に得られた整点のみ記述する。
ここで、対応する整点が見つかった各有理数uについて、0 lt:= A <= B, 0 < C, 0 <: Cを満たすように、A,B,C,Cの符号を変更したり、A,Bを交換して、Dの小さい順に並び替えると、以下のようになる。

u=0,(5b+)のとき

29721703216532204885286700363602346368420069882834371229010820901132133348001191618316631749507028554655640091204422835462981542926133811721584730^4+31146776980504407793123543089146545709484626242915121450260567922582209361381253117009358384101410436928730645791700003858603626816518719627329630^4+10000200001*2058723118768601542256549949478121569974359846920116804017513156622027758726612524879859985039974824210408288580720459907782006791950746753195649^4=651030227525069882905385689457990333900893429970920009741189399217627085557473942150105640557262582316888691628150381451422694091361787941680609351^4
781722836490308717069986683192074982036660672257680011412064835136711692932791602122660485353003464700356528261205631494087226187730416774866015775036387403060775146432923453844347999283986326365010705440938124825847892259016321759641747877007569867171010953050606825637827382401175585690860007922660458091084016404403400365629562739878810977655920600485208447648848302368535881850323977620502869419052982500079538207663757764542426641169802373664947553614567330778649393882223672485898546726855981379234574120998852881093040598828434853345737664703215698490496050189933944063273824800^4+178853772313791632309056226884425948276314018595855240156661741373973085043063756819924551502424578578600657745872202393208644211706370265801201612195229674003360989876476241377324835167619307291741255758260633017257399045266154153147994829445069182942410235232837800051937034315677641008668345083374904795953079133024840619761325808555042395602688213293463952193919059205619098878579996710605564451587960335545322103329324684830027333362077168096269796965075580133241990748763438150575954152735547448909713003439761047781954423161897732151432382318533617517484971691611399075691341837601^4+10000200001*52937871288402444046091328139482645653342495659130807727261792647400907619781398866894945825174627953639242670950368693092639566001085332935019808788894213198032210755423837846809748657661885312808876734882529432705704648351223827975120334852469531465528563237736136066347795444040440979557982626885481225058693934570570753444054834827802763983050380394337993157692508638714299018132068251151361884883113554943917397612312923936335047466975984160199026518017908531753329039789449307329126233772367927481383452135793702020847712918330923015249422655020481012324839335137359250240533640^4=178857204017952303235012849008028736765397693218949258527878798157828912375986994589675342900987061767136241815031519706171040809813682925950607626026814438384222057634233297361023304091472375248172670485338346915114124889693429230771152007918008382636672626860241987018192630862527031264483309398733698267761013658325957563272209223804846404867688083274545642842667833666176251712059034880409633325559089565046625564072379222719908182031569037076376594661700808488192728588530562580310199954155389012150106889129945980808015213998838280955645517091737935736090708824669809829049524877601^4
...

[参考文献]

[1]Noam Elkies, "On A^4+B^4+C^4=D^4", Math Comp. 51(184), p824-835, 1988.
[2]StarkExchange MATHEMATICS, "Distribution of Primitive Pytagorean Triples (PPT) and of solutions of A^4+B^4+C^4=D^4", 2016/07/08.
[3]StarkExchange MATHEMATICS, "More elliptic curves for x^4+y^4+z^4=1?", 2017/07/28.
[4]Tom Womack, "The quartic surfaces x^4+y^4+z^4=N", 2013/05/17.
[5]Tom Womack, "elk18.mag", 2013/06/07.
[6]Tom Womack, "elk18.pts", 2013/06/07.
[7]Tom Womack, "Integer points on x^4+y^4+z^4=Nt^4", 2013/06/07.

Last Update: 2026.03.31

H.Nakao