The Mandelbrot Set

Mandelbrot図形[2004.06.27]

良く知られたFractal図形の１つであるMandelbrot図形 Mは、以下のように定義される。

     M = {c ∈ C : lim sup_n→∞|f_cⁿ(0)| < ∞}
ここで、
     f_c(z) = z²+c,
     f_c⁰(z) = 0,
     f_cⁿ⁺¹(z) = f_c(f_cⁿ(z)) if n >= 0
である。

また、中心0、半径2の円盤を
     D = { z ∈ C : |z| <= 2 }
とすると、
     M ⊆ D
である。よって、Mは有界である。

Mandelbrot図形を描画するソフトウェアであるXaoS-3.1をNetBSD-1.6.2/i386上でbuildした。
Buildの手順は、以下の通りである。

XaoS-3.1.tar.gzを展開する。
```
$ tar zxf XaoS-3.1.tar,gz
```
INSTALLを読む。
```
$ cd XaoS-3.1
$ cat ./doc/INSTALL
```
configureする。
```
$ CFLAGS="-m486 -O2" ./configure
```

./src/Makefileを編集する。変数LIBSに-lintlを追加する。

$ cd src
$ mule -nw Makefile
$ diff Makefile Makefile~
3c3
< LIBS   = -lz -lm  -lintl -lXext   -L/usr/X11R6/lib -lX11 
---
> LIBS   = -lz -lm  -lXext   -L/usr/X11R6/lib -lX11

makeする。GNU makeを使った方が良い。
```
$ gmake
```
make installする。
```
$ su
# gmake install
# exit
```
make cleanする。
```
$ gmake clean
```

描画した画像をpng形式で保存できるようにするには、さらに少しの作業が必要である。

XaoSを起動するには、XFree86のkterm上で、xaosとすれば良い。

XaoSの初期画面では、中央の黒く表示される部分がMandelbrot図形である。

マウスカーソルを図形上に置いて、左ボタンをクリックすると、その点を中心に拡大表示し、右ボタンをクリックすると、縮小表示する。

拡大率を上げた状態でも詳細に図形を表示するには、マウスカーソルをウインドウ上部に移動して、メニューから[Calculation]→[Iteration]を選択する。 Iterationパラメータをデフォルトの170から大きな数(例えば、100000)に変更すると良い。
ただし、Iterationパラメータを大きくすると、計算時間が掛かるようになる。
例えば、ある場所を適当に拡大すると、このようになる。また、別の場所を拡大すると、このようになる。

参考文献

[1]宇野重広, "カオスとフラクタルとグラフィックス", 日本評論社, 別冊数学セミナー[コンピュータと数学]４, 1986, p117-134.
[2]Clifford A. Pickover(著), 高橋時市郎, 内藤昭三(訳), "コンピュータ・カオス・フラクタル 見えない世界のグラフィックス", 白揚社, 1993(1刷), ISBN4-8269-0052-X, {5728円}.

Last Update: 2005.07.16

H.Nakao