[ y^2=2x^4-1の有理数解 ] by KHF12033

H.Nakaoです。

y^2=2x^4-1の有理数解について

Diophantus方程式y^2=2x^4-1の有理数解について考察する。

  E_1: y^2 = 2x^4-1   ------------------------- (1)
つまり、
       2x^4 = y^2+1   ------------------------- (2)
の整数解として、(x,y)=(\pm 1,\pm 1),(\pm 13,\pm 239)があることは、
すぐに確認できるが、全ての有理数解を求めたい。

まず、楕円曲線E_1をWeierstrass標準形に変換する。
以下では、x,y,X,Yを有理数体QまたはQに\sqrt{2}を加えた体
Q(\sqrt{2})の元とする。

写像 \phi : (x,y) -------> (X,Y) を
      X = 2x^2-2\sqrt{2}y   ------------------ (3)
      Y = 4xy-4\sqrt{2}x^3   ----------------- (4) 

で定義すると、(3),(4)から、
     Y/X = 2\sqrt{2}x
となり、
     x = -Y/{2sqrt{2}}         -------------- (5)
(5)を(3)に代入して、
     y = {\sqrt{2}(Y^2-2X^3)}/{8X^2}      --- (6)
が得られる。(5),(6)を(1)に代入して整理すると、
楕円曲線E_1のWeierstrass標準形
    E_2: Y^2 = X^3+8X  ------------------------- (7)
を得る。写像\phiは楕円曲線E_1上の点(x,y)を楕円曲線E_2上の点(X,Y)に写す。
(5),(6)によって、\phiの逆写像 phi^{-1}: (X,Y) -----> (x,y)
を定義すると、逆写像\phi^{-1}は、楕円曲線E_2上の点(X,Y)を楕円曲線E_1上の
点(x,y)に写す。

写像\phiおよび\phi^{-1}は、Q(\sqrt{2})-isomorphic写像であることは
明らかであるが、有理変換(有理点を有理点に写す写像)ではない。
楕円曲線E_1上に少なくとも１つの有理点---例えば(1,1)---が存在することから、
双有理変換を以下のように構成することができる。

写像 \psi: E_1 ---> E_2,その逆写像 \psi^{-1}:E_2 ---> E_1を
     \psi(x,y) = \phi(x,y)-\phi(1,1) (-は楕円曲線E_2上の減算)
     \psi^{-1}(X,Y) = \phi^{-1}((X,Y)+\phi(1,1)) (+は楕円曲線E_2上の加算)
で定義すると、\psi,\psi^{-1}は、とちらも有理変換になることが(少し面倒な
計算をすると)分かる。

よって、楕円曲線E_1の有理点を見つけることは、楕円曲線E_2の有理点を
見つけることと同値である。

楕円曲線E_2の判別式D=-4・8^3=-2048は0でないので、E_2は非特異楕円曲線である。
よって、E_2の有理点で有限位数のものは、整点(x座標,y座標がともに有理整数
である点)であり、Y=0 または Y|Dとなることが分かっている。よって、有限の
組合せを調べて、(0,0),(1,\pm 3),(8,\pm 24),O(ただし、Oは無限遠点)が候補
にあがるが、

       2(1,\pm 3)=2(8,\pm 24)=(49/36, \mp{791/216})

であり、２倍点が整点でないので、E_2の有理点(1,\pm 3),(8,\pm 24) は
位数有限ではない。
また、(1,3)+(0,0)=(8,-24),2(0,0)=Oなので、E_2の有限位数の有理点は、
(0,0),Oのみである。

楕円曲線E_2の有理点は、有限生成Abel群を成すので、結局、無限位数
の有理点(1,3)と位数2の有理点(0,0)から生成される。E_2のrankは1である。
よって、E_2の有理点は、m(1,3),m(1,3)+(0,0),O(mは任意の有理整数)である。

E_2の有理点を具体的に計算してみると、
   O,
   (0,0),
   (1,3),
  -(1,3)=(1,-3),
  2(1,3)=(49/36,-791/216),
 -2(1,3)=(49/36,791/216),
  3(1,3)=(57121/169,13652397/2197),
 -3(1,3)=(57121/169,-13652397/2197),
  4(1,3)=(63473089/90098064,2092306550111/855210823488),
 -4(1,3)=(63473089/90098064,-2092306550111/855210823488),
  5(1,3)=(7563913566049/4194611205625,
          -38696701784980337907/8590878344960421875),
 -5(1,3)=(7563913566049/4194611205625,
          38696701784980337907/8590878344960421875),
  6(1,3)=(10644429254749503409/125998250039631684,
          34747761984000857034902486569/44724631402004254577410248),
 -6(1,3)=(10644429254749503409/125998250039631684,
          -34747761984000857034902486569/44724631402004254577410248),
  7(1,3)=(12276850837205230615846081/26376077633244407694260209,
          264911631900944804843289442201737930723/135461324785543767063788123103718175927),
 -7(1,3)=(12276850837205230615846081/26376077633244407694260209,
          -264911631900944804843289442201737930723/135461324785543767063788123103718175927),
  8(1,3)=(3710327303892830603933267543025409/1577706009278875005318653442586176,          -353501064436928880249966373674668207595571343213951/62667031016032031207423081316204939202955367335424),
 -8(1,3)=(3710327303892830603933267543025409/1577706009278875005318653442586176,          353501064436928880249966373674668207595571343213951/62667031016032031207423081316204939202955367335424),
 9(1,3)=(6468404554627476812933591478998447159680321/172431763717153764753695689153001710527121,
         16497827063045551133615577804969396207361298768828609477483854557/71602124036835859404038852427474499007603925909531551850821831),
 -8(1,3)=(3710327303892830603933267543025409/1577706009278875005318653442586176,          353501064436928880249966373674668207595571343213951/62667031016032031207423081316204939202955367335424),
  9(1,3)=(6468404554627476812933591478998447159680321/172431763717153764753695689153001710527121,
          16497827063045551133615577804969396207361298768828609477483854557/71602124036835859404038852427474499007603925909531551850821831),
 -9(1,3)=(6468404554627476812933591478998447159680321/172431763717153764753695689153001710527121,
          -16497827063045551133615577804969396207361298768828609477483854557/71602124036835859404038852427474499007603925909531551850821831)
 10(1,3)=(6979819975282876783853910776135993292750648165850801/25124625976420738967297767238945155614464058339802500,
          5965564178885551878175797861388023204747103236183654604096300384638368710483799/3982441526750122890041797958568713513513595401768390077108360971008879785125000),
-10(1,3)=(6979819975282876783853910776135993292750648165850801/25124625976420738967297767238945155614464058339802500,
          -5965564178885551878175797861388023204747103236183654604096300384638368710483799/3982441526750122890041797958568713513513595401768390077108360971008879785125000)
   .......

    (1,3)+(0,0)=(8,-24),
   -(1,3)+(0,0)=(8,24),
   2(1,3)+(0,0)=(288/49,5424/343),
  -2(1,3)+(0,0)=(288/49,-5424/343),
   3(1,3)+(0,0)=(1352/57121,-5940792/13651919),
  -3(1,3)+(0,0)=(1352/57121,5940792/13651919),
   4(1,3)+(0,0)=(720784512/63473089,-19942436323488/505690100063),
  -4(1,3)+(0,0)=(720784512/63473089,19942436323488/505690100063),
   5(1,3)+(0,0)=(33556889645000/7563913566049,
                 230534811861651054600/20802706232421224593),
  -5(1,3)+(0,0)=(33556889645000/7563913566049,
                 -230534811861651054600/20802706232421224593),
   6(1,3)+(0,0)=(1007986000317053472/10644429254749503409,
                 -30243906846065512893712552848/34728303626558310808809241577),
  -6(1,3)+(0,0)=(1007986000317053472/10644429254749503409,
                 30243906846065512893712552848/34728303626558310808809241577),
   7(1,3)+(0,0)=(211008621065955261554081672/12276850837205230615846081,
                 -3106366053398361375554849629269277672872/43016044113644550364817554137915359521),
  -7(1,3)+(0,0)=(211008621065955261554081672/12276850837205230615846081,
                 3106366053398361375554849629269277672872/43016044113644550364817554137915359521),
   8(1,3)+(0,0)=(12621648074231000042549227540689408/3710327303892830603933267543025409,
                 1844113476265319549632439405759896843692026589587136/226005148885820369847107467803863109061595151959423),
  -8(1,3)+(0,0)=(12621648074231000042549227540689408/3710327303892830603933267543025409,
                 -1844113476265319549632439405759896843692026589587136/226005148885820369847107467803863109061595151959423),
   9(1,3)+(0,0)=(1379454109737230118029565513224013684216968/6468404554627476812933591478998447159680321,
                 -21548983167308719540318592061989608477817281589788331370094191144/16451131026937343795570612287023345463940000143435350937119129119),
  -9(1,3)+(0,0)=(1379454109737230118029565513224013684216968/6468404554627476812933591478998447159680321,
                 21548983167308719540318592061989608477817281589788331370094191144/16451131026937343795570612287023345463940000143435350937119129119),
  10(1,3)+(0,0)=(200997007811365911738382137911561244915712466718420000/6979819975282876783853910776135993292750648165850801,
                 -90545985770158486634407015348303282851728651135470605727450973225711433333584400/583131271713284226034308959204796335160767034518702631164299281126789735483799),
 -10(1,3)+(0,0)=(200997007811365911738382137911561244915712466718420000/6979819975282876783853910776135993292750648165850801,
                 90545985770158486634407015348303282851728651135470605727450973225711433333584400/583131271713284226034308959204796335160767034518702631164299281126789735483799),
   .........

となる。楕円曲線E_1の有理点は、これらのE_2の有理点を有理変換\psi^{-1}で写したも
のであり、具体的に計算すると、以下のようになる。
   (1,1),
   (-1,-1),
   (-13,-239),
   (-1,1),
   (-1525/1343,2750257/1803649),
   (13,-239),
   (2165017/2372159,3503833734241/5627138321281),
   (1525/1343,2750257/1803649),
   (-42422452969/9788425919,-2543305831910011724639/95813281971750994561),
   (-2165017/2372159,3503833734241/5627138321281),
   (-7658246457672229/5705771236038721,76285433470805578504147559981041/32555825398006834032059811315841),
   (42422452969/9788425919,-2543305831910011724639/95813281971750994561),
   (15512114571284835412957/17999572487701067948161,
    104093353210157165397930031823738667393894481/323984609740005211871964051960752674583281921),
   (7658246457672229/5705771236038721,
    76285433470805578504147559981041/32555825398006834032059811315841),
   (-452005526897888844293504165425/173658539553825212149513251457,
    -287358434598304508285325528722589002702645705742873386094143/30157288359967475713221407230777843038318880129244112622849),
   (-15512114571284835412957/17999572487701067948161,
     104093353210157165397930031823738667393894481/323984609740005211871964051960752674583281921),
   (-126314830357375266295717376544111167953/75727152767742719949099952561135816319,
    21823524993202203117598843430945898516918043105969513349188339015638198841921/5734601666309043890386732776421960774971557625617519704560837731990506709761),   (452005526897888844293504165425/173658539553825212149513251457,
    -287358434598304508285325528722589002702645705742873386094143/30157288359967475713221407230777843038318880129244112622849),
   (368440923990671763222767414151367493861848396861/437825148963391521638828389137484882137402791039,
    10490030759815246364541558199105568478135690471464205832989654297640586333761965119883872967121/191690861064815976015053708007018970085526454846236721795700656741431549385814671781307098699521),
   (126314830357375266295717376544111167953/75727152767742719949099952561135816319,
    21823524993202203117598843430945898516918043105969513349188339015638198841921/5734601666309043890386732776421960774971557625617519704560837731990506709761),   (-15742426038757364555884302501358215419700469803339022502341/8441199892660353551254463457379879192713080201213827757759,
    -343156430496364425935539322977026990588500411321369808718993218975807788349540689995513397108665135709992732459781519/71253855627849164315498053614560346985431231975806915539827024659627640845146923414778474383466056369106241584702081),
   (-368440923990671763222767414151367493861848396861/437825148963391521638828389137484882137402791039,
    10490030759815246364541558199105568478135690471464205832989654297640586333761965119883872967121/191690861064815976015053708007018970085526454846236721795700656741431549385814671781307098699521),
  ...........

   (13,239),
   (1,-1),
   (1525/1343,-2750257/1803649),
   (-13,239),
   (-2165017/2372159,-3503833734241/5627138321281),
   (-1525/1343,-2750257/1803649),
   (42422452969/9788425919,2543305831910011724639/95813281971750994561),
   (2165017/2372159,-3503833734241/5627138321281),
   (7658246457672229/5705771236038721,
    -76285433470805578504147559981041/32555825398006834032059811315841),
   (-42422452969/9788425919,2543305831910011724639/95813281971750994561),
   (-15512114571284835412957/17999572487701067948161,
    -104093353210157165397930031823738667393894481/323984609740005211871964051960752674583281921),
   (-7658246457672229/5705771236038721,
    -76285433470805578504147559981041/32555825398006834032059811315841),
   (452005526897888844293504165425/173658539553825212149513251457,
    287358434598304508285325528722589002702645705742873386094143/30157288359967475713221407230777843038318880129244112622849),
   (15512114571284835412957/17999572487701067948161,
    -104093353210157165397930031823738667393894481/323984609740005211871964051960752674583281921),
   (126314830357375266295717376544111167953/75727152767742719949099952561135816319,
    -21823524993202203117598843430945898516918043105969513349188339015638198841921/5734601666309043890386732776421960774971557625617519704560837731990506709761),
   (-452005526897888844293504165425/173658539553825212149513251457,
    287358434598304508285325528722589002702645705742873386094143/30157288359967475713221407230777843038318880129244112622849),
   (-368440923990671763222767414151367493861848396861/437825148963391521638828389137484882137402791039,
    -10490030759815246364541558199105568478135690471464205832989654297640586333761965119883872967121/191690861064815976015053708007018970085526454846236721795700656741431549385814671781307098699521),
   (-126314830357375266295717376544111167953/75727152767742719949099952561135816319,
    -21823524993202203117598843430945898516918043105969513349188339015638198841921/5734601666309043890386732776421960774971557625617519704560837731990506709761),
   (15742426038757364555884302501358215419700469803339022502341/8441199892660353551254463457379879192713080201213827757759,
    343156430496364425935539322977026990588500411321369808718993218975807788349540689995513397108665135709992732459781519/71253855627849164315498053614560346985431231975806915539827024659627640845146923414778474383466056369106241584702081),   (368440923990671763222767414151367493861848396861/437825148963391521638828389137484882137402791039,
    -10490030759815246364541558199105568478135690471464205832989654297640586333761965119883872967121/191690861064815976015053708007018970085526454846236721795700656741431549385814671781307098699521),
  .......

となる。

参考文献

[1]Joseph H.Silverman,John Tate,楕円曲線論入門,シュプリンガー・フェアラーク東京,足立恒雄/木田雅成/小松啓一/田谷久雄 訳,1995年11月13日発行
[2]足立恒雄,ファルマーの大定理が解けた！,講談社,BLUE BACKS B-1074,1995年6月20日発行
[3]長尾孝一,rankの高い楕円曲線の構成法について,
   http://home.kanto-gakuin.ac.jp/~nagao/highr.dvi