Integral Points on Conic Curve: x^2-61y^2=1
[2001.04.22]x2-61y2=1の整点
Diophantus方程式
x2-61y2=1 ----------------------------- (1)
によって定義される円錐曲線の整点について考察する。ここで、61は素数である。
円錐曲線(1)は、自明な整点として、(±1,0)を持つ。
これはPell方程式として、よく知られている。sqrt(61)の連分数展開を利用して、自明でない整点を求めることができる。
a0=[sqrt(61)]=[7.8102...]=7
a1=[1/(sqrt(61)-7)]=[(sqrt(61)+7)/12]=[1.2341...]=1
a2=[1/((sqrt(61)+7)/12-1)]=[(sqrt(61)+5)/3]=[4.2700...]=4
a3=[1/((sqrt(61)+5)/3-4)]=[(sqrt(61)+7)/4]=[3.7025...]=3
a4=[1/((sqrt(61)+7)/4-3)]=[(sqrt(61)+5)/9]=[1.4233...]=1
a5=[1/((sqrt(61)+5)/9-1)]=[(sqrt(61)+4)/5]=[2.3620...]=2
a6=[1/((sqrt(61)+4)/5-2)]=[(sqrt(61)+6)/5]=[2.7620...]=2
a7=[1/((sqrt(61)+6)/5-2)]=[(sqrt(61)+4)/9]=[1.3122...]=1
a8=[1/((sqrt(61)+4)/9-1)]=[(sqrt(61)+5)/4]=[3.2025...]=3
a9=[1/((sqrt(61)+5)/4-3)]=[(sqrt(61)+7)/3]=[4.9367...]=4
a10=[1/((sqrt(61)+7)/3-4)]=[(sqrt(61)+5)/12]=[1.0675...]=1
a11=[1/((sqrt(61)+5)/12-1)]=[sqrt(61)+7]=[14.8102...]=14
a12=[1/((sqrt(61)+7)-14)]=[(sqrt(61)+7)/12]=[1.2341...]=1
ここで、a12=a1となり、以下、同じ並び{1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14}が繰り返す。
連分数[a0,a1,....,an]=pn/qnの値を求めるには、
p0=a0
q0=1
p1=a0a1+1
q1=a1
pn=anpn-1+pn-2 (n>=2)
qn=anqn-1+qn-2 (n>=2)
とすればよい。
pn,qn,pn2-61qn2の値を順に求めると、以下のようになる。
| n |
pn |
qn |
pn2-61qn2 |
| 0 |
7 |
1 |
-12 |
| 1 |
8 |
1 |
3 |
| 2 |
39 |
5 |
-4 |
| 3 |
125 |
16 |
9 |
| 4 |
164 |
21 |
-5 |
| 5 |
453 |
58 |
5 |
| 6 |
1070 |
137 |
-9 |
| 7 |
1523 |
195 |
4 |
| 8 |
5639 |
722 |
-3 |
| 9 |
24079 |
3083 |
12 |
| 10 |
29718 |
3805 |
-1 |
よって、円錐曲線x2-61y2=-1の整点の１つ(x0,y0)=(29718,3805)が得られた。
(x+sqrt(61)y)(x-sqrt(61)y)=-1
から、
(x+sqrt(61)y)2(x-sqrt(61)y)2=1
よって、
(x2+61y2+2sqrt(61)xy)(x2+61y2-2sqrt(61)xy)=1
(x2+61y2)2-61(2xy)2=1
を得るので、
円錐曲線x2-61y2=1の整点の１つ(最小解)は、(x1,y1)=(x02+61y02,2x0y0)=(1766319049,226153980)である。
円錐曲線(1)の整点は、Q(sqrt(61))の単数(1766319049+226153980sqrt(61))n=xn+ynsqrt(61) (n>=0)を計算すると、(±xn,±yn)として得られる。
[2010.06.06追記]
ある読者からの指摘により、x1の値を1766318049(誤)から1766319049(正)に訂正。
[参考文献]
- [1]G.H.Hardy, E.M.Wright, "An Introduction to the Theory of Numbers 5th edition", Oxford University Press, New York, p129-153, 1979, ISBN0-19-853171-0.
- [2]John Cremona, "G13NUM: Number Theory Cource Notes 2000", p28-34.
| Last Update: 2010.06.06 |
| H.Nakao |