第8回JANT研究集会 2002.09.05 -- (1/16)



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中尾 寿康 Hisayasu Nakao



講演資料(MagicPoint)   有理点の計算結果(html)

楕円曲線の話題のページ http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/index.html

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問題 -- (2/16)


- Melvyn J. Knight[4]
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- 1993 Andrew Bremner, Richard K. Guy, Richard J. Nowakowski[5][1]
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- 2002/7 Nakao -- Allan J.MacLeod[1]を読んで、以下の問題を考えた。

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結果1 -- (3/16)


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結果2 -- (4/16)



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結果3 -- (5/16)


En(Q)のねじれ点群を決定した。
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En(Q)の基底の高さが10以上となるnに対応するCnの有理点(|n|<=100)

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Cnを射影曲線と見る -- (6/16)


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よって、Cnを複素射影平面P2C上の曲線と考えて、z=1なる有理点[x : y : 1]を求めれば、十分である。
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双有理変換の導出1 -- (7/16)



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双有理変換の導出2 -- (8/16)



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tors(En(Q))の決定 -- (9/16)


楕円曲線Enが非特異(つまり、n!=0,1,9)とする。

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曲線G100のグラフ -- (10/16)
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楕円曲線E100のグラフ[全体] -- (11/16)
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楕円曲線E100のグラフ[原点付近] -- (12/16)
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楕円曲線EnのMordell-Weil群からCnの有理点を求める -- (13/16)


  1. ねじれ点群 tors(En(Q))の決定
    • pari/gp-2.1.4のelltors()関数を使用。
    • 正確に計算するには、elltors()関数でflag=1を指定する[Nagell-Lutzの定理を使用]。
    • Z/6Z : 生成元 (4n,4n(n-1)) (n!=0,1,9,10のとき)
    • Z/6Z×Z/2Z: 生成元 (-20,60),(0,0) (n=10のとき)

  2. Mordell-Weil群 En(Q)の決定
    • Cremonaのmwrank 2.8を使って、rank(En(Q))とEn(Q)の基底を求める。

  3. 曲線Cnの有理点の決定
    • En(Q)の元(特に、自由部分群の基底)を逆変換して、Cnの有理点を求める。
    • pari/gpでプログラムを作成する。

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Enが特異楕円曲線となるn=0,1,9の場合 -- (14/16)

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今後の課題 -- (15/16)





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参考文献 -- (16/16)

参考文献



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付録 -- (A1)

  1. Nagell-Lutzの定理
    E/Qを以下のWeierstrass標準形を持つ楕円曲線とする。
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    P ∈ E(Q)をOでないねじれ点とすると、以下が成立する。
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  2. Mazurの定理[1977]
    楕円曲線E/Qのねじれ点群tors(E(Q))は、以下の15種類の群の中の1つである。
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    さらに、これらの群がtors(E(Q))と一致するような楕円曲線E/Qが存在する。


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