Rational Points and Integral Points on Elliptic Curve: y^2=x^3+17

[2003.02.16]y^2=x^3+17の有理点と整点

c1-c8,楕円対数の計算プログラム(pari/gp)
y^2=x^3+17のグラフ(JPEG)

■楕円曲線
     E: y²=x³+17
の有理点を求める。
ここで、17は素数である。

■楕円曲線Eの判別式 Δ,j-不変量 j,conductor Nは、それぞれ、
     Δ = -124848 = -2⁴・3³・17²
     j = 0
     N = 10404
である。

■楕円曲線Eは、自明なねじれ点群を持つ。
つまり、Eのねじれ点群は、
     E(Q)_tors = {O}
である。

■楕円曲線Eの有理点群のrankは、2であることが分かる。
Cremonaのmwrank3によって、このように有理点群の生成元P₁(-2,3), P₂(4,9)が見つかる。よって、
     E(Q) = Z²
である。

■他の有理点を計算してみる。
有理整数 i,j ∈ {0,±1,±2,±3}に対して、iP₁+jP₂を求めると、このようになる。

これらの有理点の中で、Eの整点(P(x,y) ∈ Eで, x,y ∈ Zとなるもの)は、以下の16個である。

     (-2,3) = P₁,
     (-2,-3) = -P₁,
     (4,9) = P₂,
     (4,-9) = -P₂,
     (2,5) = P₁-P₂,
     (2,-5) = -P₁+P₂,
     (-1,4) = -P₁-P₂,
     (-1,-4) = P₁+P₂,
     (8,23) = -2P₁,
     (8,-23) = 2P₁,
     (43,282) = P₁-2P₂,
     (43,-282) = -P₁+2P₂,
     (52,375) = 2P₁+P₂,
     (52,-375) = -2P₁-P₂,
     (5234,378661) = P₁+3P₂,
     (5234,-378661) = -P₁-3P₂

■楕円曲線Eは、上記の16点以外に整点を持たないことを、[4]の方法によって証明する。
一般に、楕円曲線
     C: Y²+a₁XY+a₃Y = X³+a₂X²+a₄X+a₆ ----- (1)
の全ての整点(X,Y) ∈ Z²を計算する。
ここで、a₁,a₂,a₃,a₄,a₆は、有理整数とする。
適当な線形変換
     X = u²x+v, Y = u³y+wu²x+z ----- (2)
(u,v,w,z ∈Q, u!=0)により、以下の形式
     C': y² = f(x) ----- (3)
     f(x) = x^3+ax+b -------- (4)
になるとする。
3次方程式 f(x) = 0の最大の実数根をγとする。 ------ (*)

ここで、楕円曲線Eについて適用するには、a₁=a₂=a₃=a₄=0,a₆=17; a=0, b=17; u=1, v=0, w=0, z=0とすれば良い。

任意のP ∈ E(Q)に対して、有理整数m₁,m₂が存在して、
     P = m₁P₁+m₂P₂ ------ (5)
となる。
f(x)=x³+17=0の根は、実数根γ=-17^(1/3)の1個と、虚数根γ'=γ*(-1+sqrt(-3))/2, γ''=γ*(-1-sqrt(-3))/2の2個である。
x < γの範囲では、f(x) < 0となるので、(X,Y)がEの整点ならば、X >= γとして良い。
     E₀(R)={ P ∈ E∩R² | X(P) >= γ}∪{O},
     ω = 2∫_γ^∞(dt/sqrt{f(t)}),
     τ = ω₂/ω₁, Imag(τ) > 0
として、isomorphism φ:E₀(R)→R/Zを以下のように定義する。
     φ(P) = 0 (mod 1)          if P=O
             = (1/ω)∫_x(P)^∞(dt/sqrt{f(t)}) (mod 1)          if y(P) >= 0
             = -φ(-P) (mod 1)          if y(P)<0

ここで一般性を失わず、φ(P) ∈ [0,1)として良い。
|φ(P)|の上限をm₁,m₂のみに依存する形で計算する。この結果より、φ(P₁),φ(P₂)の線形形式の上限を与えることができる。
また、楕円logarithmsの線形形式に対するDavidの下限を合わせることにより、max{|m₁|,|m₂|}の上限を計算することができる。

h^をcanonical(N\'eron-Tate) height、<P,Q>をN\'eron-Tate(Weil) pairing、つまり、
     <P,Q> = h^(P+Q) - h^(P)-h^(Q)
とする。(5)より、
     h^(P) = (1/2)Σ_1<=i,j<=2<P_i,P_j>m_im_j --------- (6)
となる。また、2x2行列 H=((1/2)<P_i,P_j>)は正定値(positive definite)である。

■不等式1
P ∈ E(Q)が(5)で表現されるとすると、
     h^(P) >= c₁ max{|m₁|²,|m₂|²} ------- (7)
である。

ここで、対称行列Hの固有値をλ₁,λ₂とすると、c₁=min{λ₁,λ₂}とすれば良い。
[pari/gpによる計算]

gp> e=ellinit([0,0,0,0,17])
time = 214 ms.
%1 = [0, 0, 0, 0, 17, 0, 0, 68, 0, 0, -14688, -124848, 0, [-2.571281590658235355453187208, 1.285640795329117677726593604 - 2.226795177793291960399614420*I, 1.285640795329117677726593604 + 2.226795177793291960399614420*I]~, 2.623317490417413763558092311, -1.311658745208706881779046155 + 0.7572865296311736716725953290*I, -2.074243057723385189843594282 - 2.31403376 E-29*I, 1.037121528861692594921797141 - 1.796347181611963338818109851*I, 1.986602998438962962551431874]
gp> p1=[-2,3];p2=[4,9];
time = 0 ms.
gp> h11=ellbil(e,p1,p1)/2
time = 48 ms.
%3 = 0.2273084325921053134278989225
gp> h12=ellbil(e,p1,p2)/2
time = 14 ms.
%4 = 0.04532786736004933140760840885
gp> h21=h12
time = 0 ms.
%5 = 0.04532786736004933140760840885
gp> h22=ellbil(e,p2,p2)/2
time = 18 ms.
%6 = 0.3945879903906327518456526744
gp> rr=polroots(x^2-(h11+h22)*x+(h11*h22-h12*h21))
time = 4 ms.
%7 = [0.2158155242922367565254499253 + 0.E-28*I, 0.4060808986905013087481016716 + 0.E-28*I]~
gp> c1=min(real(rr[1]),real(rr[2]))
time = 1 ms.
%8 = 0.2158155242922367565254499252

■不等式2
3次方程式 f(x) = 0の3根をγ,γ',γ''とし、
c₂ = 2*max{|γ|,|γ'|,|γ''|}
とする。任意のx >= c₂に対して、
|∫_x^∞(dt/sqrt{f(t)})| <= 4*sqrt(2)|x|^-1/2 --------- (8)
となる。

[pari/gpによる計算]

gp> c2=2*17^(1/3)
time = 0 ms.
%9 = 5.142563181316470710906374417

■不等式3
u,v,γを(1),(2),(3),(4),(*)で定義されたものとする。
X₀を正の有理整数で、X₀ > vとする。
     c₀ = log|u|          if v <= 0,
         = log|u|+(1/2)*v/(X₀-v)      if v > 0,
     c₃ = c₀+(1/12)*log|Δ|+(1/12)*log⁺|j|+(1/2)*log⁺|b₂/12|+(1/2)*log 2^*+1.07,
とする。
ここで、Δは(1)でQ上定義された楕円曲線Cの判別式、jはCのj-不変量、
     log⁺|α|=log max{1,|α|}, (α ∈ R)
     b₂=a₁²+4a₂
     2^* = 1 if b₂=0
         = 2 if b₂!=0
である。
このとき、任意のP ∈ E(Q), X(P) >= X₀に対して、
     x(P) > 0,
     h^(P)-(1/2)*log x(P) <= c₃ ------ (9)
となる。

[pari/gpによる計算]

gp> c0=log(1)
time = 0 ms.
%10 = 0.E-28
gp> log_plus(a)=log(max(1,abs(a)))
time = 0 ms.
gp> c3=c0+(1/12)*log(abs(e.disc))+(1/12)*log_plus(e.j)+(1/2)*log_plus(e.b2/12)+(1/2)*log(2^((e.b2!=0)+1))+1.07
time = 21 ms.
%11 = 2.394477946643017860738093846

■不等式1,2,3より、
     |φ(P)|=|(1/ω)∫_x(P)^∞(dt/sqrt{f(t)})| <= (4*sqrt(2)/ω)|x(P)|^-1 <= (4*sqrt(2)/ω)exp(c₃-c₁M²) ----------- (10)
を得る。

■主不等式
P ∈ E₀(R) iff x(P) >= γ iff X(P) >= u²γ+v なので、不等式2,3を満たすために、
     X₀ = floor(max{c₂,u²γ+v,v})+1
とする。

     r = rank(E) = 2,
     M = max_1<=i<=r|m_i|,
     t₀ = max{ order(T) | T ∈ E(Q)_tors} = order(O) = 1
     h_E = max{1,h(a/4,b/16),h(j_E)} = max{1,h(0,17/16), h(0)} = log(17)
     A_i >= max{h^(R_i),h_E,(3πu_i²)/(|ω₁|²Imag(τ)) ,(i=0,1,...,r)
     u_i = ωφ(P_i), (i=1,...,r)
     e <= ε <= min_i=0,...,r{(e|ω₁|sqrt(A_iImag(τ)))/(|u_i|²sqrt(3π))}
とする。
     M² < c₃c₁^-1-c₁^-1log(4*sqrt(2))+c₄c₁^-1(log M+c₇)(log log M+c₈)^r+2 ------- (11)
となる。ここで、
     c₄ = 2*10^7r+15*(2/e)^2(r+1)²*(r+2)^4r²+18r+14*(log ε)^-2r-3*Π_i=0^rA_i,
     c₅ = logε,
     c₆ = logε+h_E,
     c₇ = c₀+log(t₀r)+(2t₀-1)/(16t₀r),
     c₈ = c₆+(log(t₀r)+(2t₀-1)/(16t₀r))/ log 16
である。

[pai/gpによる計算]

gp> read("c1.gp")
time = 25 ms.
gp> e=ellinit([0,0,0,0,17])
time = 212 ms.
%1 = [0, 0, 0, 0, 17, 0, 0, 68, 0, 0, -14688, -124848, 0, [-2.571281590658235355453187208, 1.285640795329117677726593604 - 2.226795177793291960399614420*I, 1.285640795329117677726593604 + 2.226795177793291960399614420*I]~, 2.623317490417413763558092311, -1.311658745208706881779046155 + 0.7572865296311736716725953290*I, -2.074243057723385189843594282 - 2.31403376 E-29*I, 1.037121528861692594921797141 - 1.796347181611963338818109851*I, 1.986602998438962962551431874]
gp> c2=2*17^(1/3)
time = 0 ms.
%2 = 5.142563181316470710906374417
gp> X0=floor(c2)+1
time = 0 ms.
%3 = 6
gp> he=log(17)
time = 0 ms.
%4 = 2.833213344056216080249534617
gp> om1=e.omega[1]
time = 0 ms.
%5 = 2.623317490417413763558092311
gp> om2=e.omega[2]
time = 0 ms.
%6 = -1.311658745208706881779046155 + 0.7572865296311736716725953290*I
gp> tau=om2/om1
time = 0 ms.
%7 = -0.5000000000000000000000000000 + 0.2886751345948128822545743902*I
gp> u0=2*real(om1)
time = 0 ms.
%8 = 5.246634980834827527116184622
time = 0 ms.
gp> u1=phi(e,p1,10^30)
time = 53 ms.
%10 = 0.8655420392056199319118656163
gp> u2=phi(e,p2,10^30)
time = 8 ms.
%11 = 0.3746399538711765287620638070
gp> imtau=imag(tau)
time = 0 ms.
%12 = 0.2886751345948128822545743902
gp> A0=max3(ellheight(e,[0]),he,3*Pi*u0^2/(abs(om1)^2*imtau))
time = 0 ms.
%13 = 130.5935542248636852427736345
gp> A1=max3(ellheight(e,p1),he,3*Pi*u1^2/(abs(om1)^2*imtau))
time = 10 ms.
%14 = 3.554155078216904065114734062
gp> A2=max3(ellheight(e,p2),he,3*Pi*u2^2/(abs(om1)^2*imtau))
time = 16 ms.
%15 = 2.833213344056216080249534617
gp> ee=exp(1)
time = 0 ms.
%16 = 2.718281828459045235360287471
gp> eub(u,A)=ee*abs(om1)*sqrt(A*imtau)/(abs(u)*sqrt(3*Pi))
time = 0 ms.
gp> eb=min3(eub(u0,A0),eub(u1,A1),eub(u2,A2))
time = 0 ms.
%17 = 2.718281828459045235360287471
gp> c4=2*10^28*(2/ee)^18*4^66*log(eb)*A0*A1*A2
time = 0 ms.
%18 = 5.716971994963884966493556571 E68
gp> c5=log(eb)
time = 1 ms.
%19 = 0.9999999999999999999999999999
gp> c6=log(eb)+he
time = 0 ms.
%20 = 3.833213344056216080249534617
gp> c7=c5+log(2)+1/32
time = 0 ms.
%21 = 1.724397180559945309417232121
gp> c8=c6+(log(2)+1/32)/log(16)
time = 0 ms.
%22 = 4.094484399063161106869534029

主不等式(11)より、
     M < 1.69932617027309634255527717*10³⁸
であることが分かる。
しかし、ここで求めたMの上限は大き過ぎるので、LLL-algorithmによって、上限を下げる。

■不等式(10),(11)を単純に、
     |φ(P)| < K₁exp(-K₂M²), M < K₃ ------- (12)
と書くことができる。
ここで、
     K₁ = (4*sqrt(2)/ω)*exp(c₃),
     K₂ = c₁,
     K₃ = 1.69932617027309634255527717*10³⁸
である。

[pari/gpによる計算]

gp> K1=(4*sqrt(2)/(2*real(om1)))*exp(c3)
time = 0 ms.
%110 = 11.81959778398069710666281600
gp> K2=c1
time = 0 ms.
%111 = 0.2158155242922367565254499253
gp> K0=(4*sqrt(6)*K3)^3
time = 0 ms.
%113 = 4.615694824130057075263031695 E117

K₀ > (4*sqrt(6)*K₃)³ ≒ 4.615694824130057*10¹¹⁷より、K₀=10¹⁵⁰とする。

3x3行列Aを
A=(1 0 0; 0 1 0; [K₀φ(P₁)] [K₀φ(P₂)] K₀)
とする。

[pari/gpによる計算]

gp> default(realprecision,200)
   realprecision = 202 significant digits (200 digits displayed)
time = 0 ms.
gp> ec=ellinit([0,0,0,0,17])
time = 50 ms.
%37 = [0, 0, 0, 0, 17, 0, 0, 68, 0, 0, -14688, -124848, 0, [-2.5712815906582353554531872087397261164279016324546962598480223762199399330306701503243515304456515101595884990437144690673267949132625536154869985287963232451310078320216085493418512188295378027086093, 1.2856407953291176777265936043698630582139508162273481299240111881099699665153350751621757652228257550797942495218572345336633974566312768077434992643981616225655039160108042746709256094147689013543046 - 2.2267951777932919603996144203804541622706825569344524731532187490960393697248595382894365826694319984683916803442177039282754687300844724479630350270083764813055537204080454851152419335294524639652359*I, 1.2856407953291176777265936043698630582139508162273481299240111881099699665153350751621757652228257550797942495218572345336633974566312768077434992643981616225655039160108042746709256094147689013543046 + 2.2267951777932919603996144203804541622706825569344524731532187490960393697248595382894365826694319984683916803442177039282754687300844724479630350270083764813055537204080454851152419335294524639652359*I]~, 2.6233174904174137635580923113118028556368506054570593713974729080068458253636019708286099820907278410416892947894217109910741117965381585035666490329916100322884116259660619651846211075718839646990824, -1.3116587452087068817790461556559014278184253027285296856987364540034229126818009854143049910453639205208446473947108554955370558982690792517833245164958050161442058129830309825923105537859419823495412 + 0.75728652963117367167259532899850070790425919144610670804562725947144187545610794798354799025273406823107656264846786670164151890387405435337731786373111232649412084645399404962060604468199943764210509*I, -2.0742430577233851898435942823787134427153023951448705296520009767343866409295010594921577657009104581148412471814507814563137246407252693002393191345495706829799160205203376469636295896280102513686222 - 9.35604255 E-203*I, 1.0371215288616925949217971411893567213576511975724352648260004883671933204647505297460788828504552290574206235907253907281568623203626346501196595672747853414899580102601688234818147948140051256843111 - 1.7963471816119633388181098511796525302842363737101626200123022794755169800268034517654138370181254092442403039473084626026480761011698442907767295483340189948727259704515561470640232333430605878356954*I, 1.9866029984389629625514318743006114056165459795153255017678569875245086616685911475574761828240356206404345016338310399799038254787055321096714358181320868471062628568717767622699448230531595731356442]
gp> K0=10^150
time = 1 ms.
%38 = 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
gp> a1=floor(K0*phi(ec,p1,K0))
time = 53 ms.
%39 = 865542039205619931911865616369086856962425596287300768113755836593775825539238669194251120192564290934202046516793744465434682224935232569963505233469
gp> a2=floor(K0*phi(ec,p2,K0))
time = 52 ms.
%40 = 374639953871176528761384549066010909420742028345692613161291403185830323287935258482258609601581054933389773382791577121433086537703063803555491732836
gp> aaa=[1,0,0;0,1,0;a1,a2,K0]
time = 0 ms.
%41 = 
[1 0 0]

[0 1 0]

[865542039205619931911865616369086856962425596287300768113755836593775825539238669194251120192564290934202046516793744465434682224935232569963505233469 374639953871176528761384549066010909420742028345692613161291403185830323287935258482258609601581054933389773382791577121433086537703063803555491732836 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

gp> bbb=qflll(aaa,1)
time = 66 ms.
%42 = 
[5491871213485935900063525814866902921316460853785 -122252436178546485629618948952851073726255282450199 -146439009977732718111323481823968970102528911119320]

[37633970728744668784706727277539081406232146527557 43519015594335246885386699161344943065857698653410 -31420740452155735548457530122387796647684416584840]

[-18852634466981369887228426910956077866976550605699 89510660913053261931266796719360071483914032728452 138520584068972735804725574993238048991488924869797]

gp> nr(bbb)
time = 2 ms.
%43 = 42448771814778574854612432952135938878729257628197.178676571625652784167303197327147231830807362296617222328764510588805291687641845767972694622706210242302511828103614815870517115005822645458931519430
gp> %43-2*K3*sqrt(6)
time = 0 ms.
%44 = 4.24487718139460784498670389785522934345215266124 E49

AにLLL-algorithmを適用して、reduced basis {b₁,b₂,b₃}を求めると、
     b₁ = [ 5491871213485935900063525814866902921316460853785, 37633970728744668784706727277539081406232146527557, -18852634466981369887228426910956077866976550605699]^t
となる。
(m₁,m₂,m₀) ∈ Z³, |m_i| < K₃ (i=0,1,2)とする。
l=A([m₁,m₂,m₀]^t)に対して、
     ||l||² <= 2²K₃²+(K₀|φ(P)|+2K₃)² ------ (13)
である。他方、LLLより、
     ||b₁||² <= 2²||l||²
K₃²+(K₀|φ(P)|+2K₃)² ----- (14)
(13),(14)より、
     K₀|φ(P)| >= sqrt(2^-2*||b₁||²-2K₃²)-2K₃ ------ (15)
(12),(15)より、
     ||b₁|| >= 2K₃sqrt(6) ----- (16)
ならば、
     M² <= K₂^-1(log(K₀K₁) - log(2^-2*||b₁||²-2K₃²)-2K₃) ------ (17)
が成立する。

[pari/gpによる計算]

gp> M2=(1/K2)*(log(K0*K1)-log(sqrt(b1n^2/4-2*K3^2)-2*K3))
time = 1 ms.
%47 = 1085.548819703431259906007347
gp> sqrt(M2)
time = 0 ms.
%48 = 32.94766789476049183254264411

よって、
M <= 32
が得られた。
次に、K₃=32, K₀=10¹⁰, A=[1, 0, 0; ; 0, 1, 0 ; [K₀*φ(P₁)] [K₀*φ(P₂)] K₀]として、再度、LLL-algorithmを適用する。
[pari/gpによる計算]

gp> K3=32;K0=10^10;
time = 0 ms.
time = 8 ms.
%50 = 8655420392
gp> a2=floor(K0*phi(e,p2,K0))
time = 7 ms.
%51 = 3746399538
gp> aaa=[1,0,0;0,1,0;a1,a2,K0]
time = 0 ms.
%52 = 
[1 0 0]

[0 1 0]

[8655420392 3746399538 10000000000]

gp> bbb=qflll(aaa,1)
time = 1 ms.
%53 = 
[-1781 501 -746]

[610 1768 -887]

[1313 -1096 978]

gp> b1n=nr(bbb)
time = 0 ms.
%54 = 2295.2189438047081437738998312510800322052193633078309149447877457714255032581291154469924458044646700539611785851044162088652200949196107278425811247936083187136561967696251391193081331579032888788100
gp> b1n-2*K3*sqrt(6)
time = 0 ms.
%55 = 2138.4516002665847454892736504699029831193987245458040267250954214673640391008609537484414420857676950255711241066011081048742527054899942579785309519144224913326057809278538385594598064205649355845072
gp> M2=(1/K2)*(log(K0*K1)-log(sqrt(b1n^2/4-2*K3^2)-2*K3))
time = 2 ms.
%56 = 85.76019368482033806127295939
gp> sqrt(M2)
time = 0 ms.
%57 = 9.260679979613826287361018885

よって、
M <= 9
が得られた。

■最後に、|m₁|,|m₂| <= 9について、P=m₁P₁+m₂P₂が整点かどうかを確認する。

[pari/gpによる計算]

gp> for(i=-9,9,for(j=-9,9,p=elladd(e,ellpow(e,p1,i),ellpow(e,p2,j));if((i!=0||j!=0)&&denominator(p[1])==1&&denominator(p[2])==1,print(p))))
[52, -375]
[8, 23]
[5234, 378661]
[-1, 4]
[-2, -3]
[2, -5]
[43, -282]
[4, -9]
[4, 9]
[43, 282]
[2, 5]
[-2, 3]
[-1, -4]
[5234, -378661]
[8, -23]
[52, 375]
time = 71 ms.

よって、楕円曲線Eの整点は、
(-2,±3), (-1,±4), (2,±5), (4,±9), (8,±23), (43,±282), (52,±375), (5234,±378661)
の16個に限る。

[2004.08.22追記]
■SIMATH-4.7(simcalc)を使って、楕円曲線Eの整点を求める。
simcalcによると、楕円曲線EのMordell-Weil群E(Q)のrankは2であり、その生成元は、(-2,3),(4,9)である。
また、楕円曲線Eの整点(x,y)を(Pと-Pを同一視して)求めると、
(-2,3), (-1,4), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5234,378661)
の8個となる。それぞれを(-1)倍した点も整点なので、楕円曲線Eは全部で2*8=16個の整点を持つ。

[simcalcによる計算]

bash-2.03$ simcalc

            *****                                            ****
            *****                                            ****
                                                             ****
*********** ***** ***************** *********** ***********  ****  ***********
*********** ***** ***************** *********** ***********  ****  ***********
***          ****  ****  ****  **** ****   ****         ***  ****  ****   ****
***********  ****  ****  ****  **** ****        ***********  ****  ****
***********  ****  ****  ****  **** ****        ***********  ****  ****
        ***  ****  ****  ****  **** ****   **** ***     ***  ****  ****   ****
*********** ***** ***** ***** ***** *********** ************ ***** ***********
*********** ***** ***** ***** ***** *********** ************ ***** ***********

                                                      version 4.5, 15 Mar 2000

Type "?help" for more information.

Type "?helpfunc" for more information about functions in simcalc.

Type "?NEW" for information about new functions in simcalc.

> E=EC(0,17)
            simcalc in free(): warning: junk pointer, too high to make sense.
         E = EC(0, 17)
> faintp(E)
  all nontrivial integral points modulo negation :
  PT(-2, 3, 1) = PT(0, 1, 0) + PT(-2, 3, 1) + 0*PT(4, 9, 1)
  PT(8, 23, 1) = PT(0, 1, 0) - 2*PT(-2, 3, 1) + 0*PT(4, 9, 1)
  PT(2, 5, 1) = PT(0, 1, 0) + PT(-2, 3, 1) - PT(4, 9, 1)
  PT(4, 9, 1) = PT(0, 1, 0) + 0*PT(-2, 3, 1) + PT(4, 9, 1)
  PT(-1, 4, 1) = PT(0, 1, 0) - PT(-2, 3, 1) - PT(4, 9, 1)
  PT(52, 375, 1) = PT(0, 1, 0) + 2*PT(-2, 3, 1) + PT(4, 9, 1)
  PT(43, 282, 1) = PT(0, 1, 0) + PT(-2, 3, 1) - 2*PT(4, 9, 1)
  PT(5234, 378661, 1) = PT(0, 1, 0) - PT(-2, 3, 1) - 3*PT(4, 9, 1)
 
simcalc in free(): warning: junk pointer, too high to make sense.
         @ = PT(-2, 3, 1)
> basismwg(E)
               basis :  PT(-2, 3, 1)
           PT(4, 9, 1)
simcalc in free(): warning: junk pointer, too high to make sense.
         @ = 2
> quit
 
 
                                    B Y E
 
 


***   # GCs: 141      GC time: 0.02 s   # collected cells: 2158340      ***
***   # blocks: 1     block size: 16383 # free cells:      2385         ***
***   total CPU time: 1.95 s                                            ***

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, p127, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Joseph H. Silverman, "The Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 106, Springer-Verlag New York Inc., 1986, p59-60, ISBN0-387-96203-4.
[3]Nigel P. Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", LMSST 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN0-521-64633-2.
[4]R. J. Stroeker, N. Tzanakis, "Solving elliptic diophantine equations by estimating linear forms in elliptic logarithms", Acta. Math., 3, p209-220, 1994.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao