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Transformation from diagonal quartic surfaces a*A^4+b*B^4+c*C^4+d*D^4=0 to ellitpic curves

[2026.04.26]対角4次曲面 a*A^4+b*B^4+c*C^4+d*D^4=0から楕円曲線への変換

■特定の対角4次曲面
       Sa,b,c,d: a*A^4+b*B^4+c*C^4+d*D^4=0 ----------(1)
に対して、有理数パラメータuを含む２つの２次式から成る方程式系への変換式を一覧表にまとめておく。
これらについては、有理数uをうまく選ぶと、その楕円曲線に変換できて、楕円曲線の有理点から、Sa,b,c,dの有理点を構成することができる。

(注意)全てのa,b,c,dについて、この方法が適用できるわけではない。適用できるSa,b,c,dは、その一部である。

対角４次曲面Sa,b,c,dの有理点[A:B:C:D]を求めるアルゴリズムは、以下の通りである。
(i)H > 0を与えて、高さH以下の有理数uで、２つの2次方程式がどちらも有理数解を持つようなものを選択する。
(ii)これらのuについて、以下を順番に実行する。
・(ii-1)第一の２次次方程式の１つの有理点(x0,y0)を求める。
・(ii-2)有理数kをパラメータとして、第一の２次次方程式と直線
       Lk: y=k(x-x0)+y0
とのもう１つの交点(x(k),y(k))を求める。
x(k),y(k)は整数係数のkの有理式で、その分子・分母はkの整数係数のkの2次以下の多項式である。
・(ii-3)x=x(k),y=y(k)を第２の２次方程式に代入して。整理すると、
       (Q(k,x)t)2 = R(k)
となる。ただし、Q(k)は整数係数のkの２次以下の多項式,R(k)は整数係数のkの４次以下の多項式である。
・(ii-4)X=k, Y=Q(k)tとすると、楕円曲線または２次曲線
       Y2=R(X) ------- (2)
が得られる。
・(ii-5)(2)が２次曲線であるとき、その有理点を求める。その有理点から有理数kを求める。(ii-13)に続く。
・(ii-6)(2)が楕円曲線であるとき、syzygyによって、楕円曲線
       EI,J: y2 = x3+Ix+J ----- (3)
に変換する。
・(ii-7)(2)を楕円曲線EI,Jの2-descentの結果と見なして。4-descentを実行する。
   並行して、Pari/GPで、EI,Jのanalytic rankを計算する。
・(ii-8)EI,Jのanalytic rankが0であるか、または、4-descentが30分以内に終了しなかったら、4-descentを中断する(4-descentは失敗したとみなす)。
・(ii-9)4-descentが失敗(中断または結果が0個)したら、このuについては、有理点を持たないので。終了する(次のuについて、調べる)。
   4-descentが成功したら、EI,Jの有理点を求める。
・(ii-10)これらの有理点から、一次独立な有理点を選択して、その一次結合により、有理点を求める。
・(ii-11)syzygyにより、(2)の有理点のX座標=kを求める。
・(ii-12)求めたkより、有理数x,y,tを求める。
・(ii-13)適当な整数を掛けて、Sa,b,c,dの有理点[A:B:C:D]つまり整数解(A,B,C,D)を求める。
・(ii-14)必要に応じて、符号を外したり、対称な変数を入れ換えたりして、Sa,b,c,dの有理点[A:B:C:D]を標準化する。

ここで、ρはN\'eron-Severi rank over Q、Br1はscheme XのBrauer群の(準同型 Br X→Br Xの)kernelである(参考文献[2]を参照)。

No. Bright
分類 		[a,b,c,d] ρ Br1 Diagonal Quartic Surfaces 有理数uをパラメータとする
2次方程式系への変換 		備考
1 A197 [1,1,1,-1] 4 [2,2,2,2] A4+B4+C4=D4 A/D=x+y,B/D=x-y.C/D=t

  (u2+2)y2 = -(3u2-8u+6)x2-2(u2-2)x-2u
±(u2+2)t2 = 4(u2-2)x2+8ux+(2-u2)
 Demjanenko
(1973)
2 A155 [1,c12,1,-1] 3 [2,2,2] A4+B4+n2C4=D4 A/D=x+y,B/D=x-y.C/D=t

  ±(u2+2)y2 = -(3u2-8u+6)x2-2(u2-2)x-2u
±n(u2+2)t2 = 4(u2-2)x2+8ux+(2-u2)
 Nakao
(2026)
3 A217 [1,-8c12,1,1] 4 [2] A4+B4+C4=2n2D4
where gcd(n,290)=1
 A/C=x+y,B/C=x-y.D/C=t

    (u2-2)y2 = (-u2+4u-2)x2-2(u2-2u+2)x+(-u2+4u-2)
±n(u2-2)t2 = (u2-2u+2)x2+2(-u2+4u-2)x+(u2-2u+2)
 Nakao
(2024)
4 ??? [1,-1,c1,4c1] 5 ??? A4+nB4+4nC4=D4 B/C=x,A/C=y.D/C=t

    2uy2 = (n-u2)x2+2(n+u2)x+2(n-u2)
    2ut2 = (n+u2)x2+2(n-u2)x+2(n+u2)
 Nakao
(2026)
5 A221 [1,2c12,1,-4] 4 [] A4+B4+2n2C4=4D4
where gcd(n,290)=1 		A/D=x+y,B/D=x-y.C/D=t

        (u2+1)y2 = -(u2+4u+5)x2-(u2+2u-1)
    ±n(u2+1)t2 = 2(u2+2u-1)x2+(u2-2u-1)
 Nakao
(2026)
6 A45 [1,-1,c2,-c2] 6 [] A4+nB4=C4+nD4
 B/D=x.A/D=y,C/D=t

        2uy2 = (n+u2)x2-(n-u2)
        2ut2 = (n-u2)x2+(n+u2)
 Nakao
(2026)


[2026.05.01追記]No.5(A221)を追加した。
[2026.05.15追記]No.6(A45)を追加した。
[2026.05.25追記](ii-7),(ii-8)に、EI,Jのanalytic rankが0のとき、4-descentを中断することを追加した。

[参考文献]

Last Update: 2026.06.01
H.Nakao

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