Rational Points on Elliptic Curve: x^3+y^3=489489

[2001.05.02]x^3+y^3=489489の有理点

y^3+x^3=489489z^3の有理点を探すプログラム(Common LISP)
y^3+x^3=489489,y^2=x^3-432*489489^2の有理点を求めるプログラム(Common LISP)

Diophantus方程式
     x³+y³=489489 ----------------------------- (1)
で定義される楕円曲線、つまり、同次化した
     x³+y³=489489z³ ----------------------------- (2)
で定義される楕円曲線の有理点について考察する。489489=3*101*163である。

■楕円曲線(1)は、整点を持たない。
(1)でx,yを有理整数とすると、
     max{|y|,|x|} <= 2*\sqrt(489489/3)=807.868801229...
を得るので、有限の組合せを調べて、(1)は整点を持たないことがすぐに分かる。

■楕円曲線(1)の有理点のrankは、５であることが既に分かっているので、有理点を求めてみよう。これは、射影平面P²上の楕円曲線(2)の有理点[x:y:z]を求めることと同値である。
また、楕円曲線(1)を以下の双有理変換\phiによって、Weierstrass標準形に変形する。
有理変換\phi:(x,y)--->(X,Y)を
     X={12*489489}/{x+y}
     Y={36*489489*(x-y)}/{x+y}
で定義すると、
     x={36*489489+Y}/{6X}
     y={36*489489-Y}/{6X}
となり、\phi^-1も有理変換であり、楕円曲線(1)は、
     Y²=X³-432*489489² ------------------------- (3)
と有理同値になる。これを同次化すると、
     Y²Z=X³-432*489489²Z³ ------------------------- (4)
となる。

Common Lispプログラムにより、楕円曲線(4)の有理点について、x,yを有理整数として、0<|x|<=y<=2400000まで、楕円曲線(4)の整点について、0<|x|<1000000000までを調べると、このようになる。
ここで、楕円曲線(2)上の有理点P[x:y:z]に対して、-P[y:x:z]も楕円曲線(2)上の有理点である。また、楕円曲線(4)上の有理点Q[X:Y:Z]に対して、-Q[X:-Y:Z]も楕円曲線(4)上の有理点である。
よって、以下の表には、(1)または(4)の有理点の半分を記述している。

F:x³+y³=489489z³ in P² [x:y:z]=phi^-1([XZ:Y:Z³])				C:Y²Z=X³-432*489489²Z³ in P² [XZ:Y:Z³]=phi([x:y:z])
F':x³+y³=489489 in A²∪{O} (x/z,y/z) if z≠0, O if z=0				C':Y²=X³-432*489489² in A²∪{O} (X/Z²,Y/Z³) if Z≠0, O if Z=0
x	y	z	備考	X	Y	Z	備考
-1	1	0	O_F(無限遠点)	0	1	0	O_C(無限遠点)
62	235	3	P₁	59332	-10264436	1	整点 -Q₁
-1033	3112	39	P₂	110188	-35133020	1	整点 -Q₂
2047	28841	366	-P₁-P₂	69601	-15285977	1	整点 Q₁+Q₂
19871	28540	399	P₃	48412	-3155516	1	整点 -Q₃
8587	39824	507	-P₁+P₅	61516	-11370268	1	整点 -Q₁+Q₅
-296425	296722	543	2P₁+P₂-P₅	10739092	-35192597804	1	整点 -2Q₁-Q₂+Q₅
-1206	129617	1497	P₄	181636	-76739572	1	整点 -Q₄
-140027	170915	1662	-P₁+P₃	316057	-177392411	1	整点 Q₁+Q₃
381595	452381	6714	P₂+P₄	425593	-40383413	3	-Q₂-Q₄
-136093	2112925	26808	P₁+P₂+P₃+P₄	1274497	-1283064769	4	-Q₁-Q₂-Q₃-Q₄
-57235223	57237302	34689	P₅	98007988	-970269121900	1	整点 -Q₅
-23616469	23664880	54939	-2P₁-2P₂-P₃-P₄+P₅	6665932	-17210411036	1	整点 2Q₁+2Q₂+Q₃+Q₄-Q₅
-1473667651	1508910859	7831878	3P₁+P₂+P₃+P₄-P₅	1305313	-1491289255	1	整点 -3Q₁-Q₂-Q₃-Q₄+Q₅
122006	137869	2085	2P₁+P₂+P₃-P₅	1178164	-134454788	5	-2Q₁-Q₂-Q₃+Q₅
22985	193528	2457	-P₂-P₄	5399212	-10118657276	9	Q₂+Q₄
-191537	586844	7359	-P₂-P₃	13231036	-46182901492	11	Q₂+Q₃
-259048	1718209	21777	-2P₁-P₂-P₃-P₄+P₅	25334764	-11734612324	17	2Q₁+Q₂+Q₃+Q₄-Q₅
...	...	...	...	...	...	...	...

■楕円曲線(1)および楕円曲線(3)の有理点の成す群は、rank 5のAbel群Z⁵に同型である。

(1)の有理点は
     P₁(7/2,17/2),P₂(56/19,163/19),P₃(-2890/147,2971/147),
     P₄(-1206/1497,129617/1497),P₅(-57235223/34689,57237302/34689)
で生成され、(3)の有理点は
     Q₁(657,9855),Q₂(684,11556),Q₃(14308,1711412),
     Q₄(181636,76739572),Q₅(98007988,970269121900)
で生成される。つまり、(1)の有理点は、
     i(7/2,17/2)+j(56/19,163/19)+k(-2890/147,2971/147)
     +m(-1206/1497,129617/1497)
     +n(-57235223/34689,57237302/34689) ただし、i,j,k,m,nは有理整数
である。同様に、(3)の有理点は、
     i(657,9855)+j(684,11556)+k(14308,1711412)+m(181636,76739572)
     +n(98007988,970269121900) ただし、i,j,k,m,nは有理整数
である。
GNU Common LISPで0<=i<=3,|j|,|k|,|m|,|n|<=3を満たす(3)の有理点を計算すると、このようになる。さらに、これらに対応する(1)の有理点を計算すると、このようになる。

[参考文献]

[1]Joseph H. Silverman, John Tate(著), 足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄(訳), "楕円曲線論入門", シュプリンガー・フェアラーク東京, 1995, ISBN4-431-70683-6, {3900円}.
[2]Alf van der Poorten(著), 山口周(訳), "フェルマーの最終定理についてのノート", 森北出版, 2000, ISBN4-627-06101-3, {3800円}.

Last Update: 2005.08.21

H.Nakao